Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sulle successioni di funzioni. In questo articolo presentiamo 42 esercizi su questo importante argomento, ordinati per difficoltà crescente. Gli esercizi sono corredati di una soluzione completa, per consentire al lettore di confrontare le sue soluzioni con quelle da noi riportate, e coprono ampiamente il programma relativo a questo tema svolto nei corsi universitari di Analisi Matematica per tutte le facoltà scientifiche.
La teoria necessaria è reperibile nell’articolo completo Successioni di funzioni – Teoria. Segnaliamo inoltre i seguenti articoli:
Sommario
Leggi...
Autori e revisori
Leggi...
Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Chiara Bellotti, Nicola Fusco, Matteo Talluri.
Notazioni
Leggi...
Insieme dei numeri naturali positivi: |
|
Funzione caratteristica dell’insieme |
Introduzione
Leggi...
Richiami di teoria
Leggi...
(1)
Se , diciamo che
converge puntualmente a
in
se e solo se
(2)
(3)
Se , diciamo che
converge uniformemente a
in
se e solo se per ogni
, esiste
tale che
(4)
Il prossimo risultato consiste in una semplice caratterizzazione della convergenza uniforme e spesso si usa per mostrare che una successione converge uniformemente. Per una dimostrazione, rimandiamo il lettore a Successioni di funzioni (teoria), proposizione 3.7.
(5)
Un’altra caratterizzazione della convergenza uniforme, che può risultare comoda in quanto non fa uso esplicito del limite uniforme, è il seguente criterio. Per una dimostrazione, rimandiamo a Successioni di funzioni (teoria), proposizione 3.18.
(6)
Il prossimo risultato è utile per mostrare che una successione di funzioni continue converge puntualmente ma non uniformemente al suo limite puntuale. Rimandiamo il lettore a Successioni di funzioni (teoria), teorema 3.19 per una dimostrazione.
Risulta spesso utile una generalizzazione del teorema precedente, dimostrata in Successioni di funzioni (teoria), teorema 3.22.
(7)
Il seguente risultato afferma il fatto che, sotto ipotesi di convergenza uniforme, l’integrale del limite è pari al limite dell’integrale. Per una dimostrazione il lettore può riferirsi a Successioni di funzioni (teoria), teorema 3.28.
(8)
Il teorema che segue mette in evidenza il collegamento tra la convergenza uniforme delle derivate di una successione di funzioni, la convergenza uniforme delle
e la derivabilità del limite delle
. Una dimostrazione è in Successioni di funzioni (teoria), teorema 3.35.
(9)
Allora esiste una funzione derivabile tale che
-
converge uniformemente a
;
-
.
Il prossimo teorema mostra che la convergenza puntuale di una successione di funzioni continue a una funzione
continua, sotto ipotesi di monotonia della successione
, è in realtà uniforme. Per una dimostrazione, si veda Successioni di funzioni (teoria), teorema 3.42.
(10)
Si supponga inoltre che il limite puntuale delle
sia continuo. Allora
converge uniformemente a
. Analogo risultato vale se la successione
è decrescente.
La stessa conclusione del teorema precedente vale sotto l’ipotesi che ogni funzione sia monotona: si veda Successioni di funzioni (teoria), teorema 3.44.
(11)
Supponiamo che converga puntualmente a una funzione
continua.
Allora la convergenza di
a
è uniforme. Vale un analogo risultato se le funzioni
sono decrescenti.
Definiamo ora i concetti di continuità uniforme, modulo di continuità e di equicontinuità, che sono centrali nella teoria delle funzioni continue. Per una discussione più approfondita, si veda Successioni di funzioni (teoria), sezione 3.3.2.
-
è monotona non decrescente;
-
;
- si ha
(12)
L’equicontinuità di una successione di funzioni è strettamente legata alle sue proprietà di convergenza uniforme. Riportiamo i seguenti fondamentali risultati, per una cui dimostrazione si rimanda a Successioni di funzioni (teoria), teoremi 3.56 e 3.65.
- Le funzioni
sono equicontinue;
-
converge uniformemente a
.
- le funzioni
sono equilimitate e equicontinue;
- da ogni sottosuccessione
se ne può estrarre una convergente uniformemente .
Riportiamo inoltre la seguente definizione, usata in alcuni esercizi proposti.
Osservazione 1.16. Equivalentemente, ha la proprietà di Darboux se e solo se l’immagine
di ogni intervallo
è a sua volta un intervallo.