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Limite uniforme di funzioni derivabili

Teoria Successioni di funzioni

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La proprietà di derivabilità di una funzione è di fondamentale importanza e, se questa funzione è ottenuta come limite uniforme di una successione di funzioni derivabili, è naturale porsi le seguenti domande:

  • Sotto quali ipotesi il limite di una successione di funzioni derivabili è derivabile?
  • Quando si può dire che la derivata del limite è pari al limite delle funzioni derivate?

Il teorema che ci accingiamo a discutere offre una esauriente risposta, sotto ipotesi più generali rispetto a quelle usualmente reperibili da altre fonti. L’approccio al tema è quindi dettagliato, ma mantiene sempre una chiarezza espositiva che mostra il fascino di questo importante argomento.

Consigliamo la lettura dei seguenti articoli di teoria collegata, il primo dei quali è una risorsa completa sulle successioni di funzioni, da cui è tratto il teorema in oggetto:

Segnaliamo inoltre l’esaustivo articolo Successioni di funzioni – Esercizi, contenente 42 esercizi di varia natura, ordinati per difficoltà crescente, su ogni aspetto delle successioni di funzioni. Buona lettura!

 

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi.  

Revisori: Roberto Castorrini, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.  

 

Teorema 1 (limite uniforme di funzioni derivabili). Sia f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R} una successione di funzioni derivabili tali che la successione delle derivate prime f_n' converga uniformemente ad una funzione g \colon [a,b] \to \mathbb{R}; supponiamo inoltre che esista x_0 \in [a,b] e y_0 \in \mathbb{R} tale che

(1) \begin{equation*} \lim_{n \to \infty} f_n(x_0) = y_0. \end{equation*}

Allora esiste una funzione derivabile f \colon [a,b] \to \mathbb{R} tale che
 

  • f_n converge uniformemente a f;
  • f'=g.

\[\,\]

\[\,\]

Dimostrazione
\bullet Step 1: f_n converge uniformemente a una funzione f.

Sia \varepsilon>0; Poiché la successione numerica f_n(x_0) è di Cauchy e poiché la successione delle derivate f_n' converge uniformemente a g, per il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme esiste N \in \mathbb{N} tale che

(2) \begin{equation*} \begin{gathered} \sup_{z \in [a,b]}|f_n'(z) - f_m'(z)| < \varepsilon, \quad |f_n(x_0) - f_m(x_0)|< \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N. \end{gathered} \end{equation*}

Siano, quindi n,m \in \mathbb{N} soddisfacenti tali relazioni; poiché la funzione f_n - f_m è derivabile, possiamo applicare a essa il teorema di Lagrange e ottenere che per ogni x \in [a,b] esiste \xi = \xi(x,n,m) \in [x_0,x] tale che

(3) \begin{equation*} \begin{split} |f_n(x) - f_m(x) - f_n(x_0) + f_m(x_0)| = & |f_n'(\xi) - f_m'(\xi)||x-x_0| \\ \leq & (b-a)\sup_{z \in [a,b]}|f_n'(z) - f_m'(z)| \\ < & \varepsilon(b-a). \end{split} \end{equation*}

Poiché per la disuguaglianza triangolare si ha

(4) \begin{equation*} |f_n(x) - f_m(x)| \leq |f_n(x) - f_m(x) - f_n(x_0) + f_m(x_0)| + |f_n(x_0) - f_m(x_0)|, \end{equation*}

unendo (3) e (4) si ottiene

(5) \begin{equation*} |f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon (1+ b-a). \end{equation*}

Per il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme, la successione f_n converge uniformemente a una funzione f.

\bullet Step 2: f è derivabile e f'=g.

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