Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzelà.
Il teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni di numeri reali afferma che una successione limitata possiede un’estratta convergente. Viene naturale chiedersi se valga un analogo risultato nel campo delle successioni di funzioni. Il teorema di Ascoli-Arzelà costituisce precisamente questa generalizzazione: sotto opportune ipotesi afferma che una successione di funzioni limitata possiede un’estratta uniformemente convergente. La sua dimostrazione fa uso della cosiddetta procedura diagonale, che consente di estrarre sottosuccessioni convergenti da una famiglia di successioni numeriche.
La dispensa è una breve ed essenziale introduzione all’argomento, che lo spiega in maniera chiara e accessibile, costituendo una guida preziosa su questi aspetti chiave dell’Analisi Matematica.
Consigliamo la lettura dei seguenti articoli di teoria collegata, il primo dei quali è una risorsa completa sulle successioni di funzioni:
- Successioni di funzioni – Teoria;
- Convergenza puntuale;
- Convergenza uniforme;
- Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme;
- Limite uniforme di funzioni continue;
- Scambio di limiti per la convergenza uniforme;
- Convergenza uniforme e successioni numeriche;
- Passaggio al limite sotto il segno di integrale;
- Limite uniforme di funzioni derivabili;
- Piccolo teorema del Dini;
- Monotonia e convergenza uniforme;
- Equilimitatezza;
- Modulo di continuità ed equicontinuità.
Segnaliamo inoltre l’esaustivo articolo Successioni di funzioni – Esercizi, contenente 42 esercizi di varia natura, ordinati per difficoltà crescente, su ogni aspetto delle successioni di funzioni. Buona lettura!
Autori e revisori
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Revisori: Roberto Castorrini, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.
- le funzioni sono equilimitate e equicontinue;
- da ogni sottosuccessione se ne può estrarre una convergente uniformemente.
Ricordiamo che una successione di funzioni si dice:
- equilimitata se tutte le sono limitate dalla stessa costante, ovvero se esiste tale che
(1)
- equicontinua se esse sono uniformemente continue e la loro continuità uniforme è indipendente dall’indice ; precisamente se per ogni esiste tale che
(2)
Premettiamo il seguente importante lemma, detto procedura diagonale, che costituisce una generalizzazione del teorema di Bolzano-Weierstrass.
Dimostrazione.
(3)
Successivamente, supponiamo definita la successione , e e consideriamo la successione . Poiché anch’essa è limitata, esiste una sua estratta convergente a un numero reale . Poniamo quindi . Poiché la successione è un’estratta della successione , si ha
(4)
e ciò prova che la funzione è strettamente crescente. Per il modo in cui è stata costruita la funzione , per ogni la successione è un’estratta della successione . Per tale ragione si ha
(5)
(6)
Possiamo ora dimostrare il teorema di Ascoli-Arzelà.
Dimostrazione del teorema di Ascoli-Arzelà.
Supponiamo che le siano equilimitate ed equicontinue. Per mostrare l’implicazione basta dimostrare che possiede un’estratta convergente: infatti, una volta provato ciò, è sufficiente applicare questo risultato a una qualunque sottosuccessione .
Sia una funzione biunivoca; indicando con il valore , risulta una successione che assume una sola volta tutti i valori razionali appartenenti all’intervallo . Ciò è possibile in quanto i numeri razionali formano un insieme detto numerabile, cioè in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Una tale successione è detta una enumerazione dei razionali.
Poiché le funzioni sono equilimitate, possiamo applicare il lemma 2 e ottenere l’esistenza di una sottosuccessione e di una funzione (cioè definita su ognuno dei ) per cui si abbia
(7)
In altre parole, è il limite puntuale della successione di funzioni sull’insieme , cioè sui razionali appartenenti all’intervallo .
Utilizzando ora la sua equicontinuità, dimostriamo che la successione converge uniformemente su , provando che essa soddisfa il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Infatti, fissiamo e, per definizione di equicontinuità, sappiamo che esiste tale che
(8)
Suddividiamo l’intervallo con dei punti razionali aventi distanza minore di , ovvero tali che
(9)
Poiché ciascuna successione numerica converge, esse sono di Cauchy, quindi esiste tale che
(10)
Fissiamo dunque tale . Per un qualunque , esiste tale che . Pertanto, per ogni , si ha
(11)
Dato che è indipendente da , ciò mostra che tale stima vale uniformemente per ogni , cioè
(12)
cioè che la successione soddisfa il criterio di Cauchy e quindi converge uniformemente in .
2) 1)
Per ipotesi, da ogni sottosuccessione se ne può estrarre una uniformemente convergente. Supponiamo quindi per assurdo che non sia equilimitata, cioè che per ogni esista e tale che
(13)
A meno di definire in modo tale che , otteniamo una sottosuccessione di e, a meno di passare ulteriormente a una sottosuccessione, per l’ipotesi possiamo supporre che converge uniformemente a una funzione , che è continua in quanto limite uniforme di funzioni continue. Dato che è chiuso e limitato, per il teorema di Weierstrass sia che le sono tutte limitate. Per convergenza uniforme, esiste tale che
(14)
Chiamando e scrivendo tale disuguaglianza per , grazie a (13) si ottiene
(15)
che è una contraddizione per abbastanza grande.
Supponiamo ora per assurdo che la successione non sia equicontinua. Allora, negando la definizione di equicontinuità, esiste tale che, per ogni , esistono e tali che
(16)
A meno di definire in modo tale che , otteniamo una sottosuccessione di e, a meno di passare ulteriormente a una sottosuccessione, per l’ipotesi possiamo supporre che converge uniformemente a una funzione .
Poiché è chiuso e limitato, per il teorema di Bolzano-Weiestrass esiste una ulteriore sottosuccessione (che per semplicità di notazione indichiamo sempre con ) e dei punti tali che
(17)
e inoltre per la prima disuguaglianza in (16). Poiché la convergenza è uniforme, è continua e si ha
(18)
ma ciò contraddice la seconda disuguaglianza in (16).
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