Il teorema fondamentale del calcolo integrale (approfondimento)

Integrale di Riemann

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Il teorema fondamentale del calcolo integrale

I concetti di derivata e di integrale sono profondamente correlati, nonostante il loro legame non sia evidente a un primo sguardo. Infatti, mentre la derivata corrisponde all’idea intuitiva di “tasso di variazione infinitesimale” di una funzione, il concetto di integrale corrisponde a quello di “area sottesa al grafico” di una funzione. Si può però vedere che le operazioni di derivazione e di integrazione sono l’una inversa dell’altra, in un senso che viene precisato dal teorema fondamentale del calcolo integrale: sotto opportune ipotesi, la derivata in x della funzione integrale \int_0^x f(t) \,\mathrm{d}t è pari a f(x) e, viceversa, l’integrale \int_0^x f'(t) \,\mathrm{d}t della derivata è pari a f(x).

Questo articolo è dedicato a uno studio profondo ma chiaro dei precedenti risultati, trattando i seguenti argomenti:

  • Definizione di primitiva di una funzione, sue proprietà e condizioni necessarie per l’esistenza di primitive;
  • Prima parte del teorema fondamentale del calcolo integrale: la funzione integrale di una funzione continua è una sua primitiva;
  • Seconda parte del teorema fondamentale del calcolo integrale: la funzione integrale della derivata f' è pari a f a meno di una costante.

Ogni teorema viene motivato da domande introduttive e illustrato da esempi e controesempi di difficile reperibilità che chiariscono il ruolo delle ipotesi. Nel testo vengono inoltre proposti esercizi le cui soluzioni sono raccolte alla fine del volume.
Il testo, scritto con precisione meticolosa e chiarezza didattica, è quindi un’utile risorsa formativa e un’avventura appassionante nel cuore del calcolo integrale. Buona lettura!

Per una trattazione esaustiva e approfondita della teoria sull’integrazione secondo Riemann, si consiglia di fare riferimento alla dispensa dedicata agli Integrali definiti e indefiniti