Densità dei numeri razionali nei numeri reali

Insiemi numerici N, Z, Q, R

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Densità dei numeri razionali nei numeri reali

 

Fin dall’antichità è stata evidenziata l’esistenza di numeri non razionali: la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato unitario o la lunghezza di una circonferenza di raggio unitario non sono dei numeri razionali. Ciò ha condotto all’introduzione dei numeri reali, ambiente in cui è possibile effettuare una gran varietà di operazioni algebriche e geometriche.

La scrittura decimale di un numero reale è in generale infinita e non periodica. Nella pratica quotidiana si usano quindi delle approssimazioni razionali, generalmente troncando tale scrittura infinita: si pensi ad esempio all’approssimazione 3.14 del famoso “pigreco”. E’ dunque naturale porsi la domanda:

Questa approssimazione può essere arbitrariamente precisa?

In questo articolo mostriamo che la risposta è affermativa. Matematicamente, ciò corrisponde al fatto che i numeri razionali siano densi nei reali: dato un numero reale, esistono cioè numeri razionali arbitrariamente vicini a esso.

La  proprietà di densità, oltre alla sua importanza pratica, possiede notevoli applicazioni in ogni branca della Matematica.

Come si formalizza tutto ciò e come si dimostra? Passando per parti intere e proprietà archimedea, scoprilo leggendo questo breve e chiaro articolo!

 

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