Testi limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 1   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (0, 0)} \frac{\sin(xy)}{xy}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 2   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(2)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \; \dfrac{x^2 y^2}{x^4 + y^2}. \end{equation*}

 

Svolgimento. 

 

 

Esercizio 3   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(3)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\dfrac{x^3y}{x^4+y^2}. \end{equation*}

 

Svolgimento. 

 

 

Esercizio 4   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(4)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \; \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 5   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(5)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^8 y}{x^6 + y^6}. \end{equation*}

 

Svolgimento. 

 

 

Esercizio 6   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(6)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^4 + y^3}{x^2 + y^2}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 7   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(7)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^2 + y^2}{x^6 + y^6}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 8   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(8)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^{100} y^{100}}{x^2 + y^2}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 9   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(9)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^{100} y^{100}}{x + y}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 10   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(10)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^{5} y^{2}}{x^6 + y^8 }. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 11   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(11)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^{2} y^{5}}{x^6 + y^8}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 12   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestarr\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(12)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^3y^4+x^5+y^5}{x^4+y^4 + x^6y^4}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 13   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestarr\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(13)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^3y^4}{x^6+y^6}. \end{equation*}

 

Svolgimento.  

 

 

Esercizio 14   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestarr\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(14)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^2y^7}{x^8+y^8}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 15   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestarr\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(15)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^4+y^2}{x^2+y^4}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 16   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestarr\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(16)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^4+y^4}{x^2+y^2+xy}. \end{equation*}

 

Svolgimento. 

 

 

Esercizio 17   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestarr\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(17)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\sqrt{x}\sin y}{\left \vert x \right \vert + \left \vert y\right \vert }. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 18  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(18)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^4+y^4}{x^2+y^2+xy}. \end{equation*}

 

 Svolgimento. 

 

 

Esercizio 19  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(19)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^4+y^4}{x^2+y^2+2xy}. \end{equation*}

 

 Svolgimento.

 

 

Esercizio 20  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(20)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^9\cdot y^{20}}{\left(x^8+ y^{20}\right)\left(x^{20}+y^8\right)}. \end{equation*}

 

 Svolgimento.

 

 

Esercizio 21  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(21)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^2-y^2}{x+y}\sin\left(\dfrac{1}{xy}\right). \end{equation*}

 

 Svolgimento.

 

 

Esercizio 22  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(22)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \;\dfrac{x+y}{x^2+y^2}. \end{equation*}

 

 Svolgimento.

 

 

Esercizio 23  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(23)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \;\dfrac{\sin\left(xy\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}. \end{equation*}

 

 Svolgimento. 

 

 

Esercizio 24  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(24)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \dfrac{xy}{x^2+y^2}. \end{equation*}

 

 Svolgimento.

 

 

Esercizio 25  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(25)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \dfrac{1}{\left \vert x+y\right \vert}. \end{equation*}

 

 Svolgimento.

 

 

Esercizio 26  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(26)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \;\dfrac{1}{\left \vert x \right \vert + \left \vert y \right \vert }. \end{equation*}

 

 Svolgimento.

 

 

Esercizio 27  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(27)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert\to +\infty } \dfrac{x^2+y^2}{x^4+y^4+xy}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 28  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(28)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert \right \vert \to+\infty} \dfrac{x^2+y^2}{\left \vert x^5 \right \vert+\left \vert y^5\right \vert }. \end{equation*}

 

 Svolgimento.

 

 

Esercizio 29  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(29)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert \right \vert \to +\infty} \;\dfrac{x^2+y^2}{\left \vert x^5+y^5 \right \vert }. \end{equation*}

 

 

Svolgimento. 

 

 

Esercizio 30  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(30)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert \right \vert\to+ \infty} \;\left(x^2+y^2+xy\right). \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 31  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(31)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert \right \vert \to +\infty} \;\left(x^2+y^2+2xy\right). \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 32  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(32)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \;\dfrac{x^6+y^6}{x^2+y^4}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 33  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(33)   \begin{equation*} \lim_{\left \vert \left \vert (x,y)\right \vert\right \vert \to +\infty} \;\dfrac{x^2-xy^2+y^4}{x^2+y^4}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 34  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(34)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\sin\left(xy\right)}{xy+x^2y^2}. \end{equation*}

 

Svolgimento. 

 

 

Esercizio 35  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(35)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\ln\left(\cos\left(x^2+y^2\right)\right)}{x^2+y^2}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 36  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(36)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\ln\left(\cos\left(x^2+y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 37  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(37)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\ln\left(\cos\left(x^2+y^2\right)\right)+\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x^2+y^2\right)^4}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 38  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(38)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\left(e^{x^2+y^3}-1-\left(x^2+y^3\right)\right)\left(1+\cos\left(x^2+y^3\right)\right)}{\sin^2\left(x^2+y^3\right)+\tan^2\left(x^2+y^3\right)}. \end{equation*}

 

Svolgimento. 

 

 

Esercizio 39  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(39)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{e^{x^2+y^6}-1+x^3}{x^2+y^6}. \end{equation*}

 

Svolgimento. 

 

Esercizio 40  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(40)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\ln\left(1+x^3+y^3\right)}{\ln\left(1+x^5+y^5\right)}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 41   (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(41)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\left \vert xy \right \vert^{\left \vert xy \right \vert}-1}{\sqrt{x^2+y^2}}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 42   (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite

(42)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \dfrac{\ln\left(1+x^5+y^5\right)}{\ln\left(1+x^3+y^3\right)}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 43   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(43)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^{x^2+y^2}-1}{x^2+y^2} . \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 44   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(44)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^8+y^8}{x^2y^2+x^{16}+y^{16}} . \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 45   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(45)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\sin\left(xy^2\right)}{x^2-xy^2+y^4} . \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 46   (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(46)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{e^{x^2-y^6}-1+x^3}{x^2-y^6} . \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 47   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(47)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{e^{x^2+y^6}-1+x^3}{x^2+y^6}. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 48   (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(48)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (1,0)} \;\dfrac{\ln\left(x+y\right)}{\ln\left(x^2+y^2\right)}. \end{equation*}

 

Svolgimento. 

 

 

Esercizio 49   (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(49)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{\sqrt{x}\sin y}{\left \vert x \right \vert + y }. \end{equation*}

 

Svolgimento.  

 

 

Esercizio 50   (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(50)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{e^{xy}-\cos \left(2xy\right)}{x^2-x^4+y^2 }. \end{equation*}

 

Svolgimento.

 

 

Esercizio 51   (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(51)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^4+y^4+x^3y^3}{x^8+y^8+x^9-y^9}. \end{equation*}

 

Svolgimento.  

 

 

 

Ulteriori esercizi.

Per ulterori esercizi il lettore può andare sul sito del professore Roberto Tauraso.

Per il testi degli esercizi cliccare qui.

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