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Il binomio di Newton

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Questo articolo è dedicato al binomio di Newton, una formula fondamentale che ci aiuta a espandere e semplificare espressioni algebriche.
Il teorema, intitolato a Isaac Newton risponde alla domanda: esiste una formula per espandere l’espressione (x + y)^n in modo efficiente? Vedremo che, attraverso l’uso dei coefficienti binomiali, è possibile scrivere questa potenza nella somma esplicita di monomi del tipo x^k y^{n-k}, in accordo con le note espressioni

    \[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2,   \qquad    (x+y)^3=x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3.\]

Il binomio di  Newton risulta quindi una generalizzazione di tali uguaglianze a esponenti maggiori.

Vi guideremo alla scoperta di questa potente formula, indispensabile strumento di calcolo, muovendo insieme dei passi verso una più profonda comprensione dell’algebra.

Definizione. Siano n e k due numeri naturali tale che k\leq n. Il coefficiente binomiale è

    \begin{equation*} \binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!} \end{equation*}

e si legge “coefficiente binomiale n su k” oppure, quando evidente dal contesto, semplicemente “n su k”.

 

 

 

Binomio di Newton. È possibile esprimere come segue la potenza n-esima di un binomio qualsiasi. Siano a,b \in \mathbb{R} e n intero non negativo, allora:

    \[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k.\]

 

Dimostrazione. 

  • Passo base: Per n=0

        \begin{equation*} (a+b)^0=1=\binom{0}{0}a^0b^0=1. \end{equation*}

  • Passo induttivo: Supponiamo vera l’ipotesi per n

    (1)   \begin{equation*} (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k, \end{equation*}

    e dimostriamo l’asserto per n+1:

        \begin{equation*} \begin{split} (a+b)^{n+1}&=(a+b)^n\cdot(a+b)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k(a+b)=\\&=a\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k+b\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k=\\&=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}. \end{split} \end{equation*}

 

Osservazione 2.   Dalla prima sommatoria è possibile isolare il primo termine (per k=0)

    \begin{equation*} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k=\binom{n}{0}a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k=a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k. \end{equation*}

Mentre la seconda può essere riscritta come

    \[\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}= \binom{n}{n}a^{(n-n)}b^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}. \end{aligned}\]

Operando la sostituzione k=j-1 si ottiene

    \[b^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum_{j=1}^{n}\binom{n}{j-1}a^{n-(j-1)}b^{j-1+1}=b^{n+1}+\sum_{j=1}^{n}\binom{n}{j-1}a^{n-j+1}b^{j}.\]

Sfruttando il fatto che la variabile j è muta, ovvero si pone sostanzialmente j=k, si ha:

    \[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k}\]

Osservazione 3.  Vale la seguente relazione

(2)   \begin{equation*} \binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k} \end{equation*}

per 1\leq k\leq n. Infatti, dopo una diretta applicazione della definizione questo equivale a verificare che

    \begin{equation*} \frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}. \end{equation*}

Sviluppiamo la somma a sinistra sfruttando le fattorizzazioni k!=k(k-1)! e (n-k+1)!=(n-k+1)(n-k)!. Otteniamo

    \[\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{(n-k+1)n!+kn!}{k!(n-k+1)!}=\frac{(n-\cancel{k}+1+\cancel{k})n!}{k!(n-k+1)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}.\]

In conclusione

    \begin{equation*} \begin{split} (a+b)^{n+1}&=a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}=\\&=a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\left(\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right)a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}=\\&=a^{n+1}\sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^{k}+b^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^k \end{split} \end{equation*}

che è esattamente la tesi per n+1.