Densità dei numeri razionali nei numeri reali

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Densità dei numeri razionali nei numeri reali

Fin dall’antichità è stata evidenziata l’esistenza di numeri non razionali: la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato unitario o la lunghezza di una circonferenza di raggio unitario non sono dei numeri razionali. Ciò ha condotto all’introduzione dei numeri reali, ambiente in cui è possibile effettuare una gran varietà di operazioni algebriche e geometriche.

La scrittura decimale di un numero reale è in generale infinita e non periodica. Nella pratica quotidiana si usano quindi delle approssimazioni razionali, generalmente troncando tale scrittura infinita: si pensi ad esempio all’approssimazione 3.14 del famoso “pigreco”. E’ dunque naturale porsi la domanda:

Questa approssimazione può essere arbitrariamente precisa?

In questo articolo mostriamo che la risposta è affermativa. Matematicamente, ciò corrisponde al fatto che i numeri razionali siano densi nei reali: dato un numero reale, esistono cioè numeri razionali arbitrariamente vicini a esso.

La proprietà di densità, oltre alla sua importanza pratica, possiede notevoli applicazioni in ogni branca della Matematica.

Come si formalizza tutto ciò e come si dimostra? Passando per parti intere e proprietà archimedea, scoprilo leggendo questo breve e chiaro articolo!

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Autori e revisori

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Autore: Martina Moro

Revisore: Valerio Brunetti.

Introduzione

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A prescindere dai diversi modi di definirli, i numeri reali possono essere descritti in maniera non formale come numeri ai quali è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito (come $\pi =3{,}141592\ldots$ ). I numeri reali possono essere positivi, negativi o nulli e comprendono i numeri interi (come 12), i numeri razionali (come $-22/7$ ) e i numeri irrazionali algebrici (come ${\sqrt {2}}$ ) e trascendenti (come $\pi$ ed $e$ ).

A differenza dei numeri razionali, i reali non formano un insieme numerabile; la cardinalità dell’insieme dei numeri reali è “strettamente più grande” di quella dei numeri naturali, anche se entrambi gli insiemi contengono infiniti elementi. Formalmente, questo equivale a dire che non esiste una corrispondenza biunivoca fra i numeri reali e i numeri naturali. Ciò distingue i numeri reali dagli altri insiemi numerici comunemente utilizzati, come l’insieme dei numeri naturali, razionali e algebrici. Questi ultimi hanno tutti la stessa cardinalità, ovvero esiste una corrispondenza biunivoca fra loro. L’insieme dei reali, invece, ha una cardinalità più grande: esiste una funzione iniettiva da ognuno di questi insiemi ai reali, ma non viceversa. In altre parole, nel tappare tutti i “buchi” lasciati dai numeri razionali si deve aggiungere una “tale quantità” di numeri nuovi da farne crescere la cardinalità. Questo può essere dimostrato con il procedimento diagonale di Cantor.

D’altra parte, nonostante i numeri reali siano molti più dei razionali, in queste note dimostreremo che i razionali sono densi nei reali, ovvero tra ogni due numeri reali, non importa quanto vicini tra loro, esiste sempre un numero razionale.

Per capire e comprendere al meglio questo file si consiglia di far riferimento al seguente link (prerequisiti): Insiemi numerici $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ .

Richiami di teoria

Proprietà archimedea dei reali.

Iniziamo ricordando una proprietà importante che lega i numeri naturali ai numeri reali: la proprietà archimedea. Storicamente, la proprietà è nota sotto il nome di Assioma di Archimede, anche se essa è una conseguenza della costruzione assiomatica dei reali.

Assioma 1 (Assioma di Archimede). Dati due numeri reali positivi $x$ e $y$ esiste un numero naturale $n$ tale che

$n y > x.$

In altri termini, dati due numeri reali positivi, è sempre possibile moltiplicare uno dei due numeri per un numero naturale e rendere il prodotto maggiore dell’altro numero di partenza (a prescindere da quale dei due numeri fosse il più grande inizialmente).

In modo particolare, per un qualunque $x$ , scegliendo $y = 1$ deve esistere un intero $n$ tale che $n\cdot 1 > x$ , ovvero abbiamo il seguente risultato.

Teorema 1 (Assioma di Archimede). Dati due numeri reali positivi $x$ e $y$ esiste un numero naturale $n$ tale che

$n y > x.$

In realtà, si vede facilmente che il teorema 1 è equivalente all’assioma 1: per l’implicazione inversa basterà applicare il teorema 1 al numero reale $x/y$ .

La parte intera di un numero reale.

Adesso intendiamo definire la parte intera (superiore) di un numero reale. Prima di fare questo abbiamo bisogno di una proprietà dei numeri naturali: il principio del buon ordinamento.

Il principio del buon ordinamento¹, equivalente al principio di induzione, afferma che ogni insieme di numeri naturali non vuoto contiene un numero che è più piccolo di tutti gli altri. In altre parole, un qualsiasi sottoinsieme non vuoto dei numeri naturali ammette minimo.

Proposizione 1. Sia $A \subseteq \mathbb{N}$ con $A \neq \varnothing$ , allora esiste $m \in A$ tale che

$m \leq a, \quad \forall a \in A.$

Dimostrazione. Proponiamo due dimostrazioni, basate sul principio di induzione debole e forte, rispettivamente.

Se $0 \in A$ abbiamo finito, in quanto $0$ è per definizione il minimo dei naturali, e siccome $A$ è contenuto nei naturali, $0$ sarà a fortiori il minimo di $A$ . Abbiamo quindi che $0 \notin A$ . Ragioniamo ora per assurdo, supponendo che $A$ non abbia minimo, ovvero

$\forall \, m \in A \quad \exists\, a \in A \quad \mbox{tale che} \quad a <m.$

Fissato $m \in A$ , troviamo dunque $a_1\in A$ tale che $a_1<m$ , ovvero necessariamente $a_1\leq m-1$ , in quanto stiamo lavorando con numeri naturali. Per induzione, concludiamo che

(1) $\begin{equation*} \forall\, n \in \mathbb{N} \quad \exists \, a_n\in A \quad \mbox{tale che} \quad a_n \leq m-n. \end{equation*}$

Supponiamo che (1) valga per un certo $n$ e dimostriamola per $n+1$ . Siccome $a_n \in A$ , e $A$ non ha minimo, deve esistere $a_{n+1} \in A$ tale che

$a_{n+1}\leq a_n-1\leq (m-n)-1=m-(n+1).$

A questo punto basterà scegliere $n=m$ per ottenere un certo $a_m\in A$ tale che $a_m\leq m-m=0$ , ovvero $a_m=0\in A$ , che è assurdo.
Si ragiona sempre per assurdo e si dimostra che si deve avere necessariamente $A = \varnothing$ . Analogamente al punto precedente si deduce che $0 \notin A$ . Questo rappresenta la base dell’induzione, ovvero vogliamo dimostrare che
$\forall \,n \in \N \quad n \notin A.$

Il passo induttivo consiste nel verificare che

$0, 1, \dots, n \notin A \Rightarrow n+1 \notin A.$

Infatti, se per assurdo avessimo $n+1 \in A$ , siccome $A$ non ha minimo per ipotesi di assurdo, dovrebbe esistere $k \in A$ tale che $k < n+1$ . Tuttavia, i numeri $k \in \N$ tali che $k <n+1$ , sono nell’insieme $\{ 0,1, \dots, n \}$ il quale per ipotesi induttiva è disgiunto da $A$ .

A questo punto siamo pronti a definire la parte intera superiore di un numero reale $x$ come il più piccolo intero non minore di $x$ . In maniera più formale:

Definizione 1. Si definisce parte intera superiore di $x \in \R$ e si indica con $\lceil x\rceil$ il minimo dell’insieme $A_x \coloneqq \{n \in \mathbb{Z} : n \geq x \}$ ovvero,

$\lceil x\rceil \coloneqq \min A_x.$

Questa definizione ha senso? È ben definita la parte superiore di un numero reale? Per rispondere a questa domanda osserviamo che se $x >0$ l’insieme $A_x$ è un sottoinsieme di numeri naturali ed è non vuoto: per il teorema 1 deve esistere almeno un numero naturale $n$ con $n \geq x$ . Allora, per il principio del buon ordinamento, deve esistere il minimo di $A_x$ che è proprio quello che abbiamo chiamato parte intera superiore di $x$ . Per il caso $x<0$ si può utilizzare il seguente corollario.

Corollario 1. Sia $A \subset \mathbb{Z}$ un insieme non vuoto e inferiormente limitato, allora $A$ ammette minimo.

Dimostrazione. Notiamo che siccome $A$ è inferiormente limitato, esiste sicuramente un minorante intero per $A$ , ovvero $\exists\, m \in \mathbb{Z}: \, m \leq a$ per ogni $a \in A$ . Si consideri l’insieme traslato

$A-m\coloneqq \{ a-m:a \in A \}.$

Chiaramente $A-m \subseteq \mathbb{N}$ e quindi quest’ultimo ammette minimo per la proposizione 1. Infine, per le proprietà elementari della traslazione si verifica che anche $A$ ammette minimo e che vale

$\min A= \min\{ A-m \}+m.$

Per terminare la discussione precedente, notiamo che nel caso $x<0$ l’insieme $A_x$ della definizione 1 è sicuramente non vuoto ( $0 \in A_x$ ) e inferiormente limitato. Infatti, basta prendere come minorante un qualunque $m \in (-\infty, x)$ .

Concludiamo con una proprietà della parte intera superiore che discende direttamente dalla sua minimalità.

Proposizione 2. Per ogni $x$ reale abbiamo $x \leq \lceil x \rceil < x +1 .$

Dimostrazione. Si ha $x \leq \lceil x \rceil$ per definizione, e l’uguale vale se e soltanto se $x \in \mathbb{N}$ . Per quanto riguarda l’altra disuguaglianza, essa è ovvia per $x\in \mathbb{N}$ , mentre per $x \notin \mathbb{N}$ basta osservare che in questo caso l’intervallo $(x,x+1)$ , la cui ampiezza è $1$ e i cui estremi non sono numeri naturali, contiene necessariamente uno e un solo numero naturale, che è per definizione $\lceil x \rceil$ .

$\[\]$

Da non confondersi con il Teorema del buon ordinamento ↩

Densità dei numeri razionali nei numeri reali.

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Siamo finalmente pronti ad enunciare il teorema di densità dei numeri razionali nei numeri reali che afferma che tra due qualunque numeri reali deve esistere un numero razionale.

Teorema 2. Siano $a$ e $b$ due numeri reali tali che $a < b$ , allora esiste $q$ razionale tale che

$a< q < b.$

Dimostrazione. Iniziamo osservando che se $a$ e $b$ hanno segno discorde (uno positivo e l’altro negativo) allora lo zero è un numero razionale che li separa.

Supponiamo ora $0 \leq a < b$ . Per l’Assioma di Archimede (assioma 1), applicato ai due numeri reali positivi $x = 1, \,y =(b-a),$ deve esistere un numero naturale $n\neq 0$ tale che $n(b-a) > 1$ ovvero

$na < nb - 1.$

A questo punto utilizziamo la disuguaglianza della proposizione 2, a cui sottraiamo 1 a tutti i membri, ottenendo

$na < nb - 1 \leq \lceil nb\rceil - 1 < nb,$

da cui, dividendo per $n$ membro a membro la disuguaglianza, otteniamo

$a < q < b \quad \mbox{dove} \quad q = \frac{\lceil nb\rceil - 1}{n}.$

Nel caso rimanente, ovvero $a < b \leq 0$ , vale $0 \leq -b < - a$ . Per il punto precedente deve esistere un razionale $q$ tale che $-b < q < -a$ per cui si ha $a < -q < b$ , ovvero esiste un razionale tra $a$ e $b$ come volevasi dimostrare.

Dal teorema precedente, segue che ogni intervallo $(a,b)$ contiene in realtà infiniti punti razionali. Infatti tra $a$ e $b$ c’è un numero razionale $q_1$ ma anche tra $a$ e $q_1$ e così via. Di conseguenza ogni numero reale $x$ è un punto di accumulazione dell’insieme dei numeri razionali: in ogni intorno della forma $(x-r, x +r)$ , con $r>0$ , cadono infiniti punti razionali. Otteniamo così il seguente corollario.

Corollario 2. Dato $x \in \mathbb{R}$ , esiste una successione di numeri razionali che converge a $x$ .

Ricordiamo che l’insieme delle rappresentazioni decimali in cui non compare definitivamente la cifra $9$ è in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri reali² . Il prossimo esempio fornisce un’idea chiara di come costruire una successione come nel corollario 2.

Esempio 1. Preso un qualunque numero irrazionale $x$ , una successione di razionali che converge a $x$ è data dal troncamento della sua rappresentazione decimale, per esempio la successione

$q_1=3{,}14, \quad q_2=3{,}141, \quad q_3=3{,}1415, \quad q_4=3{,}14159, \quad \dots$

è una successione crescente di numeri razionali che converge al numero $\pi=3{,}141592\dots$ .

Concludiamo osservando che non solo i razionali sono densi nei reali ma anche gli irrazionali: questo è l’enunciato del teorema seguente.

Teorema 3. Siano $a$ e $b$ due numeri reali tali che $a < b$ , allora esiste un numero irrazionale $x$ tale che

$a< x < b.$

Dimostrazione. Per il teorema 2 deve esistere un numero razionale $q$ tale che

$a - \sqrt{2} < q < b - \sqrt{2}$

da cui $a < q + \sqrt{2} < b$ e $x = q + \sqrt{2}$ è l’irrazionale cercato, infatti se per assurdo $x$ fosse razionale, allora lo sarebbe $\sqrt{2} = x-q$ , ma questo è assurdo in quanto $\sqrt{2}$ è irrazionale.

$\[\]$

Si pensi all’identità $0{,}999\dots=1$ . ↩

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