Definizione. Siano e
due numeri naturali tale che
. Il \textbf{coefficiente binomiale} è
e si legge “coefficiente binomiale su
” oppure, quando evidente dal contesto, semplicemente “
su
”.
Binomio di Newton. È possibile esprimere come segue la potenza -esima di un binomio qualsiasi:
Dimostrazione.
Osservazione 2. Dalla prima sommatoria è possibile isolare il primo termine (per )
Mentre la seconda può essere riscritta come
Operando la sostituzione si ottiene
Sfruttando il fatto che la variabile è muta, ovvero si pone sostanzialmente
, si ha:
Osservazione 3. Vale la seguente relazione
(2)
per . Infatti, dopo una diretta applicazione della definizione questo equivale a verificare che
Sviluppiamo la somma a sinistra sfruttando le fattorizzazioni e
. Otteniamo
In conclusione
che è esattamente la tesi per .