Integrali doppi: definizione e proprietà (teoria parte 1)

Integrali doppi, Teoria Funzioni di più variabili

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Benvenuti nella nostra guida teorica sugli integrali multipli!
L’integrale definito di una funzione di una variabile esprime l’area sottesa al grafico della stessa. Il grafico di una funzione di 2 variabili $x,y$ consiste in una superficie nello spazio tridimensionale e dunque è naturale chiedersi se un’operazione simile consenta di esprimere il volume racchiuso tra il grafico della funzione e il piano $xy.$ I cosiddetti integrali multipli forniscono precisamente uno strumento atto a questo scopo.

Questa dispensa è la prima parte di un lavoro dedicato allo studio degli integrali multipli, in particolare gli integrali doppi, dei quali intende presentare la teoria essenziale, con particolare riferimento ai seguenti argomenti:

Integrali doppi su rettangoli e loro proprietà;
Integrali multipli su domini semplici, regolari e misurabili secondo Peano-Jordan;
Integrazione delle funzioni continue e teorema della media integrale.

Il testo è quindi una guida essenziale e chiara per chi desidera avvicinarsi o approfondire la teoria degli integrali multipli. Non ti resta dunque che cominciare la lettura!

Oltre alla naturale prosecuzione Integrali doppi – parte 2 in cui affronteremo metodi pratici di calcolo, segnaliamo inoltre le seguenti risorse teoriche su argomenti di Analisi 2:

Segnaliamo inoltre anche i seguenti articoli di esercizi:

Successioni di funzioni – Esercizi;

Limiti in più variabili – Esercizi;

Esercizi su punti stazionari con determinante hessiano nullo.

Autori e revisori

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Autore: Antonia Diana.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Bjørn Malesani, Silvia Lombardi, Roberto Castorrini, Jacopo Garofali, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sara Sottile, Davide La Manna, Daniele Fakhoury.

Notazioni

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$\mathcal R$	rettangolo di $\mathbb R^2$
$\mathring X$ , $\partial X$	interno e frontiera dell’insieme $X$
$\mathcal A(\mathcal R)$	insieme delle partizioni plurirettangolari del rettangolo $\mathcal R$
$\langle \mathcal P_1,\mathcal P_2 \rangle$	partizione plurirettangolare generata da $\mathcal P_1$ e $\mathcal P_2$
$S(f,\mathcal P)$ , $s(f,\mathcal P)$	somma superiore e inferiore di $f$ relative alla partizione $\mathcal P$
$S(f)$ , $s(f)$	integrale superiore e inferiore di $f$
$\int_\Omega f$	integrale di $f$ sull’insieme $\Omega$
$\|\mathcal R\|$ , $\|A\|$	volume $n$ -dimensionale di $\mathcal R$ ; misura di Peano–Jordan di $A$
$\chi_\Omega$	funzione caratteristica dell’insieme $\Omega$
$\operatorname{graf}(f)$	grafico della funzione $f$
$\text{Im}\, f$	immagine della funzione $f$
$B_r(x_0,y_0)$	palla di centro $(x_0,y_0)$ e raggio $r$

$\quad$

Introduzione

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La definizione di integrale di funzioni $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ per $n \geq 2$ è una naturale estensione di quella già nota in $\mathbb R$ , con l’importante differenza che, mentre in quest’ultimo caso si integra su intervalli (limitati o illimitati), nel caso $n$ -dimensionale gli insiemi di integrazione sono più complessi come, ad esempio, triangoli, cerchi ed ellissi in $\mathbb R^2$ , sfere e parallelepipedi in $\mathbb R^3$ .

Come ci si aspetta, quelli “più semplici” da trattare sono gli insiemi del tipo

$\mathcal R= [a_1, b_1] \times \cdots \times [a_n,b_n] \qquad \text{con $a_i$,$b_i \in \mathbb R$ e $a_i<b_i$ per ogni $i =1 \, \dots , n$,}$

comunemente chiamati $n$ -intervalli, in quanto sono l’analogo multidimensionale degli intervalli in $\mathbb{R}$ , o più semplicemente rettangoli (come nel caso bidimensionale).

Sottolineiamo che in questa dispensa ci limitiamo al caso in cui $n=2$ , cioè allo studio degli integrali doppi, ma il lettore può facilmente immaginare le ovvie estensioni dei risultati presentati a dimensioni $n \geq 3$ .

Intuitivamente, vorremmo che l’integrale di una funzione $f : \Omega \subset \mathbb R^2 \to \mathbb R^+$ coincida con il volume tridimensionale della regione compresa tra il piano $xy$ e il grafico della funzione stessa (si veda la figura 1).

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Figura 1: grafico di una funzione definita in un sottoinsieme $\Omega \subset \mathbb R^2$ a valori positivi.

Integrali doppi su rettangoli

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In questo paragrafo introduciamo le funzioni integrabili in un rettangolo di $\mathbb R^2$ , pertanto ricordiamo le seguenti definizioni.

Definizione 1 (rettangolo). Un insieme $\mathcal R \subset \mathbb R^2$ , tale che

$\mathcal R= [a,b]\times [c,d] \qquad \text{con $a$,$b$, $c$, $d \in \mathbb R$, $a<b$, $c<d$}$

è detto rettangolo di $\mathbb R^2$ . La sua area è definita come $\vert \mathcal R \vert = (b-a) (d-c)$ . Si pone per convenzione $\vert \emptyset \vert =0$ .

Nel seguito faremo largo uso della seguente definizione di partizione. Essa formalizza l’idea intuitiva di scomporre una figura piana nell’unione di sottofigure che condividono i bordi, ma senza sovrapposizioni nelle parti interne.

Definizione 2 (partizione). Dato $X \subseteq \mathbb R^2$ , una famiglia finita di insiemi $\{X_i\}_{i=1}^k$ tali che

$X_i \subset X$ $\forall i = 1, \dots, k$ ;
$\bigcup _{i=1} ^k X_i =X$ ;
$\mathring X_i \cap \mathring X_j = \emptyset$ $\forall i \ne j$ , dove $\mathring X_i:= X_i \setminus \partial X_i$ ;

è detta partizione di $X$ .

Osservazione 3. La definizione di partizione appena data differisce dall’usuale definizione di partizione insiemistica, in cui si richiede che gli elementi della partizione siano disgiunti.

Ricordiamo, per completezza, la definizione di partizione plurirettangolare in $\mathbb R^2$ :

Definizione 4 (partizione plurirettangolare). Sia $\mathcal R= [a,b]\times [c,d] \subset \mathbb R^2$ un rettangolo, chiamiamo partizione plurirettangolare di $\mathcal R$ una qualsiasi famiglia di rettangoli $\{\mathcal R_i\}_{i=1}^k$ soddisfacenti le proprietà della definizione 2. Inoltre, indichiamo con $\mathcal{A}(\mathcal{R})$ l’insieme delle partizioni plurirettangolari di $\mathcal{R}$ .

Risulta possibile confrontare due partizioni plurirettangolari come chiarito dalla seguente definizione.

Definizione 5. Date due partizioni $\mathcal P,\mathcal Q \in \mathcal A(\mathcal R)$ , $\mathcal P$ si dice più fine di $\mathcal Q$ e si indica $\mathcal P \leq \mathcal Q$ se

$\forall P \in \mathcal P \quad \exists Q \in \mathcal Q \quad \text{tale che $P \subset Q$}.$

Osservazione 6. L’uso del simbolo $\leq$ per indicare che una partizione è più fine di un’altra è giustificato dal fatto che l’essere più fine stabilisce un ordinamento parziale in $\mathcal A(\mathcal R)$ .

Spesso è utile considerare una partizione prodotto di un rettangolo $\mathcal R = [a,b] \times [c,d] \subset \mathbb R^2$ , cioè una partizione ottenuta prendendo i prodotti cartesiani degli elementi di partizioni di $[a,b]$ e $[c,d]$ , rispettivamente.

Definizione 7 (partizione prodotto). Sia $\mathcal R =[a, b] \times [c, d]$ un rettangolo e siano $\mathcal P_{[a,b]}$ , $\mathcal P_{[c,d]}$ partizioni rispettivamente di $[a,b]$ e $[c,d]$ costituite da intervalli. Chiamiamo partizione prodotto $\mathcal P= \mathcal P_{[a,b]} \times \mathcal P_{[c,d]}$ la partizione plurirettangolare di $\mathcal R$ formata da elementi del tipo $T_{i} \times Q_{j}$ dove $T_{i} \in \mathcal P_{[a,b]}$ e $Q_{j} \in \mathcal P_{[c,d]}$ .

Poiché le partizioni che consideriamo sono costituite da intervalli, esistono $h,k \in \mathbb N$ tali che

$\begin{align*}\mathcal P_{[a,b]}&= \{[x_{i}, x_{i+1}] \} _{i=1}^k \qquad \text{con $a=x_1< x_{2}< \dots < x_{k+1}=b$}, \\\mathcal P_{[c,d]}&= \{[y_{j}, y_{j+1}] \} _{j=1}^h \qquad \text{con $c=y_1< y_{2} < \dots < y_{h+1}=d $}. \end{align*}$

Per la definizione 7, un rettangolo $\mathcal R$ è suddiviso dalla partizione $\mathcal P_{[a,b]} \times \mathcal P_{[c,d]}$ in $kh$ rettangoli del tipo $[x_{i}, x_{i+1}] \times [y_{j},y_{j+1}]$ con $i=1, \dots, k, \,\,\, j=1, \dots , h$ .

Le partizioni prodotto sono quindi particolari tipi di partizioni plurirettangolari. Esse sono arbitrariamente fini, nel senso precisato dal prossimo lemma.

Lemma 8. Sia $R=[a,b] \times [c,d] \subset \mathbb R^2$ un rettangolo e sia $\mathcal P \in \mathcal{A}(R)$ una sua partizione plurirettangolare. Allora esiste una partizione prodotto $\mathcal{S}$ di $R$ più fine di $\mathcal P$ .

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Figura 2: illustrazione delle partizioni $\mathcal{P}$ (in alto) e $\mathcal{S}$ (in basso) del lemma 8: $\mathcal{S}$ è una partizione prodotto più fine di $\mathcal{P}$ .

Dimostrazione. Sia $\mathcal P=\{R_\ell\}_{\ell=1}^N = \{[\alpha_\ell,\beta_\ell] \times [\gamma_\ell,\delta_\ell] \}_{\ell=1}^N$ . Consideriamo gli insiemi

(1) $\begin{equation*} \begin{gathered} \{\alpha_1, \beta_1, \alpha_2, \beta_2, \dots, \alpha_N, \beta_N\} = \{x_1, \dots, x_{k+1}\}, \\ \{\gamma_1, \delta_1, \gamma_2, \delta_2, \dots, \gamma_N, \delta_N\} = \{y_1, \dots, y_{h+1}\}, \end{gathered} \end{equation*}$

(si veda la figura 2) costituiti dai numeri reali $\alpha_\ell,\beta_\ell$ e $\gamma_\ell, \delta_\ell$ riordinati e senza ripetizioni in modo che

(2) $\begin{equation*} a=x_1 < x_2 < \dots < x_{k+1} = b, \qquad c= y_1 < y_2 < \dots < y_{h+1} = d. \end{equation*}$

Sono quindi definite le partizioni

(3) $\begin{equation*} \mathcal{P}_{[a,b]}=\{[x_i,x_{i+1}]\}_{i=1}^k, \qquad \mathcal{P}_{[c,d]}=\{[y_j,y_{j+1}]\}_{j=1}^h \end{equation*}$

rispettivamente di $[a,b]$ e $[c,d]$ . Consideriamo la partizione prodotto

(4) $\begin{equation*} \mathcal{S} \coloneqq \mathcal{P}_{[a,b]} \times \mathcal{P}_{[c,d]} = \{T_\ell\}_{\ell=1}^{M} \end{equation*}$

di $R$ generata da $\mathcal{P}_{[a,b]}$ e $\mathcal{P}_{[c,d]}$ , rappresentata in basso in figura 2. Affermiamo che $\mathcal{S}$ è più fine di $\mathcal{P}$ . Infatti, dato $[x_i,x_{i+1}] \times [y_j,y_{j+1}] \in \mathcal{S}$ , poiché esso è contenuto in $R$ , la sua parte interna ha intersezione non vuota con un rettangolo $R_\ell = [\alpha_\ell,\beta_\ell] \times [\gamma_\ell,\delta_\ell] \in \mathcal{P}$ . Allora, per come sono definiti i numeri reali $x_i,y_j$ , si ha

(5) $\begin{equation*} \alpha_\ell \leq x_i, \qquad \beta_\ell \geq x_{i+1}, \qquad \gamma_\ell \leq y_j, \qquad \delta_\ell \geq y_{j+1}, \end{equation*}$

e ciò prova che $R_\ell \supseteq [x_i,x_{i+1}] \times [y_j,y_{j+1}]$ , pertanto $\mathcal{S}$ è più fine di $\mathcal{P}$ .

L’area dei rettangoli è additiva, come mostrato dal prossimo lemma.

Lemma 9 (additività dell’area dei rettangoli). Sia $R=[a,b] \times [b,c] \subset \mathbb R^2$ un rettangolo e sia $\mathcal P=\{R_i\}_{i=1}^N$ una partizione plurirettangolare di $R$ . Allora

(6) $\begin{equation*} |R|= \sum_{i=1}^N |R_i|. \end{equation*}$

Dimostrazione. Dimostriamo la proposizione prima per una partizione prodotto, poi per una qualsiasi partizione plurirettangolare.

Se $\mathcal P$ è una partizione prodotto, siano $\mathcal Q=\{[a_j,b_j]\}_{j=1}^M$ e $\mathcal T=\{[c_\ell ,d_\ell]\}_{\ell=1}^L$ le partizioni di $[a,b]$ e $[c,d]$ tali che

(7) $\begin{equation*} \begin{gathered} a=a_1 < b_1=a_2 < b_2=a_3 < \dots < b_{M-1}=a_M < b_M =b \\ c=c_1 < d_1=c_2 < d_2=c_3 < \dots < d_{L-1}=c_L < d_L =d. \end{gathered} \end{equation*}$

Allora si ha

(8) $\begin{equation*} \begin{split} |R| = & (b-a) (d-c) \\ = & \left(\sum_{j=1}^M (b_j-a_j) \right) \left(\sum_{\ell=1}^L (d_\ell -c_\ell) \right) \\ = & \sum_{\substack{j \in \{1,\dots,M\}\\ \ell \in \{1,\dots,L\}}} (b_j-a_j)(d_\ell -c_\ell) \\ = & \sum_{\substack{j \in \{1,\dots,M\}\\ \ell \in \{1,\dots,L\}}} \Big| [a_j\,b_j] \times [c_\ell ,d_\ell] \Big|. \end{split} \end{equation*}$
Se $\mathcal{P}$ è una generica partizione di $\mathcal R$ , il Lemma 8 assicura l’esistenza di una partizione $\mathcal{S}=\{T_j\}_{j=1}^M$ di $R$ più fine di $\mathcal{P}$ . Applicando il punto precedente alla partizione prodotto $\mathcal{S}$ di $R$ , si ha

(9) $\begin{equation*} |\mathcal R| = \sum_{j =1}^M |T_j| = \sum_{\ell=1}^N |R_\ell|, \end{equation*}$

dove l’ultima uguaglianza segue dal fatto che, poiché $\mathcal{S}$ è più fine di $\mathcal{P}$ , i rettangoli della partizione $\mathcal{Q}$ possono essere suddivisi in modo da formare delle partizioni prodotto di ognuno dei rettangoli $R_\ell$ della partizione $\mathcal{P}$ . La relazione (9) coincide con la tesi che si voleva provare.

D’ora in poi, con $\mathcal R$ indichiamo un rettangolo di $\mathbb R^2$ .

Definizione 10 (somme superiori e somme inferiori). Sia $f : \mathcal R \to \mathbb R$ una funzione limitata e sia $\mathcal P= \{ \mathcal R_i \}_{i=1}^k \in \mathcal A (\mathcal R)$ . Posto per ogni $i=1, \dots, k$ , $M_{i} = \sup_{ \mathcal R_{i}} f$ e $m_{i} = \inf_{ \mathcal R_{i}} f$ , chiamiamo somma superiore e somma inferiore di $f$ rispetto alla partizione $\mathcal P$ rispettivamente le quantità

$S(\mathcal P, f) = \sum _{i=1}^k M_{i} \vert \mathcal R_{i} \vert \qquad e \qquad s(\mathcal P, f) = \sum _{i=1}^k m_{i} \vert \mathcal R_{i} \vert .$

Osserviamo che le somme superiori e inferiori appena definite hanno il significato geometrico di somma di volumi orientati di parallelepipedi dei rettangoli aventi basi sui rettangoli della partizione $\mathcal P$ , rispettivamente circoscritti e inscritti al sottografico della funzione considerata, ovvero la regione compresa tra il piano $xy$ e il grafico della funzione stessa (figura 1).

Osservazione 11. L’ipotesi di limitatezza di $f$ garantisce che queste quantità siano finite.

Il prossimo risultato mette in luce il legame tra i valori le somme superiori e inferiori di una funzione limitata relative a delle partizioni e tra la finezza di queste partizioni. Poiché le somme inferiore e superiore di una funzione $f \colon \mathcal{R} \to \mathbb{R}$ limitata rispetto a una partizione plurirettangolare $\mathcal{P}$ di $\mathcal{R}$ sono da considerarsi come delle approssimazioni rispettivamente per difetto e per eccesso del volume sotteso al grafico di $f$ , risulta naturale aspettarsi che, all’aumentare della finezza della partizione, tale approssimazione migliori: in altre parole, ci aspettiamo che i valori $s(\mathcal{P},f)$ e $S(\mathcal{P},f)$ delle somme inferiore e superiore di $f$ rispetto a $\mathcal{P}$ siano più vicini se consideriamo partizioni più fini. Questa intuizione è confermata dalla prossima proposizione.

In essa è contenuta anche la definizione di partizione generata da due partizioni $\mathcal{P}, \mathcal{Q}$ ; essa, indicata col simbolo $\langle \mathcal{P}, \mathcal{Q}, \rangle$ è la partizione meno fine tra quelle che sono più fini sia di $\mathcal{P}$ che di $\mathcal{Q}$ . Il concetto è rappresentato in figura 3.

Proposizione 12. Sia $\mathcal R \subset \mathbb R^2$ un rettangolo, siano $\mathcal P=\{D_1,\dots,D_k\}$ e $\mathcal Q=\{E_1,\dots,E_h\}$ due partizioni plurirettangolari di $\mathcal R$ e sia $f \colon R \to \mathbb R$ una funzione limitata. Valgono le seguenti proprietà:

La somma inferiore di $f$ relativa alla partizione $\mathcal P$ è maggiorata dalla rispettiva somma superiore di $f$ :

(10) $\begin{equation*} s(\mathcal P,f) \leq S(\mathcal P,f). \end{equation*}$
Se $\mathcal P \leq \mathcal Q$ , allora

(11) $\begin{equation*} s(\mathcal Q,f) \leq s(\mathcal P,f) \leq S(\mathcal P,f) \leq S(\mathcal Q,f). \end{equation*}$
L’insieme

(12) $\begin{equation*} \langle \mathcal P, \mathcal Q \rangle \coloneqq \{ T_{ij}=D_i \cap E_j \colon i=1,\dots,k,\,\, j=1,\dots, h\} \end{equation*}$

è una partizione plurirettangolare di $\mathcal R$ più fine di $\mathcal P$ e di $\mathcal Q$ . In particolare si ha

(13) $\begin{equation*} s(\mathcal P,f) \leq s(\langle \mathcal P, \mathcal Q \rangle,f) \leq S(\langle \mathcal P, \mathcal Q \rangle,f) \leq S(\mathcal P,f). \end{equation*}$

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Figura 3: le partizioni $\mathcal{P}, \mathcal{Q}$ e $\langle\mathcal{P},\mathcal{Q}\rangle$ della proposizione 12.

Dimostrazione.

Poiché per ogni insieme $A \subseteq \mathbb R^2$ si ha $\inf_A f \leq \sup_A f$ , otteniamo
(14) $\begin{equation*} s(\mathcal P,f) = \sum_{i=1}^k |D_i| \inf_{D_i}f \leq \sum_{i=1}^k |D_i| \sup_{D_i}f = S(\mathcal P,f). \end{equation*}$
Poiché $\mathcal P \leq \mathcal Q$ , per ogni $j \in \{1,\dots,h\}$ l’insieme $\{D_i \colon D_i \subseteq E_j\}$ è una partizione plurirettangolare di $E_j$ . Infatti, gli insiemi $D_i$ hanno interni disgiunti e, se $\mathring{D_i} \cap E_j \neq \emptyset$ , allora $D_i \subseteq E_j$ , in quanto altrimenti esso sarebbe contenuto in un altro $E_\ell$ , ma ciò contraddirebbe il fatto che gli insiemi $E_\ell$ hanno interni disgiunti. Allora

(15) $\begin{align*} s(\mathcal Q,f) = \sum_{j =1}^h |E_j| \inf_{E_j} = \sum_{j = 1}^h \left( \inf_{E_j} f \sum_{i \colon D_i \subseteq E_j} |D_i| \right) \leq \sum_{j = 1}^h \left( \sum_{i \colon D_i \subseteq E_j} |D_i| \inf_{D_i} f \right) %= %\sum_{i=1}^k |D_i| \inf_{D_i} f = s(\mathcal P,f), \end{align*}$

dove la seconda uguaglianza deriva dal fatto che $\{D_i \colon D_i \subseteq E_j\}$ è una partizione di $E_j$ per ogni $j$ e dal lemma 9, mentre la disuguaglianza deriva dal fatto che $D_i \subseteq E_j$ implica $\inf_{E_j} f \leq \inf_{D_i} f$ . La disuguaglianza $S(\mathcal P,f) \leq S(\mathcal Q,f)$ si dimostra in maniera analoga.
Si ha
(16) $\begin{equation*} \mathcal R = \bigcup_{i=1}^k D_i = \bigcup_{i=1}^k \left( D_i \cap \bigcup_{j=1}^h E_j \right) = \bigcup_{i=1}^k \bigcup_{j=1}^h (D_i \cap E_j). \end{equation*}$

Inoltre, poiché

(17) $\begin{equation*} \mathring T_{ij} = \mathring D_i \cap \mathring E_j \qquad \forall i \in \{1,\dots,k\},\,\,\forall j \in \{1,\dots,h\}, \end{equation*}$

e gli interni di $D_1,\dots,D_k$ così come gli interni di $E_1,\dots,E_h$ sono a due a due disgiunti, si ha

(18) $\begin{equation*} \mathring T_{ij} \cap \mathring T_{\ell m} = \emptyset \end{equation*}$

se $i \neq \ell$ oppure $j \neq m$ . Quindi $\langle \mathcal P, \mathcal Q \rangle$ è una partizione di $\mathcal R$ . Essa è inoltre più fine di $\mathcal P$ e $\mathcal Q$ , in quanto

(19) $\begin{equation*} T_{ij} \subseteq D_i, \quad T_{ij} \subseteq E_j, \qquad \forall i \in \{1,\dots,k\},\,\,\forall j \in \{1,\dots,h\}. \end{equation*}$

Introduciamo le seguenti definizioni:

Definizione 13 (integrali inferiore e superiore). Se $f : \mathcal R \to \mathbb R$ è limitata, chiamiamo integrale inferiore di $f$

$s(f) = \sup \{ s(\mathcal P , f) \, : \, \mathcal P \in \mathcal A( \mathcal R)\}$

e integrale superiore di $f$

$S(f)=\inf \{ S(\mathcal P , f) \, : \, \mathcal P \in \mathcal A(\mathcal R)\} .$

Osservazione 14. Dalla definizione precedente e dalla (10) segue che, in generale, per ogni funzione $f \colon \mathcal R \to \mathbb R$ limitata vale

$s(f) \leq S(f)\,.$

Facciamo ora un’osservazione che sarà utile nella seconda parte della dispensa.

Proposizione 15. Siano $\mathcal R \subset \mathbb R^2$ un rettangolo, $f \colon \mathcal{R} \to \mathbb R$ una funzione limitata. Si ha

$\begin{align*}s(f) &= \sup \{s(\mathcal P,f) \, : \, \text{$ \mathcal P$ è una partizione prodotto}\}, \\S(f) &= \inf \{S(\mathcal P,f) \, : \, \text{$ \mathcal P$ è una partizione prodotto}\}.\end{align*}$

Dimostrazione. Ci limitiamo a dimostrare la relazione per l’integrale inferiore di $f$ , in quanto l’altra relazione si ottiene in maniera analoga.

Poiché l’insieme delle partizioni prodotto di $\mathcal{R}$ è contenuto nell’insieme delle partizioni di $\mathcal{R}$ , si ha

(20) $\begin{equation*} s(f) \geq \sup \{s(\mathcal{Q},f) \colon \mathcal{Q} \text{ è una partizione prodotto}\}. \end{equation*}$

D’altra parte, data una qualunque partizione $\mathcal P$ di $\mathcal{R}$ , per il lemma 8 esiste una partizione $\mathcal{Q}$ di $\mathcal{R}$ più fine di $\mathcal{P}$ . Allora, per il punto 2 della proposizione 12, si ha

(21) $\begin{equation*} s(\mathcal{P},f) \leq s(\mathcal{Q}, f). \end{equation*}$

Passando all’estremo superiore al membro di destra della precedente equazione, otteniamo

(22) $\begin{equation*} s(\mathcal{P},f) \leq \sup \{s(\mathcal{Q},f) \colon \mathcal{Q} \text{ è una partizione prodotto}\}. \end{equation*}$

Passando all’estremo superiore in $\mathcal{A}(\mathcal{R})$ al membro di sinistra nella precedente disuguaglianza, si ottiene

(23) $\begin{equation*} s(f) \leq \sup \{s(\mathcal{Q},f) \colon \mathcal{Q} \text{ è una partizione prodotto}\}. \end{equation*}$

Da (20) e (23) segue la tesi.

Definizione 16 (funzioni integrabili in un rettangolo). Se $f : \mathcal R \to \mathbb R$ è limitata, si dice integrabile secondo Riemann in $\mathcal R$ se l’integrale inferiore e superiore coincidono, cioè se

$s(f) = S(f).$

Tale numero reale si chiama integrale di $f$ su $\mathcal R$ e si indica in uno dei seguenti modi

$\iint_{\mathcal R} f=\iint_{\mathcal R} f(x,y) \, dx \, dy .$

Osservazione 17. La notazione utilizzata nella definizione 16 vale solo per gli integrali doppi. Ricordiamo che per gli integrali tripli si usa la notazione $\iiint f$ . In generale l’integrale di Riemann di $f$ su un rettangolo $\mathcal R$ in $\mathbb R^n$ con $n \geq 2$ si può indicare con il simbolo $\int_\mathcal R f dx$ , dove con $x$ si intende il generico elemento di $\mathbb R^n$ .

Osservazione 18. Ricordiamo che, in questa sezione, per funzione integrabile intendiamo una funzione integrabile secondo Riemann in un rettangolo $\mathcal R$ .

Una prima classe di funzioni integrabili è fornita dalla seguente proposizione.

Proposizione 19. Se $c \in \mathbb R$ e $f : \mathcal R \to\mathbb{R}$ è una funzione tale che $f(x)=c$ per ogni $x \in \mathcal{R}$ , allora $f$ è integrabile e inoltre vale

$\iint_{\mathcal{R}} f = \iint_{\mathcal{R}} c =c \vert \mathcal R\vert .$

Dimostrazione. Per ogni partizione $\mathcal P = \{\mathcal R_i \}_{i=1}^k \in \mathcal A (\mathcal R)$ abbiamo che il $\sup$ e l’ $\inf$ di $f$ sugli elementi della partizione coincidono con $c$ , da cui segue che

$S(\mathcal P , f)= s(\mathcal P, f)= \sum_{i=1}^k c \vert R_{i} \vert = c \vert \mathcal R \vert$

e quindi dalla definizione 16 si ottiene la tesi.

Esempio 20. Siano $\mathcal I^2:=[0,1]\times[0,1]$ e

$f (x,y) = \begin{cases} 1 \quad \text{ se $(x,y) \in \mathcal I^2 \cap \mathbb Q^2$} \\ 0 \quad \, \, \text{altrimenti}. \end{cases}$

Allora, per densità di $\mathbb{Q}^2$ in $\mathbb{R}^2$ e per la densità di $\mathbb R^2 \setminus \mathbb Q^2$ in $\mathbb R^2$ , si ha che per ogni partizione plurirettangolare $\mathcal P$ di $\mathcal I^2$

$s(\mathcal P, f)=0 \quad \text{e} \quad S(\mathcal P, f)=1 ,$

pertanto la funzione non è integrabile in quanto gli integrali inferiore e superiore non coincidono.

Proviamo, adesso, un criterio di integrabilità, analogo a quello valido nel caso unidimensionale.

Teorema 21 (criterio di integrabilità). Sia $f: \mathcal R \to \mathbb R$ limitata. Allora $f$ è integrabile se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ esiste una partizione $\mathcal P_\varepsilon \in \mathcal A ( \mathcal R)$ tale che $S(\mathcal P_\varepsilon , f) - s(\mathcal P_\varepsilon , f) < \varepsilon$ .

Dimostrazione. Supponiamo che $f$ sia integrabile. Allora, posto $I=\iint_{\mathcal R} f$ , dalla definizione 16 e dalle proprietà del $\sup$ e dell’ $\inf$ segue che $\forall \varepsilon >0$

$\begin{align*} \exists & \, \mathcal{T}_{\varepsilon} = \{T_{\varepsilon, i}\}_{i=1}^t \in \mathcal A (\mathcal R)\quad : \quad s(\mathcal T_{\varepsilon}, f) > I- \dfrac{\varepsilon}{2} ; \\ \exists & \, \mathcal D_{\varepsilon} = \{D_{\varepsilon, j}\}_{j=1}^s \in \mathcal A (\mathcal R) \quad : \quad S(\mathcal D_{\varepsilon}, f) < I+ \dfrac{ \varepsilon }{2} . \end{align*}$

Allora, consideriamo la partizione

$\mathcal P_\varepsilon = \langle \mathcal T_\varepsilon , \mathcal D_\varepsilon \rangle:= \{T_{\varepsilon, i} \cap D_{\varepsilon, j} \, : \, {i=1, \dots ,t \quad j=1, \dots, s} \}.$

Per la proposizione 12 abbiamo che

$I - \dfrac{ \varepsilon }{2} < s(\mathcal T_{\varepsilon},f) \leq s(\mathcal P_{\varepsilon},f) \leq S(\mathcal P_{\varepsilon},f)\leq S(\mathcal D_{\varepsilon},f) < I + \dfrac{ \varepsilon }{2} .$

Dunque la prima implicazione è dimostrata, infatti

$S(\mathcal P_{\varepsilon},f)- s(\mathcal P_{\varepsilon},f) < I+\dfrac{ \varepsilon }{2} - \left (I - \dfrac{ \varepsilon }{2}\right ) = \varepsilon\,.$

Viceversa, fissato $\varepsilon>0$ , consideriamo una partizione $\mathcal P _\varepsilon\in \mathcal A (\mathcal R)$ tale che $S(\mathcal P _\varepsilon, f) < s(\mathcal P _\varepsilon,f) + \varepsilon$ .