Integrali ricorsivi

Il presente lavoro intende esplorare la tecnica classica di integrazione mediante relazioni ricorsive. All’esposizione della tecnica generale seguiranno problemi esemplari, da cui ricavare delle primitive come casi particolari¹. È presentata, inoltre, una dimostrazione del Teorema di Wallis.

Prerequisiti: trigonometria, conoscenze generali sugli integrali, tecniche di integrazione.

   

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1. La scrittura semplicistica di ad indicare una primitiva da luogo a diversi inconvenienti: anzitutto l’operatore integrazione non è iniettivo tra l’insieme delle funzioni e se stesso, per cui non si può parlare di operatore inverso alla derivazione. Per ovviare a tale problema, potrebbe definirsi l’integrale senza estremi come un’abbreviazione di “insieme di funzioni avente la medesima derivata.”

   È una soluzione praticata, sebbene la definizione formale di integrale si rifà al concetto di estremo superiore -od inferiore- di somme, prevedendo estremi di integrazione. La definzione di una primitiva in accordo al teorema fondamentale del calcolo integrale come:

   

   sembra includere come caso particolare il caso generale, al prezzo -modico, nell’avviso dell’Autore- di una notazione più puntigliosa. ↩

Autori: Gaetano Cantisani

Revisori: Valerio Brunetti.

Una delle prime tecniche utilizzate storicamente nella soluzione di integrali è la cosiddetta integrazione ricorsiva, la cui idea fondamentale è semplice.

Si supponga di voler calcolare un integrale

ove ed è un numero naturale maggiore di mentre la funzione è una funzione di variabile reale che dipende dal parametro .

Riuscendo a ricavare una certa relazione tra l’integrale dato e l’integrale con sia questa relazione espressa da

Infine, si supponga calcolabile (preferibilmente in modo agevole) l’integrale con a questo punto, ricalcando le idea delle successioni per ricorrenza, si calcola l’integrale dato in funzione dell’integrale calcolato:

Si seguiterà a rendere con esempi, il procedimento astratto.