Limite uniforme di funzioni derivabili
La proprietà di derivabilità di una funzione è di fondamentale importanza. Quando questa funzione è ottenuta come limite di una successione di funzioni derivabili, è naturale porsi le seguenti domande:
- Sotto quali ipotesi il limite di una successione di funzioni derivabili è derivabile?
- Quando si può dire che la derivata del limite è pari al limite delle funzioni derivate?
Il teorema che ci accingiamo a discutere offre una esauriente risposta, sotto ipotesi più generali rispetto a quelle usualmente reperibili da altre fonti. L’approccio al tema è quindi dettagliato, ma mantiene sempre una chiarezza espositiva che mostra il fascino di questo importante argomento.
Consigliamo la lettura dei seguenti articoli di teoria collegata, il primo dei quali è una risorsa completa sulle successioni di funzioni, da cui è tratto il teorema in oggetto:
- Successioni di funzioni – Teoria;
- Convergenza puntuale;
- Convergenza uniforme;
- Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme;
- Limite uniforme di funzioni continue;
- Scambio di limiti per la convergenza uniforme;
- Convergenza uniforme e successioni numeriche;
- Passaggio al limite sotto il segno di integrale;
- Piccolo teorema del Dini;
- Monotonia e convergenza uniforme;
- Equilimitatezza;
- Modulo di continuità ed equicontinuità;
- Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzelà.
Segnaliamo inoltre l’esaustivo articolo Successioni di funzioni – Esercizi, contenente 42 esercizi di varia natura, ordinati per difficoltà crescente, su ogni aspetto delle successioni di funzioni. Buona lettura!
Autori e revisori
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Revisori: Roberto Castorrini, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.
(1)
Allora esiste una funzione derivabile tale che
- converge uniformemente a ;
- .
Dimostrazione.
Sia ; Poiché la successione numerica è di Cauchy e poiché la successione delle derivate converge uniformemente a , per il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme esiste tale che
(2)
Siano, quindi soddisfacenti tali relazioni; poiché la funzione è derivabile, possiamo applicare a essa il teorema di Lagrange e ottenere che per ogni esiste tale che
(3)
Poiché per la disuguaglianza triangolare si ha
(4)
(5)
Per il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme, la successione converge uniformemente a una funzione .
Step 2: è derivabile e .
Fissiamo un punto ; per qualunque , per la disuguaglianza triangolare abbiamo
(6)
Vogliamo stimare i tre termini al membro di destra. Fissiamo ; innanzitutto osserviamo che per un ragionamento analogo a quello appena fatto, ricordando la convergenza uniforme delle e applicando il teorema di Lagrange, esiste tale che, per ogni e per ogni si ha
(7)
(8)
dove è il punto dato dal teorema di Lagrange. Quindi, per il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme, la successione di funzioni definita da
(9)
converge uniformemente in ; inoltre, per la convergenza uniforme delle a il limite uniforme delle è la funzione . Si ha quindi
(10)
Fissiamo ora . Poiché è derivabile in , esiste tale che
(11)
Unendo (6), (7), (8) e (11), si ottiene
(12)
Ciò mostra che è derivabile in e che .
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In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.
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- Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
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- MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
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- Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
- The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
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