Serie di potenze – Teoria

Teoria Serie di potenze

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Il concetto di serie di potenze formalizza l’idea intuitiva di polinomio di grado infinito; infatti una serie di potenze centrata in x_0 è la serie di funzioni definita da

    \[\sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x-x_0)^k.\]

Rispetto alle serie di funzioni generiche, le serie di potenze hanno proprietà peculiari, allo stesso modo in cui i polinomi hanno proprietà molto particolari rispetto alle funzioni generiche: esse infatti ereditano opportune versioni delle proprietà dei polinomi. Questa dispensa è un’introduzione alla teoria delle serie di potenze reali, che tratta i seguenti argomenti:

  • Raggio di convergenza di una serie di potenze;
  • Criteri della radice e del rapporto per la determinazione del raggio di convergenza di una serie di potenze;
  • Raggio di convergenza della serie delle derivate e degli integrali; integrazione e derivazione di una serie di potenze;
  • Funzioni analitiche, criteri di analiticità;
  • Ulteriori approfondimenti: una versione generale del criterio della radice che utilizza il concetto di \limsup di una successione, il comportamento agli estremi dell’intervallo di convergenza stabilito dai teoremi di Abel, un esempio di funzione liscia ma non analitica in alcun punto, principio di continuazione unica e di identità delle funzioni analitiche.

La suddivisione del materiale permette sia di seguire un corso base nelle prime sezioni, sia di approfondire l’argomento con i risultati dell’ultima sezione. Ogni punto viene esplorato mediante esempi chiarificatori, che aiutano a comprendere ed assimilare la teoria. Se desideri un approccio chiaro, intuitivo ed essenziale all’argomento, non ti resta che continuare la lettura!