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Limite uniforme di funzioni continue

Teoria Successioni di funzioni

Home » Limite uniforme di funzioni continue

Nello studio delle successioni di funzioni è essenziale chiedersi quali proprietà delle funzioni costituenti la successione siano conservate al limite. In questo conciso articolo affrontiamo la seguente domanda: il limite uniforme di una successione di funzioni continue è continuo?

La risposta è fornita dal teorema qui presentato con cura e chiarezza, offrendo uno sguardo su questo affascinante campo della Matematica.

Consigliamo la lettura del seguente materiale, il primo dei quali è una risorsa completa sulle successioni di funzioni, da cui è stato estrapolato il risultato presentato in questo articolo:

Segnaliamo inoltre l’esaustivo articolo Successioni di funzioni – Esercizi, contenente 42 esercizi di varia natura, ordinati per difficoltà crescente, su ogni aspetto delle successioni di funzioni. Buona lettura!

 

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi.  

Revisori: Roberto Castorrini, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.  

 

Teorema 1 (limite uniforme di funzioni continue). Sia E \subset \mathbb{R} e sia f_n \colon E \to \mathbb{R} una successione di funzioni continue convergente uniformemente alla funzione f \colon E \to \mathbb{R}. Allora f è una funzione continua.

Dimostrazione.

Sia x \in E un punto di accumulazione di E e consideriamo una successione x_j \in E che converga a x \in E. Per provare il teorema occorre mostrare che

(1)   \begin{equation*} \lim_{j \to \infty} f(x_j) = f(x). \end{equation*}

Utilizzando la disuguaglianza triangolare, per ogni n \in \mathbb{N} abbiamo

(2)   \begin{equation*} |f(x_j) - f(x_0)| \leq |f(x_j) - f_n(x_j)| + |f_n(x_j) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)|. \end{equation*}

Fissiamo ora \varepsilon>0; l’idea della dimostrazione è di stimare dall’alto i tre termini nel membro di destra della (2) per ottenere che |f(x_j) - f(x)| < \varepsilon per j sufficientemente grande.

Per la convergenza uniforme, esiste N \in \mathbb{N} tale che

(3)   \begin{equation*} |f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3} \qquad \forall x \in E, \,\, \forall n \geq N. \end{equation*}

Fissiamo quindi n \geq N; si ha quindi

(4)   \begin{equation*} |f(x_j) - f_n(x_j)| < \frac{\varepsilon}{3} \quad \forall j \in \mathbb{N}, \qquad |f_n(x_0) - f(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3}. \end{equation*}

Poiché f_n è una funzione continua, esiste J \in \mathbb{N} tale che, se j \geq J, allora

(5)   \begin{equation*} |f_n(x_j) - f_n(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3}. \end{equation*}

Utilizzando (4) e (5) nella (2) si ottiene che

(6)   \begin{equation*} |f(x_j) - f(x_0)| < \varepsilon \qquad \forall j \geq J, \end{equation*}

che prova la conclusione, cioè che il limite uniforme di funzioni continue è continuo.

 

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Ottieni il documento contenente la dimostrazione del teorema dedicato al limite uniforme di funzioni continue.

 

 

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Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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