Integrali generalizzati
Sommario
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Nel secondo blocco, invece, le funzioni integrande non ammettono una primitiva esprimibile in termini elementari. Per questi esercizi, si applica un metodo diverso: la convergenza viene studiata tramite il confronto asintotico. Questo approccio consiste nel sostituire la funzione data con una funzione asintoticamente equivalente, più semplice da integrare. La convergenza dell’integrale viene quindi determinata sulla base di questa funzione semplificata. L’elemento cruciale di questi esercizi è la scelta accurata della funzione asintotica, che permette di ridurre la complessità del problema e di condurre l’analisi della convergenza in modo efficace.
Vengono richiamati i principali risultati teorici necessari per la risoluzione degli esercizi, con riferimenti alla teoria trattata in Teoria sugli integrali impropri. La dispensa è rivolta agli studenti universitari iscritti ai corsi di Analisi 1 nei percorsi di laurea in ingegneria, fisica o matematica.
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Revisori: Matteo Talluri, Giulio Binosi.
Richiami teorici
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In tal caso si pone
e l’integrale generalizzato (o improprio) di è detto convergente su . Se invece
si dice che l’integrale generalizzato di è divergente su .
La nozione di integrale generalizzato si può facilmente estendere a situazioni in cui entrambi i punti estremali non appartegono al dominio della funzione integranda.
In caso la funzione integranda ammetta primitiva esplicita, la convergenza dell’integrale generalizzato si riduce al calcolo di un limite della primita.
In tal caso, si pone
Per risolvere integrali generalizzati si può utilizzare la tecnica del cambio di variabili.
Allora la funzione è integrabile in senso generalizzato su se e solo se la funzione
è integrabile in senso generalizzato su e risulta
Molto spesso non è possibile calcolare il valore esatto dell’integrale di Riemann generalizzato di una funzione, soprattutto quando non si riesce a determinare una primitiva esplicita in termini di funzioni elementari. Per questo motivo vogliamo introdurre dei criteri che permettano di studiare la convergenza dell’integrale generalizzato di su senza dover calcolare il suo integrale di Riemann su ogni sottointervallo.
Se l’integrale generalizzato di è convergente su , allora anche l’integrale generalizzato di è convergente su e si ha
Se invece l’integrale generalizzato di è divergente su , allora anche l’integrale generalizzato di è divergente su .
Se l’integrale generalizzato di è convergente su , allora anche l’integrale generalizzato di è convergente su . Se invece l’integrale generalizzato di è divergente su , allora anche l’integrale generalizzato di è divergente su .
Il risultato principale, che si applica nella maggior parte dei casi è il seguente.
Allora l’integrale generalizzato di è convergente (divergente) su se e solo se l’integrale generalizzato di è convergente (divergente) su .
Testi degli esercizi
è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.
Svogimento.
è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.
Svogimento.
è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.
Svogimento.
è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.
Svogimento.
per cui l’integrale diverge.
è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.
Svogimento.
è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.
Svogimento.
Con la sostituzione da cui otteniamo , per cui . Inoltre per , per , per . L’integrale diviene
è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.
Svogimento.
per cui l’integrale diverge.
è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.
Svogimento.
Integriamo nuovamente per parti, derivando ed integrando :
Abbiamo allora
Poich\'{e} per ogni si ha che per , segue che
è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.
Svogimento.
è convergente e, in caso affermativo, calcolarne il valore.
Svogimento.
converge.
Svogimento.
e quindi l’integrale è convergente. Stesso dicasi per un intorno di .
converge.
Svogimento.
e quindi l’integrale converge.
converge.
Svogimento.
e l’integrale converge assolutamente e quindi semplicemente.
converge.
Svogimento.
che diverge.
converge.
Svogimento.
per cui l’integrale diverge.
converge.
Svogimento.
In un intorno di la funzione si comporta come e quindi risulta integrabile. In un intorno di , essa si comporta come e quindi non risulta integrabile. Stessa cosa accade in un intorno di dove la funzione si comporta come . Ne segue che l’integrale diverge.
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