Gli assiomi di Peano

Insiemi numerici N, Z, Q, R

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Gli assiomi di Peano: fondamento dell’Aritmetica

 

Cosa sono i numeri?

Questa semplice e affascinante domanda è stata oggetto di studio di numerosi filosofi e matematici nel corso della storia. Fornire una risposta matematica al problema è stata una sfida estremamente stimolante, e una delle prime risposte soddisfacenti è stata prodotta nell’arco temporale tra il 1881 e il 1889 ad opera di alcuni matematici, tra cui il matematico torinese Giuseppe Peano.

Il suo lavoro sposta il focus dall’essenza dei numeri alle loro proprietà pratiche. In altre parole, più che chiedersi cosa siano i numeri, è più utile chiedersi “cosa si fa con i numeri”. In parole semplici, Peano sostenne che l’insieme \mathbb{N} dei numeri naturali è descritto dalle seguenti proprietà:

  • Contiene lo 0;
  • La funzione “successore”, che a ogni numero naturale ne associa un altro, detto appunto successore. I successori non devono mai ripetersi e 0 non è il successore di alcun numero.
  • Il principio di induzione: se A è un sottoinsieme di \mathbb{N} contenente lo 0 e contenente il successore di ogni suo elemento, allora A coincide con l’intero insieme \mathbb{N}.

Nel seguente articolo descriviamo nel dettaglio queste proprietà, dette assiomi, e includiamo esempi di impiego nella matematica, discutendo l’importanza del principio di induzione come strumento dimostrativo e la sua equivalenza col principio del buon ordinamento, approdando infine alla divisione euclidea.
Tutto ciò rende la dispensa una risorsa preziosa per chiunque sia interessato alla teoria dei numeri e alla sua fondazione logica.