Teorema delle contrazioni o Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli

Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane

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Il teorema delle contrazioni

La costante di Lipschtz di una funzione f \colon X \to X fornisce una misura di quanto essa dilati le distanze tra i punti di X. Se tale costante è strettamente minore di 1, f avvicina i punti e quindi viene detta una contrazione.
Questa proprietà di contrazione, avvicinando punti inizialmente più distanti, suggerisce l’idea intuitiva che, partendo da un punto x_0 \in X e applicandovi ripetutamente f, la successione ottenuta tenda a stabilizzarsi. Se l’insieme X ha delle proprietà di chiusura, essa tenderà a un elemento \bar{x} \in X che risulta essere un punto fisso di f, ossia tale che f(\bar{x})=\bar{x}. Tale punto fisso è inoltre unico.

Il teorema delle contrazioni, dovuto ai matematici Stefan Banach (1892-1945) e Renato Caccioppoli (1904-1959), formalizza questa idea ed è quindi un fondamentale criterio per stabilire l’esistenza di punti fissi tra particolari spazi metrici.

In questo articolo forniamo la classica dimostrazione costruttiva del teorema, con uno sguardo a una sua leggera generalizzazione. Se desideri approfondire questo importante strumento dell’Analisi Matematica, non ti resta che continuare la lettura!

2    Contrazioni

Partiamo dalla definizione di una contrazione.

 

Definizione 1. Sia I \subseteq \mathbb{R} un intervallo. Chiamiamo contrazione su I una funzione f: I \to I che sia Lipschitziana con costante di Lipschitz minore di uno. In altri termini, esiste una costante 0<L<1 tale che

    \[|f(x) - f(y)| \leq L |x-y| \qquad \forall x,y \in I.\]

 

Osserviamo che una contrazione è necessariamente una funzione continua, in quanto ogni funzione Lipschitziana (clicca qui) lo è. La definizione più generale di contrazione, valida per spazi metrici, può essere riscritta nel modo seguenete.

 

Definizione 2. Sia (X,d) uno spazio metrico. Chiamiamo contrazione su X una funzione f: X\to X per cui vale la seguente proprietà: esiste una costante L\in (0,1) tale che

    \[d(f(x), f(y)) \leq L\,d(x,y) \qquad \forall x,y \in X.\]

 

Possiamo pensare a una contrazione come una funzione che mappa uno spazio metrico in se stesso con la proprietà che presi due punti qualunque x e y, se consideriamo le loro immagini f(x),f(y) noteremo che si sono avvicinati rispetto alla distanza iniziale tra x e y.

Un esempio estremamente semplice di contrazione è la funzione f(x) = Lx per qualunque 0< L < 1 definita su tutto \mathbb{R} infatti

    \[| f(x) - f(y) | = |Lx - Ly| = L |x-y|.\]

 

3   Teorema delle contrazioni

 

Possiamo finalmente enunciare e dimostrare il suddetto Teorema. Per capire la dimostrazione avremo bisogno di uno degli strumenti classici dell’analisi: la nozione di successione di Cauchy (clicca qui) e la sua convergenza su insiemi chiusi (o in generale in spazi metrici completi). Partiamo dall’enunciato del teorema.

 

Teorema 1 (Banach-Caccioppoli). Sia I un intervallo chiuso e sia f: I \to I una contrazione, allora esiste ed è un unico un punto c\in I tale che f(c) = c.

 

In altri termini ogni contrazione definita su uno spazio metrico completo ammette uno e un solo punto fisso.

 

Dimostrazione (Unicità). Supponiamo per il momento che esista almeno un punto fisso e dimostriamone l’unicità. Se per assurdo esistessero due punti fissi c_1 \neq c_2 tale che f(c_1) = c_1 e f(c_2) = c_2, allora

    \[|c_1 - c_2| = |f(c_1) - f(c_2)| \leq L |c_1 - c_2|.\]

Dividendo i membri della disuguaglianza per |c_1 - c_2|\neq 0 otteniamo 1 \leq L ovvero L \geq 1 contro l’ipotesi iniziale che f fosse una contrazione. Abbiamo trovato dunque un assurdo dovuto al fatto che avevamo supposto l’esistenza di due punti fissi diversi: se tale punto fisso esiste deve essere unico.

 

Esistenza.  Fissiamo arbitrariamente un x_0 \in I e definiamo ricorsivamente la successione \{x_n\}_{n\in\mathbb{R}} come f(x_{n-1}) ovvero

    \[x_1 = f(x_0), \quad x_2 = f(x_1) = f(f(x_0)), \quad \dots, \quad x_n = f(x_{n-1}) = f^n(x_0),\]

dove indichiamo con f^n la composizione di f con se stessa n volte.
Allo stesso modo, utilizzando il fatto che f è una contrazione abbiamo:

    \[|x_{n+1} - x_n| = |f(x_n) - f(x_{n-1})| \leq L |x_n - x_{n-1}| = L | f(x_{n-1}) - f(x_{n-2})|\leq L^2 | x_{n-1} - x_{n-2}|.\]

Continuando in questo modo, otteniamo per induzione

    \[|x_{n+1} - x_n| \leq L^n |x_1 - x_0 |\]

da cui segue che x_n è una successione di Cauchy.
Infatti, \forall \varepsilon > 0, \exists N_\varepsilon tale che per ogni m > n > N_\varepsilon possiamo usare la disuguaglianza triangolare per ottenere

    \[| x_m - x_n | \leq \sum_{k=n}^{m-1}|x_{k+1} -x_k| \leq \sum_{k=n}^{m-1} L^k |x_1 - x_0|= \left( \sum_{k=n}^{m-1} L^k \right) |x_1 - x_0|\]

utilizzando la formula per il calcolo delle somme parziali della serie geometrica [1]  otteniamo che

    \[| x_m - x_n | \leq\frac{L^n - L^m}{1-L} |x_1 - x_0| \leq \frac{|x_1 - x_0| L^n}{1-L}.\]

Dal fatto che L<1 deduciamo che l’ultima espressione è piccola a piacere, ovvero minore di un qualunque \varepsilon >0 a patto di prendere n>N_\varepsilon, con N_\varepsilon abbastanza grande.

Dato che \{x_n\}_{n\in\mathbb{R}} è una successione di Cauchy e I è per ipotesi un intervallo chiuso, sappiamo che \exists \,c  \in I tale che x_n \to c.

A questo punto, dal fatto che le contrazioni sono funzioni continue concludiamo

    \[\lim_{n\to +\infty} f\left(x_n\right) = f\left( \lim_{n\to +\infty} x_n\right)=f(c),\]

in quanto abbiamo già osservato che \displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n = c. Ricordando che \displaystyle \lim_{n\to +\infty} x_n= \lim_{n\to +\infty} x_{n+1} e che \displaystyle x_{n+1} = f(x_n) abbiamo:

    \[c = \lim_{n\to +\infty} x_{n+1} = \lim _{n\to +\infty}f(x_n) = f\left(\lim_{n\to +\infty} x_n\right) = f(c)\]

cioè che c è un punto fisso per la contrazione f.

 

 

Finiamo con una piccola generalizzazione del teorema precedente.

 

 

Teorema 2 (generalizzazione).   Sia I un intervallo chiuso e sia f: I \to I una funzione tale che f^p è una contrazione, allora esiste un unico punto c tale che f(c) = c.

 

Dimostrazione. Osserviamo in maniera preliminare che se f avesse un punto fisso, questo dovrebbe essere necessariamente unico in quanto ogni punto fisso di f è anche un punto fisso di f^p che è una contrazione e che quindi, per il teorema precedente, ha un unico punto fisso. Per ipotesi f^p è una contrazione ovvero esiste un punto c tale che f^p(c) = c. Applicando f a entrambi i membri otteniamo

    \[f^{p+1}(c) = f^p (f(c)) = f(c)\]

ma questo significa f(c) è un punto fisso per la contrazione f^p. Ma nel teorema precedente abbiamo dimostrato che esiste un unico punto fisso per cui deve valere che i due punti fissi sono in realtà lo stesso ovvero che f(c) = c che è proprio quello che volevamo dimostrare.

 

 

Osservazione. L’applicazione più nota del Teorema delle Contrazioni è nella dimostrazione del Teorema di Picard-Lindelöf riguardo l’esistenza e l’unicità di soluzioni di determinate equazioni differenziali ordinarie. La soluzione cercata è espressa come un punto fisso di un opportuno operatore integrale che trasforma funzioni continue in funzioni continue. Il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli è quindi usato per mostrare che questo operatore integrale ha un unico punto fisso. Un’altra importante applicazione è il teorema della funzione implicita in spazi di Banach.

 

 

1. \displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n}x^k=\dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}\,\,\text{se}\,\, x\neq 1.

 

 

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