Teorema delle contrazioni o Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli

Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane

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1 Introduzione

In queste note ci occupiamo di un noto teorema di analisi matematica: il Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli, o Teorema delle Contrazioni, un importante strumento nella teoria degli spazi metrici; garantisce l’esistenza e l’unicità di un punto fisso per determinate mappe di spazi metrici su sé stessi, e la sua dimostrazione fornisce un metodo costruttivo per trovarli. Il teorema prende il nome da Stefan Banach (1892-1945) e da Renato Caccioppoli (1904-1959), ed è stato formulato la prima volta da Banach nel 1922. Caccioppoli giungerà autonomamente a questo risultato nel 1931. In breve, il teorema afferma che una contrazione, ovvero una funzione che soddisfa una particolare proprietà, avente come dominio e codominio lo stesso spazio metrico ammette sempre almeno un punto fisso, ovvero un punto che viene mappato in sè stesso. Inoltre, se lo spazio metrico (Clicca qui) è completo, il punto fisso è unico. Ricordiamo che è possibile immaginare una funzione che mappa un insieme in sè stesso come una trasformazione spaziale dell’insieme. In quest’ottica, il teorema afferma che dato uno spazio metrico e una contrazione su di esso, allora esiste almeno un punto che non viene spostato dalla trasformazione e che rimane dunque fermo nella sua posizione iniziale. Tra i vari risultati notevoli circa l’esistenza di punti fissi citiamo solamente il teorema del punto fisso di Brouwer, il quale permette, ad esempio, di dimostrare che ci sono almeno due punti sulla terra con la stessa temperatura, oppure che mescolando una tazzina di caffè ci sarà almeno un punto che si trova nella stessa posizione iniziale. Nel seguito lavoriamo prima con uno spazio metrico semplice, ovvero l’insieme dei numeri reali. Gli enunciati e le relative dimostrazioni date in termini di valore assoluto saranno poi generalizzate utilizzando la nozione di distanza negli spazi metrici.

2 Contrazioni

Partiamo dalla definizione di una contrazione.

Definizione 1. Sia $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervallo. Chiamiamo contrazione su $I$ una funzione $f: I \to I$ che sia Lipschitziana con costante di Lipschitz minore di uno. In altri termini, esiste una costante $0<L<1$ tale che

$|f(x) - f(y)| \leq L |x-y| \qquad \forall x,y \in I.$

Osserviamo che una contrazione è necessariamente una funzione continua, in quanto ogni funzione Lipschitziana (clicca qui) lo è. La definizione più generale di contrazione, valida per spazi metrici, può essere riscritta nel modo seguenete.

Definizione 2. Sia $(X,d)$ uno spazio metrico. Chiamiamo contrazione su $X$ una funzione $f: X\to X$ per cui vale la seguente proprietà: esiste una costante $L\in (0,1)$ tale che

$d(f(x), f(y)) \leq L\,d(x,y) \qquad \forall x,y \in X.$

Possiamo pensare a una contrazione come una funzione che mappa uno spazio metrico in se stesso con la proprietà che presi due punti qualunque $x$ e $y$ , se consideriamo le loro immagini $f(x),f(y)$ noteremo che si sono avvicinati rispetto alla distanza iniziale tra $x$ e $y$ .

Un esempio estremamente semplice di contrazione è la funzione $f(x) = Lx$ per qualunque $0< L < 1$ definita su tutto $\mathbb{R}$ infatti

$| f(x) - f(y) | = |Lx - Ly| = L |x-y|.$

3 Teorema delle contrazioni

Possiamo finalmente enunciare e dimostrare il suddetto Teorema. Per capire la dimostrazione avremo bisogno di uno degli strumenti classici dell’analisi: la nozione di successione di Cauchy (clicca qui) e la sua convergenza su insiemi chiusi (o in generale in spazi metrici completi). Partiamo dall’enunciato del teorema.

Teorema 1 (Banach-Caccioppoli). Sia $I$ un intervallo chiuso e sia $f: I \to I$ una contrazione, allora esiste ed è un unico un punto $c\in I$ tale che $f(c) = c$ .

In altri termini ogni contrazione definita su uno spazio metrico completo ammette uno e un solo punto fisso.

Dimostrazione (Unicità). Supponiamo per il momento che esista almeno un punto fisso e dimostriamone l’unicità. Se per assurdo esistessero due punti fissi $c_1 \neq c_2$ tale che $f(c_1) = c_1$ e $f(c_2) = c_2$ , allora

$|c_1 - c_2| = |f(c_1) - f(c_2)| \leq L |c_1 - c_2|.$

Dividendo i membri della disuguaglianza per $|c_1 - c_2|\neq 0$ otteniamo $1 \leq L$ ovvero $L \geq 1$ contro l’ipotesi iniziale che $f$ fosse una contrazione. Abbiamo trovato dunque un assurdo dovuto al fatto che avevamo supposto l’esistenza di due punti fissi diversi: se tale punto fisso esiste deve essere unico.

Esistenza. Fissiamo arbitrariamente un $x_0 \in I$ e definiamo ricorsivamente la successione $\{x_n\}_{n\in\mathbb{R}}$ come $f(x_{n-1})$ ovvero

$x_1 = f(x_0), \quad x_2 = f(x_1) = f(f(x_0)), \quad \dots, \quad x_n = f(x_{n-1}) = f^n(x_0),$

dove indichiamo con $f^n$ la composizione di $f$ con se stessa $n$ volte.
Allo stesso modo, utilizzando il fatto che $f$ è una contrazione abbiamo:

$|x_{n+1} - x_n| = |f(x_n) - f(x_{n-1})| \leq L |x_n - x_{n-1}| = L | f(x_{n-1}) - f(x_{n-2})|\leq L^2 | x_{n-1} - x_{n-2}|.$

Continuando in questo modo, otteniamo per induzione

$|x_{n+1} - x_n| \leq L^n |x_1 - x_0 |$

da cui segue che $x_n$ è una successione di Cauchy.
Infatti, $\forall \varepsilon > 0, \exists N_\varepsilon$ tale che per ogni $m > n > N_\varepsilon$ possiamo usare la disuguaglianza triangolare per ottenere

$| x_m - x_n | \leq \sum_{k=n}^{m-1}|x_{k+1} -x_k| \leq \sum_{k=n}^{m-1} L^k |x_1 - x_0|= \left( \sum_{k=n}^{m-1} L^k \right) |x_1 - x_0|$

utilizzando la formula per il calcolo delle somme parziali della serie geometrica [1] otteniamo che

$| x_m - x_n | \leq\frac{L^n - L^m}{1-L} |x_1 - x_0| \leq \frac{|x_1 - x_0| L^n}{1-L}.$

Dal fatto che $L<1$ deduciamo che l’ultima espressione è piccola a piacere, ovvero minore di un qualunque $\varepsilon >0$ a patto di prendere $n>N_\varepsilon$ , con $N_\varepsilon$ abbastanza grande.

Dato che $\{x_n\}_{n\in\mathbb{R}}$ è una successione di Cauchy e $I$ è per ipotesi un intervallo chiuso, sappiamo che $\exists \,c \in I$ tale che $x_n \to c.$

A questo punto, dal fatto che le contrazioni sono funzioni continue concludiamo

$\lim_{n\to +\infty} f\left(x_n\right) = f\left( \lim_{n\to +\infty} x_n\right)=f(c),$

in quanto abbiamo già osservato che $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n = c$ . Ricordando che $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n= \lim_{n\to +\infty} x_{n+1}$ e che $\displaystyle x_{n+1} = f(x_n)$ abbiamo:

$c = \lim_{n\to +\infty} x_{n+1} = \lim _{n\to +\infty}f(x_n) = f\left(\lim_{n\to +\infty} x_n\right) = f(c)$

cioè che $c$ è un punto fisso per la contrazione $f$ .

Finiamo con una piccola generalizzazione del teorema precedente.

Teorema 2 (generalizzazione). Sia $I$ un intervallo chiuso e sia $f: I \to I$ una funzione tale che $f^p$ è una contrazione, allora esiste un unico punto $c$ tale che $f(c) = c$ .

Dimostrazione. Osserviamo in maniera preliminare che se $f$ avesse un punto fisso, questo dovrebbe essere necessariamente unico in quanto ogni punto fisso di $f$ è anche un punto fisso di $f^p$ che è una contrazione e che quindi, per il teorema precedente, ha un unico punto fisso. Per ipotesi $f^p$ è una contrazione ovvero esiste un punto $c$ tale che $f^p(c) = c$ . Applicando $f$ a entrambi i membri otteniamo

$f^{p+1}(c) = f^p (f(c)) = f(c)$

ma questo significa $f(c)$ è un punto fisso per la contrazione $f^p$ . Ma nel teorema precedente abbiamo dimostrato che esiste un unico punto fisso per cui deve valere che i due punti fissi sono in realtà lo stesso ovvero che $f(c) = c$ che è proprio quello che volevamo dimostrare.

Osservazione. L’applicazione più nota del Teorema delle Contrazioni è nella dimostrazione del Teorema di Picard-Lindelöf riguardo l’esistenza e l’unicità di soluzioni di determinate equazioni differenziali ordinarie. La soluzione cercata è espressa come un punto fisso di un opportuno operatore integrale che trasforma funzioni continue in funzioni continue. Il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli è quindi usato per mostrare che questo operatore integrale ha un unico punto fisso. Un’altra importante applicazione è il teorema della funzione implicita in spazi di Banach.

1. $\displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n}x^k=\dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}\,\,\text{se}\,\, x\neq 1$ . ↩