Laplaciano

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L’operatore di Laplace è largamente presente nella Matematica, la Fisica, l’Ingegneria e l’Economia. Consideriamo infatti una funzione $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ che rappresenta una grandezza scalare in funzione dei punti dello spazio tridimensionale; il laplaciano di $f$ , denotato da $\Delta f(x,y,z)$ , quantifica l’incremento medio di $f$ nei punti immediatamente vicini a $(x,y,z)$ . Per tale ragione, il laplaciano è onnipresente in tutte le equazioni che descrivono fenomeni fisici o pratici in cui il valore di una grandezza in un punto è statico o evolve in funzione dell’andamento medio della grandezza nelle immediate vicinanze.

In questo articolo, presentiamo l’operatore di Laplace in 3 dimensioni e ne calcoliamo la sua espressione in coordinate cilindriche: ciò risulta notevolmente utile nei casi in cui il fenomeno che si sta studiando presenta appunto una simmetria rispetto a un asse particolare.

Il testo è quindi una risorsa preziosa sia per chi necessita di formule chiare e accessibili, sia per chi desidera approfondirne la spiegazione entrando nel vivo dei calcoli.

Oltre all’esaustiva lista reperibile alla fine dell’articolo, segnaliamo il seguente materiale su argomenti collegati:

Buona lettura!

Autori e revisori

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Autore: Donato Ciampa.

Il Laplaciano in coordinate cilindriche: un esplorazione di gradiente, divergenza e applicazioni in fisica

Sia $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ , $f=f(x,y,z)$ una funzione scalare. Definiamo l’operatore $\nabla$ (nabla) nel modo seguente

$\nabla f:=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).$

Tale operatore trasforma una funzione scalare in una funzione vettoriale, le cui componenti sono le derivate parziali della funzione. Il vettore $\nabla f$ prende il nome di gradiente di $f$ .

Sia ora $\vec{u}:\mathbb{R}^3\rightarrow:\mathbb{R}^3$ , $\vec{u}(x,y,z)=(u_1(x,y,z), u_2(x,y,z), u_3(x,y,z))$ una funzione vettoriale. Anche per essa possiamo definire l’applicazione dell’operatore $\nabla$ nel modo seguente:

$\nabla\bullet\vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y}+\frac{\partial u_3}{\partial z}.$

In tal caso l’operatore trasforma la funzione vettoriale in una scalare in modo che la componente $i$ -esima del vettore venga derivata parzialmente rispetto alla coordinata $i$ -esima (il simbolo $\bullet$ indica il prodotto scalare tra vettori). Lo scalare $\nabla\bullet \vec{u}$ prende il nome di divergenza di $\vec{u}$ .

Consideriamo nuovamente $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ , $f=f(x,y,z)$ una funzione scalare: dal momento che $\nabla f$ risulta una funzione vettoriale, è possibile calcolarne la divergenza. Abbiamo allora

$\nabla\bullet(\nabla f):=\nabla^2 f=\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2},$

che viene detto nabla quadro o laplaciano di $f$ .

Vogliamo ora esprimere il laplaciano in coordinate cilindriche operando la seguente sostituzione:

$x=t,\quad y=r\cos\theta,\quad z=r\sin\theta$

(cilindro con asse parallelo all’asse $x$ , cambio il nome della variabile $x$ in $t$ solo per comodità di notazione). A tal fine dobbiamo computare anche le derivate parziali seconde rispetto a queste nuove variabili. Per comodità indichiamo con $f_{*}$ la derivata parziale di $f$ rispetto alla variabile $*$ (che potrà scegliersi tra $x,y,z,t,r,\theta$ ) e analogamente con $f_{**}$ la derivata parziale seconda sempre rispetto allo stesso set di variabili. Osserviamo che