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Gli assiomi di Peano: fondamento dell’Aritmetica

Insiemi numerici N, Z, Q, R

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Gli assiomi di Peano: fondamento dell’Aritmetica

 

Cosa sono i numeri?

Questa semplice e affascinante domanda è stata oggetto di studio di numerosi filosofi e matematici nel corso della storia. Fornire una risposta matematica al problema è stata una sfida estremamente stimolante, e una delle prime risposte soddisfacenti è stata prodotta nell’arco temporale tra il 1881 e il 1889 ad opera di alcuni matematici, tra cui il matematico torinese Giuseppe Peano, che elaborò i famosi “assiomi di Peano”.

Il suo lavoro sposta il focus dall’essenza dei numeri alle loro proprietà pratiche. In altre parole, più che chiedersi cosa siano i numeri, è più utile chiedersi “cosa si fa con i numeri”. In parole semplici, Peano sostenne che l’insieme \mathbb{N} dei numeri naturali è descritto dalle seguenti proprietà:

  • Contiene lo 0;
  • La funzione “successore”, che a ogni numero naturale ne associa un altro, detto appunto successore. I successori non devono mai ripetersi e 0 non è il successore di alcun numero.
  • Il principio di induzione: se A è un sottoinsieme di \mathbb{N} contenente lo 0 e contenente il successore di ogni suo elemento, allora A coincide con l’intero insieme \mathbb{N}.

Nel seguente articolo descriviamo nel dettaglio queste proprietà, dette assiomi, e includiamo esempi di impiego nella matematica, discutendo l’importanza del principio di induzione come strumento dimostrativo e la sua equivalenza col principio del buon ordinamento, approdando infine alla divisione euclidea.
Tutto ciò rende la dispensa una risorsa preziosa per chiunque sia interessato alla teoria dei numeri e alla sua fondazione logica.

 

Autori e revisori

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Autore: Martina Moro  

Revisore: Valerio Brunetti.  

 

Gli assiomi di Peano

L’insieme numerico basilare è quello dei numeri naturali, ossia quei numeri che possono essere osservati in natura. Tale insieme nasce dalla necessità fondamentale di contare gli oggetti esistenti.

    \begin{equation*} \mathbb{N}=\{0,1,2,...,n,...\} \end{equation*}

E’ possibile definire l’insieme \mathbb{N} a prescindere dagli elementi grazie a degli assiomi, detti postulati di Peano.

 

Definizione 1. L’insieme dei numeri naturali è costituito da una terna (\mathbb{N},0,\sigma) dove \mathbb{N} è un insieme, 0\in\mathbb{N} e \sigma:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N} è una funzione che definisce il “successivo” di un numero naturale. Formalmente abbiamo tre postulati:
 
\mathbb{P}_1 ) \sigma è iniettiva;
\mathbb{P}_2 ) 0\notin\,Im(\sigma) ovvero \nexists\,n\in\mathbb{N}\,:\,\sigma(n)=0;
\mathbb{P}_3 ) Principio di induzione debole: se U\subseteq\mathbb{N} è tale che

  • 0\in U
  • n\in U\Rightarrow\sigma(n)\in U

allora U=\mathbb{N}.

 
Analizziamo più nel dettaglio il significato dei postulati. Se vogliamo definire il concetto di numero naturale abbiamo bisogno di un “ punto di partenza “, ovvero di un numero naturale minimale. In questa esposizione abbiamo scelto lo 0 come numero naturale di partenza (anche se questa convenzione non è universalmente accettata e talvolta si sceglie di partire dal numero naturale 1). Una volta postulato l’esistenza del numero 0 (o 1 a seconda delle convenzione), gli assiomi di Peano richiedono l’esistenza della funzione \sigma che, preso un qualunque numero naturale n in input, restituisce il numero successivo n+1 in output. Se avessimo già un’idea di cosa sono i numeri naturali, potremmo scrivere

    \[\sigma(n)=n+1.\]

Alla luce di quanto appena detto, possiamo interpretare i postulati nel seguente modo:

\mathbb{P}_1 ) Due numeri diversi hanno due diversi successivi;
\mathbb{P}_2 ) Il numero 0 non è il successivo di un numero naturale;
\mathbb{P}_3 ) Principio di induzione debole: se U è un sottoinsieme dei numeri naturali che contiene 0 e che contiene il successivo di ogni suo elemento, si ha necessariamente U=\mathbb{N}. In altri termini, non esistono sottoinsiemi propri di \mathbb{N} che contengono sia 0, sia il successivo di ogni suo elemento.

Osservazione 1.

I primi due postulati possono essere interpretati come

\mathbb{P}_1 ) n+1=m+1 se e solo se n=m;

\mathbb{P}_2 ) L’equazione n+1=0 non ha soluzione in \mathbb{N}.


 
Il terzo postulato, detto Principio di induzione  è quello più importante perchè fornisce un vero e proprio metodo dimostrativo, detto dimostrazione per induzione. Supponiamo di voler dimostrare una certa proprietà P(n) per ogni numero naturale. Sia

    \begin{equation*} U=\{n\in\mathbb{N}\,:\, P(n)\text{ è verificata}\}, \end{equation*}

allora possiamo schematizzare il metodo di dimostrazione per induzione in due passi:

  • Passo base: si dimostra che 0\in U, cioè che P(0) è verificata;
  • Passo induttivo:  supponiamo vera la proposizione P(n) per un generico valore n e dimostriamo a partire da questa ipotesi, detta ipotesi induttiva, che la proposizione P(n+1) è vera.

Il Postulato \mathbb{P}_3 permette di concludere che U=\mathbb{N}, ovvero che la proprietà P è valida per ogni numero naturale. Infatti, il passo induttivo corrisponde esattamente a verificare che n \in U \Rightarrow\sigma(n)\in U.

Possiamo riassumere in modo formale il Principio di Induzione come segue:

    \[P(0) \wedge \{ P(n) \Rightarrow P(n+1) \; \forall n \in \mathbb{N} \} \Rightarrow (P(n)\; \forall n \in \mathbb{N}).\]

Nella formalizzazione di Peano dei numeri naturali il principio di induzione è dato come assioma, pertanto è assunto come vero e non viene dimostrato. In alternativa viene assunto come assioma il principio del buon ordinamento che invece nella formalizzazione di Peano viene dimostrato. In questo caso il principio di induzione è conseguenza del principio del buon ordinamento. Quindi le due teorie dei numeri naturali sono perfettamente equivalenti.

 

Teorema 1. I due principi sono equivalenti
\mathbb{P}_3 Principio di induzione: sia U\subseteq\mathbb{N} tale che

  • 0\in U;
  • n\in U\Rightarrow n+1 \in U;

allora U=\mathbb{N}.

\mathbb{M} Principio del buon ordinamento:  Sia U\subseteq\mathbb{N} non vuoto. Allora U contiene un elemento minimo, ovvero

    \begin{equation*} \exists\,u\in U\,:\,u\leq x\,\qquad\forall\,x\in U. \end{equation*}

 

Dimostrazione.

(\mathbb{P}_3\Rightarrow\mathbb{M}) Sia U\subseteq\mathbb{N} un sottoinsieme non vuoto. Se 0\in U allora \min U=0.

Se 0\notin U allora possiamo considerare l’insieme

    \[T=\{n\in\mathbb{N}\,:\, n<u\,\,\forall\,u\in U\}.\]

Osserviamo che 0\in T. Se per ogni n\in T si avesse n+1\in T allora per il principio di induzione T=\mathbb{N} e U sarebbe vuoto. Deve esistere un elemento n_0\in T tale che n_0+1\notin T e allora \min U=n_0+1.

(\mathbb{M}\Rightarrow\mathbb{P}_3) Sia U un sottoinsieme non vuoto di numeri naturali tale che 0\in U e se n\in U allora n+1\in U. Supponiamo per assurdo che U\neq \mathbb{N} e consideriamo T:=\mathbb{N}\setminus U\neq\emptyset allora per il principio del minimo esiste un m\in T elemento minimo, ovvero tale che m\leq t per ogni t\in T. Osserviamo che 0\in U quindi 1\in U: da questo deduciamo che m>1 e che m-1\notin T per la minimalità di m. Quindi m-1\in U; questo porta a un assurdo perché m=(m-1)+1\in U= \mathbb{N} \setminus T.

 

Il principio del minimo permette di dimostrare il seguente teorema alla base della definizione dell’operazione divisione euclidea

Teorema 2. Siano a,\,b\,\in\mathbb{N} con b\neq 0 allora esistono e sono unici q,\,r\,\in\mathbb{N} tale che

    \begin{equation*} a=b\cdot q+r\qquad 0\leq r<b, \end{equation*}

dove q è detto quoziente e resto della divisione euclidea.

Dimostrazione.

Studiamo il caso a\geq b e consideriamo l’insieme

    \begin{equation*} M=\{n\in\mathbb{N}\,:\,\exists\,k\in\mathbb{N},\,n=a-b\cdot k\}. \end{equation*}

Scegliendo k=0 otteniamo

    \begin{equation*} a=a-b\cdot k, \end{equation*}

quindi M\neq\emptyset perché contiene sicuramente l’elemento a. Per il principio del minimo esiste r\geq 0 tale che r\leq m per ogni m\in M. Quindi \exists \,q\in\mathbb{N} tale che

(1)   \begin{equation*} r=a-b\cdot q. \end{equation*}

Dimostriamo che r<b; se per assurdo r\geq b allora l’elemento t=r-b=a-(q+1)b\in M e t<r e questo contraddice la minimalità di r.

Dimostriamo l’unicità per assurdo: supponiamo esistano q,\,q'\in\mathbb{N} e r,\,r'\in\mathbb{N} tale che

    \begin{equation*} a=q\cdot b+r\qquad 0\leq q<r, \end{equation*}

    \begin{equation*} a=q'\cdot b+r'\qquad 0\leq q'<r'. \end{equation*}

Allora

    \begin{equation*} q\cdot b+r=q'\cdot b+r' \end{equation*}

  • Se r'=r allora bq=bq'\Rightarrow q=q'
  • Se r<r' allora

        \begin{equation*} r'-r=b(q-q')\geq b \end{equation*}

    poiché r'-r\in\mathbb{N}. Allora siccome r'-r\leq r'<b otteniamo una contraddizione. Nel caso r>r' si ragiona analogamente.


 
 

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

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Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
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  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
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