Serie di Fourier – Teoria e applicazioni

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Le serie di Fourier, originariamente sviluppate per la risolvere l’equazione del calore, costituiscono un importante strumento dell’Analisi Matematica. Sotto opportune ipotesi, esse permettono di scrivere una funzione periodica come somma di infinite funzioni sinusoidali del tipo $\sin(kx), \cos(kx)$ al variare di $k \in \mathbb{N}$ . Le potenzialità di questa scrittura in serie sono notevoli, in quanto consentono di ridurre un problema relativo a una generica funzione periodica a più problemi relativi a funzioni sinuoidali che possono essere di più facile soluzione, potendo così ottenere una soluzione anche al problema originario. In questa dispensa gettiamo le basi teoriche sulle serie di Fourier e le loro applicazioni. Più in dettaglio, i temi trattati sono i seguenti:

Definizione di coefficienti e serie di Fourier;
Relazione tra le proprietà di una funzione periodica e il suo sviluppo in serie di Fourier;
Criteri di convergenza puntuale, uniforme e in norma quadratica delle serie di Fourier;
Derivazione e integrazione delle serie di Fourier;
Applicazioni alla risoluzioni di equazioni alle derivate parziali, come quelle del calore e delle onde.

La dispensa risulta corredata di numerosi grafici che permettono al lettore di toccare con mano gli sviluppi in serie considerati e le loro interpretazioni pratiche. Il testo è quindi utile sia a chi desidera un’approccio intuitivo all’argomento, sia a chi desidera approfondirlo dal punto di vista teorico. Cosa aspetti quindi? Continua pure la lettura!

Segnaliamo inoltre le seguenti pagine su argomenti collegati:

Sommario

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Questa dispensa consiste in un’introduzione alle serie di Fourier. Vengono fornite le motivazioni intuitive della teoria, i principali teoremi di convergenza e numerosi esempi illustrati. Infine, viene presentata un’applicazione delle serie di Fourier alla risoluzione delle equazioni del calore e delle onde.

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi, Roberto Castorrini

Revisori: Valerio Brunetti, Davide La Manna, Daniele Ritelli, Sara Sottile, Matteo Talluri.

Notazioni

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$\mathbb{N}$	insieme dei numeri naturali positivi;
$\mathbb{Z}$	insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{R}$	insieme dei numeri reali;
$\mathbb{C}$	insieme dei numeri complessi;
$\langle f, g \rangle_H$	prodotto scalare nello spazio vettoriale $H$ ;
$\tilde{P}_{2\pi}$	spazio delle funzioni reali periodiche di periodo $2\pi$ , limitate e integrabili secondo Riemann;
$\tilde{P}_{2\pi}(\mathbb{C})$	spazio delle funzioni a valori complessi, periodiche di periodo $2\pi$ , limitate e integrabili secondo Riemann;
$\langle f, g \rangle$	prodotto scalare nello spazio $\tilde{P}_{2\pi}$ ;
$f(x_0^-)$ , $f(x_0^+)$	limiti rispettivamente sinistro e destro della funzione $f$ nel punto $x_0$ .

Introduzione

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In questa dispensa si vuole introdurre il concetto di Serie di Fourier di una funzione di variabile reale. Lo scopo delle serie di Fourier è di decomporre una funzione in una somma di funzioni elementari, generalmente trigonometriche. Si vuole cioè comprendere se una funzione $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ possa essere scritta come una combinazione lineare infinita, ovvero una serie, di funzioni trigonometriche, cioè

(1) $\begin{equation*} f(x)=a_0+\sum_{k=1}^\infty \big( a_{k}\cos(k x)+b_{k}\sin(kx) \big) \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

con $a_0\in \mathbb{R}$ e $a_k,b_k$ successioni in $\mathbb{R}$ . Le potenzialità di simili identità sono innumerevoli: mostreremo nelle sezioni 3 e 4 alcune applicazioni.

In analogia a quanto avviene negli spazi euclidei, l’idea soggiacente alla (1) è la seguente: si vede $f$ come un elemento di uno spazio vettoriale e, grazie a un’opportuna nozione di prodotto scalare in tale spazio, si può proiettare $f$ su particolari funzioni aventi proprietà simili ai versori di una base ortonormale; quindi si cerca di scrivere $f$ come la serie di tali proiezioni.

Il primo a proporre un tale approccio allo scopo di studiare la propagazione del calore fu il matematico francese J.B. Joseph Fourier (1768–1830). Nei suoi primi risultati Fourier concludeva che una qualsiasi funzione periodica continua (o regolare a tratti) poteva essere espressa come somma di funzioni trigonometriche. I risultati di Fourier furono ripresi, formalizzati e generalizzati più avanti da Dirichlet¹ (1805-1859) e Riemann² (1826-1866).

In relazione a (1), ci porremo le seguenti domande.

$\quad$

Quali funzioni $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ si possono scrivere come in (1)?

In tal caso, che relazione esiste tra $f$ e i coefficienti $a_0,a_k,b_k$ ?

Esistono nozioni di convergenza diversa da quella puntuale per cui la serie al membro di destra in (1) converga a $f$ ?

Nel seguito affronteremo queste questioni evidenziandone i punti principali, nonostante una comprensione completa della teoria sia possibile soltanto attraverso lo studio degli spazi di Hilbert, per la quale rimandiamo il lettore a testi specializzati: consigliamo ad esempio [2, capitoli 5 e 6] e [8, capitolo 4].

La dispensa è così organizzata.

$\quad$

Nella sezione 1 introduciamo le serie di Fourier: vedremo che esse sono l’analogo della scrittura in componenti di un vettore $v$ rispetto a una base ortonormale dello spazio ambiente in cui esso si trova. Considereremo un particolare spazio $\tilde{P}_{2\pi}$ di funzioni periodiche, determineremo una sua base hilbertiana e chiameremo la scrittura in componenti di una funzione $f$ rispetto a tale base serie di Fourier di $f$ .

Nella sezione 2 studieremo le relazioni tra una funzione $f$ e la sua serie di Fourier. Forniremo formule per il calcolo dei coefficienti di Fourier $a_k,b_k$ e tratteremo la relazione tra questi e le simmetrie della funzione. Inoltre affronteremo il problema della convergenza della serie di Fourier alla funzione che l’ha generata: studieremo la convergenza di tipo puntuale, uniforme e rispetto a una naturale distanza introdotta nello spazio di funzioni che stiamo considerando. Si stabiliranno poi delle condizioni sufficienti per l’integrazione e la derivazione delle serie di Fourier.

Nella sezione 3 presenteremo numerosi esempi illustrati di calcolo delle serie di Fourier di funzioni periodiche. La convergenza della serie potrà essere intuita attraverso i grafici raffiguranti alcune somme parziali della serie in (1); utilizzeremo inoltre i risultati di convergenza per determinare delle interessanti identità per delle serie numeriche.

Nella sezione 4 mostreremo due applicazioni pratiche molto importanti delle serie di Fourier: la soluzione delle equazioni del calore e delle onde. Il primo di questi problemi, come già anticipato, è stato il principale motivo che portò Fourier a sviluppare questo strumento.

In appendice A studieremo in maggiore dettaglio le proprietà astratte del prodotto scalare e della norma in $\tilde{P}_{2\pi}$ , chiarendo ulteriormente il contesto matematico in cui operano le serie di Fourier.

Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav (1829). “Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données” . Journal für die reine und angewandte Mathematik. ↩

Mascre, D.; Riemann, Bernhard (1867), “Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Trigonometric Series”, in Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Elsevier (published 2005), p. 49, ISBN 9780080457444. ↩

Le serie di Fourier

Motivazioni.

In questa sezione introduciamo il principale oggetto di studi di questa dispensa: le serie di Fourier. L’idea principale dell’argomento è fornita dalla seguente digressione. Nello spazio euclideo $\mathbb{R}^n$ dotato del prodotto scalare usuale

(2) $\begin{equation*} \langle a , b \rangle_{\mathbb{R}^n} \coloneqq \sum_{i=1}^n a_i b_i, \end{equation*}$

risulta definita una norma, ossia un modo per misurare le lunghezze di vettori, definita come

(3) $\begin{equation*} \|a\|= \sqrt{\langle a , a \rangle_{\mathbb{R}^n}} = \left( \sum_{i=1}^n a_i^2\right)^{\frac{1}{2}} \qquad \forall a \in \mathbb{R}^n. \end{equation*}$

È inoltre possibile definire particolari basi $\{e_1,\dots,e_n\}$ , dette ortonormali, costituite da vettori di norma unitaria a due a due ortogonali, cioè tali che

(4) $\begin{equation*} \langle e_i , e_j \rangle_{\mathbb{R}^n} = \begin{cases} 1 & \text{se } i=j\\ 0 & \text{se } i \neq j. \end{cases} \end{equation*}$

Ad esempio, la base canonica di $\mathbb{R}^n$

(5) $\begin{equation*} \mathcal{E} = \{e_1,\dots,e_n\} = \{(1,0,\dots,0),(0,1,0,\dots,0),\dots,(0,\dots,0,1) \} \end{equation*}$

è ortonormale. Data una base ortonormale $\mathcal{E}$ , è noto che un generico vettore $v \in \mathbb{R}^n$ si può scrivere come somma delle sue proiezioni sugli elementi della base:

(6) $\begin{equation*} v= \sum_{k=1}^n \langle v , e_k \rangle_{\mathbb{R}^n} e_k, \end{equation*}$

dove $\langle v , e_k \rangle_{\mathbb{R}^n} e_k$ è appunto la proiezione di $v$ lungo $e_k$ .

L’idea di utilizzare il prodotto scalare per scomporre un vettore $v \in \mathbb{R}^n$ nella somma delle sue componenti rispetto a una base ortonormale ha innumerevoli applicazioni.

Una domanda naturale è pertanto sotto quali condizioni la si possa riprodurre in spazi vettoriali di dimensione infinita costituiti da funzioni, dotati di un prodotto scalare. Tra questi, il seguente riveste particolare rilevanza nelle applicazioni.

Definizione 1.1 (lo spazio $\tilde{P}_{2\pi}$ ). Si denota con $\tilde{P}_{2\pi}$ l’insieme costituito dalle funzioni $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ periodiche di periodo $2\pi$ , integrabili secondo Riemann in $[0,2\pi]$ .

$\quad$

Rispetto alla somma di funzioni e al prodotto per costanti, $\tilde{P}_{2\pi}$ è uno spazio vettoriale. Ci si può allora porre la seguente domanda.

Domanda 1.2. È possibile generalizzare il concetto di base ortonormale in $\tilde{P}_{2\pi}$ così da ottenere l’analogo di (6) in $\tilde{P}_{2\pi}$ ?

Ci si chiede quindi se si possa determinare una sorta di base ortonormale di $\tilde{P}_{2\pi}$ , ossia un insieme (infinito) $\mathcal{E}$ di funzioni di $\tilde{P}_{2\pi}$ che permettano di scrivere ogni funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ come serie delle proiezioni di $f$ rispetto alle funzioni della base $\mathcal{E}$ . Tale procedura richiede appunto che sia definito il concetto di prodotto scalare su $\tilde{P}_{2\pi}$ .

Osserviamo che un vettore $v \in \mathbb{R}^n$ può essere pensato come una funzione $v \colon \{1,\dots,n\} \to \mathbb{R}$ , ossia come una funzione che associa a ogni numero naturale $i$ tra $1$ e $n$ un numero reale, costituito dalla sua componente $i$ -esima. Analogamente, una funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ , cioè una funzione $f \colon [0,2\pi] \to \mathbb{R}$ , può essere intuitivamente pensata come un vettore a infinite componenti, aventi come indici i numeri reali nell’intervallo $[0,2\pi]$ . Pertanto risulta naturale definire il prodotto scalare tra due funzioni $f,g \in \tilde{P}_{2\pi}$ come

(7) $\begin{equation*} \langle f,g \rangle \coloneqq \int_0^{2\pi}f(x) g(x) \,\mathrm{d} x. \end{equation*}$

Si vede che questa definizione è analoga a (2): si effettua il prodotto “componente per componente” e se ne calcola la somma (o l’integrale).

Analogamente ai vettori in spazi euclidei, due funzioni $f,g$ si dicono ortogonali se $\langle f, g \rangle=0$ .

Nell’appendice A studiamo in maggiore dettaglio le proprietà di questo prodotto scalare; qui ci limitiamo a sottolineare che, se $f,g \in \tilde{P}_{2\pi}$ , allora il valore dell’integrale in (7) è lo stesso per ogni intervallo di lunghezza $2\pi$ , infatti per ogni $y \in \mathbb{R}$ , esiste $k \in \mathbb{Z}$ tale che $y \in (2k\pi,2(k+1)\pi]$ e dunque si ha

(8) $\begin{equation*} \begin{split} \int_y^{y+2\pi} \! f(x) \,\mathrm{d} x &= \int_{y}^{2(k+1)\pi} \! f(x) \,\mathrm{d} x + \int_{2(k+1)\pi}^{y+2\pi} f(x) \,\mathrm{d} x \\ &= \int_{y-2k\pi}^{2\pi} \! f(x) \,\mathrm{d} x + \int_{0}^{y-2k\pi} \! f(x) \,\mathrm{d} x \\ &= \int_0^{2\pi} \! f(x) \,\mathrm{d} x. \end{split} \end{equation*}$

Tale prodotto scalare definisce una “norma”, analogamente a quanto avviene in $\mathbb{R}^n$ :

(9) $\begin{equation*} \|f\| = \sqrt{\langle f,f\rangle} = \left( \int_0^{2\pi}f(x)^2 \,\mathrm{d} x. \right)^{\frac{1}{2}} \qquad \forall f \in \tilde{P}_{2\pi}. \end{equation*}$

In appendice A il lettore può trovare la definizione generale di norma e le proprietà di questa appena definita. Abbiamo inserito il termine “norma” tra virgolette poiché, a rigore, essa è soltanto una seminorma (osservazione A.6). Ciononostante sarebbe formalmente possibile definire una norma come quella in (9), come chiarito nell’osservazione A.6. Pertanto continueremo ad usare il termine norma nel corso della dispensa per riferici a tale seminorma, sebbene esso sia leggermente impreciso. Come una base ortonormale in $\mathbb{R}^n$ è un insieme di vettori ortonormali (cioè di norma unitaria e a due a due ortogonali) e completo (cioè l’unico vettore ortogonale a ognuno di essi è quello nullo), possiamo definire una nozione analoga, detta di base hilbertiana, in $\tilde{P}_{2\pi}$ .

Definizione 1.3 (base hilbertiana). Una famiglia di funzioni $\mathcal{E}=\{e_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ in $\tilde{P}_{2\pi}$ è detta una base hilbertiana di $\tilde{P}_{2\pi}$ se soddisfa le seguenti condizioni:

$\quad$

ortonormalità³:
(10) $\begin{equation*} \langle e_k, e_h \rangle = \delta_{kh} \coloneqq \begin{cases} 1 & \text{se } k = h\\ 0 & \text{se } k \neq h; \end{cases} \end{equation*}$

completezza: l’unica funzione continua⁴ $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ ortogonale a tutte le $e_k$ è la funzione nulla, ossia
(11) $\begin{equation*} f \text{ continua e } \langle f, e_k \rangle = 0 \quad \forall k \in \mathbb{N} \qquad \iff \qquad f(x) = 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\quad$

Osservazione 1.4. (differenza tra basi algebriche e hilbertiane). Nonostante l’analogia tra i concetti di base ortonormale in $\mathbb{R}^n$ e quello di base hilbertiana in $\tilde{P}_{2\pi}$ , una base hilbertiana di $\tilde{P}_{2\pi}$ non è in generale una sua base algebrica. Infatti, una base $\mathcal{B}$ algebrica (detta anche “di Hamel”) di uno spazio vettoriale $H$ è un insieme di vettori tali che ogni elemento di $H$ si scrive in modo unico come combinazione lineare finita degli elementi di $\mathcal{B}$ .

Vedremo invece (teoremi 2.14 e A.11) che ogni elemento $f \in\tilde{P}_{2\pi}$ si può ottenere come limite di una serie, ossia come una sorta di combinazione lineare infinita di elementi di una base hilbertiana $\mathcal{E}$ di $\tilde{P}_{2\pi}$ .

Sottolineiamo inoltre che la definizione di base hilbertiana può essere data nel contesto più generale degli spazi di Hilbert, risultando dunque leggermente diversa da questa proposta, che è un caso particolare della stessa applicata allo spazio $\tilde{P}_{2\pi}$ .

Le nozioni di sistema e base ortonormale permettono di definire quella di proiezione, per cui valgono proprietà analoghe a quelle delle proiezioni in spazi euclidei. Riportiamo inoltre la disuguaglianza di Bessel, che è una sorta di “versione parziale” del teorema di Pitagora in $\tilde{P}_{2\pi}$ , che corrisponde invece all’identità di Parseval (74).

Proposizione 1.5. Sia $\{e_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ una successione di funzioni ortonormali in $\tilde{P}_{2\pi}$ , cioè soddisfacenti (10), e sia $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ . Si fissi $n \in \mathbb{N}$ e si consideri la proiezione $f_n \coloneqq \sum_{k=1}^n \langle f, e_k \rangle e_k$ di $f$ su $V_n\coloneqq \operatorname{span}(e_1,\dots,e_n)$ . Valgono le seguenti proprietà.

$\quad$

Teorema di Pitagora. $\displaystyle \| f_n\|^2 = \sum_{k=1}^n \big(\langle f, e_k \rangle\big)^2$ .

Proprietà della proiezione. $f-f_n$ è ortogonale a ogni elemento di $V_n$ e $f_n$ è l’elemento di $V_n$ che minimizza la distanza $\|f- u\|$ al variare di $u \in V_n$ .

Disuguaglianza di Bessel. Si ha $\|f_n\| \leq \|f\|$ e
(12) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} (\langle f, e_k \rangle)^2 \leq \|f\|^2. \end{equation*}$
In particolare, vale $\displaystyle \lim_{k \to +\infty} \langle f, e_k \rangle = 0$ .

$\quad$

Dimostrazione.

Dalla definizione di $f_n$ segue
(13) $\begin{equation*} \|f_n\|^2 = \left \langle \sum_{k=1}^n \langle f, e_k \rangle e_k, \sum_{j=1}^n \langle f, e_j \rangle e_j \right \rangle = \sum_{k,j=1}^n \langle f, e_k \rangle \langle f, e_j \rangle \langle e_j, e_k \rangle \overset{10}{=} \sum_{k=1}^n \big(\langle f, e_k \rangle\big)^2, \end{equation*}$
dove nella seconda uguaglianza abbiamo usato la bilinearità del prodotto scalare.

Per mostrare che $f - f_n$ è ortogonale a ogni elemento di $V_n$ , basta provare che $f-f_n$ è ortogonale a $e_1,\dots,e_n$ . Fissiamo quindi $j \in \{1,\dots,n\}$ ; si ha
(14) $\begin{equation*} \langle f - f_n, e_j \rangle = \langle f, e_j \rangle - \left \langle \sum_{k=1}^n \langle f,e_k \rangle e_k, e_j \right \rangle = \langle f, e_j \rangle - \sum_{k=1}^n \langle f,e_k \rangle \langle e_k,e_j \rangle \overset{10}{=} \langle f, e_j \rangle - \langle f, e_j \rangle = 0. \end{equation*}$
Sia $u \in V_n$ . Vale
(15) $\begin{equation*} \|u- f\|^2 = \langle (u - f_n)+(f_n-f), (u - f_n)+(f_n-f) \rangle = \|u - f_n\|^2 + \|f_n- f\|^2 \geq \|f_n - f\|^2, \end{equation*}$
dove la seconda uguaglianza segue dal fatto che $u-f_n \in V_n$ e che $f_n-f$ è ortogonale a ogni elemento di $V_n$ . La disuguaglianza (15) implica che $f_n$ minimizza la distanza da $f$ tra tutti gli elementi di $V_n$ .

Si ha
(16) $\begin{equation*} \begin{split} \|f\|^2 \langle (f - f_n) + f_n , (f - f_n) + f_n \rangle &= \langle f - f_n , f - f_n \rangle + 2 \langle f - f_n, f_n \rangle + \langle f_n , f_n \rangle \\ &= \|f - f_n\|^2 + \|f_n\|^2 \\ &\geq \|f_n\|^2 \end{split} \end{equation*}$
dove $\langle f-f_n, f_n \rangle=0$ segue dal fatto che $f_n \in V_n$ e che $f-f_n$ è ortogonale a ogni elemento di $V_n$ . Passando al limite tale disuguaglianza per $n \to + \infty$ , si ottiene (12). Poiché la serie numerica in (12) è convergente, il suo termine generale è infinitesimo, e ciò prova l’ultima asserzione.

Vedremo più avanti, con l’identità di Parseval (74), che se il sistema $\{e_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ è una base hilbertiana, nella disuguaglianza di Bessel vale in realtà l’uguaglianza.

Tra le funzioni di $\tilde{P}_{2\pi}$ , assumono particolare importanza per le applicazioni le funzioni trigonometriche definite da

(17) $\begin{equation*} \cos(kx), \quad \sin(kx) \qquad \forall k \in \mathbb{N}\cup\{0\},\,\,\, \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Risulta quindi naturale porsi la seguente domanda.

Domanda 1.6. Esiste una base hilbertiana di $\tilde{P}_{2\pi}$ formata da opportuni multipli delle funzioni in (17)?

Il simbolo $\delta_{kh}$ è detto delta di Kronecker. ↩

La continuità di $f$ è essenziale perché in $\tilde{P}_{2\pi}$ vi sono funzioni discontinue aventi prodotto scalare nullo con qualunque altra funzione, ma non identicamente nulle: si veda la funzione definita in (253). L’ipotesi di continuità si potrebbe rimuovere con l’introduzione dell’integrale di Lebesgue e identificando funzioni che coincidono quasi ovunque, ma ciò esula dagli scopi della dispensa. ↩

Una base hilbertiana: serie di Fourier.

La risposta alla precedente domanda è affermativa: la base hilbertiana che presentiamo, di fondamentale importanza, produce le serie di Fourier. Osserviamo che le funzioni trigonometriche $\varphi_k,\psi_k$ che considereremo sono pari alle funzioni $\sin(kx),\cos(kx)$ moltiplicate per delle opportune costanti: ciò è necessario affinché esse abbiano norma unitaria.

Proposizione 1.7 (base di Fourier). Il sistema $\mathcal{E}$ formato dalle funzioni $\varphi_k,\psi_k \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definite da

(18) $\begin{gather*} \varphi_0(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \qquad \forall x \in \mathbb{R} \\ \varphi_k(x) = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(kx), \quad \psi_k(x) = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(kx) \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\,\, \forall x \in \mathbb{R} \end{gather*}$

è una base hilbertiana di $\tilde{P}_{2\pi}$ , detta base di Fourier.

$\quad$

Dimostrazione (parziale). Mostriamo soltanto che il sistema $\mathcal{E}$ è ortonormale, senza provare la sua completezza, la quale utilizza strumenti maggiormente avanzati che esulano dai nostri scopi. Rimandiamo il lettore ad esempio a [8, 4.24] per un argomento abbastanza diretto, mentre un approccio più astratto ma più generale si può trovare in [2, commenti al cap. 5, teorema 6.11, teorema 8.22 e relativo esempio].

Dimostriamo che $\langle \varphi_k, \varphi_h \rangle = \delta_{kh}$ per $h,k \in \mathbb{N}$ . Si ha

(19) $\begin{equation*} \begin{split} \langle \varphi_k, \varphi_h \rangle &= \dfrac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \cos(kx) \cos(hx) \,\mathrm{d} x \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \Big( \cos((k+h)x) + \cos((k-h)x) \Big) \,\mathrm{d} x \\ &= \begin{cases} 1 & \text{se } h=k\\ 0 & \text{se } h \neq k, \end{cases} \end{split} \end{equation*}$

dove nella seconda uguaglianza è stata usata la formula di Werner

(20) $\begin{equation*} \cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}\left(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\right), \end{equation*}$

mentre nella terza si è usato il fatto che

(21) $\begin{equation*} \int_0^{2\pi} \cos(mx) \,\mathrm{d} x = \begin{cases} 2\pi & \text{se } m =0\\ 0 & \text{se } m \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}. \end{cases} \end{equation*}$

Gli altri casi si mostrano in maniera del tutto analoga, usando le rispettive formule di Werner e li lasciamo come semplice esercizio per il lettore.

Poiché abbiamo provato che la base di Fourier $\mathcal{E}$ è effettivamente una base hilbertiana di $\tilde{P}_{2\pi}$ , possiamo scrivere l’analogo della somma (6) in $\tilde{P}_{2\pi}$ relativamente a questa base, ottenendo così la serie di Fourier.

Definizione 1.8 (coefficienti e serie di fourier). Data $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ , si dicono coefficienti di Fourier di $f$ le quantità

(22) $\begin{gather*} a_0 \coloneqq \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \langle f, \varphi_0 \rangle = \dfrac{1}{{2\pi}}\int_0^{2\pi} f(x) \,\mathrm{d} x, \\[4pt] \end{gather*}$

(23) $\begin{gather*} a_k \coloneqq \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \langle f, \varphi_k \rangle = \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{2\pi} \! f(x) \cos(kx) \,\mathrm{d} x, \\ \quad b_k \coloneqq \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \langle f, \psi_k \rangle = \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{2\pi} \! f(x) \sin(kx) \,\mathrm{d} x \quad \forall k \in \mathbb{N}. \end{gather*}$

La serie di funzioni

(24) $\begin{equation*} a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left(a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx) \right) \end{equation*}$

è detta serie di Fourier della funzione $f$ .

$\quad$

L’intuizione dietro alla definizione dei coefficienti di Fourier è quindi che le funzioni $\cos(kx)$ e $\sin(kx)$ sono le “direzioni” rispetto a cui si proietta $f$ e $a_k,b_k$ sono i coefficienti di tali proiezioni. La serie di Fourier di $f$ coincide con

(25) $\begin{equation*} a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left(a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx) \right) = \langle f, \varphi_0 \rangle \varphi_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \Big( \langle f, \varphi_k \rangle \varphi_k + \langle f, \psi_k \rangle \psi_k \Big), \end{equation*}$

cioè con la serie delle componenti di $f$ nelle direzioni della base $\mathcal{E}$ , ossia con l’analogo della sommatoria (6) nel caso finito-dimensionale. In altre parole, la serie di Fourier di una funzione periodica è la serie delle sue componenti rispetto alla base di Fourier.

Si osservi inoltre che il coefficiente $a_0$ è la media integrale della funzione $f$ sull’intervallo $[0,2\pi]$ . Le componenti di ordine $k$ con $k \geq 1$ vengono invece dette armoniche di $f$ . Segnaliamo inoltre che le somme parziali $n$ -esime $S_n= a_0 + \sum_{k=1}^n (a_k \cos(kx)+b_k \sin(kx))$ delle serie di Fourier vengono anche dette polinomi trigonometrici di ordine $n$ .

La proposizione 1.5 si applica alla base hilbertiana che genera la serie di Fourier: ciò mostra che il polinomio trigonometrico di ordine $n$ generato da $f$ è quello che meglio approssima, nella distanza indotta dalla norma di $\tilde{P}_{2\pi}$ , la funzione $f$ .

Proposizione 1.9 (proprietà dei polinomi trigonometrici e disuguaglianza di Bessel). Sia $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ , si fissi $n \in \mathbb{N}$ e si consideri il polinomio trigonometrico $S_n(x) = a_0 + \sum_{k=1}^n \big( a_k \cos(kx) + b_k \sin (kx) \big)$ di $f$ . $S_n$ è la proiezione di $f$ su $V_n \coloneqq \operatorname{span}\big(1,\cos x, \dots, \cos (nx), \sin x,\dots, \sin(nx)\big)$ e valgono le seguenti proprietà.

$\quad$

$\displaystyle \| S_n\|^2 = 2\pi a_0^2 + \pi \sum_{k=1}^n \big(a_k^2+b_k^2\big)$ .

$f-S_n$ è ortogonale a ogni elemento di $V_n$ e $S_n$ è l’elemento di $V_n$ che minimizza la distanza $\|f- u\|$ al variare di $u \in V_n$ .

Disuguaglianza di Bessel. Si ha $\|S_n\| \leq \|f\|$ e
(26) $\begin{equation*} 2\pi a_0^2 + \pi \sum_{k=1}^{+\infty} \left( a_k^2 + b_k^2 \right) \leq \|f\|^2. \end{equation*}$

Lemma di Riemann-Lebesgue. In particolare si ha
(27) $\begin{equation*} \lim_{k \to +\infty} a_k = \lim_{k\to +\infty} b_k = 0. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. $S_n$ è la proiezione di $f$ sul sottospazio $V_n$ per la definizione 1.8 e poiché le funzioni

(28) $\begin{equation*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos x, \dots, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos (nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin x, \dots, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin (nx), \end{equation*}$

sono una base ortonormale di $V_n$ grazie alla proposizione 1.7. Le altre affermazioni si ottengono applicando la proposizione 1.5 alla base di Fourier.

Osservazione 1.10. Vedremo, nel teorema 2.14, che la disuguaglianza di Bessel per le serie di Fourier è in realtà un’uguaglianza, detta identità di Parseval.

Primi esempi.

Esempio 1.11. Calcoliamo la serie di Fourier della funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ rappresentata in figura 1, definita da

(29) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x \in [2k\pi,\pi + 2k\pi) \text{ con } k \in \mathbb{Z}\\ 0 & \text{se } x \in [\pi + 2k\pi,2(k+1)\pi) \text{ con } k \in \mathbb{Z}. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

Figura 1: la funzione $f$ dell’esempio 1.11.

$\quad$

Da (22) si ottiene $a_0=\dfrac{1}{2}$ che, come già osservato, corrisponde alla media integrale di $f$ in $[0,2\pi]$ . Riguardo $a_k$ , da (23) si ha

(30) $\begin{equation*} a_k = \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{2\pi} f(x) \cos(kx) \,\mathrm{d} x = \dfrac{1}{{\pi}} \int_0^\pi \cos(kx) \,\mathrm{d} x = \dfrac{1}{k\pi}\Big[ \sin(kx) \Big]_0^{\pi} = 0 \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Per ciò che concerne $b_k$ , di nuovo da (23) si ricava

(31) $\begin{equation*} b_k = \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{2\pi} f(x) \sin(kx) \,\mathrm{d} x = \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{\pi} \sin(kx) \,\mathrm{d} x = -\dfrac{1}{k\pi} \Big[\cos(kx) \Big]_0^{\pi} \begin{cases} \dfrac{2}{k\pi} & \text{se } k \text{ è dispari}\\[5pt] 0 & \text{se } k \text{ è pari}. \end{cases} \end{equation*}$

Pertanto la serie di Fourier di $f$ , le cui prime somme parziali $S_n$ sono rappresentate in figura 2, è data da

(32) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2} + \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{2}{(2k+1)\pi} \sin((2k+1)x). \end{equation*}$

$\quad$

Figura 2: le prime somme parziali $S_n$ della serie di Fourier di $f$ dell’esempio 1.11. Si noti come esse, al crescere di $n$ , sembrano approssimare sempre meglio la funzione $f$ . Nonostante ciò, per ogni $n \in \mathbb{N}$ la funzione $S_n$ assume valore $\dfrac{1}{2}$ in $x=0$ . Il motivo verrà chiarito nella sezione 2.2.1.

$\quad$

Esempio 1.12. Si consideri la funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ rappresentata in figura 3 e definita da

(33) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \cos x & \text{se } x \in (2k\pi,\pi + 2k\pi) \text{ con } k \in \mathbb{Z}\\ 0 & \text{se } x \in [\pi + 2k\pi,2(k+1)\pi] \text{ con } k \in \mathbb{Z}. \end{cases} \end{equation*}$

Calcoliamone la serie di Fourier.

$\quad$

Figura 3: la funzione $f$ dell’esempio 1.12.

$\quad$

Da (22) otteniamo che

(34) $\begin{equation*} a_0 = \dfrac{1}{{2\pi}}\int_0^{2\pi} f(x) \,\mathrm{d} x = \dfrac{1}{{2\pi}} \int_0^\pi \cos x \,\mathrm{d} x = 0, \end{equation*}$

valore deducibile anche graficamente dalla figura 3. Riguardo le armoniche successive, da (23) si ha

(35) $\begin{equation*} \begin{split} a_k = & \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{2\pi} f(x) \cos(kx) \,\mathrm{d} x \\ = & \dfrac{1}{{\pi}} \int_0^\pi \cos x \cos(kx) \,\mathrm{d} x \\ = & \dfrac{1}{2{\pi}} \int_0^\pi \Big( \cos((k+1)x) + \cos((1-k)x) \Big) \,\mathrm{d} x \\ = & \begin{cases} 0 & \text{se } k \neq 1\\[6pt] \dfrac{1}{2} & \text{se } k=1, \end{cases} \end{split} \end{equation*}$

dove la terza uguaglianza segue dalla formula di Werner in (20). Sempre da (23) si ottiene

(36) $\begin{equation*} \begin{split} b_k = & \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{2\pi} f(x) \sin(kx) \,\mathrm{d} x \\ = & \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{\pi} \cos x \sin(kx) \,\mathrm{d} x \\ = & \dfrac{1}{2{\pi}} \int_0^\pi \Big( \sin((k+1)x) + \sin((k-1)x) \Big) \,\mathrm{d} x \\ =& -\dfrac{1}{2(k+1)\pi} \Big[\cos((k+1)x) \Big]_0^{\pi} - \dfrac{1}{2(k-1)\pi} \Big[\cos((k-1)x) \Big]_0^{\pi} \\ =& \begin{cases} \dfrac{2k}{(k^2-1)\pi} & \text{se } k \text{ è pari}\\[8pt] 0 & \text{se } k \text{ è dispari}, \end{cases} \end{split} \end{equation*}$

in cui alla terza uguaglianza abbiamo utilizzato la formula di Werner

(37) $\begin{equation*} \sin \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{2}\Big( \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) \Big). \end{equation*}$

La serie di Fourier di $f$ è data quindi da

(38) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2}\cos x + \sum_{j=1}^{+\infty} \dfrac{4j}{(4j^2-1)\pi} \sin(2jx) \end{equation*}$

(l’indice $j$ di tale sommatoria non corrisponde all’indice $k$ dei coefficienti di Fourier e vale $k=2j$ ). Alcuni tra i primi polinomi trigonometrici (ossia le somme parziali) $S_n=a_0 + \sum_{k=1}^{n} \left(a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx) \right)$ della serie di Fourier di $f$ sono rappresentati in figura 4.

$\quad$

Figura 4: le prime somme parziali $S_n$ della serie di Fourier di $f$ dell’esempio 1.12. Anche in questo caso, tutti i grafici delle funzioni $S_n$ passano per il punto $(0, \dfrac{1}{2})$ : il motivo sarà chiaro nella sezione 2.2.1.

$\quad$

Relazioni tra $f$ e la sua serie di Fourier

Introduzione.

Studiamo ora le relazioni tra una funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ e la sua serie di Fourier.

Osservazione 2.1. Qualora la serie di Fourier (24) converga, essa definisce senz’altro una funzione periodica di periodo $2\pi$ . Infatti, se la serie al membro di destra in (24) converge puntualmente a qualche funzione, è chiaro che essa è periodica di periodo $2\pi$ , in quanto le somme parziali della serie sono le stesse per $x$ e per $x+2\pi$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ .

Ci poniamo ora il problema dell’unicità della scrittura in serie di Fourier.

Domanda 2.2. Sia $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ e supponiamo che $\alpha_k,\beta_k \in \mathbb{R}$ siano tali che la serie

(39) $\begin{equation*} \alpha_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left(\alpha \cos(kx) + \beta_k \sin(kx) \right) \end{equation*}$

converga a $f$ . I coefficienti $\alpha_k, \beta_k$ coincidono con i coefficienti $a_k,b_k$ di Fourier?

Grazie all’ortogonalità delle funzioni definite da $\cos(kx)$ e $\sin(kx)$ e al teorema di integrazione per serie si prova che, se la serie (39) converge uniformemente a $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ , allora i coefficienti $a_k,b_k$ sono necessariamente quelli definiti in (22) e (23).

Proposizione 2.3. Si supponga che la serie in (24) converga uniformemente a una funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ . Allora i coefficienti $a_k,b_k$ soddisfano le relazioni in (22) e (23).

$\quad$

Dimostrazione. Si supponga che

(40) $\begin{equation*} f(x) = a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left(a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx) \right) \qquad \forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}$

e che la convergenza della serie sia uniforme, [6, definizione 2.5].

$\quad$

Cominciamo col mostrare (22). Integrando ambo i membri di (24) tra $0$ e $2\pi$ si ottiene
(41) $\begin{equation*} \begin{split} \int_0^{2\pi} f(x) \,\mathrm{d} x = & \int_0^{2\pi} \left( a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left(a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx) \right) \right) \,\mathrm{d} x \\ = & \int_0^{2\pi} a_0 \,\mathrm{d} x + \sum_{k=1}^{+\infty} \left( \int_0^{2\pi} a_k \cos(kx) \,\mathrm{d} x + \int_0^{2\pi} b_k \sin(kx) \,\mathrm{d} x \right) \\ = & 2\pi a_0, \end{split} \end{equation*}$
dove nella seconda uguaglianza si è integrato per serie (grazie alla convergenza uniforme dei polinomi trigonometrici) e nella terza si è usato il fatto che gli integrali $\int_0^{2\pi} \cos(kx) \,\mathrm{d} x$ e $\int_0^{2\pi} \sin(kx) \,\mathrm{d} x$ sono nulli per $k \geq 1$ .

Mostriamo ora che vale la prima tra le espressioni in (23) (l’altra si prova in maniera analoga). Si ha
(42) $\begin{equation*} \begin{split} \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{2\pi} f(x) \cos(kx) \,\mathrm{d} x = & \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{2\pi} \left( a_0 + \sum_{j=1}^{+\infty} \left(a_j \cos(jx) + b_j \sin(jx) \right) \right) \cos(kx) \,\mathrm{d} x \\ = & \dfrac{a_0}{{\pi}} \int_0^{2\pi} \cos(kx) \,\mathrm{d} x + \dfrac{1}{{\pi}} \sum_{j=1}^{+\infty} a_j \int_0^{2\pi} \cos(jx) \cos(kx) \,\mathrm{d} x \\ & \qquad + \dfrac{1}{{\pi}} \sum_{j=1}^{+\infty} b_j \int_0^{2\pi} \sin(jx) \cos(kx) \,\mathrm{d} x, \end{split} \end{equation*}$
dove nella seconda abbiamo nuovamente integrato per serie grazie alla convergenza uniforme dei polinomi trigonometrici.
Utilizzando l’ortogonalità delle funzioni $\varphi_k$ e $\psi_k$ data dalla proposizione 1.7, si vede che l’unico integrale non nullo nell’ultimo membro è quello nella prima sommatoria per $j=k$ , che è pari a
(43) $\begin{equation*} \int_0^{2\pi} \cos(kx) \cos(kx) \,\mathrm{d} x = \pi \langle \varphi_k, \varphi_k \rangle = \pi, \end{equation*}$
di nuovo per l’ortonormalità delle funzioni $\varphi_k$ e $\psi_k$ . Inserendo queste informazioni in (42) si ottiene (23).

Simmetrie e serie di Fourier.

In questa sezione studiamo il legame tra le simmetrie di una funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ e le proprietà dei suoi coefficienti di Fourier.

Come motivazione, ricordiamo che una funzione polinomiale $P \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(44) $\begin{equation*} P(x) = a_n x^n+ \dots + a_1 x + a_0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}$

è pari se e solo se i suoi unici coefficienti non nulli sono quelli di ordine pari, ossia se e solo se $a_k=0$ per ogni $k$ dispari. Analogamente, $P$ è una funzione dispari se e solo se i suoi unici coefficienti non nulli sono quelli di ordine dispari, cioè se $a_k=0$ per ogni $k$ pari. In altre parole, una combinazione lineare di monomi è pari se e solo se è formata esclusivamente da monomi aventi esponenti pari ed è dispari se e solo se è formata esclusivamente da monomi con indici dispari.

Dato che le funzioni $\varphi_k$ definite da $\cos(kx)$ sono pari e le funzioni $\psi_k$ definite da $\sin(kx)$ sono dispari, è naturale chiedersi se una proprietà simile valga per le serie di Fourier, che intuitivamente sono “combinazioni lineari infinite” di $\varphi_k$ e $\psi_k$ .

La risposta è affermativa, come stabilito dal prossimo risultato.

Proposizione 2.4 (parità e coefficienti di Fourier). Sia $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ una funzione pari. Allora $b_k=0$ per ogni $k \in \mathbb{N}$ , cioè la serie di Fourier di $f$ è della forma

(45) $\begin{equation*} a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos(kx) \qquad \text{con} \quad a_0=\dfrac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x) \,\mathrm{d} x, \quad a_k=\dfrac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(kx) \,\mathrm{d} x \quad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Analogamente, se $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ è dispari, allora $a_k=0$ per ogni $k \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ , e la serie di Fourier di $f$ assume la forma

(46) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} b_k \sin(kx) \qquad \text{con} \quad b_k = \dfrac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(kx) \,\mathrm{d} x \quad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Sia $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ una funzione pari. Allora da (23) si ha

(47) $\begin{equation*} \begin{split} b_k = \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{2\pi} f(x) \sin(kx) \,\mathrm{d} x = \dfrac{1}{{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(kx) \,\mathrm{d} x = 0, \end{split} \end{equation*}$

dove nella seconda uguaglianza si è usata la periodicità di $f$ e della funzione $\sin(kx)$ ; l’ultima uguaglianza segue dal fatto che $f$ è pari e $\sin(kx)$ è dispari, quindi il loro prodotto è una funzione dispari e dunque l’integrale tra $-\pi$ e $\pi$ è nullo. Sfruttando la parità di $f$ si ha inoltre che la funzione definita da $f(x) \cos(kx)$ è pari per ogni $k \in \mathbb{N}$ e quindi

(48) $\begin{equation*} a_k = \dfrac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\cos(kx) \,\mathrm{d} x = \dfrac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(kx) \,\mathrm{d} x \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Analogamente si mostra la seconda parte dell’enunciato.

Risultati di convergenza.

Risulta naturale porsi la seguente questione relativa alla relazione tra una funzione $f$ e la sua serie di Fourier.

Domanda 2.5. Sotto quali condizioni, e in che senso, la serie di Fourier di una funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ converge a $f$ ?

In questa sezione forniamo i risultati fondamentali di convergenza; la trattazione è parziale e rimandiamo il lettore ai riferimenti bibliografici e a lavori successivi per una discussione approfondita.

Convergenza puntuale e uniforme

Osserviamo preliminarmente che, data una funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ , in generale la sua serie di Fourier non converge neppure puntualmente a $f$ : lo mostrano le funzioni degli esempi 1.11 e 1.12 in $x=0$ . Lo stesso vale anche assumendo che $f$ sia continua: ciò può essere provato in maniera indiretta, usando strumenti di analisi funzionale [4], oppure esibendo esplicitamente esempi in tal senso [5].

Per ottenere la convergenza puntuale della serie (24), è necessario dunque assumere ulteriori ipotesi di regolarità su $f$ . Introduciamo quindi una particolare classe di funzioni, rilevante per le applicazioni, per cui sono validi opportuni teoremi di convergenza delle relative serie di Fourier.

Definizione 2.6 (funzione regolare a tratti). Una funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ si dice $C^1$ (o regolare) a tratti se esistono $0=x_0 < x_1 < \dots < x_N = 2\pi$ tali che

$\quad$

$f$ è derivabile con derivata continua in $(x_{i},x_{i+1})$ per ogni $i \in \{0,\dots,N-1\}$ ;

esistono finiti i limiti
(49) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_i^-} f'(x), \quad \lim_{x \to x_i^+} f'(x) \qquad \forall i \in \{0,\dots,N\}. \end{equation*}$

$\quad$

Tutte le funzioni presentate nella sezione 3 sono regolari a tratti.

Osservazione 2.7. Utilizzando il teorema di Lagrange, si può provare che la condizione di esistenza dei limiti in (49) implica anche l’esistenza dei limiti destri e sinistri di $f$ nei punti $x_i$ :

(50) $\begin{equation*} f(x_i^-) \coloneqq \lim_{x \to x_i^-} f(x), \quad f(x_i^+) \coloneqq \lim_{x \to x_i^+} f(x) \qquad \forall i \in \{0,\dots,N\}. \end{equation*}$

Dunque, per $i \in \{0,\dots,N-1\}$ , le funzioni $f_i \colon [x_i,x_{i+1}] \to \mathbb{R}$ definite da

(51) $\begin{equation*} f_i(x) = \begin{cases} f(x_i^+) & \text{se } x=x_i\\ f(x) & \text{se } x \in (x_i,x_{i+1})\\ f(x_{i+1}^+) & \text{se } x=x_{i+1} \end{cases} \end{equation*}$

sono continue. Di nuovo grazie al teorema di Lagrange, si può dimostrare che le funzioni $f_i$ sono derivabili a destra in $x_i$ e a sinistra in $x_{i+1}$ e che vale

(52) $\begin{equation*} f'_{i}(x_i) = \lim_{x \to x_i^+} f_i'(x), \qquad f'_{i}(x_{i+1}) = \lim_{x \to x_{i+1}^-} f_i'(x). \end{equation*}$

Riassumendo, una funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ è regolare a tratti se e solo se esistono $0=x_0 < x_1 < \dots < x_N = 2\pi$ tali che le restrizioni di $f$ agli intervalli $(x_i,x_{i+1})$ per ogni $i \in \{ 0,\dots,N-1\}$ si possono estendere a funzioni derivabili con continuità in $[x_i,x_{i+1}]$ .

Per le funzioni regolari a tratti valgono i seguenti risultati di convergenza per le serie di Fourier. Il primo riguarda la convergenza puntuale.

Teorema 2.8 (convergenza puntuale della serie di Fourier). Sia $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ una funzione regolare a tratti. Allora per ogni $x_0 \in \mathbb{R}$ la serie di Fourier (24) di $f$ converge a

(53) $\begin{equation*} \dfrac{f(x_0^-)+f(x_0^+)}{2}, \qquad \text{dove }\quad f(x_0^-)\coloneqq \lim_{x \to x_0^-}f(x), \quad f(x_0^+)\coloneqq \lim_{x \to x_0^+}f(x). \end{equation*}$

In particolare, se $f$ è continua in $x_0$ , allora la serie di Fourier di $f$ converge in $x_0$ a $f(x_0)$ .

$\quad$

Ricordiamo che, per ogni $n \in \mathbb{N}$ e $x \in \mathbb{R}$ , solitamente denotiamo con

(54) $\begin{equation*} \begin{split} S_n(x) &= a_0 + \sum_{k=1}^n \big( a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx) \big) \\ &\overset{22, 23}{=} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \left( \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^n \big( \cos(kx) \cos(kt) + \sin(kx) \sin(kt) \big) \right) \, \mathrm{d}t. \end{split} \end{equation*}$

la somma parziale $n$ -esima della serie di Fourier di $f$ . Nella dimostrazione del teorema 2.8 utilizzeremo il seguente lemma.

Lemma 2.9. Per ogni $n \in \mathbb{N}$ e per ogni $x \in \mathbb{R}$ valgono le identità

(55) $\begin{gather*} \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^n \cos(kx) = \begin{cases} \dfrac{\sin \left ( \left (n+\dfrac{1}{2} \right )x \right )}{2 \sin \dfrac{x}{2}} & \text{se } x \notin \{2k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\} \\[7pt] n + \dfrac{1}{2} & \text{se } x \in \{2k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\}. \end{cases} \\[5pt] \end{gather*}$

(56) $\begin{equation*} S_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)\dfrac{\sin \left ( \left (n+\dfrac{1}{2} \right )t \right )}{2 \sin \dfrac{t}{2}}\mathrm{d}t. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Se $x \in \{2k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\}$ , (55) è ovvia. Fissiamo dunque $x \in \mathbb{R} \setminus \{2k\pi \colon k \in \mathbb{Z}\}$ così che $\sin \dfrac{x}{2}\neq 0$ . Sommando per $k=1,\dots,n$ l’identità di prostaferesi

(57) $\begin{equation*} \sin \left ( kx + \frac{x}{2} \right ) - \sin \left ( kx - \frac{x}{2} \right ) = 2\sin \frac{x}{2} \cos(kx), \end{equation*}$

si ottiene

(58) $\begin{equation*} \begin{split} \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos(kx) &= \frac{1}{2} + \dfrac{1}{2\sin \dfrac{x}{2}} \sum_{k=1}^{n} \left( \sin \left( kx + \frac{x}{2} \right) - \sin \left( kx - \frac{x}{2} \right) \right) \\ &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sin \left( \left( n+\dfrac{1}{2} \right) x \right)}{2\sin \dfrac{x}{2}} - \frac{\sin \dfrac{x}{2}}{2\sin \dfrac{x}{2}}, \end{split} \end{equation*}$

cioè (55). Per ricavare (56), si inserisce (55) in (54), ottenendo

(59) $\begin{equation*} \begin{split} S_n(x) &\overset{54}{=} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \left( \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^n \big( \cos(kx) \cos(kt) + \sin(kx) \sin(kt) \big) \right) \, \mathrm{d}t \\ &\overset{\text{form. addiz.}}{=} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \left( \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^n \cos \big(k(t - x)\big) \right) \, \mathrm{d}t \\ &\overset{55}{=} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \frac{\sin \left( \left( n + \dfrac{1}{2} \right)(t - x) \right)}{2 \sin \dfrac{t - x}{2}} \, \mathrm{d}t \\ &\overset{\tau = t - x}{=} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi - x}^{\pi - x} f(x + \tau) \frac{\sin \left( \left( n + \dfrac{1}{2} \right) \tau \right)}{2 \sin \dfrac{\tau}{2}} \, \mathrm{d}\tau \\ &\overset{8}{=} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x + \tau) \frac{\sin \left( \left( n + \dfrac{1}{2} \right) \tau \right)}{2 \sin \dfrac{\tau}{2}} \, \mathrm{d}\tau. \end{split} \end{equation*}$

Osserviamo che le funzioni integrande sono integrabili in quanto la frazione $\dfrac{\sin \left ( \left ( n+ \dfrac{1}{2}\right )t \right )}{2 \sin \dfrac{t}{2}}$ , pur non essendo definita in $t=0$ , coincide in virtù di (55) con una funzione continua per $t \neq 0$ e quindi è estendibile con continuità in $t=0$ , non alterando il valore degli integrali.

Dimostrazione del teorema 2.8. Fissiamo $x_0 \in \mathbb{R}$ e $n \in \mathbb{N}$ . Osserviamo innanzitutto che per ogni $n \in \mathbb{N}$ si ha

(60) $\begin{equation*} \begin{gathered} \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \dfrac{\sin \left ( \left (n+\dfrac{1}{2} \right )t \right )}{2 \sin \dfrac{t}{2}} \mathrm{d}t \overset{55}{=} \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} \left (\dfrac{1}{2} + \sum_{k=1}^n \cos(kx) \right ) \mathrm{d}t = \frac{1}{2}, \\[5pt] \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 \dfrac{\sin \left ( \left (n+\dfrac{1}{2} \right )t \right )}{2 \sin \dfrac{t}{2}} \mathrm{d}t \overset{55}{=} \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 \left (\dfrac{1}{2} + \sum_{k=1}^n \cos(kx) \right ) \mathrm{d}t = \frac{1}{2}. \end{gathered} \end{equation*}$

Dunque vale

(61) $\begin{equation*} \begin{split} S_n(x_0) - \dfrac{f(x_0^-)+f(x_0^+)}{2} &\overset{56, 57}{=} \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \dfrac{f(x_0+t) - f(x_0^-)}{2 \sin \frac{t}{2}} {\sin \left ( \left ( n+ \frac{1}{2}\right )t \right )} \mathrm{d}t \\ & \qquad + \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} \dfrac{ f(x_0+t) - f(x_0^+) }{2 \sin \frac{t}{2}} {\sin \left ( \left ( n+ \frac{1}{2}\right )t \right )} \mathrm{d}t. \end{split} \end{equation*}$

Poiché si ha

(62) $\begin{equation*} \begin{gathered} \lim_{t \to 0^-} \dfrac{f(x_0+t) - f(x_0^-)}{2 \sin \dfrac{t}{2}} = \lim_{t \to 0^-} \dfrac{f(x_0+t) - f(x_0^-)}{t} \dfrac{t}{2 \sin \dfrac{t}{2}} = f'_{-}(x_0), \\ \lim_{t \to 0^+} \dfrac{f(x_0+t) - f(x_0^+)}{2 \sin \dfrac{t}{2}} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{f(x_0+t) - f(x_0^+)}{t} \dfrac{t}{2 \sin \dfrac{t}{2}} = f'_{+}(x_0), \end{gathered} \end{equation*}$

e poiché $f$ è regolare a tratti, la funzione $g \colon (-\pi,\pi) \to \mathbb{R}$ definita da

(63) $\begin{equation*} g(t) = \begin{cases} \dfrac{f(x_0+t) - f(x_0^-)}{2 \sin \dfrac{t}{2}} & \text{se } t \in (-\pi,0) \\[7pt] 0 & \text{se } t=0 \\[7pt] \dfrac{f(x_0+t) - f(x_0^+)}{2 \sin \dfrac{t}{2}} & \text{se } t \in (0,\pi) \end{cases} \end{equation*}$

è continua a tratti⁵ e quindi appartiene a $\tilde{P}_{2\pi}$ . Riscrivendo (61) in termini di $g$ e usando la formula di addizione per il seno si ottiene

(64) $\begin{equation*} \begin{split} S_n(x_0) - \dfrac{f(x_0^-)+f(x_0^+)}{2} & = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} g(t) \left ( \sin(nt) \cos \frac{t}{2} + \cos(nt) \sin \frac{t}{2} \right )\mathrm{d}t \\ & = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left ( g(t)\cos \frac{t}{2} \right) \sin(nt)\, \mathrm{d}t + \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left ( g(t)\sin \frac{t}{2} \right) \cos(nt)\, \mathrm{d}t, \end{split} \end{equation*}$

dove gli ultimi integrali sono rispettivamente i coefficienti di Fourier $b_n$ e $a_n$ delle funzioni $t \mapsto g(t)\cos \dfrac{t}{2}$ e $t \mapsto g(t)\sin \dfrac{t}{2}$ , che appartengono a $\tilde{P}_{2\pi}$ . Poiché in virtù di (27), tali coefficienti sono infinitesimi per $n \to +\infty$ , si ottiene

(65) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} S_n(x_0) - \dfrac{f(x_0^-)+f(x_0^+)}{2} = 0, \end{equation*}$

cioè la tesi.

L’ultima parte del teorema, relativa cioè al caso in cui $f$ sia continua in $x_0$ , segue banalmente dalla parte precedente, in quanto la continuità di $f$ implica che $f(x_0)=f(x_0^-)=f(x_0^+)$ e quindi

(66) $\begin{equation*} f(x_0) = \dfrac{f(x_0^-)+f(x_0^+)}{2}. \end{equation*}$

Se in aggiunta $f$ è continua, allora la serie di Fourier di $f$ converge uniformemente a $f$ , come stabilito dal prossimo risultato.

Teorema 2.10 (convergenza uniforme della serie di Fourier). Sia $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ una funzione regolare a tratti e continua in un intervallo $[a,b]$ . Allora la serie di Fourier di $f$ converge uniformemente a $f$ in $[a,b]$ .

Se $f$ è regolare a tratti e continua in $\mathbb{R}$ , allora la sua serie di Fourier converge totalmente.

$\quad$

Dimostrazione. Ci limitiamo a dimostrare la seconda parte del teorema, cioè nell’ipotesi che $f$ sia continua ovunque, in quanto la prima parte è molto tecnica ed esula dagli scopi di questa dispensa.

Siano $a_k,b_k$ i coefficienti di Fourier di $f$ . Osserviamo che, poiché $f$ è regolare a tratti, la funzione $f'$ è continua a tratti e pertanto appartiene a $\tilde{P}_{2\pi}$ . Per le proposizioni 2.16 e 1.9, la serie

(67) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} k^2 (a_k^2 + b_k^2) \end{equation*}$

è convergente. Dunque anche la serie

(68) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} 2(|a_k| + |b_k|) = \sum_{k=1}^{+\infty} 2(k|a_k| + k|b_k|) \frac{1}{k} \overset{(2xy \leq x^2+y^2)}{\leq} \sum_{k=1}^{+\infty} \left ( k^2 a_k^2 + k^2 b_k^2 + \frac{2}{k^2} \right ) \end{equation*}$

è convergente, dove la disuguaglianza segue dal fatto che $2|xy| \leq x^2+y^2$ per ogni $x,y \in \mathbb{R}$ . Poiché

(69) $\begin{equation*} |\sin(kx)|\leq 1, \quad |\cos(kx)| \leq 1 \qquad \forall x \in \mathbb{R},\,\,\forall k \in \mathbb{N}, \end{equation*}$

la convergenza della serie numerica $\sum_{k=1}^{+\infty} (|a_k| + |b_k|)$ implica che la serie di Fourier di $f$ converge totalmente a una funzione $g \in \tilde{P}_{2\pi}$ . Dato che $f$ è regolare a tratti e continua, per il teorema 2.8 sappiamo che la serie di Fourier di $f$ converge puntualmente a $f$ , dunque $f=g$ e la convergenza a $f$ è totale e, di conseguenza, anche uniforme.

Osservazione 2.11. Notiamo esplicitamente che la serie di Fourier di una funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ converge totalmente in un intervallo $[a,b]$ se e solo se converge totalmente in $\mathbb{R}$ . Ciò segue dal fatto che, se $k$ è tale che $\dfrac{2\pi}{k}< b-a$ , allora si ha

(70) $\begin{equation*} \sup_{x \in[a,b]} |\cos (kx)| = \sup_{x \in \mathbb{R}} |\cos (kx)|, \qquad \sup_{x \in[a,b]} |\sin (kx)| = \sup_{x \in \mathbb{R}} |\sin (kx)| \end{equation*}$

e dunque i termini delle serie numeriche

(71) $\begin{equation*} \begin{split} &\sum_{k=1}^{+\infty} \sup_{x \in [a,b]} \left ( \Big| a_k \cos(kx) \Big| + \Big| b_k \sin(kx) \Big| \right ), \\ \qquad &\sum_{k=1}^{+\infty} \sup_{x \in \mathbb{R}} \left ( \Big| a_k \cos(kx) \Big| + \Big| b_k \sin(kx) \Big| \right ) \end{split} \end{equation*}$

coincidono per ogni $k> \dfrac{2\pi}{b-a}$ , quindi hanno lo stesso carattere. Ciò mostra che, se $f$ è continua in $[a,b]$ ma non in $\mathbb{R}$ , allora la convergenza in $[a,b]$ della serie di Fourier a $f$ può essere al più uniforme.

Come parziale inversione dell’argomento appena presentato, osserviamo che la convergenza uniforme della serie di Fourier di una funzione continua può essere dedotta anche dall’eventuale convergenza assoluta dei suoi coefficienti di Fourier.

Teorema 2.12. Sia $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ una funzione continua tale che la serie dei suoi coefficienti di Fourier sia assolutamente convergente, ossia tale che

(72) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \big(|a_k|+|b_k| \big) < +\infty. \end{equation*}$

Allora la serie di Fourier di $f$ converge totalmente, e quindi uniformemente, a $f$ .

$\quad$

Questo risultato può essere dimostrato come esercizio, utilizzando il teorema 2.14.

Osservazione 2.13. L’ipotesi di continuità di $f$ è essenziale: senza di essa, la serie di Fourier con coefficienti $a_k,b_k$ converge totalmente, ma in generale a una funzione $g$ diversa da $f$ , in quanto $g$ è necessariamente continua. Come esempio, si consideri la serie di Fourier della funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ definita in (253): i suoi coefficienti di Fourier sono nulli e quindi la sua serie di Fourier converge totalmente alla funzione identicamente nulla, che è diversa da $f$ .

Convergenza in norma quadratica

Nonostante la convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier siano molto importanti per le applicazioni, esse risultano in un certo senso “poco naturali” per la questione della convergenza della serie di Fourier. Infatti, osserviamo che abbiamo definito la serie di Fourier di una funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ come la decomposizione di $f$ nella somma delle sue proiezioni rispetto a una base hilbertiana di $\tilde{P}_{2\pi}$ . Il concetto chiave intorno a cui ruota il discorso, quindi, è il prodotto scalare $\langle \cdot, \cdot \rangle$ definito in $\tilde{P}_{2\pi}$ . Abbiamo visto come questo prodotto scalare definisca una norma in $\tilde{P}_{2\pi}$ che permette di stabilire una distanza tra le funzioni di $\tilde{P}_{2\pi}$ , come riportato nell’osservazione A.7.

La forma di convergenza delle serie di Fourier che sarebbe più naturale investigare è quindi quella relativa alla distanza data dalla norma $\| \cdot \|$ su $\tilde{P}_{2\pi}$ . Infatti, riguardo a essa, vale il prossimo importante risultato.

Teorema 2.14 (convergenza in norma della serie di Fourier). Data $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ , la sua serie di Fourier converge a $f$ nella norma di $\tilde{P}_{2\pi}$ , ossia

(73) $\begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} \left\| f - a_0 - \sum_{k=1}^n \left(a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx) \right) \right\| = 0. \end{equation*}$

Vale inoltre l’identità di Parseval:

(74) $\begin{equation*} \|f\|^2 2\pi a_0^2 + \pi \sum_{k=1}^{+\infty} \left( a_k^2 + b_k^2 \right). \end{equation*}$

$\quad$

A differenza dei teoremi 2.8 e 2.10 quindi, il teorema 2.14 non richiede alcuna ipotesi di regolarità sulla funzione $f$ : la convergenza in norma delle serie di Fourier è valida per ogni funzione di $\tilde{P}_{2\pi}$ .

Il teorema 2.14 è un corollario di un risultato teorico ben più generale: il teorema A.11 presentato in appendice A.

Osservazione 2.15. L’identità di Parseval (74) può essere interpretata come l’analogo della definizione della norma euclidea (o del teorema di Pitagora) in $\mathbb{R}^n$ : il quadrato della norma di un vettore è pari alla somma dei quadrati delle lunghezze delle sue proiezioni lungo i vettori di una base ortonormale. Nel caso dell’identità di Parseval compaiono i fattori $2\pi$ e $\pi$ in quanto le funzioni $\cos(kx)$ e $\sin(kx)$ sono ortogonali, ma non hanno norma unitaria.

In analogia con la definizione 2.6, una funzione si dice continua a tratti in $[a,b]$ se esistono $a=x_0 < x_1 <\dots < x_N = b$ tali che la restrizione di $f$ a ciascun intervallo $(x_{i-1},x_i)$ è continua e si può estendere in maniera continua a $[x_{i-1},x_i]$ . ↩

Derivazione e integrazione delle serie di Fourier.

Se $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ è regolare a tratti, allora la sua derivata $f'$ appartiene a $\tilde{P}_{2\pi}$ . Sotto l’ipotesi di continuità di $f$ , si può stabilire un’importante relazione tra i coefficienti di Fourier di $f$ e quelli di $f'$ . Essa è uno dei motivi principali per cui le serie di Fourier sono così importanti nello studio delle equazioni differenziali.

Proposizione 2.16 (coefficienti di Fourier della derivata). Sia $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ una funzione continua e regolare a tratti. Allora la sua derivata (posta nulla nei punti in cui essa non esiste) $f'$ appartiene a $\tilde{P}_{2\pi}$ e i suoi coefficienti di Fourier $a_k',b_k'$ sono pari a

(75) $\begin{equation*} a_k'=kb_k, \quad b_k' = -ka_k \qquad \forall k \in \mathbb{N}, \end{equation*}$

dove $a_k,b_k$ sono i coefficienti di Fourier di $f$ .

$\quad$

Dimostrazione. Poiché $f$ è regolare a tratti, siano

(76) $\begin{equation*} 0=x_0 < \dots <x_N = 2\pi \end{equation*}$

i punti dati dalla definizione 2.6. Poiché $f$ è anche continua, per l’osservazione 2.7 la restrizione di $f$ a ciascuno degli intervalli $[x_i,x_{i+1}]$ è di classe $C^1$ .

Sappiamo inoltre che $f'(x)$ esiste per ogni $x \in [0,2\pi]$ tranne al più nei punti $x_i$ . Dunque la funzione $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(77) $\begin{equation*} g(x) = \begin{cases} f'(x) & \text{se } f'(x) \text{ esiste} \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \end{equation*}$

appartiene a $\tilde{P}_{2\pi}$ . Chiamando $a_k'$ e $b_k'$ i suoi coefficienti di Fourier, si ha

(78) $\begin{equation*} a_0' = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f'(t) \,\mathrm{d}t = \frac{1}{2\pi} \sum_{i=1}^N \int_{x_{i-1}}^{x_i} f'(t) \,\mathrm{d}t = \frac{1}{2\pi} \sum_{i=1}^N \big( f(x_i) - f(x_{i-1}) \big) = 0, \end{equation*}$

dove la terza uguaglianza deriva dal teorema fondamentale del calcolo integrale, poiché $f \in C^1([x_{i-1},x_i])$ , e l’ultima uguaglianza segue dal fatto che la somma è telescopica e dalla periodicità di $f$ . Inoltre, se $k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ , vale

(79) $\begin{equation*} \begin{split} a_k' & = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f'(t) \cos(kt) \,\mathrm{d}t \\ & = \frac{1}{\pi} \sum_{i=1}^N \int_{x_{i-1}}^{x_i} f'(t) \cos(kt) \,\mathrm{d}t \\ & = \frac{1}{\pi} \sum_{i=1}^N \left ( f(x_i)\cos(kx_i) - f(x_{i-1})\cos(k x_{i-1}) + k\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(t) \sin(kt) \,\mathrm{d}t \right ) \\ & = \frac{1}{\pi} \sum_{i=1}^N \left ( f(x_i)\cos(kx_i) - f(x_{i-1})\cos(k x_{i-1}) \right ) + k\int_{0}^{2\pi} f(t) \sin(kt) \,\mathrm{d}t \\ & = k b_k, \end{split} \end{equation*}$

dove la terza uguaglianza segue dalla formula di integrazione per parti, in virtù del fatto che $f \in C^1([x_{i-1},x_i])$ , mentre l’ultima uguaglianza segue dal fatto che la funzione $t \mapsto f(t) \cos(kt)$ è periodica e dalla definizione del coefficiente di Fourier $b_k$ di $f$ . Analogamente si prova che $b_k' =-ka_k$ .

Sotto opportune ipotesi di regolarità di $f$ , la sua serie di Fourier è derivabile termine a termine.

Teorema 2.17 (derivazione termine a termine delle serie di Fourier). Sia $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ una funzione di classe $C^1$ tale che $f'$ sia regolare a tratti; allora la serie di Fourier di $f$ è derivabile termine a termine, ossia si ha

(80) $\begin{equation*} f'(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} k\big( -a_k \sin(kx) + b_k \cos(kx) \big) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Per la proposizione 2.16, $f' \in \tilde{P}_{2\pi}$ e il membro di destra di (80) è la serie di Fourier della funzione $f'$ . Poiché $f'$ è continua e regolare a tratti, per il teorema 2.8 tale serie converge puntualmente a $f'$ , ottenendo dunque la tesi.

Il teorema 2.10 implica che la serie di Fourier di una funzione $f$ regolare a tratti e continua può essere integrata termine a termine, ottenendo l’integrale di $f$ . Questo risultato è valido anche sotto la sola ipotesi di continuità a tratti di $f$ : analogamente alla definizione 2.6, una funzione si dice continua a tratti in $[a,b]$ se esiste una suddivisione finita

(81) $\begin{equation*} a=x_0 < x_1 <\dots < x_N = b \end{equation*}$

di $[a,b]$ tale che la restrizione di $f$ a ciascun intervallo $(x_{i-1},x_i)$ è continua e si può estendere in maniera continua a $[x_{i-1},x_i]$ .

Per le funzioni continue a tratti, vale il seguente risultato di integrazione termine a termine delle serie di Fourier.

Teorema 2.18 (integrazione delle serie di Fourier). Se $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ è una funzione continua a tratti, allora la sua serie di Fourier può essere integrata termine a termine, ossia per ogni intervallo $[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}$ si ha

(82) $\begin{equation*} \int_\alpha^\beta f(x) \,\mathrm{d} x = (\beta - \alpha)a_0 + \sum_{k=1}^\infty \int_\alpha^\beta \big( a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx) \big) \,\mathrm{d} x. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Poiché $f$ è continua a tratti in $[\alpha,\beta]$ , siano

(83) $\begin{equation*} \alpha=x_0 < x_1 < \dots < x_N = \beta \end{equation*}$

i punti tali che $f$ è continua in ciascuno degli intervalli $(x_{i-1},x_i)$ . Denotiamo come di solito con $a_k,b_k$ i coefficienti di Fourier di $F$ e supponiamo inizialmente che $a_0=0$ , cioè che $f$ abbia integrale nullo in $[0,2\pi]$ ; consideriamo poi la funzione integrale $F \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ di $f$ definita da

(84) $\begin{equation*} F(x) = \int_0^x f(t) \,\mathrm{d}t \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$F$ è periodica di periodo $2\pi$ , infatti

(85) $\begin{equation*} \begin{split} F(x+2\pi) &= \int_0^{x+2\pi} f(t) \,\mathrm{d}t= \\ &= \int_0^{x} f(t) \,\mathrm{d}t + \int_x^{x+2\pi} f(t) \,\mathrm{d}t= \\ &= \int_0^{x} f(t) \,\mathrm{d}t= \\ &= F(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{split} \end{equation*}$

dove la terza uguaglianza segue dall’ipotesi che $f$ abbia integrale nullo su $[0,2\pi]$ e da (8). Inoltre, per il teorema fondamentale del calcolo integrale e per l’ipotesi di continuità a tratti di $f$ , $F$ risulta regolare a tratti e continua. Dunque $F \in \tilde{P}_{2\pi}$ ; la proposizione 2.16 implica inoltre che $F' \in \tilde{P}_{2\pi}$ (dove $F'$ è posta nulla nei punti in cui essa non è derivabile). Osserviamo poi che, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, $F'$ esiste in ciascuno degli intervalli $(x_{i-1},x_i)$ e vale

(86) $\begin{equation*} F'(x) = f(x) \qquad \forall x \in (x_{i-1},x_i),\,\, \forall i \in \{1,\dots,N\}. \end{equation*}$

Dunque $F'$ coincide con $f$ tranne al più nei punti $x_0,x_1,\dots,x_N$ . Quindi i coefficienti di Fourier di $F'$ coincidono con i coefficienti di Fourier di $f$ ; denotando cioè con $A_k, B_k$ i coefficienti di Fourier di $F$ , nuovamente per la proposizione 2.16 si ha

(87) $\begin{equation*} a_k= k B_k, \qquad b_k = -k A_k \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Possiamo concludere che

(88) $\begin{equation*} \begin{split} \int_\alpha^\beta f(t)\,\mathrm{d}t & = F(\beta) - F(\alpha) \\ & = \sum_{k=1}^{+\infty} \big( A_k \cos(k\beta) + B_k \sin(k\beta) \big) - \sum_{k=1}^{+\infty} \big( A_k \cos(k\alpha) + B_k \sin(k\alpha) \big) \\ & = \sum_{k=1}^{+\infty} \Big( - \frac{b_k}{k} \big(\cos(k\beta) - \cos(k\alpha) \big) + \frac{a_k}{k} \big(\sin(k\beta) - \sin(k\alpha) \big) \Big) \\ & = \sum_{k=1}^{+\infty} \int_\alpha^\beta \big( b_k \sin(kt) + a_k \cos (kt) \big) \mathrm{d}t, \end{split} \end{equation*}$

dove la seconda uguaglianza deriva dal teorema 2.8 applicato alla funzione $F$ (che è continua e regolare a tratti) nei punti $\alpha,\beta$ , la terza uguaglianza deriva da (87) e la quarta segue da un calcolo elementare. Ciò mostra dunque la tesi nell’ipotesi in cui $a_0 = 0$ .

Se invece $a_0 \neq 0$ , consideriamo la funzione $g \in \tilde{P}_{2\pi}$ definita da $f-a_0$ . Essa è continua a tratti e inoltre vale

(89) $\begin{equation*} \int_0^{2\pi} g(t)\,\mathrm{d}t = \left ( \int_0^{2\pi} f(t)\,\mathrm{d}t \right ) - 2\pi a_0 \overset{22}{=} 0, \end{equation*}$

dunque il coefficiente di Fourier di indice $0$ di $g$ è nullo e quindi, per quanto precedentemente provato, la serie di Fourier di $g$ può essere integrata termine a termine, cioè

(90) $\begin{equation*} \int_\alpha^\beta f(t)\,\mathrm{d}t \overset{f=a_0+g}{=} (\beta - \alpha)a_0 + \int_\alpha^\beta g(t)\,\mathrm{d}t = (\beta - \alpha)a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \int_\alpha^\beta \big( a_k \cos (kt) + b_k \sin(kt) \big) \mathrm{d}t, \end{equation*}$

dove l’ultima uguaglianza segue dal fatto che i coefficienti di Fourier di $f$ per $k \geq 1$ coincidono con quelli di $g$ :

(91) $\begin{equation*} \begin{split} \int_0^{2\pi} g(t) \cos(kt) \,\mathrm{d}t & = \int_0^{2\pi} \big(f(t) - a_0\big) \cos(kt) \,\mathrm{d}t \\ & = \int_0^{2\pi}f(t) \cos(kt) \,\mathrm{d}t - a_0\int_0^{2\pi} \cos(kt) \,\mathrm{d}t \\ & = \int_0^{2\pi}f(t) \cos(kt) \,\mathrm{d}t \end{split} \qquad \qquad \forall k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, \end{equation*}$

e similmente si ragiona per $b_k$ . (90) è quanto si desiderava mostrare.

Funzioni di periodo diverso.

Può spesso succedere di operare con funzioni periodiche di periodo diverso da $2\pi$ . Come si può adattare a tali funzioni il discorso fatto finora?

Osserviamo che, se $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è limitata, integrabile, e periodica di periodo $2L>0$ , allora la funzione $\tilde{f} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(92) $\begin{equation*} \tilde{f}(x) = f \left( \dfrac{L}{\pi}x \right) \qquad \forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}$

è periodica di periodo $2\pi$ , quindi appartiene a $\tilde{P}_{2\pi}$ . Pertanto tutte le definizioni e i risultati precedenti si adattano a $f$ a partire da $\tilde{f}$ . Infatti, dati i coefficienti $a_k,b_k$ di $\tilde{f}$ , dalla semplice osservazione

(93) $\begin{equation*} \begin{gathered} \tilde{f}(x) = a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left(a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx) \right) \\ \iff \\ f(x) = \tilde{f} \left( \pi \dfrac{x}{L} \right) = a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left(a_k \cos\left(\dfrac{k\pi}{L}x\right) + b_k \sin\left(\dfrac{k\pi}{L}x\right) \right), \end{gathered} \end{equation*}$

è naturale definire serie di Fourier di $f$ l’espressione

(94) $\begin{equation*} a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left(a_k \cos\left(\dfrac{k\pi}{L}x\right) + b_k \sin\left(\dfrac{k\pi}{L}x\right) \right), \end{equation*}$

dove i coefficienti $a_k,b_k$ si ricavano dalle relazioni

(95) $\begin{gather*} {a}_0= \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \tilde{f}(x) \,\mathrm{d} x = \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f \left( \dfrac{L}{\pi}x \right) \,\mathrm{d} x = \dfrac{1}{2L} \int_0^{2L} f(t) \,\mathrm{d} t, \\ \end{gather*}$

(96) $\begin{gather*} a_k= \dfrac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \tilde{f}(x) \cos(kx) \,\mathrm{d} x = \dfrac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f \left( \dfrac{L}{\pi}x \right) \cos(kx)\,\mathrm{d} x = \dfrac{1}{L} \int_0^{2L} f(t) \cos\left(\dfrac{k\pi}{L}t\right) \,\mathrm{d} t, \\ \end{gather*}$

(97) $\begin{gather*} b_k= \dfrac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \tilde{f}(x) \sin(kx) \,\mathrm{d} x = \dfrac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f \left( \dfrac{L}{\pi}x \right) \sin(kx)\,\mathrm{d} x = \dfrac{1}{L} \int_0^{2L} f(t) \sin\left(\dfrac{k\pi}{L}t\right) \,\mathrm{d} t, \end{gather*}$

in cui alle terze uguaglianze abbiamo effettuato la sostituzione $t= \dfrac{L}{\pi}x$ .

Osservazione 2.19. Notiamo infine che, anche per funzioni di periodo diverso, valgono le stesse conclusioni della proposizione 2.16 sulla relazione tra la parità della funzione $f$ e i suoi coefficienti di Fourier $a_k,b_k$ .

Osservazione 2.20 (identità di Parseval). Dalla definizione di $\tilde{f} \in \tilde{P}_{2\pi}$ data in (92) e dall’identità di Parseval (74) per $\tilde{f}$ otteniamo

(98) $\begin{equation*} \dfrac{\pi}{L} \int_0^{2L} f(x)^2 \,\mathrm{d} x = \int_0^{2\pi} \tilde{f}(x)^2 \,\mathrm{d} x = \| \tilde{f} \|^2 = 2\pi a_0^2 + \pi \sum_{k=1}^{+\infty} \left(a_k^2 + b_k^2 \right). \end{equation*}$

Poiché da (95), (96) ed (97) si vede che i coefficienti di Fourier di $f$ e $\tilde{f}$ sono gli stessi, otteniamo l’identità di Parseval per funzioni aventi periodo $2L$ :

(99) $\begin{equation*} \|f\|_{2L}^2 \coloneqq \int_0^{2L} f(x)^2 \,\mathrm{d} x = 2L a_0^2 + L \sum_{k=1}^{+\infty} \left(a_k^2 + b_k^2 \right). \end{equation*}$

Forma complessa delle serie di Fourier.

Le serie di Fourier possono essere definite, probabilmente in maniera più naturale, anche per funzioni a valori complessi. Cominciamo a definire l’insieme

(100) $\begin{equation*} \tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}}) \coloneqq \{ f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{C} \colon f \text{ limitata, integrabile e periodica di periodo $2\pi$}\}. \end{equation*}$

Poiché $\tilde{P}_{2\pi} \subset \tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ e dato che ogni funzione a valori complessi può essere scritta come somma della sua parte reale e immaginaria, ci aspettiamo che tutto il discorso fatto in precedenza su $\tilde{P}_{2\pi}$ possa essere esteso senza sforzo allo spazio $\tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ . In questa sezione ripercorriamo i principali punti di tale discussione, evidenziandone le caratteristiche esplicite e sottolineando similitudini e differenze.

Il punto centrale del discorso è la definizione 2.23 in cui arriveremo a considerare la nozione di serie di Fourier complessa in $\tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ . Vedremo subito dopo che, per funzioni in $\tilde{P}_{2\pi}$ , le definizioni di serie di Fourier reale e complessa coincidono, differendo solo nella forma in cui la serie viene scritta.

$\tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ è naturalmente uno spazio vettoriale su $\mathbb{C}$ e su di esso può essere definito un prodotto hermitiano⁶ nel seguente modo, affine a quello definito in $\tilde{P}_{2\pi}$ : date $f,g \in \tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ , si definisce

(101) $\begin{equation*} \langle f, g \rangle \coloneqq \int_0^{2\pi} f(x) \cdot \overline{g(x)} \,\mathrm{d}x, \end{equation*}$

dove $\overline{g(x)}$ indica il numero complesso coniugato di $g(x)$ . Tale prodotto hermitiano ha proprietà simili rispetto a quelle del prodotto scalare in $\tilde{P}_{2\pi}$ : per ogni $f,g,h \in \tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ e ogni $\lambda \in \mathbb{C}$ si ha infatti

(102) $\begin{gather*} \langle f, f \rangle \geq 0, \\ \langle f, g \rangle = \overline{\langle g, f \rangle}, \\ \langle f + g, h \rangle = \langle f , h \rangle + \langle g, h \rangle, \\ \langle \lambda f, g \rangle = \lambda \langle f, g \rangle \qquad \langle \lambda f, \lambda g \rangle = \overline{\lambda} \langle f, g \rangle. \end{gather*}$

Segnaliamo il fatto che, nella seconda variabile, il prodotto è appunto hermitiano, cioè coinvolge il complesso coniugato dello scalare $\lambda \in \mathbb{C}$ . Se $f$ è continua, vale inoltre

(103) $\begin{equation*} \langle f, f \rangle = 0 \iff f \equiv 0. \end{equation*}$

Avendo a disposizione un prodotto hermitiano, anche in $\tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ è dunque possibile definire la nozione di base hilbertiana, esattamente analoga a quella data dalla definizione 1.3.

Osservazione 2.21. La base di Fourier data dalla proposizione 1.7 è una base hilbertiana anche di $\tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ . Infatti l’ortonormalità della famiglia segue dal fatto che per funzioni a valori reali il prodotto hermitiano in $\tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ corrisponde a quello in $\tilde{P}_{2\pi}$ . Per provarne la completezza, fissiamo $g \in \tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ continua e scriviamo

(104) $\begin{equation*} g=u+iv, \end{equation*}$

con $u,v \in \tilde{P}_{2\pi}$ funzioni continue corrispondenti rispettivamente alla parte reale e immaginaria di $g$ . Se $g$ è ortogonale a ognuna delle funzioni $\varphi_k, \psi_k$ della base di Fourier, si ha

(105) $\begin{equation*} \begin{gathered} 0=\langle g, \varphi_k \rangle = \langle u + i v, \varphi_k \rangle = \langle u, \varphi_k \rangle + i \langle v, \varphi_k \rangle. \end{gathered} \end{equation*}$

Poiché le quantità $\langle u, \varphi_k \rangle$ e $\langle v, \varphi_k \rangle$ sono reali, entrambe devono essere nulle e ciò mostra che sia $u$ che $v$ sono ortogonali a $\varphi_k$ per ogni $k \in \mathbb{N}$ ; analogamente si prova che $u$ e $v$ sono ortogonali a $\psi_k$ per ogni $k \in \mathbb{N}$ . Per la completezza della base di Fourier, segue che $u=v=0$ e, di conseguenza, che $g=0$ .

Dunque si può calcolare la serie di Fourier anche per una funzione in $\tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ ; ovviamente in generale i coefficienti $a_k,b_k$ sono dei numeri complessi.

Tenendo però conto delle relazioni di Eulero

(106) $\begin{equation*} e^{ikx} = \cos (kx) + i \sin (kx), \quad e^{-ikx} = \cos (kx) - i \sin (kx), \qquad \forall k \in \mathbb{N}, \,\,\forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

risulta naturale ricercare una base hilbertiana di $\tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ costituita dalle funzioni esponenziali a valori complessi, periodiche di periodo $2\pi$ definite da

(107) $\begin{equation*} e^{ikx} \qquad \forall k \in \mathbb{Z},\,\,\forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

L’intuizione è corretta e sussiste infatti la seguente proposizione.

Proposizione 2.22 (base di Fourier complessa). La famiglia di funzioni $\{\eta_k\}_{k \in \mathbb{Z}}$ appartenenti a $\tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ e definite da

(108) $\begin{equation*} \eta_k(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ikx} \qquad \forall k \in \mathbb{Z},\,\,\forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}$

costituisce una base hilbertiana di $\tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ .

$\quad$

Dimostrazione. L’ortonormalità della famiglia segue dal fatto che

(109) $\begin{equation*} \begin{split} \langle \eta_k, \eta_j \rangle &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i(k-j)x} \,\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \cos\big( (k-j)x\big) \,\mathrm{d}x + \frac{i}{2\pi} \int_0^{2\pi} \sin\big( (k-j)x\big) \,\mathrm{d}x \\ &= \begin{cases} 1 & \text{se } k=j, \\ 0 & \text{se } k\neq j. \end{cases} \end{split} \end{equation*}$

Proviamone ora la completezza. A tal fine, fissiamo una funzione $g \in \tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ continua ortogonale a ognuna delle funzioni $\eta_k$ e sia $k \in \mathbb{N}$ . Si ha

(110) $\begin{equation*} \begin{gathered} \langle g, \cos (kx) \rangle \overset{106}{=} \left \langle g, \frac{e^{ikx}+ e^{-ikx}}{2} \right \rangle = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\,\langle g, \eta_k \rangle + \sqrt{\frac{\pi}{2}}\,\langle g, \eta_{-k} \rangle = 0, \\ \langle g, \sin (kx) \rangle \overset{106}{=} \left \langle g, \frac{e^{ikx}- e^{-ikx}}{2i} \right \rangle = \frac{1}{i}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,\langle g, \eta_k \rangle - \frac{1}{i}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,\langle g, \eta_{-k} \rangle = 0. \end{gathered} \end{equation*}$

Poiché la base di Fourier è una base hilbertiana di $\tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ in forza dell’osservazione 2.21, dalle relazioni in (110) segue che $g=0$ e quindi la completezza della famiglia $\{\eta_k\}_{k \in \mathbb{Z}}$ .

Dalle stesse considerazioni che hanno portato a definire i coefficienti e la serie di Fourier in $\tilde{P}_{2\pi}$ , possiamo definire tali oggetti per una funzione in $\tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ rispetto alla base di Fourier complessa fornita dalla proposizione 2.22.

Definizione 2.23 (coefficienti e serie di fourier in forma complessa). Data $\tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ , si dicono coefficienti complessi di Fourier di $f$ le quantità

(111) $\begin{equation*} \widehat{f}(k) \coloneqq \langle f, \eta_k \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{2\pi} f(x) e^{-ikx} \,\mathrm{d}x \qquad \forall k \in \mathbb{Z}. \end{equation*}$

La serie di funzioni

(112) $\begin{equation*} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \widehat{f}(k) e^{ikx} \end{equation*}$

è detta serie di Fourier in forma complessa della funzione $f$ .

$\quad$

La serie di funzioni (112), avendo indici in $\mathbb{Z}$ invece che in $\mathbb{N}$ , è da intendersi come la successione delle somme parziali $S_n(x) \in \tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ definite da

(113) $\begin{equation*} S_n(x) \coloneqq \sum_{k=-n}^n \widehat{f}(k) e^{ikx} \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Dalle identità di Eulero (106) e dalle definizioni dei coefficienti di Fourier reali e complessi si ottiene che le serie di Fourier in forma reale e complessa di una funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ coincidono.

Proposizione 2.24 (equivalenza tra forma reale e complessa della serie di Fourier). Se $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ , allora per ogni $n \in \mathbb{N}$ il polinomio trigonometrico di ordine $n$ della serie di Fourier in forma reale di $f$ coincide con la somma parziale $n$ -esima della forma complessa della serie di Fourier; in formule si ha

(114) $\begin{equation*} a_0 + \sum_{k=1}^n \big( a_k \cos(kx) + b_k \sin (kx) \big) = \sum_{k=-n}^n \widehat{f}(k) e^{ikx} \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

$\quad$

Dunque, poiché ogni $f \in \tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ è somma delle sua parti reale e immaginaria, tutte le proprietà delle serie di Fourier reali si estendono identicamente alle serie di Fourier complesse.

In realtà, tutta la teoria delle serie di Fourier potrebbe essere svolta direttamente in forma complessa in $\tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ , producendo anche semplificazioni di alcuni enunciati e dimostrazioni: grazie alle identità di Eulero, che permettono di scrivere prodotti di funzioni trigonometriche in maniera semplice per le proprietà degli esponenziali, e all’uso degli indici in $\mathbb{Z}$ , che evita di trattare separatamente le funzioni $\sin$ e $\cos$ e il coefficiente $a_0$ . Per rendersi conto di tali semplificazioni formali, il lettore provi ad esempio a riscrivere la dimostrazione del teorema 2.8 di convergenza puntuale per serie di Fourier in forma complessa.

Riportiamo le relazioni tra i coefficienti $a_k,b_k$ della forma reale delle serie di Fourier e quelli complessi.

Proposizione 2.25 (relazioni tra serie di Fourier in forma reale e complessa). Sia $f \in \tilde{P}_{2\pi}({\mathbb{C}})$ .

$\quad$

Relazioni e parità. Si hanno le seguenti relazioni tra i coefficienti delle serie di Fourier in forma reale e complessa:
(115) $\begin{gather*} \widehat{f}(k) = \frac{1}{2}(a_k+i b_k), \quad \widehat{f}(-k) = \frac{1}{2}(a_k-i b_k) \qquad \forall k \in \mathbb{N}; \\[5pt] a_k = \widehat{f}(k) + \widehat{f}(-k), \quad b_k = i (\widehat{f}(k) - \widehat{f}(-k)) \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{gather*}$
In particolare, $f$ è pari se e solo se i coefficienti $\widehat{f}(k)$ sono tutti reali e $\widehat{f}(k)= \widehat{f}(-k)$ ; analogamente, $f$ è dispari se e solo se i coefficienti $\widehat{f}(k)$ sono tutti immaginari e $\widehat{f}(k)= -\widehat{f}(-k)$ .

Identità di Parseval. $\displaystyle \|f\|^2 = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \left | \widehat{f}(k) \right |^2$ .

Lemma di Riemann-Lebesgue. $\displaystyle \lim_{k \to \pm \infty} \widehat{f}(k)=0$ .

$\quad$

Ossia la versione del prodotto scalare su spazi vettoriali sul campo $\mathbb{C}$ . ↩

Esempi

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In questa sezione applichiamo ad alcune funzioni periodiche la teoria precedentemente sviluppata.

Esempio 3.1. La funzione $f$ dell’esempio 1.11 è regolare a tratti, infatti essa è definita da restrizioni a vari intervalli di funzioni costanti. Pertanto possiamo applicare il teorema 2.8 e affermare che la sua serie di Fourier converge puntualmente a $f$ nei punti in cui essa è continua, ossia negli intervalli $(k\pi,(k+1)\pi)$ con $k \in \mathbb{Z}$ . Nei punti $k\pi$ per $k \in \mathbb{Z}$ , dal teorema 2.8 segue che la serie di Fourier converge alla media aritmetica dei limiti sinistro e destro di $f$ . Infatti, dato che $f(0^-)=0$ e $f(0^+)=1$ , si ha che la serie di Fourier converge a $\dfrac{1}{2}$ in $0$ . Dall’espressione (32) e nella figura 1 si vede che

(116) $\begin{equation*} S_n(0) = \dfrac{1}{2} \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Applicando il teorema 2.10, si ha che la serie di Fourier di $f$ converge uniformemente a $f$ negli intervalli del tipo $[k\pi+\varepsilon,(k+1)\pi-\varepsilon]$ con $\varepsilon>0$ .

Un discorso analogo si può ripetere per la funzione dell’esempio 1.12.

Esempio 3.2. Sviluppiamo in serie di Fourier la funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ definita da

(117) $\begin{equation*} f(x) = |\sin x| \qquad \forall x \in [-\pi,\pi], \end{equation*}$

ed estesa con periodicità in $\mathbb{R}$ , detta onda raddrizzata e rappresentata in figura 5.

$\quad$

Figura 5: la funzione $f$ dell’esempio 3.2.

$\quad$

Calcoliamo i coefficienti di Fourier. Da (22) otteniamo

(118) $\begin{equation*} a_0 = \dfrac{1}{{2\pi}}\int_0^{2\pi} f(x) \,\mathrm{d} x, = \dfrac{1}{{\pi}} \int_0^\pi \sin x \,\mathrm{d} x = \dfrac{1}{\pi} \Big[- \cos x \Big]_0^\pi = \dfrac{2}{\pi}. \end{equation*}$

Dalla figura 5 appare infatti che la media di $f$ su $[0,2\pi]$ è strettamente positiva. Usiamo (23) per determinare gli altri coefficienti $a_k$ :

(119) $\begin{equation*} \begin{split} a_k = & \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{2\pi} f(x) \cos(kx) \,\mathrm{d} x \\ = & \dfrac{2}{{\pi}}\int_0^{\pi} \sin x \cos(kx) \,\mathrm{d} x \\ = & \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{\pi} \sin((1+k)x) \,\mathrm{d} x + \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{\pi} \sin((1-k)x) \,\mathrm{d} x \qquad \forall k \in \mathbb{N} \end{split} \end{equation*}$

dove nell’ultima uguaglianza abbiamo usato le formule di Werner (37). Poiché

(120) $\begin{gather*} \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{\pi} \sin((1+k)x) \,\mathrm{d} x = -\dfrac{1}{(k+1){\pi}} \Big[ \cos((1+k)x) \Big]_0^{\pi} = \begin{cases} \dfrac{2}{(k+1){\pi}} & \text{se $k$ è pari}\\[8pt] 0 & \text{se $k$ è dispari}, \end{cases} \\[5pt] \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{\pi} \sin((1-k)x) \,\mathrm{d} x = \begin{cases} -\dfrac{1}{(1-k){\pi}} \Big[ \cos((1-k)x) \Big]_0^{\pi} & \text{se } k >1\\[9pt] 0 & \text{se } k=1 \end{cases} \,\, = \begin{cases} \dfrac{2}{(1-k){\pi}} & \text{se $k$ è pari}\\[9pt] 0 & \text{se $k$ è dispari}, \end{cases} \end{gather*}$

sostituendo in (119) e svolgendo le somme otteniamo

(121) $\begin{equation*} a_k = \begin{cases} \dfrac{4}{(1-k^2)\pi} & \text{se $k$ è pari}\\[9pt] 0 & \text{se $k$ è dispari}. \end{cases} \end{equation*}$

Per determinare i coefficienti $b_k$ , possiamo notare che $f$ è una funzione pari, quindi si possono sfruttare le relazioni tra parità e coefficienti di Fourier stabilite nella proposizione 2.4 e ottenere

(122) $\begin{equation*} b_k=0 \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Come ulteriore conferma, usando la definizione (23) si ha:

(123) $\begin{equation*} \begin{split} b_k = \dfrac{1}{{\pi}}\int_0^{2\pi} f(x) \sin(kx) \,\mathrm{d} x = \dfrac{1}{{\pi}} \int_{-\pi}^\pi |\sin x| \sin(kx) \,\mathrm{d} x = 0 \qquad \forall k \in \mathbb{N}, \end{split} \end{equation*}$

in quanto la funzione integranda è dispari e l’integrale è sull’intervallo $[-\pi,\pi]$ , che è simmetrico rispetto all’origine.

La serie di Fourier di $f$ è quindi pari a

(124) $\begin{equation*} a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos(kx) + b_k \sin (kx) = \dfrac{2}{\pi} + \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{4}{(1-4k^2)\pi} \cos(2kx). \end{equation*}$

I primi polinomi trigonometrici $S_n$ della serie di Fourier di $f$ sono rappresentati in figura 6. Poiché la funzione $f$ è regolare a tratti e continua in $\mathbb{R}$ , il teorema 2.10 assicura che la convergenza della successione delle somme parziali $S_n$ a $f$ è uniforme in $[0,2\pi]$ (e quindi in $\mathbb{R}$ ).

$\quad$

Figura 6: le prime somme parziali $S_n$ della serie di Fourier di $f$ dell’esempio 3.2. Si noti come, poiché $f$ è pari, anche i polinomi trigonometrici $n$ -esimi della sua serie di Fourier sono funzioni pari, in quanto contengono solamente termini di tipo coseno.

$\quad$

Esempio 3.3 (funzione a dente di sega). Sviluppiamo in serie di Fourier la funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(125) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} x & \text{se } x \in (-1,1)\\ 0 & \text{se } x \in \{-1,1\} \end{cases} \end{equation*}$

ed estesa a una funzione di periodo $2$ su $\mathbb{R}$ . Il grafico di $f$ è rappresentato in figura 7.

$\quad$

Figura 7: la funzione $f$ dell’esempio 3.3.

$\quad$

Poiché il periodo di $f$ è pari a $2$ , dobbiamo utilizzare le considerazioni della sezione 2.4 con $L=1$ . Osserviamo inoltre che la funzione $f$ è dispari, quindi in virtù della proposizione 2.4 e dell’osservazione 2.19 possiamo direttamente stabilire che la serie di Fourier di $f$ non contiene termini di tipo coseno, cioè

(126) $\begin{equation*} a_k = 0 \qquad \forall k \in \mathbb{N} \cup \{0\}. \end{equation*}$

Da (97) poi ricaviamo

(127) $\begin{equation*} \begin{split} b_k = \dfrac{1}{L} \int_0^{2L} f(x) \sin\left(\dfrac{k\pi}{L}x\right) \,\mathrm{d} x = \int_{-1}^1 x \sin(k\pi x) \,\mathrm{d} x = 2 \int_{0}^1 x \sin(k\pi x) \,\mathrm{d} x \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{split} \end{equation*}$

Integrando per parti otteniamo

(128) $\begin{equation*} \begin{split} b_k = 2 \left[- \dfrac{x}{k\pi}\cos(k\pi x) \right]_0^1 + \dfrac{2}{k\pi} \int_0^1 \cos(k\pi x) \,\mathrm{d} x = 2 \left[- \dfrac{x}{k\pi}\cos(k\pi x) \right]_0^1 + \dfrac{2}{k^2\pi^2} \Big[\sin(k\pi x) \Big]_0^1 \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{split} \end{equation*}$

Dato che il secondo termine della somma all’ultimo membro è nullo per ogni $k \in \mathbb{N}$ , si ha

(129) $\begin{equation*} b_k = (-1)^{k+1}\dfrac{2}{k\pi} \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Da tali considerazioni e da (94) segue che la serie di Fourier di $f$ è pari a

(130) $\begin{equation*} a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left(a_k \cos\left(\dfrac{k\pi}{L}x\right) + b_k \sin\left(\dfrac{k\pi}{L}x\right) \right) = \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k+1}\dfrac{2}{k\pi} \sin(k\pi x). \end{equation*}$

Rappresentiamo in figura 8 i primi polinomi trigonometrici della serie di Fourier di $f$ .

$\quad$

Figura 8: le prime somme parziali $S_n$ della serie di Fourier di $f$ dell’esempio 3.3. Osserviamo che la serie di Fourier converge puntualmente anche nei punti $-1,1$ , in quanto in tali punti le somme parziali sono tutte nulle.

$\quad$

Facciamo ora delle osservazioni su questo interessante sviluppo in serie:

$\quad$

La serie (130) converge puntualmente a $f$ in $(-1,1)$ per il teorema 2.8 in quanto $f$ è continua in questo intervallo. Nel punto $-1$ , osserviamo che
(131) $\begin{equation*} 0 = f(-1) = \dfrac{f(-1^-)+f(-1^+)}{2} = \dfrac{1-1}{2} \end{equation*}$
e un’analoga relazione vale per $x=1$ , per la periodicità di $f$ . Di nuovo per il teorema 2.8, si ha che la serie di Fourier di $f$ in (130) converge a $f(-1)$ anche in $-1$ , nonostante $f$ non sia continua in tali punti.

Dato che la funzione $f$ è derivabile con continuità in $[-1+\varepsilon,1-\varepsilon]$ per ogni $\varepsilon>0$ , , la convergenza della serie di Fourier è uniforme in tali intervalli in virtù del teorema 2.10.

Gli sviluppi in serie di Fourier permettono talvolta di calcolare, grazie al teorema 2.8, le somme esatte di alcune serie. Infatti si è osservato che $f$ è continua in $x=\dfrac{1}{2}$ e quindi per il teorema 2.8 la serie (130) converge, per $x=\dfrac{1}{2}$ a $f(\dfrac{1}{2})$ ; dunque ricaviamo
(132) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2} = f\left( \dfrac{1}{2}\right) = \sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k+1}\dfrac{2}{k\pi} \sin\left(\dfrac{k\pi}{2}\right) = \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{2}{(2k+1)\pi}(-1)^k. \end{equation*}$
Riarrangiando i termini otteniamo la seguente identità per la costante $\pi$ :
(133) $\begin{equation*} {\pi} = 4\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{2k+1}. \end{equation*}$

Come ulteriore applicazione, scriviamo l’identità di Parseval per la funzione $f$ . Per quanto riguarda la norma di $f$ abbiamo
(134) $\begin{equation*} \|f\|^2 = \int_0^{2L} f(x)^2 \,\mathrm{d} x = 2\int_0^1 x^2 \,\mathrm{d} x = 2 \left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_0^1 = \dfrac{2}{3}, \end{equation*}$
quindi l’identità di Parseval (99), insieme alle espressioni dei coefficienti di Fourier in (126) e (129), fornisce
(135) $\begin{equation*} \dfrac{2}{3} = \|f\|^2 = L \sum_{k=1}^{+\infty} b_k^2 = \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{4}{k^2 \pi^2}, \end{equation*}$
ossia la nota formula
(136) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6}. \end{equation*}$

Esempio 3.4. Consideriamo la funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(137) $\begin{equation*} f(x)= |x| \qquad \forall x \in [-3,3] \end{equation*}$

ed estesa con periodicità (di periodo $6$ ) a $\mathbb{R}$ . Il suo grafico è rappresentato in figura 9.

$\quad$

Figura 9: la funzione $f$ dell’esempio 3.4.

$\quad$

La funzione $f$ ha periodo $6=2L$ con $L=3$ . Determiniamo la sua serie di Fourier. Osserviamo innanzitutto che $f$ è pari, quindi per la proposizione 2.4 e l’osservazione 2.19 abbiamo

(138) $\begin{equation*} b_k=0 \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Calcoliamo quindi i coefficienti $a_k$ . Per (95) si ha

(139) $\begin{equation*} a_0=\dfrac{1}{2L} \int_0^{2L} f(x) \,\mathrm{d} x = \dfrac{1}{3} \int_0^3 x \,\mathrm{d} x = \dfrac{1}{3} \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_0^3 = \dfrac{3}{2}, \end{equation*}$

dove nella seconda uguaglianza si è usata la parità di $f$ . Per gli altri coefficienti $a_k$ , da (96) otteniamo

(140) $\begin{equation*} \begin{split} a_k = \dfrac{1}{L} \int_0^{2L} f(x) \cos\left(\dfrac{k\pi}{L}x\right) \,\mathrm{d} x = \dfrac{2}{3} \int_0^3 x \cos\left(\dfrac{k\pi}{3}x\right) \,\mathrm{d} x = \dfrac{6}{k^2\pi^2}\int_0^{k\pi} t \cos t \,\mathrm{d} t \qquad \forall k \in \mathbb{N}, \end{split} \end{equation*}$

dove nella seconda uguaglianza si è usata la parità della funzione integranda, mentre nella terza si è effettuata la sostituizione $t= \dfrac{k\pi}{3}x$ . Integrando per parti la precedente espressione otteniamo

(141) $\begin{equation*} a_k = \dfrac{6}{k^2\pi^2} \Big[ t \sin t \Big]_0^{k\pi} - \dfrac{6}{k^2\pi^2} \int_0^{k\pi} \sin t \,\mathrm{d} t = \dfrac{6}{k^2\pi^2} \Big[\cos t \Big]_0^{k\pi} = \begin{cases} -\dfrac{12}{k^2\pi^2} & \text{se $k$ è dispari}\\[8pt] 0 & \text{se $k$ è pari}. \end{cases} \end{equation*}$

Da (94), la serie di Fourier di $f$ è quindi

(142) $\begin{equation*} a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos\left(\dfrac{k\pi}{3}x\right) = \dfrac{3}{2} - \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{12}{(2k+1)^2 \pi^2} \cos\left(\dfrac{(2k+1)\pi}{3}x\right). \end{equation*}$

I primi polinomi trigonometrici della serie di Fourier di $f$ sono rappresentati in figura 10.

$\quad$

Figura 10: le prime somme parziali $S_n$ della serie di Fourier di $f$ dell’esempio 3.4.

$\quad$

Osserviamo che, poiché $f$ è regolare a tratti (è derivabile con continuità in $(0,3)$ ) ed è continua, la serie di Fourier di $f$ converge uniformemente in $[-3,3]$ (e quindi in $\mathbb{R}$ ) per il teorema 2.10. Possiamo quindi utilizzare la serie di Fourier di $f$ nel punto $x=3$ per ottenere l’uguaglianza

(143) $\begin{equation*} 3 = f(3) = \dfrac{3}{2} + \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{12}{(2k+1)^2 \pi^2}, \end{equation*}$

che, opportunamente manipolata, porta all’uguaglianza

(144) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2k+1)^2} = \dfrac{\pi^2}{8}. \end{equation*}$

Esercizio 3.5 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Utilizzare i risultati dell’esempio 3.4 per calcolare la somma della serie

(145) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^4}. \end{equation*}$

$\quad$

Svolgimento. La serie di cui si vuole calcolare la somma $S$ è una serie armonica generalizzata con esponente strettamente maggiore di $1$ , dunque essa è convergente. L’idea è usare l’identità di Parseval (99) per la funzione $f$ dell’esempio 3.4. Per la norma di $f$ si ha

(146) $\begin{equation*} \| f \|^2 = \int_0^{2L} f(x)^2 \,\mathrm{d} x = \int_0^6 x^2 \,\mathrm{d} x = 2 \int_0^3 x^2 \,\mathrm{d} x = 2 \left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_0^3 = 18. \end{equation*}$

Quindi (99) per $f$ diventa

(147) $\begin{equation*} 18 = \int_0^{2L} f(x)^2 \,\mathrm{d} x = 2L a_0^2 + L \sum_{k=1}^{+\infty} a_k^2 = 6 \dfrac{9}{4} + 3\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{144}{(2k+1)^4 \pi^4}, \end{equation*}$

da cui si ottiene facilmente

(148) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2k+1)^4} = \dfrac{\pi^4}{96}. \end{equation*}$

Utilizziamo ora questa relazione per calcolare la somma desiderata. Notiamo infatti che

(149) $\begin{equation*} \begin{split} S = & \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^4} = \left(1 + \dfrac{1}{3^4} + \dfrac{1}{5^4}+ \dots \right) + \left(\dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{4^4}+ \dfrac{1}{6^4}+\dots \right) \\ = & \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2k+1)^4} + \dfrac{1}{2^4} \left( 1 + \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{3^4}+ \dots \right) \\ = & \dfrac{\pi^4}{96} + \dfrac{S}{2^4}, \end{split} \end{equation*}$

dove la seconda e la terza uguaglianza sono lecite in quanto la serie è a termini positivi. Da ciò si ricava

(150) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^4} = \dfrac{15}{16} \dfrac{\pi^4}{96} = \dfrac{\pi^4}{90}. \end{equation*}$

Esempio 3.6. Calcoliamo la serie di Fourier della funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(151) $\begin{equation*} f(x)= x^2 \qquad \forall x \in [-1,1] \end{equation*}$

ed estesa con periodicità (di periodo $2$ ) a $\mathbb{R}$ . Il suo grafico è rappresentato in figura 11.

Osserviamo che $f$ ha periodo $2=2L$ per $L=1$ , e che inoltre essa è una funzione pari, per cui possiamo anticipare che i coefficienti di Fourier relativi ai termini di tipo seno sono nulli, ossia

(152) $\begin{equation*} b_k = 0 \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

$\quad$

Figura 11: la funzione $f$ dell’esempio la funzione $f$ dell’esempio 3.6.

$\quad$

Calcoliamo gli altri coefficienti di Fourier di $f$ partendo dall’espressione di $a_0$ data da (95):

(153) $\begin{equation*} {a}_0 = \dfrac{1}{2L} \int_0^{2L} f(x) \,\mathrm{d} x, = \int_0^1 x^2 \,\mathrm{d} x = \left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_0^1 = \dfrac{1}{3}. \end{equation*}$

Per gli altri coefficienti $a_k$ , (96) fornisce

(154) $\begin{equation*} \begin{split} a_k &= \dfrac{1}{L} \int_0^{2L} f(x) \cos\left(\dfrac{k\pi}{L}x\right) \,\mathrm{d} x= \\ &= 2 \int_0^1 x^2 \cos(k\pi x) \,\mathrm{d} x = \\ &= 2 \left[ x^2 \dfrac{\sin(k\pi x)}{k\pi} \right]_0^1 - \dfrac{4}{k\pi} \int_0^1 x \sin(k\pi x) \,\mathrm{d} x, \end{split} \end{equation*}$

dove nella seconda uguaglianza abbiamo usato la parità della funzione $f$ e nella terza abbiamo integrato per parti. Osservando che il primo addendo dell’ultimo membro è nullo e, applicando ancora la formula di integrazione per parti al secondo addendo, otteniamo

(155) $\begin{equation*} \begin{split} a_k = \dfrac{4}{k\pi}\left[ x \dfrac{\cos(k\pi x)}{k\pi} \right]_0^1 - \dfrac{4}{k^2\pi^2} \int_0^1 \cos(k\pi x) \,\mathrm{d} x = \dfrac{4}{k^2\pi^2}(-1)^{k}. \end{split} \end{equation*}$

La serie di Fourier di $f$ è quindi pari a

(156) $\begin{equation*} a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} a_k \cos\left({k\pi}x\right) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{\pi^2} \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{k^2} \cos\left({k\pi}x\right). \end{equation*}$

Alcuni tra i primi polinomi trigonometrici della serie di Fourier di $f$ sono rappresentati in figura 12.

$\quad$

Figura 12: alcune tra le prime somme parziali $S_n$ della serie di Fourier di $f$ dell’esempio 3.6.

$\quad$

Poiché $f$ è regolare a tratti e continua, possiamo applicare il teorema 2.10 e dedurre che la sua serie di Fourier converge uniformemente su $[-1,1]$ (e quindi su $\mathbb{R}$ ) a $f$ . Ciò implica ovviamente anche la convergenza puntuale della serie di Fourier in $\mathbb{R}$ .

Usando la convergenza puntuale della serie di Fourier di $f$ (156) nel punto $x=0$ , si ottiene

(157) $\begin{equation*} 0 = f(0) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{\pi^2} \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^2}{k^2}, \end{equation*}$

che fornisce l’uguaglianza

(158) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{k+1}}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{12}. \end{equation*}$

Applichiamo ora l’identità di Parseval (99) per $f$ . Per la norma di $f$ abbiamo

(159) $\begin{equation*} \int_0^2 f(x)^2 \,\mathrm{d} x = 2 \int_0^1 x^4 \,\mathrm{d} x = \dfrac{2}{5}. \end{equation*}$

Allora la (99) fornisce

(160) $\begin{equation*} \dfrac{2}{5} = \int_0^2 f(x)^2 \,\mathrm{d} x = 2a_0^2 + \sum_{k=1}^{+\infty} a_k^2 = \dfrac{2}{9} + \dfrac{16}{\pi^4}\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^4}, \end{equation*}$

che produce un’altra dimostrazione della formula

(161) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^4} = \dfrac{\pi^4}{90}. \end{equation*}$

Osservazione 3.7. Con un argomento simile, si possono ottenere le somme delle serie $\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^{2n}}$ con $n \in \mathbb{N}$ , a partire dalla serie di Fourier dell’estensione periodica della funzione definita da $f(x)=x^n$ in $[-1,1]$ .

Applicazioni: equazioni del calore e delle onde

Introduzione.

Vediamo qui una importante applicazione delle serie di Fourier volta alla risoluzione di due particolari equazioni differenziali che emergono in modo naturale dalla descrizione di due fondamentali modelli fisici: la diffusione del calore in un mezzo omogeneo (equazione del calore o di diffusione) e il moto dei punti su una corda vibrante (equazione delle onde), entrambe accompagnate da opportune condizioni iniziali e al bordo.

Esse sono equazioni differenziali alle derivate parziali (EDP, o PDE in inglese), ovvero equazioni differenziali relative a una funzione

(162) $\begin{equation*} u \colon (t,\mathbf{x}) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d \mapsto u(t,\mathbf{x}) \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

che coinvolgono le sue derivate rispetto a $t$ ( indicate con $u_t$ ) e rispetto a $\mathbf{x}= (x_1,...,x_d)$ (indicate con $u_{x_1},...,u_{x_d}$ ).

Per semplicità, analizzeremo solo il caso $d=1$ , in cui la funzione dipende da una variabile temporale e una sola variabile spaziale, e indicheremo con $u_t,u_{tt},u_x,u_{xx}, u_{xt},u_{tx}$ le sue derivate parziali rispettivamente rispetto a $t$ e $x$ .

Solitamente tali equazioni differenziali sono accompagnate da opportune condizioni al bordo che, se relative alla variabile temporale prendono anche il nome di dati iniziali.

Tratteremo i seguenti problemi:

$\quad$

(Equazione del calore). Dati $\alpha, L\in (0,+\infty)$ e una funzione $f \colon [0,L] \to \mathbb{R}$ , si cerca una soluzione di
(163) $\begin{equation*} \begin{cases} u_{t}(x,t)=\alpha u_{xx}(x,t) & \forall x \in [0,L],\,\,\,\forall t> 0\\ u(0,t)=u(L,t)=0 & \forall t\geq 0\\ u(x,0)=f(x) & \forall x \in [0,L]. \end{cases} \end{equation*}$

(Equazione delle onde). Dati $c \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ , $L \in (0,+\infty)$ e due funzioni $f,g \colon [0,L] \to \mathbb{R}$ , si cerca una soluzione di
(164) $\begin{equation*} \begin{cases} u_{tt}(x,t)=c^2 u_{xx}(x,t) & \forall x \in [0,L],\,\,\,\forall t\geq 0\\ u(0,t)=u(L,t)=0 & \forall t\geq 0\\ u(x,0)=f(x) & \forall x \in [0,L]\\ u_t(x,0)=g(x) & \forall x \in [0,L].\\ \end{cases} \end{equation*}$

Lo strumento chiave del metodo di Fourier consiste nella linearità delle equazioni (163) e (164). La illustriamo per l’equazione del calore: date due soluzioni $u_1,u_2$ dei problemi aventi dati iniziali rispettivamente pari a $f_1$ e $f_2$ , allora la funzione $\alpha u_1+ \beta u_2$ è una soluzione dell’equazione con dati iniziali $\alpha f_1+ \beta f_2$ . Il lettore può facilmente effettuare la verifica, convincendosi che ciò è vero anche per l’equazione delle onde.

Data la condizione al bordo $u(0,t)=u(L,t)=0$ , è solitamente abbastanza facile ottenere soluzioni $u_k$ del problema (163) quando $f$ è una funzione sinusoidale, ossia del tipo

(165) $\begin{equation*} f_k(x)= \sin \left( \dfrac{k \pi}{L} x\right) \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\,\, \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

dove i coefficienti $\dfrac{k\pi}{L}$ sono gli unici per cui $f_k$ soddisfa $u(0,t)=u(L,t)=0$ .

L’idea principale è quindi che è ragionevole ipotizzare che la linearità dell’equazione si estenda anche a somme infinite: data una funzione $f$ soddisfacente $f(0)=f(L)=0$ abbastanza regolare, estesa in maniera periodica di periodo $2L$ e dispari su $\mathbb{R}$ , essa può essere sviluppata come serie di Fourier di funzioni sinusoidali

(166) $\begin{equation*} f= \sum_{k=1}^{+\infty} b_k f_k, \end{equation*}$

si cerca di mostrare che la soluzione $u$ del problema (163) è la somma della serie

(167) $\begin{equation*} u = \sum_{k=1}^{+\infty} b_k u_k, \end{equation*}$

dove ricordiamo che le $u_k$ sono le soluzioni di (171) per $f=f_k$ .

Tenendo a mente questa idea, i passi del metodo di Fourier si possono riassumere nel seguente schema.

$\quad$

Passo 1: separazione delle variabili. Si cercano soluzioni $u$ dell’equazione differenziale aventi la forma $u(x,t)=F(x) G(t)$ ; questa assunzione sulla forma di $u$ riduce l’equazione differenziale per $u$ a un sistema di due equazioni differenziali ordinarie per $F$ e $G$ (che coinvolgono cioè le derivate rispetto ad una sola variabile).

Passo 2: condizione al bordo. Si determinano tutte le funzioni $F$ e $G$ affinché la funzione $u=FG$ soddisfi l’equazione differenziale e la condizione al bordo
(168) $\begin{equation*} u(0,t)=u(L,t)=0 \qquad \forall t\geq 0. \end{equation*}$
Ciò conduce a determinare, in generale, due successioni di funzioni $F_k$ e $G_k$ per cui le funzioni $u_k=F_k G_k$ soddisfino l’equazione differenziale insieme alla condizione $u(0,t)=u(L,t)=0$ .
Si vede poi che le funzioni $u_k$ così costruite sono soluzioni dei problemi (163) e (164) in cui le funzioni $f$ e $g$ sono del tipo $\sin(kx),\cos(kx)$ .

Passo 3: uso delle serie di Fourier. Prendiamo come esempio il caso dell’equazione del calore; se la funzione $f$ è sufficientemente regolare e la sua serie di Fourier è
(169) $\begin{equation*} f(x)= \sum_{k =1}^{+\infty} b_k \sin(kx) \qquad \forall x \in [0,L], \end{equation*}$
si può dimostrare che la funzione
(170) $\begin{equation*} u(x,t) \coloneqq \sum_{k =1}^{+\infty} b_k u_k(x,t) \qquad \forall x \in [0,L],\,\,\forall t \geq 0 \end{equation*}$
è soluzione del problema, dove le funzioni $u_k$ sono definite al passo precedente.

Applichiamo ora questo metodo nei casi (163) e (164).

Equazione del calore.

In questa sezione ci proponiamo di affrontare la risoluzione di (163).

Problema 4.1 (equazione del calore). Fissati $\alpha,L\in (0,+\infty)$ e una funzione $f \colon [0,L] \to \mathbb{R}$ , determinare una soluzione di

(171) $\begin{equation*} \begin{cases} u_{t}(x,t)=\alpha u_{xx}(x,t) & \forall x \in [0,L],\,\,\,\forall t> 0\\ u(0,t)=u(L,t)=0 & \forall t\geq 0\\ u(x,0)=f(x) & \forall x \in [0,L]. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

Il risultato principale che dimostreremo in questa sezione è l’esistenza di una soluzione di (171) usando le serie di Fourier, quando $f$ è una funzione regolare a tratti.

Teorema 4.2 (esistenza della soluzione del problema 4.1). Se $f$ è una funzione regolare a tratti, allora l’equazione del calore (171) possiede una soluzione $u \colon [0,L] \times [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ definita da

(172) $\begin{equation*} u(x,t) = \sum_{k=1}^{+\infty} b_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right)e^{-\alpha\lambda^2_k t} \qquad \forall x \in [0,L], \,\,\forall t \in [0,+\infty), \end{equation*}$

dove $\lambda_k= \dfrac{k\pi}{L}$ e i coefficienti $b_k$ sono dati da

(173) $\begin{equation*} b_k = \dfrac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \left( \dfrac{k \pi}{L}x \right) \,\mathrm{d} x \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

$\quad$

La soluzione del problema 4.1 è inoltre unica, come stabilito dal prossimo risultato. Esso fornisce una ulteriore conferma che il modello matematico della trasmissione del calore proposto sia valido: ci aspettiamo che, date le condizioni iniziali e al contorno, l’andamento della temperatura nel tempo sulla sbarretta sia univocamente determinato.

Proposizione 4.3 (unicità della soluzione del problema 4.1). La funzione $u$ del teorema 4.2 è l’unica soluzione del problema 4.1.

$\quad$

Clicca qui per la dimostrazione.

Osservazione 4.4. I coefficienti $b_k$ della funzione $u$ sono i coefficienti di Fourier della funzione $f$ estesa a $\mathbb{R}$ in maniera dispari e in modo che sia periodica di periodo $2L$ .

Motivazione fisica del problema

L’equazione del calore modellizza la trasmissione nel calore attraverso un mezzo omogeneo. Nel caso unidimensionale che ci siamo proposti di esaminare, il problema fisico che stiamo considerando è quello di determinare la temperatura di una barretta di materiale omogeneo di lunghezza $L$ , che possiamo considerare unidimensionale. Tale barretta è modellizzata con un segmento descritto dalla coordinata $x$ , che varia appunto tra $0$ e $L$ . La quantità $u(x,t)$ rappresenta la temperatura nel punto $x \in [0,L]$ al tempo $t \geq 0$ . Oltre alla prima equazione in (171), che spiegheremo a breve, vi sono altre equazioni che descrivono le cosiddette condizioni al contorno, cioè lo stato del sistema ai suoi bordi e all’istante iniziale. La condizione

(174) $\begin{equation*} u(0,t) = u(L,t) = 0 \qquad \forall t \geq 0 \end{equation*}$

vuol dire appunto che la temperatura nei punti estremi della barretta (ossia $x=0$ e $x=L$ ) è mantenuta costantemente al valore $0$ . Ciò corrisponde al fatto che gli estremi della barretta siano collegati termicamente a delle sorgenti a temperatura costante. Invece, la condizione

(175) $\begin{equation*} u(x,0) = f(x) \qquad \forall x \in [0,L] \end{equation*}$

esprime il fatto che, all’istante $t=0$ iniziale, in cui si inizia cioè ad osservare il fenomeno, la temperatura $u(x,0)$ della barretta nel punto $x\in [0,L]$ è data da una certa funzione $f(x)$ che dipende appunto dallo stato iniziale della barretta.

Ciò che si vuole determinare, ossia l’incognita del problema, è la funzione $u(x,t)$ che descrive la temperatura dei punti della barretta in tutti gli istanti successivi. Ovviamente, per ottenere questa descrizione, occorre stabilire come varia tale temperatura, e tale variazione è descritta appunto dall’equazione differenziale

(176) $\begin{equation*} u_t(x,t) = \alpha u_{xx}(x,t) \qquad \forall x \in (0,L),\,\,\,\forall t >0. \end{equation*}$

Questa equazione dice che la derivata temporale della temperatura è pari alla sua derivata spaziale seconda, moltiplicata per una costante $\alpha$ , che modellizza la conduttività termica del materiale di cui è composta la barretta. Tentiamo di fornirne una giustificazione intuitiva. Consideriamo un pezzetto $X$ molto piccolo di barretta, di estremi $x$ e $x + \Delta x$ a un certo istante $t$ . Tale situazione è rappresentata in figura 13.

$\quad$

Figura 13: la barretta di lunghezza $L$ e il pezzetto $X$ considerato nella derivazione dell’equazione del calore. Si noti il flusso $\phi$ di energia termica rivolto da destra a sinistra.

$\quad$

La differenza di energia termica $E$ di $X$ tra l’istante $t$ e $t+\Delta t$ è pari alla differenza di temperatura moltiplicata per il calore specifico lineare $c$ della barretta e per la lunghezza $\Delta x$ di $X$ :

(177) $\begin{equation*} c \big(u(x,t+ \Delta t)-u(x, t) \big) \Delta x = E(x,t+\Delta t) - E(x,t). \end{equation*}$

Inoltre, tale differenza di energia termica è anche pari al prodotto del flusso di calore netto entrante in $X$ per il tempo trascorso $\Delta t$ :

(178) $\begin{equation*} E(x,t+\Delta t) - E(x,t) = \big(\phi(x+ \Delta x,t)-\phi(x, t) \big) \Delta t, \end{equation*}$

dove appunto la quantità $\phi(x+ \Delta x,t)-\phi(x, t)$ è il flusso di calore entrante in $x+\Delta x$ meno quello uscente in $x$ . Osserviamo ora che, per la legge di trasmissione del calore, il flusso di calore $\phi$ è proporzionale alla derivata della temperatura tramite una costante $\kappa$ che descrive la conduttività termica del materiale:

(179) $\begin{equation*} \phi(x,t) = \kappa u_x(x,t). \end{equation*}$

Inserendo queste informazione in (177) e (178) otteniamo

(180) $\begin{equation*} \dfrac{u(x,t+ \Delta t)-u(x, t)}{\Delta t} = \dfrac{\kappa}{c} \dfrac{u_x(x+ \Delta x,t)-u_x(x, t)}{\Delta x}. \end{equation*}$

Passando al limite per $\Delta x \to 0$ e $\Delta t \to 0$ otteniamo

(181) $\begin{equation*} u_t(x,t) = \alpha u_{xx}(x,t), \end{equation*}$

dove abbiamo posto $\alpha=\dfrac{\kappa}{c}$ .

Risoluzione del problema 4.1

Si potrebbe mostrare il teorema 4.2 in maniera diretta, facendo cioè vedere che la funzione $u$ ivi definita è derivabile rispetto a $t$ , derivabile $2$ volte rispetto a $x$ e che soddisfa le equazioni in (171); invece preferiamo guidare il lettore nel procedimento che ha condotto alla definizione di $u$ , rispondendo alla seguente domanda.

Domanda 4.5. Da dove deriva l’intuizione che la funzione $u$ definita in (172) sia effettivamente una soluzione di (171)?

La risposta risiede nel metodo a cui abbiamo accennato all’inizio della sezione 4. Ripercorreremo quindi i passi di tale metodo che portano alla formulazione dell’espressione di $u$ data in (172) e nel passo 3 mostreremo il teorema 4.2, cioè che tale $u$ è effettivamente soluzione dell’equazione del calore (171).

Passo 1. Come abbiamo anticipato, cerchiamo delle funzioni $F \colon [0,L] \to \mathbb{R}$ e $G \colon [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ tali che la soluzione $u$ si possa scrivere come

(182) $\begin{equation*} u(x,t)=F(x) G(t) \qquad \forall x \in (0,L),\,\,\, \forall t \in (0,+\infty). \end{equation*}$

Indicando con “ $'$ ” le derivate rispetto a $x$ e con “ $\dot{}$ ” quelle rispetto a $t$ , dall’equazione $u_t=\alpha u_{xx}$ otteniamo

(183) $\begin{equation*} F(x)\dot{G}(t)=\alpha F''(x) G(t) \qquad \forall x \in (0,L),\,\,\,\forall t \in (0,+\infty). \end{equation*}$

Assumiamo ora di poter dividere l’equazione per $\alpha GF$ ⁷. Otteniamo

(184) $\begin{equation*} \dfrac{\dot{G}(t)}{\alpha G(t)} = \dfrac{F''(x)}{F(x)} \qquad \forall x \in (0,L),\,\,\,\forall t \in (0,+\infty). \end{equation*}$

Poiché le funzioni nei due membri dell’equazione dipendono da variabili diverse, affinché essa sia soddisfatta tali funzioni devono essere costanti. Esiste quindi una costante $\beta \in \mathbb{R}$ tale che

(185) $\begin{equation*} \dfrac{\dot{G}(t)}{\alpha G(t)} = \dfrac{F''(x)}{F(x)} = \beta \qquad \forall x \in (0,L),\,\,\,\forall t \in (0,+\infty). \end{equation*}$

Le funzioni $F$ e $G$ devono quindi essere delle soluzioni delle seguenti equazioni:

(186) $\begin{gather*} F''(x) = \beta F(x) \qquad \forall x \in (0,L), \\ \end{gather*}$

(187) $\begin{gather*} \dot{G}(t) = \alpha \beta G(t) \qquad \forall t \in (0,+\infty). \end{gather*}$

Passo 2. Per la condizione al bordo

(188) $\begin{equation*} u(0,t)=u(L,t) \qquad \forall t \geq 0, \end{equation*}$

abbiamo

(189) $\begin{equation*} 0=u(0,t)=F(0) G(t), \quad 0=u(L,t)=F(L) G(t) \qquad \forall t \geq 0, \end{equation*}$

da cui risulta che deve valere $F(0)=F(L)=0$ . Ponendo $|\beta|=p^2$ , la soluzione generale dell’equazione (186) è

(190) $\begin{gather*} \beta=0 \quad \Longrightarrow \quad F(x)=Ax+B \qquad \forall x \in [0,L], \\ \beta=p^2>0 \quad \Longrightarrow \quad F(x)=A e^{-px}+B e^{px} \qquad \forall x \in [0,L], \\ \beta=-p^2<0 \quad \Longrightarrow \quad F(x)=A\cos(px)+B\sin(px) \qquad \forall x \in [0,L], \end{gather*}$

con $A,B \in \mathbb{R}$ . Affinché si abbia $F(0)=F(L)=0$ , i primi due casi sono possibili solo per $A=B=0$ , che producono $F$ identicamente nulla e quindi priva di significato fisico. L’unica possibilità è quindi che $\beta =-p^2 <0$ . Imponendo la condizione $F(0)=F(L)=0$ si ricava

(191) $\begin{equation*} F(0)=A=0, \quad F(L)=B\sin (p L)=0. \end{equation*}$

Dato che deve valere $B\neq 0$ , da $\sin (pL)=0$ ricaviamo

$p=\frac{k \pi}{L} \eqqcolon \lambda_k,\qquad k=1,2,3,\ldots$

Ricaviamo la successione di soluzioni $F_k \colon [0,L] \to \mathbb{R}$ definite da

(192) $\begin{equation*} F_k(x)=\sin\left(\frac{k\pi}{L}x\right) \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\,\,\forall x \in [0,L]. \end{equation*}$

Osserviamo ora che, fissato $k \in \mathbb{N}$ , per $p=\dfrac{k \pi}{L}$ si ha

(193) $\begin{equation*} \beta = -\left(\frac{k\pi}{L}\right)^2. \end{equation*}$

Ricordando che $\lambda_k = \dfrac{k \pi}{L}$ per ogni $k \in \mathbb{N}$ , l’equazione (187) diviene

(194) $\begin{equation*} \dot{G_k}(t) = - \alpha \lambda_k^2 G_k(t) \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\,\forall t \in [0,+\infty). \end{equation*}$

La soluzione generale di tale equazione è

(195) $\begin{equation*} G_k(t)=B_k e^{-\alpha\lambda^2_k t} \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\,\forall t \in [0,+\infty), \end{equation*}$

con $B_k \in \mathbb{R}$ . Ricordando che stiamo cercando funzioni $u_k$ del tipo $F_k G_k$ , è facile mostrare la seguente proprietà.

Proposizione 4.6. Per ogni $k \in \mathbb{N}$ , la funzione $u_k \colon [0,L] \times [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ definita da

(196) $\begin{equation*} u_k(x,t)\coloneqq F_k(x) G_k(t) = \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right)e^{-\alpha\lambda^2_k t} \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\, \forall x \in [0,L], \,\,\forall t \in [0,+\infty) \end{equation*}$

è soluzione del problema

(197) $\begin{equation*} \begin{cases} u_t(x,t) = \alpha u_{xx}(x,t) & \forall x \in [0,L],\,\,\,\forall t\geq 0\\[8pt] u(0,t)=u(L,t)=0 & \forall t\geq 0\\[8pt] u(x,0)=\sin \left(\dfrac{k\pi}{L}x \right) & \forall x \in [0,L]. \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Fissato $k \in \mathbb{N}$ , è chiaro che

(198) $\begin{equation*} u_k(x,0) = \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right) \qquad \forall x \in [0,L]. \end{equation*}$

Inoltre derivando l’espressione di $u_k$ rispetto a $t$ e due volte rispetto a $x$ si ottiene che vale l’equazione

(199) $\begin{equation*} (u_k)_t(x,t) = \alpha (u_k)_{xx}(x,t) \qquad \forall x \in [0,L], \,\,\forall t \in [0,+\infty). \end{equation*}$

Passo 3: dimostrazione del teorema 4.2. Consideriamo l’estensione di $f$ a $\mathbb{R}$ dispari e periodica di periodo $2L$ , che con un leggero abuso di notazione continuiamo a chiamare $f$ . Sviluppandola in serie di Fourier otteniamo

(200) $\begin{equation*} f(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} b_k \sin \left( \dfrac{k\pi}{L}x\right) \qquad \forall x \in [0,L], \end{equation*}$

dove $b_k$ sono i coefficienti di Fourier delle funzioni di tipo seno. Osserviamo che la serie è puntualmente convergente per il teorema 2.8 dato che $f$ è regolare a tratti. Per risolvere il problema (171), vorremmo quindi definire una funzione $u \colon [0,L] \times [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ come

(201) $\begin{equation*} u(x,t) = \sum_{k=1}^{+\infty} b_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right)e^{-\alpha\lambda^2_k t} \qquad \forall x \in [0,L], \,\,\forall t \in [0,+\infty). \end{equation*}$

e verificare che essa è effettivamente una soluzione. Per fare ciò dobbiamo affrontare due questioni.

$\quad$

La funzione $u$ è ben definita? In altre parole, la serie (201) è convergente per ogni $x \in [0,L]$ e per ogni $t \in [0,+\infty)$ ?

$u$ soddisfa l’equazione $u_t = \alpha u_{xx}$ ?

Osserviamo che la convergenza della serie in (201) non implica a priori che $u$ risolva l’equazione differenziale. Per affermare ciò, occorre mostrare che la serie si può derivare termine a termine: vedremo che questo è conseguenza delle sue proprietà di convergenza.

Proposizione 4.7. La funzione $u \colon [0,L] \times [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ definita da (201) è derivabile infinite volte in $[0,L] \times (0,+\infty)$ . In particolare, $u$ risolve (171).

$\quad$

Dimostrazione. Mostriamo innanzitutto che la serie (201) è convergente in ogni punto. Per $t=0$ essa diventa

(202) $\begin{equation*} u(x,0) = \sum_{k=1}^{+\infty} b_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right) = f(x) \qquad \forall x \in [0,L], \end{equation*}$

in quanto essa è la serie di Fourier di $f$ che converge puntualmente a essa per il teorema 2.8.

Dimostriamo ora che la serie converge totalmente negli insiemi del tipo $[0,L] \times [\tau,+\infty)$ , con $\tau>0$ . Infatti, fissiamo $\tau>0$ e innanzitutto osserviamo che la successione dei coefficienti di Fourier $b_k$ è limitata per l’identità di Parseval applicata a $f$

(203) $\begin{equation*} \|f\|^2 = L^2\sum_{k=1} b_k^2. \end{equation*}$

Infatti, poiché tale serie è convergente, il termine generale $b_k^2$ è infinitesimo e ciò implica in particolare che la successione $b_k$ è limitata, cioè esiste $M_b>0$ tale che

(204) $\begin{equation*} |b_k| \leq M_b \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Il termine generale della serie di funzioni in (201) soddisfa quindi

(205) $\begin{equation*} \left| b_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right)e^{-\alpha\lambda^2_k t} \right| \leq M_b e^{\alpha \frac{\pi^2}{L^2}\tau} e^{-k^2} \eqqcolon M e^{-k^2} \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\, \forall x \in [0,L], \,\,\forall t \in [\tau,+\infty), \end{equation*}$

dove $M$ è indipendente da $k$ . Dato che la serie $\sum_{k=1}^{+\infty}e^{-k^2}$ è convergente, la serie (201) è totalmente convergente in $[0,L] \times [\tau,+\infty)$ . Ciò mostra che $u$ è ben definita.

Osserviamo ora che non possiamo semplicemente derivare per serie la funzione $u$ per concludere che essa è soluzione del problema. Occorre cioè giustificare tale operazione: lo facciamo con il ragionamento che segue.

Consideriamo la serie delle derivate rispetto alla variabile $x$ :

(206) $\begin{equation*} \sum_{k=1}^{+\infty} b_k \dfrac{k \pi}{L} \cos\left(\frac{k\pi}{L} x\right)e^{-\alpha\lambda^2_k t}. \end{equation*}$

Come prima, vediamo che

(207) $\begin{equation*} \begin{split} \left| b_k \dfrac{k \pi}{L} \cos\left(\frac{k\pi}{L} x\right)e^{-\alpha\lambda^2_k t} \right| &\leq M_b \dfrac{k \pi}{L} e^{\alpha \frac{\pi^2}{L^2}\tau} e^{-k^2} \\ &\eqqcolon M' k e^{-k^2} \qquad \forall k \in \mathbb{N}, \,\, \forall x \in [0,L], \,\, \forall t \in [\tau,+\infty). \end{split} \end{equation*}$

Poiché la serie $\sum_{k=1}^{+\infty}k e^{-k^2}$ è convergente⁸, anche la serie delle derivate (206) è totalmente convergente in $[0,L] \times [\tau,+\infty)$ . Quindi questa serie converge uniformemente a una funzione $v \colon [0,L] \times [\tau,+\infty)$ . che è anche continua in tale insieme.

Per il teorema di derivazione per serie, $u$ è derivabile rispetto alla variabile $x$ in $[0,L] \times [\tau,+\infty)$ e

(208) $\begin{equation*} u_x(x,t) = v(x,t) \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [\tau,+\infty). \end{equation*}$

Poiché questo ragionamento può essere ripetuto infinite volte⁹, abbiamo che $u$ è derivabile infinite volte rispetto a $x$ e la sua derivata $n$ -esima è pari alla serie delle derivate $n$ -esime delle funzioni della serie (201). Per l’arbitrarietà di $\tau$ , $u$ è derivabile termine a termine in $[0,L] \times (0,+\infty)$ rispetto a $x$ .

In maniera esattamente analoga, si prova che $u$ è derivabile infinite volte rispetto alla variabile $t$ e che la sua derivata $n$ -esima è pari alla serie delle derivate $n$ -esime rispetto al tempo delle funzioni della serie (201).

Occorre ora solo verificare che $u$ risolve l’equazione $u_t=\alpha u_{xx}$ . Dai ragionamenti precedenti possiamo derivare termine a termine la (206) ottenendo

(209) $\begin{equation*} \begin{split} u_t(x,t) = & -\alpha \sum_{k=1}^{+\infty} b_k \sin \left(\frac{k\pi}{L} x\right) \lambda_k^2 e^{-\alpha\lambda^2_k t} \\ = & - \alpha \sum_{k=1}^{+\infty} b_k \sin \left(\frac{k\pi}{L} x\right) \left(\frac{k\pi}{L} x\right)^2 e^{-\alpha\lambda^2_k t} \\ = & \alpha v_x(x,t) \\ = & \alpha u_{xx}(x,t) \end{split} \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times (0,+\infty). \end{equation*}$

Ciò prova la validità dell’equazione differenziale in (171).

In virtù della precedente proposizione, il teorema 4.2 è provato.

Osservazione 4.8. La dimostrazione della proposizione 2.4 rimane invariata anche se si indebolisce l’ipotesi su $f$ , assumendo soltanto che essa sia integrabile secondo Riemann. Anche in tale caso quindi, $u$ è infinitamente derivabile in $[0,L] \times (0,+\infty)$ e risolve l’equazione differenziale in (171).

L’unico punto della dimostrazione che viene meno è il fatto che $u(x,0)=f$ mostrato in (202), in cui si è sfruttata la convergenza puntuale verso $f$ della sua serie di Fourier, che in generale è falsa se $f$ non è regolare a tratti. Abbiamo però visto, nel teorema 2.14, che la serie di Fourier di $f$ converge a essa rispetto alla norma di $\tilde{P}_{2\pi}$ . In virtù di questo fatto si potrebbe dire che, anche se $f$ non è regolare a tratti, la funzione $u$ definita in (172) risolve il problema 4.1 e soddisfa la condizione iniziale $u(x,0)=f(x)$ nel senso della norma di $\tilde{P}_{2\pi}$ . Tale affermazione, per quanto imprecisa a causa dei limitati strumenti a nostra disposizione, può essere resa rigorosa nel contesto degli spazi di Hilbert; rimandiamo il lettore a [8] e [2] per un approfondimento.

Dimostriamo ora la proposizione 4.3.

Dimostrazione della proposizione 4.3. Siano $u_1,u_2$ due soluzioni del problema 4.1. Per la linearità dell’equazione, la differenza $w \coloneqq u_1-u_2$ è una soluzione del problema

(210) $\begin{equation*} \begin{cases} w_{t}(x,t)=\alpha w_{xx}(x,t) & \forall x \in [0,L],\,\,\,\forall t> 0\\ w(0,t)=w(L,t)=0 & \forall t\geq 0\\ w(x,0)=0 & \forall x \in [0,L]. \end{cases} \end{equation*}$

Moltiplicando l’equazione differenziale per $w$ e integrando in $[0,L]$ si ottiene

(211) $\begin{equation*} 0 = \int_0^L w_t(x,t)w(x,t) \,\mathrm{d}x- \int_0^L w_{xx}(x,t) w(x,t) \,\mathrm{d}x = \int_0^L w_t(x,t)w(x,t) \,\mathrm{d}x + \int_0^L w_x^2(x,t) \,\mathrm{d}x, \end{equation*}$

dove alla seconda uguaglianza abbiamo integrato per parti il secondo termine e abbiamo utilizzato $w(0)=w(L)=0$ .

Poiché $\int_0^L w_x^2(x,t) \mathrm{d}x \geq 0$ per ogni $t \geq 0$ , ciò implica che

(212) $\begin{equation*} 0 \leq \int_0^L w_t(x,t)w(x,t) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_0^L \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} w^2(x,t) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_0^L w^2(x,t) \,\mathrm{d}x \qquad \forall t \geq 0, \end{equation*}$

dove nella terza uguaglianza abbiamo derivato sotto il segno di integrale [3, capitolo 3, sezione 34]. Dunque l’energia $\dfrac{1}{2} \int_0^L w^2(x,t) \,\mathrm{d}x$ è decrescente nel tempo, in quanto la sua derivata è negativa. Essa è inoltre non-negativa in quanto integrale di una funzione non-negativa. Pertanto per ogni $t \geq 0$ si ha

(213) $\begin{equation*} 0 \leq \frac{1}{2} \int_0^L w^2(x,t) \,\mathrm{d}x \leq \frac{1}{2} \int_0^L w^2(x,0) \,\mathrm{d}x = 0, \end{equation*}$

dove nell’ultima uguaglianza abbiamo usato la condizione iniziale $w(x,0)=0$ . Tale catena di disuguaglianze prova che l’energia è nulla per ogni $t \geq 0;$ poiché $w^2 \geq 0$ , ciò implica che $w$ è la funzione ovunque nulla.

Osservazione 4.9. La proposizione 4.7, l’osservazione 4.8 e la proposizione 4.3 mettono in luce una caratteristica importantissima dell’equazione del calore. Anche se la configurazione iniziale della temperatura è poco regolare, ovvero anche se la funzione $u(\cdot,0)$ è soltanto regolare a tratti o addirittura solo integrabile, la distribuzione spaziale della temperatura $u(\cdot,t)$ diventa immediatamente infinitamente derivabile in ogni istante $t>0$ . Questa proprietà viene espressa dicendo che l’equazione del calore regolarizza le soluzioni.

Verificheremo a posteriori che la funzione $u$ ottenuta è soluzione del problema, quindi possiamo non preoccuparci della liceità di questa operazione. ↩

Basta applicare il criterio del rapporto. ↩

La serie $\sum_{k=1}^{+\infty}k^n e^{-k^2}$ è convergente per ogni $n \in \mathbb{N}$ per il criterio del rapporto. ↩

Equazione delle onde.

In questa sezione ci dedichiamo al problema ai dati iniziali/al bordo relativo all’equazione delle onde.

Problema 4.10 (equazione delle onde). Dati $c\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ e $L \in \mathbb{R}$ e date due funzioni $f,g \colon [0,L] \to \mathbb{R}$ , determinare una soluzione di

(214) $\begin{equation*} \begin{cases} u_{tt}(x,t)=c^2 u_{xx}(x,t) & \forall x \in [0,L],\,\,\,\forall t\geq 0\\ u(0,t)=u(L,t)=0 & \forall t\geq 0\\ u(x,0)=f(x) & \forall x \in [0,L]\\ u_t(x,0)=g(x) & \forall x \in [0,L].\\ \end{cases} \end{equation*}$

$\quad$

Il risultato principale di questa sezione è il seguente.

Teorema 4.11 (soluzione del problema 4.10). Se $f$ è di classe $C^2$ e $g$ è di classe $C^1$ , allora il problema 4.10 possiede una soluzione $u \colon [0,L] \times [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ definita da

(215) $\begin{equation*} u(x,t) = \sum_{k=1}^{+\infty} \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right) \Big(A_k\cos(\lambda_k t)+B_k\sin(\lambda_k t)\Big) \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty), \end{equation*}$

dove $\lambda_k= \frac{k\pi}{L}$ , mentre $A_k, B_k$ sono dati da

(216) $\begin{equation*} A_k = \dfrac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \left( \dfrac{k \pi}{L}x \right) \,\mathrm{d} x, \quad B_k = \dfrac{2}{c k \pi} \int_0^L g(x) \sin \left( \dfrac{k \pi}{L}x \right) \,\mathrm{d} x \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Essa è inoltre l’unica soluzione del problema 4.10.

$\quad$

Osservazione 4.12. I coefficienti $A_k$ e $B_k$ della funzione $u$ soddisfano

(217) $\begin{equation*} A_k= \alpha_k, \quad B_k= \frac{\beta_k}{\lambda_k} \qquad \forall k \in \mathbb{N}, \end{equation*}$

dove $\alpha_k$ e $\beta_k$ sono i coefficienti di Fourier rispettivamente delle funzioni $f,g$ estese in maniera dispari a $\mathbb{R}$ e in modo che siano periodiche di periodo $2L$ . Nel seguito considereremo tacitamente $f$ e $g$ pari a queste estensioni periodiche.

Motivazione fisica del problema

L’equazione delle onde trae la propria origine dalla descrizione del moto di una corda vibrante. Immaginiamo una corda di lunghezza iniziale $L$ che giaccia su un piano $xy$ , i cui estremi sono tesi nei punti $(0,0)$ e $(L,0)$ . Si immagini che gli altri punti della corda siano liberi di muoversi senza attrito nella direzione verticale delle ordinate; supponiamo inoltre che venga data una piccola oscillazione iniziale ad alcune porzioni della corda e che successivamente essa sia lasciata libera di muoversi.

La coordinata $y$ al tempo $t \geq 0$ del punto della corda avente ascissa $x \in [0,L]$ è descritta dalla funzione $u(x,t)$ . Si vuole determinare la funzione definita da $u(x,t)$ , una volta note le condizioni iniziali della corda.

La condizione $u(0,t)=u(L,t)=0$ per $t \geq 0$ esprime il fatto che i due estremi della corda sono fissi nei punti $(0,0)$ e $(L,0)$ . Tale situazione è rappresentata in figura 14.

$\quad$

Figura 14: schematizzazione di una corda vibrante. All’istante $t$ l’ordinata del punto della corda avente ascissa $x$ è fornito dal valore $u(x,t)$ .

$\quad$

La funzione $f$ descrive il profilo iniziale della corda, infatti la condizione $u(x,0)=f(x)$ afferma proprio che l’ordinata $u(x,0)$ iniziale del punto della corda avente ascissa $x$ è fornito dal valore $f(x)$ .

Per determinare il moto della corda, è necessario descrivere anche la velocità iniziale della corda e ciò avviene tramite la funzione $g$ : la condizione $u_t(x,0)=g(x)$ traduce il fatto che la velocità $u_t(x,0)$ nella direzione verticale del punto della corda avente ascissa $x$ è data proprio dal valore $g(x)$ .

La funzione $u$ è quindi determinata, oltre che dalle condizioni iniziali e al bordo, dall’equazione differenziale $u_{tt}=cu_{xx}$ . Spieghiamo l’intuizione soggiacente a tale equazione.

Facciamo l’assunzione iniziale che il discostamento della corda dalla condizione di equilibrio $u(x,t)=0$ è piccolo e che tutti gli angoli in gioco siano molto piccoli. Si consideri un piccolo pezzo di corda, compreso tra le ascisse $x$ e $x+h$ di massa $m$ all’istante $t$ . Per la seconda legge di Newton, la forza risultante $(F_r)_y$ nella direzione $y$ agente sul pezzo di corda è fornita dal prodotto dell’accelerazione $u_{tt}(x,t)$ per la massa $m$ :

(218) $\begin{equation*} (F_r)_y = m u_{tt}(x,t) = \rho h u_{tt}(x,t), \end{equation*}$

dove abbiamo scritto la massa $m$ come prodotto della densità lineare $\rho$ della corda per la lunghezza $h$ del pezzo considerato¹⁰.

Consideriamo ora le forze a cui è soggetto il pezzo di corda: si tratta della tensione nella corda, che possiamo considerare costante rispetto a $x$ e pari a $T$ , diretta nella direzione tangente al pezzo di corda e avente verso uscente: $\vec{F}=\vec{F}(x) + \vec{F}(x+h)$ . Scriviamo ora questa equazione in componenti:

(219) $\begin{equation*} (F_r)_x = - T \cos(\theta(x)) + T \cos(\theta(x+h)), \qquad (F_r)_y = - T \sin(\theta(x)) + T \sin(\theta(x+h)). \end{equation*}$

Poiché stiamo assumendo che tali angoli sono vicini a $0$ , possiamo approssimare al primo ordine

(220) $\begin{equation*} \cos(\theta(x))=\cos(\theta(x+h))=1, \qquad \sin(\theta(x))=\tan(\theta(x)), \qquad \sin (\theta(x+h)) = \tan(\theta(x+h)). \end{equation*}$

La quantità $\tan(\theta(\cdot))$ corrisponde inoltre alla derivata nella direzione $x$ della funzione $u(\cdot,t)$ che descrive il profilo della corda all’istante $t$ , quindi

(221) $\begin{equation*} (F_r)_y = T \big( u_x(x+h,t)- u_x(x,t) \big). \end{equation*}$

Unendo (218) e (221) otteniamo

(222) $\begin{equation*} u_{tt}(x,t) = \dfrac{T}{\rho} \dfrac{u_x(x+h,t)- u_x(x,t)}{h}. \end{equation*}$

Considerando il limite per $h \to 0$ della precedente relazione otteniamo

(223) $\begin{equation*} u_{tt}(x,t) = c^2 u_{xx}(x,t), \end{equation*}$

ovvero l’equazione differenziale in (214), dove abbiamo posto $c^2= \dfrac{T}{\rho}$ . Questa scelta è dovuta al fatto che la quantità $\dfrac{T}{\rho}$ è dimensionalmente il quadrato di una velocità, che abbiamo quindi indicato con $c$ . Si può verificare che $c$ corrisponde alla velocità di trasmissione dell’onda attraverso la corda.

Risoluzione del problema 4.10

Anche in questo caso potremmo direttamente dimostrare il teorema 4.11, ma preferiamo illustrare al lettore le motivazioni che conducono alla formulazione dell’espressione di $u$ data in (215). Nel passo 3 del metodo mostreremo poi che tale $u$ è soluzione dell’equazione delle onde, provando quindi il teorema 4.11.

Utilizziamo dunque lo stesso metodo descritto all’inizio della sezione 4. Poiché alcuni passaggi sono molto simili a quelli effettuati nella sezione 4.1, li presenteremo in maniera più snella. Il lettore potrà consultare la sezione 4.1 per maggiori dettagli.

$\quad$

Passo 1. Vogliamo determinare delle funzioni $F \colon [0,L] \to \mathbb{R}$ e $G \colon [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ in modo che la funzione $u$ definita da
(224) $\begin{equation*} u(x,t)=F(x) G(t) \qquad \forall x \in [0,L],\,\,\, \forall t \in [0,+\infty) \end{equation*}$
sia una soluzione dell’equazione differenziale $u_{tt}=cu_{xx}$ . Indichiamo di nuovo con “ $'$ ” le derivate rispetto a $x$ e con “ $\dot{}$ ” quelle rispetto a $t$ , ottenendo
(225) $\begin{equation*} F(x)\ddot{G}(t)=c^2 F''(x) G(t) \qquad \forall x \in [0,L],\,\,\, \forall t \in [0,+\infty), \end{equation*}$
ossia, dividendo l’equazione per $F(x)G(t)$ ¹¹,
(226) $\begin{equation*} \dfrac{\ddot{G}(t)}{c^2 G(t)} = \dfrac{F''(x)}{F(x)} \qquad \forall x \in [0,L],\,\,\, \forall t \in [0,+\infty). \end{equation*}$
Anche in questo caso, dato che le funzioni $\dfrac{\ddot{G}}{G}$ e $\dfrac{F''}{F}$ dipendono da variabili diverse, l’uguaglianza è valida solo se esse sono costanti. Esiste quindi una costante $\beta \in \mathbb{R}$ tale che
(227) $\begin{equation*} \dfrac{\ddot{G}(t)}{c^2 G(t)} = \dfrac{F''(x)}{F(x)} = \beta \qquad \forall x \in [0,L],\,\,\, \forall t \in [0,+\infty). \end{equation*}$
Da ciò ricaviamo quindi che $F,G$ risolvono le equazioni differenziali ordinarie
(228) $\begin{gather*} F''(x) = \beta F(x) \qquad \forall x \in [0,L], \\ \end{gather*}$
(229) $\begin{gather*} \ddot{G}(t) = c^2 \beta G(t) \qquad \forall t \in [0,+\infty). \end{gather*}$

Passo 2. Analizzando (228), con gli stessi ragionamenti fatti per l’equazione del calore e ricordando che la condizione al bordo $u(0,t)=u(L,t)=0$ implica $F(0)=F(L)=0$ , otteniamo che $\beta_k= -\left(\dfrac{k\pi}{L}\right)^2$ per qualche $k \in \mathbb{N}$ e quindi ricaviamo la successione di soluzioni $F_k$ definite da
(230) $\begin{equation*} F_k(x)=\sin\left(\frac{k\pi}{L}x\right), \qquad \forall k \in \mathbb{N},\,\,\,\forall x \in [0,L]. \end{equation*}$
Ricordando $\beta_k= -\left(\dfrac{k\pi}{L}\right)^2$ e definendo
(231) $\begin{equation*} \lambda_k \coloneqq c\dfrac{k\pi}{L} \qquad \forall k \in \mathbb{N}, \end{equation*}$
fissando $k \in \mathbb{N}$ l’equazione per $G$ (229) diviene
(232) $\begin{equation*} \ddot{G} = - \lambda_k^2 G. \end{equation*}$
Essa è ancora l’equazione di un oscillatore armonico. Poiché la condizione al bordo su $u$ non impone restrizioni su $G$ , otteniamo che la sua soluzione generale è la funzione $G_k$ definita da
(233) $\begin{equation*} G_k(t)=A_k\cos(\lambda_k t)+B_k\sin(\lambda_k t) \qquad \forall t \geq 0, \end{equation*}$
per opportuni coefficienti $A_k, B_k$ .
Ricordando di aver imposto $u=F\cdot G$ , usando (230) e (233) si può facilmente verificare che, per ogni $k \in \mathbb{N}$ , la funzione $u_k \colon [0,L] \times [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ definita da
(234) $\begin{equation*} \begin{split} u_k(x,t) &= F_k(x) G_k(t) \\ &= \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right) \Big(A_k\cos(\lambda_k t)+B_k\sin(\lambda_k t)\Big) \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty). \end{split} \end{equation*}$
è soluzione dell’equazione
(235) $\begin{equation*} \begin{cases} u_{tt}(x,t)=c^2 u_{xx}(x,t) & \forall x \in [0,L],\,\,\,\forall t\geq 0\\ u(0,t)=u(L,t)=0 & \forall t\geq 0\\[8pt] u(x,0)=A_k \sin\left(\dfrac{k\pi}{L} x\right) & \forall x \in [0,L]\\[8pt] u_t(x,0)= B_k \lambda_k \sin\left(\dfrac{k\pi}{L} x\right) & \forall x \in [0,L]. \end{cases} \end{equation*}$

Passo 3: dimostrazione del teorema 4.11. Sviluppando e in serie di Fourier ricaviamo
(236) $\begin{equation*} f(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} \alpha_k \sin\left(\dfrac{k\pi}{L} x\right), \quad g(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} \beta_k \sin\left(\dfrac{k\pi}{L} x\right) \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$
dove $\alpha_k$ e $\beta_k$ sono rispettivamente i coefficienti di Fourier di $f$ e $g$ , ossia
(237) $\begin{equation*} \alpha_k = \dfrac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\left(\dfrac{k\pi}{L} x\right) \,\mathrm{d} x, \quad \beta_k = \dfrac{2}{L} \int_0^L g(x) \sin\left(\dfrac{k\pi}{L} x\right) \,\mathrm{d} x \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$
Osserviamo che le serie in (236) convergono puntualmente per il teorema 2.8 in quanto $f, g$ sono assunte essere rispettivamente di classe $C^2$ $C^1$ , quindi in particolare regolari a tratti.
Poiché per ogni $k \in \mathbb{N}$ la funzione $u_k$ definita in (234) è soluzione del problema (235), per la linearità dell’equazione e dalle espressioni (236) è ragionevole supporre che una soluzione del problema (214) sia la funzione $u \colon [0,L] \times [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ definita da
(238) $\begin{equation*} u(x,t) = \sum_{k=1}^{+\infty} \sin\left(\frac{k\pi}{L} x\right) \Big(A_k\cos(\lambda_k t)+B_k\sin(\lambda_k t)\Big) \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty), \end{equation*}$
dove
(239) $\begin{equation*} A_k = \alpha_k, \quad B_k \lambda_k = \beta_k \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$
Ovviamente questa è solo una motivazione intuitiva e non costituisce una dimostrazione del teorema 4.11, cioè che la funzione $u$ sia effettivamente soluzione di (214). Per provare ciò, occorre mostrare che:
$\quad$
- $u$ è ben definita, ossia che la serie in (234) converge;
- $u$ è derivabile 2 volte nella variabile $t$ e nella variabile $x$ e soddisfa l’equazione e le condizioni al bordo in (214).
Ciò è conseguenza della seguente proposizione, che stabilisce la nota formula di D’Alembert.
Proposizione 4.13 (formula di D’Alembert) Nelle ipotesi del teorema 4.11, la serie $u$ in (238) converge puntualmente in $[0,L] \times [0,+\infty)$ . Inoltre la funzione $u$ da essa definita soddisfa la seguente formula di D’Alembert:
(240) $\begin{equation*} u(x,t) = \dfrac{1}{2} \Big( f(x+ ct) + f(x-ct) \Big) + \dfrac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) \,\mathrm{d} s \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty). \end{equation*}$
In particolare $u$ è di classe $C^2$ e risolve l’equazione delle onde (214).
$\quad$
Dimostrazione. Chiamiamo $S_n$ la somma parziale $n$ -esima della serie (238). Usando le formule di Werner e le definizioni di $A_k, B_k$ date in (239), si ottiene
(241) $\begin{equation*} \begin{split} S_n = & \dfrac{1}{2} \Bigg( \sum_{k=1}^n \alpha_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} x + \lambda_k t\right) + \sum_{k=1}^n \alpha \sin\left(\frac{k\pi}{L} x - \lambda_k t\right) + \sum_{k=1}^n \dfrac{\beta_k}{\lambda_k} \cos\left(\frac{k\pi}{L} x - \lambda_k t\right) \\ & \qquad - \sum_{k=1}^n \dfrac{\beta_k}{\lambda_k} \cos\left(\frac{k\pi}{L} x + \lambda_k t\right) \Bigg) \qquad \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty). \end{split} \end{equation*}$
Ora osserviamo che, per la prima espressione in (236) e per la definizione di $\lambda_k$ in (231) si ha
(242) $\begin{equation*} \begin{gathered} \sum_{k=1}^{+\infty} \alpha_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} x + \lambda_k t\right) = \sum_{k=1}^{+\infty} \alpha_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} (x + ct)t\right) = f(x+ct) \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty), \\ \sum_{k=1}^{+\infty} \alpha_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} x - \lambda_k t\right) = \sum_{k=1}^{+\infty} \alpha_k \sin\left(\frac{k\pi}{L} (x - ct)t\right) = f(x-ct) \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty). \end{gathered} \end{equation*}$
Di nuovo ricordando la definizione di $\lambda_k$ in (231), per le altre due sommatorie in (241) troviamo
(243) $\begin{equation*} \begin{split} \sum_{k=1}^{n} \beta_k \dfrac{L}{c k \pi} \cos\left(\frac{k\pi}{L} (x - ct)\right) - & \sum_{k=1}^{n} \beta_k \dfrac{L}{c k \pi} \cos\left(\frac{k\pi}{L} (x + ct)\right) \\ & = \dfrac{1}{c} \sum_{k=1}^{n} \beta_k \int_{x-ct}^{x+ct} \sin\left(\frac{k\pi}{L} s \right) \,\mathrm{d} s \\ & = \dfrac{1}{c} \int_{x-ct}^{x+ct} \left( \sum_{k=1}^{n} \beta_k\sin\left(\frac{k\pi}{L} s \right) \right) \,\mathrm{d} s. \end{split} \end{equation*}$
Consideriamo il limite per $n \to + \infty$ nell’equazione precedente in quanto l’integranda all’ultimo membro è la serie di Fourier della funzione $g$ , che si può integrare per serie per il teorema 2.18. Quindi si ottiene
(244) $\begin{equation*} \begin{split} \sum_{k=1}^{+\infty} \beta_k \dfrac{L}{c k \pi} \left( \cos\left(\frac{k\pi}{L} (x - ct)\right) - \cos\left(\frac{k\pi}{L} (x + ct)\right) \right) = & \dfrac{1}{c} \int_{x-ct}^{x+ct} \left( \sum_{k=1}^{+\infty} \beta_k\sin\left(\frac{k\pi}{L} s \right) \right) \,\mathrm{d} s \\ = & \dfrac{1}{c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) \,\mathrm{d} s. \end{split} \end{equation*}$
Inserendo (242) e (244) in (241) otteniamo che $S_n$ è convergente per $n \to + \infty$ , quindi $u$ è ben definita e soddisfa la formula di D’Alembert (240).
Dato che $u$ soddisfa l’uguaglianza in (240), $f$ è di classe $C^2$ e $g$ è di classe $C^1$ , per [7, teorema fondamentale del calcolo integrale, teorema 4.1] si ha che $u$ è di classe $C^2$ e inoltre soddisfa
(245) $\begin{gather*} u_{tt}(x,t) = \dfrac{c^2}{2} \Big( f''(x+ ct) + f''(x-ct) \Big) \dfrac{c}{2} \Big( g'(x+ct)-g'(x-ct) \Big) \\ \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty), \\ u_{xx}(x,t) = \dfrac{1}{2} \Big( f''(x+ ct) + f''(x-ct) \Big) \dfrac{1}{2c} \Big( g'(x+ct)-g'(x-ct) \Big) \\ \qquad \forall (x,t) \in [0,L] \times [0,+\infty), \end{gather*}$
dove si è usato di nuovo [7, teorema fondamentale del calcolo integrale, teorema 4.1] per derivare la funzione integrale. Ciò mostra che $u$ soddisfa l’equazione differenziale in (214). In aggiunta essa soddisfa le condizioni iniziali in quanto di nuovo da (240) è chiaro che $u(x,0)=f(x)$ per ogni $x \in [0,L]$ e inoltre
(246) $\begin{equation*} u_t(x,0) = \dfrac{c}{2}\big( f'(x) - f'(x) \big) + \dfrac{c}{2c}\big( g(x)+ g(x) \big) = g(x) \qquad \forall x \in [0,L], \end{equation*}$
dove si è usato di nuovo [7, teorema fondamentale del calcolo integrale, teorema 4.1] per derivare la funzione integrale.
Ciò dimostra dunque l’esistenza della soluzione enunciata nel teorema 4.11. L’unicità della soluzione si dimostra in maniera analoga a quanto fatto per l’unicità della soluzione dell’equazione del calore provata con la proposizione 4.3. Invitiamo pertanto il lettore a dimostrarla come utile esercizio.
1. La lunghezza del pezzo di corda è circa pari a $\dfrac{h}{\cos \theta}$ , ma poiché stiamo assumendo che tutti gli angoli siano piccoli, possiamo ragionevolmente approssimarla con $h$ . ↩

Appendice A: prodotto scalare e norma in $\tilde{P}_{2\pi}$

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Ricordiamo la definizione generale di prodotto scalare in uno spazio vettoriale generico.

Definizione A.1 (prodotto scalare). Sia $V$ uno spazio vettoriale reale. Un’applicazione $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V \times V \to \mathbb{R}$ è detta prodotto scalare se soddisfa le seguenti proprietà:

$\quad$

bilinearità, ossia $\langle \alpha v + \beta w, z \rangle= \alpha \langle v, z\rangle + \beta \langle w, z \rangle$ e $\langle v, \alpha w + \beta z \rangle = \alpha \langle v,w \rangle + \beta \langle v, z \rangle$ per ogni $v,w,z \in V$ e ogni $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ ;

simmetria, ossia $\langle v,w \rangle = \langle w, v \rangle$ per ogni $v,w \in V$ ;

positività, ossia $\langle v, v \rangle >0$ per ogni $v \in V \setminus \{\mathbf{0}\}$ .

$\quad$

Per stabilire alcune proprietà del prodotto scalare dato su $\tilde{P}_{2\pi}$ , ne ricordiamo la definizione.

Definizione A.2 (prodotto scalare su $\tilde{P}_{2\pi}$ ). Date due funzioni $f,g \in \tilde{P}_{2\pi}$ , si definisce prodotto scalare $\langle f,g \rangle$ di $f$ e $g$ la quantità

(247) $\begin{equation*} \langle f,g \rangle \coloneqq \int_0^{2\pi}f(x)g(x) \,\mathrm{d} x. \end{equation*}$

$\quad$

Osservazione A.3. Dato che $f,g$ sono integrabili secondo Riemann in $[0,2\pi]$ , anche il loro prodotto lo è e quindi la quantità $\langle f,g \rangle$ è ben definita.

Grazie alle proprietà di linearità dell’integrale, il prodotto scalare è ovviamente simmetrico, ossia

(248) $\begin{equation*} \langle f,g \rangle = \langle g,f \rangle, \end{equation*}$

e bilineare rispetto alla somma di funzioni e al prodotto per uno scalare, ovvero

(249) $\begin{equation*} \begin{split} \langle \lambda f + \mu g, h\rangle &= \int_0^{2\pi} (\lambda f(x)+\mu g(x)) h(x) \,\mathrm{d} x = \\ &= \lambda \int_0^{2\pi} f(x) h(x) \,\mathrm{d} x + \mu \int_0^{2\pi} g(x) h(x) \,\mathrm{d} x = \\ &= \lambda \langle f,h \rangle + \mu \langle g,h \rangle, \end{split} \end{equation*}$

per ogni $f,g,h \in \tilde{P}_{2\pi}$ e per ogni $\lambda,\mu \in \mathbb{R}$ .

Notiamo però che il prodotto scalare in $\tilde{P}_{2\pi}$ non è definito positivo, cioè esistono funzioni $f$ non nulle il cui prodotto scalare con sé stesse non è nullo. Ad esempio la funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ definita in (253). Vedremo tra poco che è possibile risolvere questo problema mediante l’utilizzo di strumenti maggiormente avanzati oppure riducendosi a considerare funzioni continue.

Riportiamo inoltre la definizione di norma.

Definizione A.4 (norma). Dato uno spazio vettoriale $V$ , una funzione $\| \cdot \| \colon V \to [0,+\infty)$ si dice una norma se soddisfa le seguenti proprietà:

$\quad$

$\|v\| \geq 0$ per ogni $v \in V$ e inoltre $\|v\|=0$ se e solo se $v=\mathbf{0}$ ;

si ha
(250) $\begin{equation*} \|\lambda v\| = |\lambda| \|v\| \qquad \forall \lambda \in \mathbb{R},\,\,\, \forall v \in V; \end{equation*}$

vale la disuguaglianza triangolare, cioè
(251) $\begin{equation*} \|v+w\| \leq \|v\| + \|w\| \qquad \forall v,w \in V. \end{equation*}$

Se la funzione $\| \cdot \|$ soddisfa soltanto le proprietà 2 e 3, viene detta una seminorma.

$\quad$

Prodotti scalari e norme sono strettamente legati. Infatti, il prodotto scalare definito su $\tilde{P}_{2\pi}$ permette di definire su di esso una seminorma, di cui ricordiamo la definizione.

Definizione A.5 (seminorma su $\tilde{P}_{2\pi}$ ). Data una funzione $f\in \tilde{P}_{2\pi}$ , si definisce seminorma $\|f\|$ di $f$ la quantità

(252) $\begin{equation*} \|f\| \coloneqq \left( \langle f,f \rangle \right)^{\frac{1}{2}} = \left( \int_0^{2\pi}(f(x))^2 \,\mathrm{d} x \right)^{\frac{1}{2}}. \end{equation*}$

Osservazione A.6. Questa quantità definisce solo una seminorma e non una norma, in quanto vi sono delle funzioni $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ non identicamente nulle tali che $\|f\| =0$ . Ad esempio la funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ definita da

(253) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x= k\pi \text{ per $k \in \mathbb{Z}$}\\ 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} \end{equation*}$

Questo problema può essere risolto in maniera soddisfacente solo introducendo l’integrale di Lebesgue: occorre definire in $\tilde{P}_{2\pi}$ una relazione di equivalenza secondo cui, ad esempio, la funzione $f$ definita in (253) sia equivalente alla funzione identicamente nulla e con la proprietà che funzioni equivalenti possiedano la stessa seminorma. In tal modo, l’espressione (252) costituirebbe effettivamente una norma sull’insieme quoziente rispetto a questa relazione di equivalenza.

Non ci soffermeremo su questa questione, per la quale rimandiamo a [8, Remark 3.10]. Come abbiamo fatto nel resto della dispensa, chiameremo la funzione $\| \cdot \|$ norma, anche se formalmente essa è solo una seminorma. Vedremo nella proposizione A.10 che essa è effettivamente una norma se restringiamo la nostra attenzione al sottoinsieme di $\tilde{P}_{2\pi}$ costituito dalle funzioni continue. Lo stesso discorso vale per la proprietà di positività del prodotto scalare.

Osservazione A.7. La norma su $\tilde{P}_{2\pi}$ permette di definire il concetto di distanza tra funzioni di $\tilde{P}_{2\pi}$ : date $f,g \in \tilde{P}_{2\pi}$ , la loro distanza è data da $\|f-g\|$ . Per come è definita la norma in $\tilde{P}_{2\pi}$ , questa distanza è sicuramente legata alla distanza puntuale $|f(x)-g(x)|$ tra $f$ e $g$ , ma è comunque un concetto diverso, di carattere globale.

Esercizio A.8 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare una successione di funzioni $f_k \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ di $\tilde{P}_{2\pi}$ che converga nella norma di $\tilde{P}_{2\pi}$ a una funzione $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ , ma che non converga puntualmente ad alcuna funzione.

$\quad$

Osservazione A.9. Anche questa distanza consiste in realtà soltanto in quella che viene detta formalmente pseudodistanza: esistono funzioni diverse aventi distanza nulla. Questo problema, equivalente a quello sollevato nell’osservazione A.6, può essere risolto nella medesima via, per cui continueremo comunque a parlare di distanza tra funzioni.

Dimostriamo ora le proprietà della norma su $\tilde{P}_{2\pi}$ , mostrando che effettivamente essa è una seminorma su $\tilde{P}_{2\pi}$ e una norma per le funzioni continue in $\tilde{P}_{2\pi}$ , e inoltre stabilendo le relazioni col prodotto scalare di $\tilde{P}_{2\pi}$ .

Proposizione A.10. Siano $f,g \in \tilde{P}_{2\pi}$ e sia $\lambda \in \mathbb{R}$ ; allora valgono le seguenti proprietà:

$\quad$

$\|f\|\geq 0$ ; se $f$ è continua, allora $\|f\|=0$ se e solo se $f$ è la funzione nulla;

$\|\lambda f\|= |\lambda|\|f\|$ ;

disuguaglianza di Cauchy-Schwartz:
(254) $\begin{equation*} |\langle f,g\rangle| \leq \|f\| \|g\|; \end{equation*}$

disuguaglianza triangolare:
(255) $\begin{equation*} \|f+g\| \leq \|f\| +\|g\|. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Dimostriamo separatamente le varie proprietà.

$\quad$

Il fatto che $\|f\| \geq 0$ è ovvio da (252). Inoltre, è chiaro che, se $f$ è la funzione nulla, allora $\|f\|=0$ . Viceversa, sia $f$ è continua e tale che $\|f\|=0$ . Se esistesse $x_0 \in \mathbb{R}$ tale che $f(x_0) \neq 0$ , si avrebbe $f^2(x_0) >0$ . Poiché $f$ è continua, anche $f^2$ lo è, ed esisterebbero quindi $\varepsilon>0$ e un intorno del tipo $(x_0-\delta,x_0)$ o $(x_0,x_0+\delta)$ di $x_0$ tale che
(256) $\begin{equation*} f^2(x)>\varepsilon \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0) \quad \text{oppure} \quad \forall x \in (x_0,x_0+\delta). \end{equation*}$
Da ciò si avrebbe che
(257) $\begin{equation*} \int_0^{2\pi}f^2(x) \,\mathrm{d} x \geq \delta \varepsilon >0, \end{equation*}$
che contraddice l’ipotesi $\|f\|=0$ . Da ciò si evince che $f$ deve essere la funzione nulla.

Si ha
(258) $\begin{equation*} \|\lambda f\| = \left( \int_0^{2\pi}\lambda^2(f(x))^2 \,\mathrm{d} x \right)^{\frac{1}{2}} = |\lambda| \left( \int_0^{2\pi}(f(x))^2 \,\mathrm{d} x \right)^{\frac{1}{2}} = |\lambda| \|f\|. \end{equation*}$

Per ogni $\lambda \in \mathbb{R}$ si ha
(259) $\begin{equation*} 0 \leq \| \lambda f + g\|^2 = \langle \lambda f + g, \lambda f + g \rangle = \lambda^2 \|f\|^2 + 2 \lambda \langle f,g\rangle + \|g\|^2, \end{equation*}$
dove la prima disuguaglianza segue dal primo punto di questa proposizione, mentre l’uguaglianza segue dalle proprietà di simmetria e linearità del prodotto scalare dimostrate in (248) e (249). Poiché il polinomio di secondo grado al membro di destra in (259) nella variabile $\lambda$ è sempre non-negativo, il suo discriminante deve essere minore o uguale a $0$ , ovvero
(260) $\begin{equation*} \langle f,g\rangle^2 - \|f\|^2 \|g\|^2 \leq 0, \end{equation*}$
che è equivalente a (254).

Si ha
(261) $\begin{equation*} \|f+g\|^2 = \langle f+g,f+g\rangle = \|f\|^2 + 2 \langle f,g \rangle + \|g\|^2 \leq \|f\|^2 + 2 \|f\|\|g\| + \|g\|^2 = \left( \|f\|+ \|g\| \right)^2, \end{equation*}$
dove la disuguaglianza segue da (254). Calcolando la radice quadrata di entrambi i membri di (261), si ottiene (255).

Osserviamo infine che il teorema di convergenza in norma quadratica delle serie di Fourier è un caso particolare del seguente importante risultato.

Teorema A.11 (della base di Hilbert). Sia $\mathcal{E}=\{e_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ una base hilbertiana di $\tilde{P}_{2\pi}$ ; allora per ogni $f \in \tilde{P}_{2\pi}$ si ha

(262) $\begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} \left\| f - \sum_{k=1}^n \langle f, e_k \rangle e_k \right\| = 0, \end{equation*}$

ossia la serie $\sum_{k =1}^{+\infty} \langle f, e_k \rangle e_k$ converge, nella norma di $\tilde{P}_{2\pi}$ , alla funzione $f$ . Inoltre si ha la seguente identità di Parseval:

(263) $\begin{equation*} \|f\|^2 = \sum_{k =1}^{+\infty} \langle f, e_k \rangle^2. \end{equation*}$

$\quad$

La dimostrazione del teorema A.11, reperibile in [2, theorem 5.9] formulata nel contesto degli spazi di Hilbert, può essere affrontata come impegnativo e istruttivo esercizio di teoria, in cui invitiamo il lettore a cimentarsi.

Riferimenti bibliografici

[1] Bazzanella D., Boieri P., Caire L., Tabacco A., Serie di funzioni e trasformate, CLUT (2001).

[2] Brezis, H., Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer (2010).

[3] Marcellini, P. & Fusco, N. & Sbordone, C., Analisi Matematica due, Liguori (2001).

[4] Math StackExchange,A continuous function with a divergent Fourier series..

[5] Math Counterexamples, A continuous function with a divergent Fourier series.

[6] Qui Si Risolve, Serie di funzioni – Teoria.

[7] Qui Si Risolve, Teorema fondamentale del calcolo integrale.

[8] Rudin, W., Real and complex Analysis, McGraw-Hill (1984).

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