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Esercizi svolti sugli integrali impropri 2

Calcolo di un integrale improprio, Carattere di un integrale improprio

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Integrali generalizzati

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Sommario

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Questa dispensa presenta una raccolta di esercizi risolti dedicati allo studio della convergenza degli integrali impropri, suddivisa in due blocchi principali. Nel primo blocco, i primi 10 esercizi trattano integrali la cui funzione integranda ammette una primitiva esprimibile in termini di funzioni elementari. Ciò permette di risolvere l’integrale indefinito e determinare la convergenza calcolando direttamente il limite della primitiva agli estremi del dominio d’integrazione.

Nel secondo blocco, invece, le funzioni integrande non ammettono una primitiva esprimibile in termini elementari. Per questi esercizi, si applica un metodo diverso: la convergenza viene studiata tramite il confronto asintotico. Questo approccio consiste nel sostituire la funzione data con una funzione asintoticamente equivalente, più semplice da integrare. La convergenza dell’integrale viene quindi determinata sulla base di questa funzione semplificata. L’elemento cruciale di questi esercizi è la scelta accurata della funzione asintotica, che permette di ridurre la complessità del problema e di condurre l’analisi della convergenza in modo efficace.

Vengono richiamati i principali risultati teorici necessari per la risoluzione degli esercizi, con riferimenti alla teoria trattata in Teoria sugli integrali impropri. La dispensa è rivolta agli studenti universitari iscritti ai corsi di Analisi 1 nei percorsi di laurea in ingegneria, fisica o matematica.

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Autori e revisori dell’articolo

Mostra autori e revisori.

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Richiami teorici

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Diamo la definizione di integrale generalizzato.

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Definizione 1.1  (Integrale generalizzato). Sia I:=[a,b)\subset\mathbb R con -\infty < a < b \le +\infty e sia f\colon [a,b)\to\mathbb R una funzione localmente integrabile sull’intervallo [a,b). La funzione f è integrabile in senso generalizzato (o improprio) su \overline I (la chiusura di I) se esiste finito il limite

    \[\lim_{x\to b^-}\int_a^xf(t)\,dt.\]

In tal caso si pone

    \[\int_a^bf(t)\,dt:=\lim_{x\to b^-}\int_a^xf(t)\,dt,\]

e l’integrale generalizzato (o improprio) di f è detto convergente su \overline I. Se invece

    \[\lim_{x\to b^-}\int_a^xf(t)\,dt=\pm \infty,\]

si dice che l’integrale generalizzato di f è divergente su \overline I.

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La nozione di integrale generalizzato si può facilmente estendere a situazioni in cui entrambi i punti estremali non appartegono al dominio della funzione integranda.

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Definizione 1.2.  Sia I:=(a,b) con -\infty \le a < b \le +\infty e sia f\colon (a,b)\to\mathbb R una funzione localmente integrabile su (a,b). La funzione f è integrabile in senso generalizzato su \overline I se comunque preso c\in(a,b), I_1:=(a,c] e I_2:=[c,b) la funzione f è integrabile in senso generalizzato su \overline I_1 e \overline I_2. In tal caso si pone

    \[\int_a^bf(t)\,dt:=\int_a^cf(t)\,dt+\int_c^bf(t)\,dt=\lim_{x\to a^+}\int_x^cf(t)\,dt+\lim_{y\to b^-}\int_c^yf(t)\,dt.\]

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In caso la funzione integranda ammetta primitiva esplicita, la convergenza dell’integrale generalizzato si riduce al calcolo di un limite della primita.

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Teorema 1.3.  Sia I:=(a,b)\subseteq\mathbb R con +\infty \le a < b \le +\infty. Sia f\colon (a,b)\to\mathbb R una funzione continua su (a,b) e sia F\colon (a,b)\to\mathbb R una primitiva di f in (a,b). Allora f è integrabile in senso generalizzato su \overline I se e solo se esistono finiti i limiti

    \[\lim_{x\to a^+}F(x),\qquad\lim_{y\to b^-}F(y).\]

In tal caso, si pone

    \[\int_a^bf(t)\,dt=[F(t)]_a^b:=\lim_{y\to b^-}F(y)-\lim_{x\to a^+}F(x).\]

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Per risolvere integrali generalizzati si può utilizzare la tecnica del cambio di variabili.

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Teorema 1.4  (Integrazione per sostituzione). Siano I:=(a,b)\subseteq\mathbb R e J:=(c,d)\subseteq\mathbb R due intervalli aperti e sia f\colon (a,b)\to\mathbb R una funzione continua su (a,b). Sia \phi\colon (c,d)\to (a,b) una funzione strettamente crescente e derivabile con derivata continua su (c,d) tale che

    \[\lim_{x\to c^+}\phi(x)=a,\qquad\lim_{x\to d^-}\phi(x)=b.\]

Allora la funzione f è integrabile in senso generalizzato su \overline I se e solo se la funzione

    \[g(x):= f(\phi(x))\phi'(x)\quad \text{per $x\in (c,d)$}\]

è integrabile in senso generalizzato su \overline J e risulta

    \[\int_a^bf(t)\,dt=\int_c^dg(s)\,ds=\int_c^df(\phi(s))\phi'(s)\,ds.\]

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Molto spesso non è possibile calcolare il valore esatto dell’integrale di Riemann generalizzato di una funzione, soprattutto quando non si riesce a determinare una primitiva esplicita in termini di funzioni elementari. Per questo motivo vogliamo introdurre dei criteri che permettano di studiare la convergenza dell’integrale generalizzato di f su \overline I senza dover calcolare il suo integrale di Riemann su ogni sottointervallo.

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Teorema 1.5  (Criterio del confronto). Sia I:=[a,b) con -\infty< a < b \le +\infty e siano f,g\colon [a,b)\to[0,+\infty) due funzioni non negative e localmente integrabili su [a,b). Assumiamo che

    \[0\le f(x)\le g(x)\quad\text{per ogni $x\in [a,b)$}.\]

Se l’integrale generalizzato di g è convergente su \overline I, allora anche l’integrale generalizzato di f è convergente su \overline I e si ha

    \[0\le\int_a^b f(t)\,dt\le \int_a^b g(t)\,dt.\]

Se invece l’integrale generalizzato di f è divergente su \overline I, allora anche l’integrale generalizzato di g è divergente su \overline I.

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Corollario 1.6.  Sia I:=[a,b) con -\infty< a < b \le +\infty e siano f,g\colon [a,b)\to[0,+\infty) due funzioni non negative e localmente integrabili su [a,b). Supponiamo che f sia un O-grande di g per x\to b^-, cioè che esista c\in(a,b) e una funzione limitata k\colon [c,b)\to\mathbb R tale che

    \[f(x)=k(x)g(x)\quad\text{per $x\in[c,b)$}.\]

Se l’integrale generalizzato di g è convergente su \overline I, allora anche l’integrale generalizzato di f è convergente su \overline I. Se invece l’integrale generalizzato di f è divergente su \overline I, allora anche l’integrale generalizzato di g è divergente su \overline I.

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Il risultato principale, che si applica nella maggior parte dei casi è il seguente.

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Teorema 1.7  (Criterio del confronto asintotico). Sia I:=[a,b) con -\infty < a < b \le +\infty e consideriamo due funzioni non negative f,g\colon [a,b)\to[0,+\infty) localmente integrabili su I. Supponiamo che g sia strettamente positiva in un intorno sinistro di b e che f e g siano asintoticamente equivalenti per x\to b^- (f\sim g per x\to b^-), cioè che esista finito e non nullo il limite

    \[\lim_{x\to b^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda\in(0,+\infty).\]

Allora l’integrale generalizzato di f è convergente (divergente) su \overline I se e solo se l’integrale generalizzato di g è convergente (divergente) su \overline I.

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Testi degli esercizi

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Esercizio 1  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se l’integrale improprio

    \begin{equation*} \int_{-2}^2\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\ dx \end{equation*}

è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.

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Svogimento.

Poniamo x=2\sin t, da cui dx=2\cos t\ dt e t=-\pi/2 per x=-2, t=\pi/2 per x=1. L’integrale diviene

    \[\int_{-2}^2\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\ dx=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{2\cos t}{\sqrt{4(1-\sin^2 t)}}\ dt= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\ dt=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi.\]

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Esercizio 2  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se l’integrale improprio

    \begin{equation*} \int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sqrt[3]{\cos x}}\ dx \end{equation*}

è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.

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Svogimento.

La funzione non è definita in x=0. Posto t=\cos x, si ha dt=-\sin x\ dx e t=1 per x=0, t=0 per x=\pi/2, da cui

    \begin{align*} \int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sqrt[3]{\cos x}}\ dx &= \int_1^0\frac{-2}{\sqrt[3]{t}}\ dt  = \lim_{a\rightarrow 0^+} \int_a^1 2t^{-1/3}\ dt \\ &= \lim_{a\rightarrow 0^+}\left[\frac{4}{3} t^{2/3}\right]_a^1  = \lim_{a\rightarrow 0^+}\left(\frac{4}{3}-\frac{4}{3}a^{2/3}\right)  = \frac{4}{3}. \end{align*}

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Esercizio 3  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se l’integrale improprio

    \begin{equation*} \int_0^{16}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}\ dx \end{equation*}

è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.

    \[\,\]

Svogimento.

La funzione non è definita in x=0. Poniamo \sqrt[4]{x}=t, da cui x=t^4 e dx=4t^3\ dt. Inoltre t=0 per x=0 e t=2 per x=16. Ne segue

    \begin{align*} \int_0^{16}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}\ dx  &= \int_0^2\frac{4t^3}{t^2+t}\ dt  = \int_0^2\frac{4t^2}{t+1}\ dt = 4\int_0^2\left(t-1+\frac{1}{t+1}\right)\ dt \\ &= 4\left[\frac{t^2}{2}-t+\log|t+1|\right]^2_0  = 4\left(2-2+\log 3\right)  = 4\log 3. \end{align*}

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Esercizio 4  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se l’integrale improprio

    \begin{equation*} \int_0^{\pi/2}\tan x\ dx \end{equation*}

è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.

    \[\,\]

Svogimento.

La funzione non è definita in x=\pi/2. Abbiamo

    \begin{align*} \int_0^{\pi/2} \tan x\ dx  &= \lim_{a \to \pi/2^-} \int_0^a \frac{\sin x}{\cos x}\ dx \\ &= \lim_{a \to \pi/2^-} \left[-\log|\cos x|\right]_0^a \\ &= \lim_{a \to \pi/2^-} -\log|\cos a| \\ &= +\infty \end{align*}

per cui l’integrale diverge.

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Esercizio 5  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se l’integrale improprio

    \begin{equation*} \int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sqrt{\cos x}}\ dx \end{equation*}

è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.

    \[\,\]

Svogimento.

La funzione non è definita nel punto x=\pi/2, per cui la sostituzione t=\cos x implica dt=-\sin x\ dx, e t=1 per x=0, t=0 per x=\pi/2, da cui

    \[ $$ \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sqrt{\cos x}}\ dx  &= \int_1^0 \frac{-1}{\sqrt{t}}\ dt = \int_0^1 t^{-1/2}\ dt  = \lim_{a \rightarrow 0^+} \int_a^1 t^{-1/2}\ dt  $$ $$ &= \lim_{a \rightarrow 0^+} \left[2t^{1/2}\right]_a^1  = \lim_{a \rightarrow 0^+} (2 - 2\sqrt{a}) = 2 $$ \]

    \[\,\]

Esercizio 6  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se l’integrale improprio

    \begin{equation*} \int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}\ dx \end{equation*}

è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.

    \[\,\]

Svogimento.

Possiamo spezzare l’integrale come

    \[\int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}\ dx=\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}\ dx+\int_1^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{e^x-1}}\ dx.\]

Con la sostituzione \sqrt{e^x-1}=t da cui e^x=t^2+1 otteniamo x=\log(t^2+1), per cui dx=2t/(t^2+1)\ dt. Inoltre t=0 per x=0, t=\sqrt{e-1} per x=1, t=+\infty per x=+\infty. L’integrale diviene

    \[ \begin{aligned} \int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{e^x-1}}\ dx  &= \int_0^{\sqrt{e-1}} \frac{1}{t} \cdot \frac{2t}{1+t^2}\ dt  + \int_{\sqrt{e-1}}^{+\infty} \frac{1}{t} \cdot \frac{2t}{1+t^2}\ dt \\ &= \lim_{a \rightarrow 0^+} \int_a^{\sqrt{e-1}} \frac{2}{1+t^2}\ dt  + \lim_{b \rightarrow +\infty} \int_{\sqrt{e-1}}^b \frac{2}{1+t^2}\ dt \\ &= \lim_{a \rightarrow 0^+} \left[2\arctan t\right]_a^{\sqrt{e-1}}  + \lim_{b \rightarrow +\infty} \left[2\arctan t\right]_{\sqrt{e-1}}^{b} \\ &= \lim_{a \rightarrow 0^+} \left(2\arctan\sqrt{e-1} - 2\arctan a\right)  + \lim_{b \rightarrow +\infty} \left(2\arctan b - 2\arctan\sqrt{e-1}\right) \\ &= 2\arctan\sqrt{e-1} + 2 \cdot \frac{\pi}{2} - 2\arctan\sqrt{e-1} \\ &= \pi. \end{aligned} \]

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Esercizio 7  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se l’integrale improprio

    \begin{equation*} \int_{-\infty}^1\frac{x+1}{x^2+2x+3}\ dx \end{equation*}

è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.

    \[\,\]

Svogimento.

Possiamo scrivere

    \[\int_{-\infty}^1 \frac{x+1}{x^2+2x+3} \, dx  &= \frac{1}{2} \cdot \int_{-\infty}^1 \frac{2x+2}{x^2+2x+3} \, dx\]

    \[&= \frac{1}{2} \cdot \lim_{a \rightarrow -\infty} \int_a^1 \frac{x+1}{x^2+2x+3} \, dx\]

    \[&= \frac{1}{2} \cdot \lim_{a \rightarrow -\infty} \left[\log|x^2+2x+3|\right]_a^1\]

    \[&= \frac{1}{2} \cdot \lim_{a \rightarrow -\infty} \left(\log 6 - \log(a^2+2a+3)\right)\]

    \[&= -\infty.\]

per cui l’integrale diverge.

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Esercizio 8  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se l’integrale improprio

    \begin{equation*} \int_0^{+\infty} x^2 e^{-x}\ dx \end{equation*}

è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.

    \[\,\]

Svogimento.

Applichiamo l’integrazione per parti, derivando x^2 e integrando e^x:

    \[ \begin{aligned} \int_0^{+\infty} x^2 e^{-x}\, dx  &= \lim_{a \rightarrow +\infty} \int_0^a x^2 e^{-x}\, dx \\ &= \lim_{a \rightarrow +\infty} \left\{ \left[-x^2 e^{-x}\right]_0^a  + \int_0^a 2x e^{-x}\, dx \right\} \\ &= \lim_{a \rightarrow +\infty} \left\{ -a^2 e^{-a}  + \int_0^a 2x e^{-x}\, dx \right\}. \end{aligned} \]

Integriamo nuovamente per parti, derivando x ed integrando e^x:

    \[\int_0^a 2x e^{-x}\ dx=\left[-2x e^{-x}\right]_0^a+2\int_0^a e^{-x}\ dx=-2a e^{-a}-2e^{-a}+2.\]

Abbiamo allora

    \[\int_0^{+\infty} x^2 e^{-x}\ dx=\lim_{a\rightarrow+\infty}\left[-(a^2+2a+2)e^{-a}+2\right]= 2-\lim_{a\rightarrow+\infty}\ \frac{a^2+2a+2}{e^a}.\]

Poich\'{e} per ogni n\in\mathbb{N} si ha che t^n/e^t\rightarrow 0 per t\rightarrow+\infty, segue che

    \[\int_0^{+\infty} x^2 e^{-x}\ dx=2.\]

    \[\,\]

Esercizio 9  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se l’integrale improprio

    \begin{equation*} \int_{R}^{+\infty}\frac{k}{r^2}\ dr\quad k\in\mathbb{R},\,\,\,R>0\end{equation*}

è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.

    \[\,\]

Svogimento.

Abbiamo

    \[ \begin{aligned} \int_{R}^{+\infty} \frac{k}{r^2}\, dr  &= \lim_{a \rightarrow +\infty} \int_{R}^{a} \frac{k}{r^2}\, dr \\ &= \lim_{a \rightarrow +\infty} \left[-\frac{k}{r}\right]_R^a \\ &= \lim_{a \rightarrow +\infty} \left(-\frac{k}{a} + \frac{k}{R}\right) \\ &= \frac{k}{R}. \end{aligned} \]

    \[\,\]

Esercizio 10  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se l’integrale improprio

    \begin{equation*} \int_0^{+\infty} A e^{-t}\ dt\quad A\in\mathbb{R} \end{equation*}

è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.

    \[\,\]

Svogimento.

Abbiamo

    \[\int_0^{+\infty} A e^{-t}\ dt=\lim_{a\rightarrow+\infty}\int_0^{a} A e^{-t}\ dt= \lim_{a\rightarrow+\infty}\left[-Ae^{-t}\right]_0^a=\]

    \[=\lim_{a\rightarrow+\infty}\left(-Ae^{-a}+A\right)=A.\]

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Esercizio 11  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se l’integrale

    \begin{equation*} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^6}\ dx \end{equation*}

converge.

    \[\,\]

Svogimento.

In un intorno di +\infty la funzione si comporta come

    \[\frac{x^2}{1+x^6}\sim\frac{x^2}{x^6}=\frac{1}{x^4},\]

e quindi l’integrale è convergente. Stesso dicasi per un intorno di -\infty.

    \[\,\]

Esercizio 12  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se l’integrale

    \begin{equation*} \int_1^{+\infty}\frac{\sqrt{x}}{1+x^2}\ dx \end{equation*}

converge.

    \[\,\]

Svogimento.

In un intorno di +\infty si ha

    \[\frac{\sqrt{x}}{1+x^2}\sim\frac{\sqrt{x}}{x^2}=\frac{1}{x^{3/2}},\]

e quindi l’integrale converge.

    \[\,\]

Esercizio 13  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se l’integrale

    \begin{equation*} \int_2^{+\infty}\frac{\sqrt{x}\cos x}{1+x^2}\ dx \end{equation*}

converge.

    \[\,\]

Svogimento.

In un intorno di +\infty, essendo la funzione coseno limitata, si ha

    \[\left|\frac{\sqrt{x}\cos x}{1+x^2}\right|\leq\frac{\sqrt{x}}{1+x^2}\sim\frac{\sqrt{x}}{x^2}=\frac{1}{x^{3/2}},\]

e l’integrale converge assolutamente e quindi semplicemente.

    \[\,\]

Esercizio 14  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se l’integrale

    \begin{equation*} \int_{-2}^2\frac{\log(2-x)}{(2-x)^3} \end{equation*}

converge.

    \[\,\]

Svogimento.

La funzione è definita per x<2. Poich\'{e} \log t/t^\alpha\rightarrow +\infty per t\rightarrow 0 e \alpha>0, segue che la funzione integranda si comporta in un intorno di x=2 come \frac{\log2-x)}{(2-x)^3}, dunque usando la sostituzione t=\log(2-x), si ha

    \[\int_{-2}^2\frac{\log(2-x)}{(2-x)^3}dx=\int_{-\infty}^4\frac{t}{e^t}dt,\]

che diverge.

    \[\,\]

Esercizio 15  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se l’integrale

    \begin{equation*} \int_{-8}^{+8}\frac{1}{x\sqrt[3]{x}}\ dx \end{equation*}

converge.

    \[\,\]

Svogimento.

La funzione non è definita in x=0. In un intorno destro (sinistro) di tale punto essa ha la forma

    \[\frac{1}{x\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{x^{4/3}},\]

per cui l’integrale diverge.

    \[\,\]

Esercizio 16  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se l’integrale

    \begin{equation*} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{x^3-3x^2+4}\ dx \end{equation*}

converge.

    \[\,\]

Svogimento.

Il denominatore della funzione integranda è divisibile per x+1 (essendo x=-1 una sua radice) e si ha

    \[x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)=(x+1)(x-2)^2.\]

In un intorno di x=\pm\infty la funzione si comporta come 1/x^3 e quindi risulta integrabile. In un intorno di x=2, essa si comporta come 1/3(x-2)^2 e quindi non risulta integrabile. Stessa cosa accade in un intorno di x=1 dove la funzione si comporta come 1/(x+1). Ne segue che l’integrale diverge.

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Tutta la teoria di analisi matematica

Leggi...

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  71. Teoria ed esercizi sulla funzione Beta
  72. Approfondimento numeri complessi
  73. Diverse formulazioni dell’assioma di completezza
  74. Numeri di Delannoy centrali
  75. Esercizi avanzati analisi

 
 

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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  1. Prerequisiti di Analisi
    1. Ripasso algebra biennio liceo
    2. Ripasso geometria analitica
    3. Ripasso goniometria e trigonometria
    4. Errori tipici da evitare
    5. Insiemi numerici N,Z,Q,R
    6. Funzioni elementari
    7. Logica elementare
    8. Insiemi
  2. Successioni
    1. Teoria sulle Successioni
    2. Estremo superiore e inferiore
    3. Limiti base
    4. Forme indeterminate
    5. Limiti notevoli
    6. Esercizi misti Successioni
    7. Successioni per ricorrenza
  3. Funzioni
    1. Teoria sulle funzioni
    2. Verifica del limite in funzioni
    3. Limite base in funzioni
    4. Forme indeterminate in funzioni
    5. Limiti notevoli in funzioni
    6. Calcolo asintoti
    7. Studio di funzione senza derivate
    8. Dominio di una funzione
    9. Esercizi misti Funzioni
    10. Esercizi misti sui Limiti
  4. Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
    1. Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
    2. Continuità delle funzioni
    3. Continuità uniforme
    4. Teorema degli zeri
    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate
  5. Calcolo differenziale
    1. Derivate
    2. Calcolo delle derivate
    3. Retta tangente nel calcolo differenziale
    4. Punti di non derivabilità nel calcolo differenziale
    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate
    6. Studio di funzione completo nel calcolo differenziale
    7. Esercizi teorici nel calcolo differenziale
    8. Metodo di bisezione
    9. Metodo di Newton
  6. Teoremi del calcolo differenziale
    1. Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale
    2. Teorema di Rolle
    3. Teorema di Lagrange
    4. Teorema di Cauchy
    5. Teorema di De L’Hôpital
  7. Calcolo integrale
    1. Integrale di Riemann
    2. Integrali immediati
    3. Integrale di funzione composta
    4. Integrali per sostituzione
    5. Integrali per parti
    6. Integrali di funzione razionale
    7. Calcolo delle aree
    8. Metodo dei rettangoli e dei trapezi
    9. Esercizi Misti Integrali Indefiniti
    10. Esercizi Misti Integrali Definiti
  8. Integrali impropri
    1. Teoria Integrali impropri
    2. Carattere di un integrale improprio
    3. Calcolo di un integrale improprio
  9. Espansione di Taylor
    1. Teoria Espansione di Taylor
    2. Limiti di funzione con Taylor
    3. Limiti di successione con Taylor
    4. Stime del resto
  10. Funzioni integrali (Approfondimento)
    1. Teoria Funzioni integrali (Approfondimento)
    2. Studio di funzione integrale
    3. Limiti con Taylor e De L’Hôpital
    4. Derivazione di integrali parametrici (Tecnica di Feynmann)
  11. Numeri Complessi
    1. Teoria Numeri complessi
    2. Espressioni con i numeri complessi
    3. Radice di un numero complesso
    4. Equazioni con i numeri complessi
    5. Disequazioni con i numeri complessi
    6. Esercizi misti Numeri complessi
  12. Serie numeriche
    1. Teoria Serie numeriche
    2. Esercizi Serie a termini positivi
    3. Esercizi Serie a termini di segno variabile
    4. Esercizi Serie geometriche e telescopiche
  13. Successioni di funzioni
    1. Teoria Successioni di funzioni
    2. Esercizi Successioni di funzioni
  14. Serie di funzioni
    1. Teoria Serie di funzioni
    2. Esercizi Serie di funzioni
  15. Serie di potenze
    1. Teoria Serie di potenze
    2. Esercizi Serie di potenze
  16. Serie di Fourier
    1. Teoria Serie di Fourier
    2. Esercizi Serie di Fourier
  17. Trasformata di Fourier
    1. Teoria Trasformata di Fourier
    2. Esercizi Trasformata di Fourier
  18. Funzioni di più variabili
    1. Teoria Funzioni di più variabili
    2. Massimi e minimi liberi e vincolati
    3. Limiti in due variabili
    4. Integrali doppi
    5. Integrali tripli
    6. Integrali di linea di prima specie
    7. Integrali di linea di seconda specie
    8. Forme differenziali e campi vettoriali
    9. Teorema di Gauss-Green
    10. Integrali di superficie
    11. Flusso di un campo vettoriale
    12. Teorema di Stokes
    13. Teorema della divergenza
    14. Campi solenoidali
    15. Teorema del Dini
  19. Equazioni differenziali lineari e non lineari
    1. Teoria equazioni differenziali lineari e non lineari
    2. Equazioni differenziali lineari e non lineari del primo ordine omogenee
  20. Equazioni differenziali lineari
    1. Del primo ordine non omogenee
    2. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,omogenee
    3. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,non omogenee
    4. Di Eulero,di Bernoulli,di Clairaut,di Lagrange e di Abel
    5. Non omogenee avente per omogenea associata un’equazione di Eulero
    6. Sistemi di EDO
  21. Equazioni differenziali non lineari
    1. A variabili separabiliO
    2. A secondo membro omogeneo
    3. Del tipo y’=y(ax+by+c)
    4. Del tipo y’=y(ax+by+c)/(a’x+b’y+c’)
    5. Equazioni differenziali esatte
    6. Mancanti delle variabili x e y
    7. Cenni sullo studio di un’assegnata equazione differenziale non lineare
    8. Di Riccati
    9. Cambi di variabile: simmetrie di Lie
  22. Analisi complessa
    1. Fondamenti
    2. Funzioni olomorfe
    3. Integrale di Cauchy e applicazioni
    4. Teorema della curva di Jordan e teorema fondamentale dell’Algebra
    5. Teorema di inversione di Lagrange
    6. Teorema dei Residui
    7. Funzioni meromorfe
    8. Prodotti infiniti e prodotti di Weierstrass
    9. Continuazione analitica e topologia
    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
    11. Trasformata di Mellin
  23. Equazioni alle derivate parziali
    1. Equazioni del primo ordine
    2. Equazioni del secondo ordine lineari
    3. Equazioni non-lineari
    4. Sistemi di PDE
  24. Funzioni speciali
    1. Funzione Gamma di Eulero
    2. Funzioni Beta,Digamma,Trigamma
    3. Integrali ellittici
    4. Funzioni di Bessel
    5. Funzione zeta di Riemann e funzioni L di Dirichlet
    6. Funzione polilogaritmo
    7. Funzioni ipergeometriche
  25. Analisi funzionale
    1. Misura e integrale di Lebesgue
    2. Spazi Lp,teoremi di completezza e compattezza
    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
    4. Teoria e pratica dei polinomi ortogonali
    5. Spazi di Sobolev
  26. Complementi
    1. Curiosità e approfondimenti
    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
  27. Funzioni Convesse

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.





 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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