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Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzela

Teoria Successioni di funzioni

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Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzelà.

Il teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni di numeri reali afferma che una successione limitata possiede un’estratta convergente. Viene naturale chiedersi se valga un analogo risultato nel campo delle successioni di funzioni. Il teorema di Ascoli-Arzelà costituisce precisamente questa generalizzazione: sotto opportune ipotesi afferma che una successione di funzioni limitata possiede un’estratta uniformemente convergente. La sua dimostrazione fa uso della cosiddetta procedura diagonale, che consente di estrarre sottosuccessioni convergenti da una famiglia di successioni numeriche.

La dispensa è una breve ed essenziale introduzione all’argomento, che lo spiega in maniera chiara e accessibile, costituendo una guida preziosa su questi aspetti chiave dell’Analisi Matematica.

Consigliamo la lettura dei seguenti articoli di teoria collegata, il primo dei quali è una risorsa completa sulle successioni di funzioni:

Segnaliamo inoltre l’esaustivo articolo Successioni di funzioni – Esercizi, contenente 42 esercizi di varia natura, ordinati per difficoltà crescente, su ogni aspetto delle successioni di funzioni. Buona lettura!

 

Autori e revisori

 

Teorema 1 (Ascoli-Arzelà). Sia f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R} una successione di funzioni continue. Allora le due seguenti condizioni sono equivalenti:
 

  1. le funzioni f_n sono equilimitate e equicontinue;
  2. da ogni sottosuccessione f_{n_k} se ne può estrarre una convergente uniformemente.

 

Ricordiamo che una successione di funzioni f_n \colon [a,b] \to \mathbb{R} si dice:

 

  • equilimitata se tutte le f_n sono limitate dalla stessa costante, ovvero se esiste M>0 tale che
     

    (1)   \begin{equation*} |f_n(x)|\leq M \qquad \forall n \in \mathbb{N},\,\,\,\forall x \in [a,b]; \end{equation*}

  •  

  • equicontinua se esse sono uniformemente continue e la loro continuità uniforme è indipendente dall’indice n; precisamente se per ogni \varepsilon>0 esiste \delta>0 tale che

    (2)   \begin{equation*} |f_{n}(x)-f_{n}(y)|< \varepsilon \qquad \forall n \in \mathbb{N},\,\, \forall x,y \in [a,b] \colon |x-y|< \delta. \end{equation*}

 

Premettiamo il seguente importante lemma, detto procedura diagonale, che costituisce una generalizzazione del teorema di Bolzano-Weierstrass.

 

Lemma 2 (procedura diagonale). Sia E \subseteq \mathbb{R}, sia q_j una successione di numeri in E e sia f_n \colon E  \to \mathbb{R} una successione di funzioni tale che, per ogni j \in \mathbb{N}, la successione numerica f_n(q_j)_{n \in \mathbb{N}} sia limitata. Allora esiste una funzione \varphi \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N} strettamente crescente tale che per ogni j \in \mathbb{N}, la successione f_{\varphi(k)}(q_j)_{k \in \mathbb{N}} è convergente a un numero reale f(q_j).

Dimostrazione.

Ci accingiamo a definire \varphi per ricorrenza. Poiché la successione f_n(q_1)_n è limitata, esiste una sua estratta f_{n(k,1)}(q_1)_{k \in \mathbb{N}} convergente a un numero reale che chiamiamo f(q_1). Poniamo

(3)   \begin{equation*} \varphi(1)=n(1,1). \end{equation*}

Successivamente, supponiamo definita la successione f_{n(k,j)}(q_j)_k, f(q_j) e \varphi(j) e consideriamo la successione f_{n(k,j)}(q_{j+1})_{k \in \mathbb{N}}. Poiché anch’essa è limitata, esiste una sua estratta f_{n(k,j+1)}(q_{j+1})_{k \in \mathbb{N}} convergente a un numero reale f(q_{j+1}). Poniamo quindi \varphi(j+1)=n(j+1,j+1). Poiché la successione n(k,j+1)_{k \in \mathbb{N}} è un’estratta della successione n(k,j)_{k \in \mathbb{N}}, si ha

(4)   \begin{equation*} \varphi(j+1) = n(j+1,j+1) \geq n(j+1,j) > n(j,j) = \varphi(j), \end{equation*}

e ciò prova che la funzione \varphi è strettamente crescente. Per il modo in cui è stata costruita la funzione \varphi, per ogni j \in \mathbb{N} la successione \varphi(k)_{k \in \mathbb{N}} è un’estratta della successione n(k,j)_{k \in \mathbb{N}}. Per tale ragione si ha

(5)   \begin{equation*} \lim_{k \to \infty}f_{\varphi(k)}(q_j) = f(q_j) \qquad \forall j \in \mathbb{N}. \end{equation*}

(6)   \begin{equation*} \begin{matrix} \colorbox{tau}{$f_{n(1,1)}(q_1)$} & f_{n(2,1)}(q_1) & f_{n(3,1)}(q_1) & \dots  & f_{n(j,1)}(q_1) & \dots & \to & f(q_1) \\ f_{n(1,2)}(q_2) & \colorbox{tau}{$f_{n(2,2)}(q_2)$} & f_{n(3,2)}(q_2) & \dots  & f_{n(j,2)}(q_2) & \dots & \to & f(q_2) \\ f_{n(1,3)}(q_3) & f_{n(2,3)}(q_3) & \colorbox{tau}{$f_{n(3,3)}(q_3)$} & \dots  & f_{n(j,3)}(q_3) & \dots & \to & f(q_3)\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ f_{n(1,j)}(q_j) & f_{n(2,j)}(q_j) & f_{n(3,j)}(q_j) & \dots & \colorbox{tau}{$f_{n(j,j)}(q_j)$} & \dots & \to & f(q_j) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \end{matrix} \end{equation*}

 

Possiamo ora dimostrare il teorema di Ascoli-Arzelà.

Dimostrazione del teorema di Ascoli-Arzelà.

\bullet 1) \Rightarrow 2)

Supponiamo che le f_n siano equilimitate ed equicontinue. Per mostrare l’implicazione basta dimostrare che f_n possiede un’estratta convergente: infatti, una volta provato ciò, è sufficiente applicare questo risultato a una qualunque sottosuccessione f_{n_k}.

Sia q \colon \mathbb{N} \to \mathbb{Q} \cap [a,b] una funzione biunivoca; indicando con q_j il valore q(j), q_j risulta una successione che assume una sola volta tutti i valori razionali appartenenti all’intervallo [a,b]. Ciò è possibile in quanto i numeri razionali formano un insieme detto numerabile, cioè in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Una tale successione q_j è detta una enumerazione dei razionali.

Poiché le funzioni f_n sono equilimitate, possiamo applicare il lemma 2 e ottenere l’esistenza di una sottosuccessione f_{\varphi(n)} e di una funzione f \colon \mathbb{Q} \cap [a,b] \to \mathbb{R} (cioè definita su ognuno dei q_j) per cui si abbia

(7)   \begin{equation*} \lim_{n \to \infty}f_{\varphi(n)}(q_j) = f(q_j) \qquad \forall j \in \mathbb{N}. \end{equation*}

In altre parole, f è il limite puntuale della successione di funzioni f_{\varphi(n)} sull’insieme \mathbb{Q} \cap [a,b], cioè sui razionali appartenenti all’intervallo [a,b].

Utilizzando ora la sua equicontinuità, dimostriamo che la successione f_{\varphi(n)} converge uniformemente su [a,b], provando che essa soddisfa il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Infatti, fissiamo \varepsilon>0 e, per definizione di equicontinuità, sappiamo che esiste \delta>0 tale che

(8)   \begin{equation*} |f_{\varphi(n)}(x)-f_{\varphi(n)}(y)|< \frac{\varepsilon}{3} \qquad \forall n \in \mathbb{N},\,\, \forall x,y \in [a,b] \colon |x-y|< \delta. \end{equation*}

Suddividiamo l’intervallo [a,b] con dei punti a=x_0<x_1<x_2< \dots < x_J=b razionali aventi distanza minore di \delta, ovvero tali che

(9)   \begin{equation*} x_j-x_{j-1}< \delta \qquad \forall j \in \{1,\dots,J\}. \end{equation*}

Poiché ciascuna successione numerica \{f_{\varphi(n)}(x_j)\}_{n \in \mathbb{N}} converge, esse sono di Cauchy, quindi esiste N \in \mathbb{N} tale che

(10)   \begin{equation*} |f_{\varphi(n)}(x_j)-f_{\varphi(m)}(x_j)|< \frac{\varepsilon}{3} \qquad \forall n,m \geq N, \,\,\, \forall j \in \{0,\dots,J\}. \end{equation*}

Fissiamo dunque tale N. Per un qualunque x \in [a,b], esiste x_j tale che |x-x_j|<\delta. Pertanto, per ogni n,m \geq N, si ha

(11)   \begin{equation*} \begin{split} |f_{\varphi(n)}(x)-f_{\varphi(m)}(x)| & \leq |f_n(x)-f_n(x_j)|+ |f_n(x_j)-f_m(x_j)| + |f_m(x_j)-f_m(x)| \\ & < \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3} \\ & = \varepsilon. \end{split} \end{equation*}

Dato che N è indipendente da x, ciò mostra che tale stima vale uniformemente per ogni x, cioè

(12)   \begin{equation*} \sup_{x \in [a,b]} |f_{\varphi(n)}(x)-f_{\varphi(m)}(x)| < \varepsilon \qquad \forall n,m \geq N, \end{equation*}

cioè che la successione f_{\varphi(n)} soddisfa il criterio di Cauchy e quindi converge uniformemente in [a,b].

 

\bullet 2) \Rightarrow 1)

Per ipotesi, da ogni sottosuccessione f_{n_k} se ne può estrarre una uniformemente convergente. Supponiamo quindi per assurdo che f_n non sia equilimitata, cioè che per ogni k \in \mathbb{N} esista x_k \in [a,b] e n_k \in \mathbb{N} tale che

(13)   \begin{equation*} f_{n_k}(x_k) \geq k \end{equation*}

A meno di definire n_k in modo tale che n_{k+1} > n_k, otteniamo una sottosuccessione f_{n_k} di f_n e, a meno di passare ulteriormente a una sottosuccessione, per l’ipotesi possiamo supporre che f_{n_k} converge uniformemente a una funzione f, che è continua in quanto limite uniforme di funzioni continue. Dato che [a,b] è chiuso e limitato, per il teorema di Weierstrass sia f che le f_n sono tutte limitate. Per convergenza uniforme, esiste N \in \mathbb{N} tale che

(14)   \begin{equation*} |f(x)-f_{n_k}(x)|<1 \qquad \forall x \in [a,b],\,\,\, \forall k \geq N. \end{equation*}

Chiamando M \coloneqq \max |f| e scrivendo tale disuguaglianza per x=x_k, grazie a (13) si ottiene

(15)   \begin{equation*} k \leq |f_{n_k}{x}|\leq |f(x)|+1 \leq M+1 \qquad \forall x \in [a,b],\,\,\, \forall k \geq N. \end{equation*}

che è una contraddizione per k abbastanza grande.

Supponiamo ora per assurdo che la successione f_n non sia equicontinua. Allora, negando la definizione di equicontinuità, esiste \varepsilon>0 tale che, per ogni k \in \mathbb{N}, esistono x_k, y_k \in [a,b] e n_k \in \mathbb{N} tali che

(16)   \begin{equation*} |x_k - y_k| < \frac{1}{k}, \qquad |f_{n_k}(x_k) - f_{n_k}(y_k)| \geq \varepsilon. \end{equation*}

A meno di definire n_k in modo tale che n_{k+1} > n_k, otteniamo una sottosuccessione f_{n_k} di f_n e, a meno di passare ulteriormente a una sottosuccessione, per l’ipotesi possiamo supporre che f_{n_k} converge uniformemente a una funzione f.

Poiché [a,b] è chiuso e limitato, per il teorema di Bolzano-Weiestrass esiste una ulteriore sottosuccessione (che per semplicità di notazione indichiamo sempre con n_k) e dei punti x,y \in [a,b] tali che

(17)   \begin{equation*} \lim_{k \to \infty} x_k = x, \qquad \lim_{k \to \infty} y_k = y \end{equation*}

e inoltre x=y per la prima disuguaglianza in (16). Poiché la convergenza è uniforme, f è continua e si ha

(18)   \begin{equation*} \lim_{k \to \infty} f_{n_k}(x_k) = f(x) = \lim_{k \to \infty} f_{n_k}(y_k), \end{equation*}

ma ciò contraddice la seconda disuguaglianza in (16).

 
 

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  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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