Binomio di Newton/Teorema binomiale/Formula di Newton/Sviluppo binomiale

Insiemi numerici N, Z, Q, R, Principio di induzione

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Definizione. Siano $n$ e $k$ due numeri naturali tale che $k\leq n$ . Il \textbf{coefficiente binomiale} è

$\begin{equation*} \binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!} \end{equation*}$

e si legge “coefficiente binomiale $n$ su $k$ ” oppure, quando evidente dal contesto, semplicemente “ $n$ su $k$ ”.

Binomio di Newton. È possibile esprimere come segue la potenza $n$ -esima di un binomio qualsiasi:

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k.$

Dimostrazione.

Passo base: Per $n=0$
$\begin{equation*} (a+b)^0=1=\binom{0}{0}a^0b^0=1. \end{equation*}$
Passo induttivo: Supponiamo vera l’ipotesi per $n$

(1) $\begin{equation*} (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k \end{equation*}$

e dimostriamo l’asserto per $n+1$ :

$\begin{equation*} \begin{split} (a+b)^{n+1}&=(a+b)^n\cdot(a+b)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k(a+b)=\\&=a\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k+b\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k=\\&=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}. \end{split} \end{equation*}$

Osservazione 2. Dalla prima sommatoria è possibile isolare il primo termine (per $k=0$ )

$\begin{equation*} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k=\binom{n}{0}a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k=a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k. \end{equation*}$

Mentre la seconda può essere riscritta come

$\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}= \binom{n}{n}a^{(n-n)}b^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}. \end{aligned}$

Operando la sostituzione $k=j-1$ si ottiene

$b^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum_{j=1}^{n}\binom{n}{j-1}a^{n-(j-1)}b^{j-1+1}=b^{n+1}+\sum_{j=1}^{n}\binom{n}{j-1}a^{n-j+1}b^{j}.$

Sfruttando il fatto che la variabile $j$ è muta, ovvero si pone sostanzialmente $j=k$ , si ha:

$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k}$

Osservazione 3. Vale la seguente relazione

(2) $\begin{equation*} \binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k} \end{equation*}$

per $1\leq k\leq n$ . Infatti, dopo una diretta applicazione della definizione questo equivale a verificare che

$\begin{equation*} \frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}. \end{equation*}$

Sviluppiamo la somma a sinistra sfruttando le fattorizzazioni $k!=k(k-1)!$ e $(n-k+1)!=(n-k+1)(n-k)!$ . Otteniamo

$\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{(n-k+1)n!+kn!}{k!(n-k+1)!}=\frac{(n-\cancel{k}+1+\cancel{k})n!}{k!(n-k+1)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}.$

In conclusione

$\begin{equation*} \begin{split} (a+b)^{n+1}&=a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}=\\&=a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\left(\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right)a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}=\\&=a^{n+1}\sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^{k}+b^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^k \end{split} \end{equation*}$

che è esattamente la tesi per $n+1$ .