Home » Operatore di Laplace o Laplaciano
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Sia f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}, f=f(x,y,z) una funzione scalare. Definiamo l’operatore \nabla (nabla) nel modo seguente

    \[\nabla f:=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).\]

Tale operatore trasforma una funzione scalare in una funzione vettoriale, le cui componenti sono le derivate parziali della funzione. Il vettore \nabla f prende il nome di gradiente di f.

Sia ora \vec{u}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3, \vec{u}(x,y,z)=(u_1(x,y,z), u_2(x,y,z), u_3(x,y,z)) una funzione vettoriale. Anche per essa possiamo definire l’applicazione dell’operatore \nabla nel modo seguente:

    \[\nabla\bullet\vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y}+\frac{\partial u_3}{\partial z}.\]

In tal caso l’operatore trasforma la funzione vettoriale in una scalare in modo che la componente i-esima del vettore venga derivata parzialmente rispetto alla coordinata i-esima (il simbolo \bullet indica il prodotto scalare tra vettori). Lo scalare \nabla\bullet \vec{u} prende il nome di divergenza di \vec{u}.

Consideriamo nuovamente f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}, f=f(x,y,z) una funzione scalare: dal momento che \nabla f risulta una funzione vettoriale, è possibile calcolarne la divergenza. Abbiamo allora

    \[\nabla\bullet(\nabla f):=\nabla^2 f=\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2},\]

che viene detto quadro o laplaciano di f.

Sia ora \vec{u}:\mathbb{R}^3\rightarrow:\mathbb{R}^3, \vec{u}(x,y,z)=(u_1(x,y,z), u_2(x,y,z), u_3(x,y,z)) una funzione vettoriale. Anche per essa possiamo definire l’applicazione dell’operatore \nabla nel modo seguente:

    \[\nabla\bullet\vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y}+\frac{\partial u_3}{\partial z}.\]

In tal caso l’operatore trasforma la funzione vettoriale in una scalare in modo che la componente i-esima del vettore venga derivata parzialmente rispetto alla coordinata i-esima (il simbolo \bullet indica il prodotto scalare tra vettori). Lo scalare \nabla\bullet \vec{u} prende il nome di divergenza di \vec{u}.

Consideriamo nuovamente f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}, f=f(x,y,z) una funzione scalare: dal momento che \nabla f risulta una funzione vettoriale, è possibile calcolarne la divergenza. Abbiamo allora

    \[\nabla\bullet(\nabla f):=\nabla^2 f=\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2},\]

che viene detto nabla quadro o laplaciano di f.

Vogliamo ora esprimere il laplaciano in coordinate cilindriche operando la seguente sostituzione:

    \[x=t,\quad y=r\cos\theta,\quad z=r\sin\theta\]

(cilindro con asse parallelo all’asse x, cambio il nome della variabile x in t solo per comodità di notazione). A tal fine dobbiamo computare anche le derivate parziali seconde rispetto a queste nuove variabili. Per comodità indichiamo con f_{*} la derivata parziale di f rispetto alla variabile * (che potrà scegliersi tra x,y,z,t,r,\theta) e analogamente con f_{**} la derivata parziale seconda sempre rispetto allo stesso set di variabili. Osserviamo che

    \[t=x,\quad r=\sqrt{y^2+z^2},\quad \theta=\arctan(z/y)\]

e pertanto

    \[t_x=\frac{\partial t}{\partial x}=1,\quad t_y=\frac{\partial t}{\partial y}=t_z=\frac{\partial t}{\partial z}=0,\qquad r_x=\frac{\partial r}{\partial x}=0,\qquad \theta_x=\frac{\partial \theta}{\partial x}=0\]

    \[r_y=\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{2y}{2\sqrt{y^2+z^2}}=\frac{r\cos\theta}{r}=\cos\theta,\quad r_z=\frac{\partial r}{\partial z}=\frac{2z}{2\sqrt{y^2+z^2}}=\frac{r\sin\theta}{r}=\sin\theta,\]

    \[\theta_y=\frac{\partial \theta}{\partial y}=\frac{-z/y^2}{1+(z/y)^2}=-\frac{z}{z^2+y^2}=-\frac{r\sin\theta}{r^2}=-\frac{\sin\theta}{r},\]

    \[\theta_z=\frac{\partial \theta}{\partial z}=\frac{1/y}{1+(z/y)^2}=\frac{y}{z^2+y^2}=\frac{r\cos\theta}{r^2}=\frac{\cos\theta}{r}.\]

Abbiamo allora, per la chain rule (regola della catena)

    \[f_x=f_t\cdot t_x+f_r\cdot r_x+f_\theta\cdot \theta_x=f_t,\]

    \[f_y=f_t\cdot t_y+f_r\cdot r_y+f_\theta\cdot \theta_y=\cos\theta\cdot f_r-\frac{\sin\theta}{r}\cdot f_\theta=\frac{1}{r}\left(r\cos\theta\cdot f_r-\sin\theta\cdot f_\theta\right),\]

    \[f_z=f_t\cdot t_z+f_r\cdot r_z+f_\theta\cdot \theta_z=\sin\theta\cdot f_r+\frac{\cos\theta}{r}\cdot f_\theta=\frac{1}{r}\left(r\sin\theta\cdot f_r+\cos\theta\cdot f_\theta\right).\]

Per le derivate seconde si ha allora

    \[f_{xx}=(f_t)_x=f_{tt}\cdot t_x+f_{tr}\cdot r_x+f_{t\theta}\cdot \theta_x=f_{tt},\]

e analogamente si trova

    \begin{align*} f_{yy}=&\left[\frac{1}{r}\left(r\cos\theta\cdot f_r-\sin\theta\cdot f_\theta\right)\right]_y=\\ =&\left[\frac{1}{r}\right]_y\cdot\left(r\cos\theta\cdot f_r-\sin\theta\cdot f_\theta\right)+\frac{1}{r}\left(r\cos\theta\cdot f_r-\sin\theta\cdot f_\theta\right)_y=\\ =&\left\{\left[\frac{1}{r}\right]_t\cdot t_y+\left[\frac{1}{r}\right]_r\cdot r_y+\left[\frac{1}{r}\right]_\theta\cdot\theta_y\right\}\cdot\left(r\cos\theta\cdot f_r-\sin\theta\cdot f_\theta\right)+\\ &+\frac{1}{r}\left[\left(r\cos\theta\cdot f_r-\sin\theta\cdot f_\theta\right)_t\cdot t_y+\left(r\cos\theta\cdot f_r-\sin\theta\cdot f_\theta\right)_r\cdot r_y+\left(r\cos\theta\cdot f_r-\sin\theta\cdot f_\theta\right)_\theta\cdot \theta_y\right]=\\ =&-\frac{1}{r^2}\cdot \cos\theta\cdot\left(r\cos\theta\cdot f_r-\sin\theta\cdot f_\theta\right)+\\ &+\frac{1}{r}\left(r\cos\theta\cdot f_{rr}+\cos\theta\cdot f_r-\sin\theta\cdot f_{r\theta}\right)\cdot \cos\theta+\\ &-\frac{1}{r}\left(-r\sin\theta\cdot f_r+r\cos\theta\cdot f_{r\theta}-\cos\theta\cdot f_\theta-\sin\theta\cdot f_{\theta\theta}\right)\cdot \frac{\sin\theta}{r}=\\ =&\left(-\frac{\cos^2\theta}{r}+\frac{\cos^2\theta}{r}+\frac{\sin^2\theta}{r}\right)\cdot f_r+\left(\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^2}+\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^2}\right)\cdot f_\theta+\\ &+\cos^2\theta\cdot f_{rr}+\left(-\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}-\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}\right)\cdot f_{r\theta}+\frac{\sin^2\theta}{r^2}\cdot f_{\theta\theta} \end{align*}

e quindi ricordando che 2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta)

    \[f_{yy}=\frac{\sin^2\theta}{r}\cdot f_r+\frac{\sin(2\theta)}{r^2}\cdot f_\theta+\cos^2\theta\cdot f_{rr}-\frac{\sin(2\theta)}{r}\cdot f_{r\theta}+\frac{\sin^2\theta}{r^2}\cdot f_{\theta\theta}.\]

Procedendo in modo simile si ha

    \begin{align*} f_{zz}=&\left[\frac{1}{r}\left(r\sin\theta\cdot f_r+\cos\theta\cdot f_\theta\right)\right]_z=\\ =&\left[\frac{1}{r}\right]_z\cdot\left(r\sin\theta\cdot f_r+\cos\theta\cdot f_\theta\right)+\frac{1}{r}\left(r\sin\theta\cdot f_r+\cos\theta\cdot f_\theta\right)_z=\\ =&\left\{\left[\frac{1}{r}\right]_t\cdot t_z+\left[\frac{1}{r}\right]_r\cdot r_z+\left[\frac{1}{r}\right]_\theta\cdot\theta_z\right\}\cdot\left(r\sin\theta\cdot f_r+\cos\theta\cdot f_\theta\right)+\\ &+\frac{1}{r}\left[\left(r\sin\theta\cdot f_r+\cos\theta\cdot f_\theta\right)_t\cdot t_z+\left(r\sin\theta\cdot f_r+\cos\theta\cdot f_\theta\right)_r\cdot r_z+\left(r\sin\theta\cdot f_r+\cos\theta\cdot f_\theta\right)_\theta\cdot \theta_z\right]=\\ =&-\frac{1}{r^2}\cdot \sin\theta\cdot\left(r\sin\theta\cdot f_r+\cos\theta\cdot f_\theta\right)+\\ &+\frac{1}{r}\left(r\sin\theta\cdot f_{rr}+\sin\theta\cdot f_r+\cos\theta\cdot f_{r\theta}\right)\cdot \sin\theta+\\ &+\frac{1}{r}\left(r\cos\theta\cdot f_r+r\sin\theta\cdot f_{r\theta}-\sin\theta\cdot f_\theta+\cos\theta\cdot f_{\theta\theta}\right)\cdot \frac{\cos\theta}{r}=\\ =&\left(-\frac{\sin^2\theta}{r}+\frac{\sin^2\theta}{r}+\frac{\cos^2\theta}{r}\right)\cdot f_r+\left(-\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^2}-\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^2}\right)\cdot f_\theta+\\ &+\sin^2\theta\cdot f_{rr}+\left(+\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}+\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}\right)\cdot f_{r\theta}+\frac{\cos^2\theta}{r^2}\cdot f_{\theta\theta} \end{align*}

da cui

    \[f_{zz}=\frac{\cos^2\theta}{r}\cdot f_r-\frac{\sin(2\theta)}{r^2}\cdot f_\theta+\sin^2\theta\cdot f_{rr}+\frac{\sin(2\theta)}{r}\cdot f_{r\theta}+\frac{\cos^2\theta}{r^2}\cdot f_{\theta\theta}.\]

Possiamo allora scrivere

    \begin{align*} \nabla^2 f=&f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}=\\ =&f_{tt}+\\ &+\frac{\sin^2\theta}{r}\cdot f_r+\frac{\sin(2\theta)}{r^2}\cdot f_\theta+\cos^2\theta\cdot f_{rr}-\frac{\sin(2\theta)}{r}\cdot f_{r\theta}+\frac{\sin^2\theta}{r^2}\cdot f_{\theta\theta}+\\ &+\frac{\cos^2\theta}{r}\cdot f_r-\frac{\sin(2\theta)}{r^2}\cdot f_\theta+\sin^2\theta\cdot f_{rr}+\frac{\sin(2\theta)}{r}\cdot f_{r\theta}+\frac{\cos^2\theta}{r^2}\cdot f_{\theta\theta}=\\ =&f_{tt}+\frac{1}{r}\cdot f_r+f_{rr}+\frac{1}{r^2}\cdot f_{\theta\theta} \end{align*}

Osservando che

    \[\frac{1}{r}\cdot f_r+f_{rr}=\frac{1}{r}(f_r+r\cdot f_{rr})=\frac{1}{r}\cdot\frac{\partial}{\partial r}(r\cdot f_r)\]

ricaviamo l’espressione

    \[\nabla^2 f=f_{tt}+\frac{1}{r}\cdot(r\cdot f_r)_r+\frac{1}{r^2}\cdot f_{\theta\theta},\]

che \è l’espressione del laplaciano in coordinate cilindriche.

Possiamo osservare che in caso di opportune semplificazioni questa espressione si semplifica.

CASO 1) Se f=f(t), cioè la funzione dipende solo dalla posizione lungo il tubo, e quindi dal punto in cui si effettua la sezione, si ha

    \[\nabla^2 f=f_{tt},\]

cioè in tal caso il laplaciano coincide con la derivata seconda della funzione.

CASO 2) Se f=f(r), cioè essa dipende solo dalla distanza rispetto all’asse di simmetria del cilindro (funzione radiale) e non varia lungo il tubo, allora si ha

    \[\nabla f=\frac{1}{r}\cdot(r\cdot f_r)_r.\]

CASO 3) Se infine f=f(t,r), cioè la funzione risulta ancora radiale ma con valori diversi rispetto alle differenti sezioni, allora

    \[\nabla^2 f=f_{tt}+\frac{1}{r}\cdot(r\cdot f_r)_r.\]

In generale, si passa a coordinate cilindriche proprio in quei casi in cui le funzioni che descrivono il fenomeno studiato hanno simmetria cilindrica, e non dipendono
da una o più delle coordinate cilindriche. Per questo motivo, capita spesso trovare il laplaciano espresso senza la derivata seconda in \theta.