Passaggio al limite sotto il segno di integrale

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Benvenuti nella nostra guida sul passaggio al limite sotto il segno di integrale!
In questo breve articolo ci concentriamo sulle seguenti domande:

Il limite uniforme di funzioni integrabili è a sua volta integrabile?
In caso affermativo, l’integrale della funzione limite si ottiene come limite degli integrali?

Il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale risponde a entrambe queste domande. La formulazione e la dimostrazione del risultato sono esposte con chiarezza, offrendo una lettura concisa su uno strumento fondamentale dell’Analisi Matematica.

Consigliamo la lettura dei seguenti articoli di teoria collegata, il primo dei quali è una risorsa completa sulle successioni di funzioni, da cui è stato estrapolato questo risultato:

Segnaliamo inoltre l’esaustivo articolo Successioni di funzioni – Esercizi, contenente 42 esercizi di varia natura, ordinati per difficoltà crescente, su ogni aspetto delle successioni di funzioni. Buona lettura!

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi.

Revisori: Roberto Castorrini, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.

Teorema 1 (passaggio al limite sotto il segno di integrale). Sia $f_n\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una successione di funzioni integrabili secondo Riemann che converga uniformemente a una funzione $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ . Allora $f$ risulta integrabile secondo Riemann e vale

(1) $\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty} \int_{a}^{b} f_n(x)\,\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x. \end{equation*}$

$\,$

Dimostrazione. Senza ledere la generalità possiamo supporre $[a,b]=[0,1]$ .

Per la disuguaglianza triangolare, per ogni partizione $P$ di $[0,1]$ e per ogni $n \in \mathbb{N}$ si ha

(2) $\begin{equation*} \begin{split} |S(f,P) - s(f,P)| \leq & |S(f,P) - S(f_n,P)| + |S(f_n,P) - s(f_n,P)| \\ & + |s(f_n,P) - s(f,P)|, \end{split} \end{equation*}$

dove con $S(g,P), s(g,P)$ si sono indicate rispettivamente le somme superiori e inferiori di $g$ relative alla partizione $g$ . L’idea della dimostrazione è mostrare, stimando i tre termini al membro di destra della (2), che essi possono essere resi piccoli a piacere scegliendo opportunamente la partizione $P$ e $n \in \mathbb{N}$ .

Sia fissato $\varepsilon>0$ .
Poiché $f_n$ converge uniformemente a $f$ , esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che

(3) $\begin{equation*} |f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3} \qquad \forall x \in [0,1],\,\, \forall n \geq N. \end{equation*}$

Fissiamo quindi $n \geq N$ ; poiché $f_n$ è integrabile, esistono

(4) $\begin{equation*} a=x_0 < x_1 < \dots < x_M = 1 \end{equation*}$

tali che la partizione

(5) $\begin{equation*} P = \{ I_i:= [x_{i-1}, x_i] \mid i=1, \dots, M \} \end{equation*}$

soddisfa

(6) $\begin{equation*} 0 \leq S(f_n,P) - s(f_n,P) = \sum_{i=1}^M \big( \sup_{I_i} f_n - \inf_{I_i} f_n \big)(x_i - x_{i-1}) < \frac{\varepsilon}{3}. \end{equation*}$

Mostriamo ora che si ha

(7) $\begin{equation*} \Big| \sup_{x \in I_i} f_n(x) - \sup_{x \in I_i} f(x) \Big| \leq \frac{\varepsilon}{3}, \quad \Big| \inf_{x \in I_i} f_n(x) - \inf_{x \in I_i} f(x) \Big| \leq \frac{\varepsilon}{3} \qquad \forall i=1, \dots, M. \end{equation*}$