Teoria degli insiemi: insiemi, sottoinsiemi, operazioni e relazioni d’ordine

Autori: Daniele Fakhoury.

Revisori: Valerio Brunetti.

La teoria degli insiemi è in sostanza, insieme al concetto di funzione, il fondamento su cui si basa tutta la matematica moderna. La teoria ingenua degli insiemi si distingue dalla teoria assiomatica degli insiemi per il fatto che la prima considera gli insiemi come collezioni di oggetti, chiamati elementi o membri dell’insieme, mentre la seconda considera insiemi quelli che soddisfano determinati assiomi. La teoria ingenua degli insiemi venne creata alla fine del XIX secolo da Georg Cantor per permettere ai matematici di lavorare in modo consistente con gli insiemi infiniti. Famosa è la frase di uno dei più importanti matematici della storia, Hilbert, che afferma:

 

 

Studiare la teoria (ingenua) degli insiemi porta in maniera naturale a confrontarsi con problemi di tipo filosofico legato agli aspetti più fondazionali della matematica moderna. Lo scopo di questa dispensa non è certo quella di entrare nel cuore di queste questioni, ma presentare una trattazione semplice di questa teoria mostrando solo vagamente i suoi aspetti più critici che hanno portato ad una più profonda formalizzazione tramite la teoria assiomatica di Zermelo e di Fraenkel. In fondo, la teoria assiomatica degli insiemi ha poca influenza sulla matematica ordinaria ma solo sui suoi aspetti più filosofici. Quindi è utile studiare gli insiemi nell’originale senso ingenuo allo scopo di sviluppare abilità nel lavorare con essi. Inoltre, una buona padronanza della teoria ingenua degli insiemi è necessaria per la comprensione della motivazione per la teoria assiomatica.

In teoria ingenua degli insiemi, i concetti di insieme e di elemento sono presentati in maniera informale come oggetti primitivi: un insieme non è altro che una collezione (o famiglia) di oggetti che vengono detti elementi dell’insieme. Di solito gli insiemi vengono indicati con lettere maiuscole: mentre gli elementi dell’insieme con lettere minuscole . Se è un elemento dell’insieme si scriverà e si legge “ appartiene (o appartenente) ad “. Se non ci sono elementi , diremo che l’insieme è l’insieme vuoto e scriveremo . Osserviamo che la nostra definizione presuppone la conoscenza intuitiva del concetto di uguaglianza tra elementi di un insieme , in simboli . Osserviamo inoltre che la collezione di elementi di un insieme non è “ordinata”, ovvero se immaginiamo un insieme come un sacchetto, gli elementi dell’insieme sono come delle biglie gettate alla rinfusa nel sacchetto. Per rappresentare un insieme può essere conveniente elencare esplicitamente i suoi elementi tra parantesi graffe; in questo caso parleremo di rappresentazione per elencazione . Per esempio

significa che l’insieme è composto dai seguenti elementi: i numeri e , la parola cavallo e il nome John.

Osservazione. La rappresentazione di un insieme per elencazione è da intendersi priva di ripetizioni, nel senso che due elementi uguali che si ripetono nell’elencazione possono essere contati una sola volta. Ad esempio

Il concetto di insieme con elementi ripetuti, detto multinsieme, esula dai nostri scopi.

 

 

Per esempio dato , la cardinalità di è . Per indicare la cardinalità di un insieme si usa il simbolo oppure e dunque in questo caso avremo

Se invece un elemento non appartiene ad un dato insieme si scriverà e si leggerà “ non appartiene ad “. Per esempio, se è l’insieme di prima, , allora . Chiaramente non sempre è possibile elencare tutti gli elementi di un insieme o perchè sono troppi e ci vorrebbe molto tempo oppure perchè sono infiniti e non è proprio possibile elencarli tutti! A volte utilizzeremo i puntini per indicare che ci sono altri elementi che non abbiamo scritto ma che risultano chiari dal contesto. Pensiamo ad esempio all’insieme di tutti i numeri naturali che viene in genere indicato appunto come

Pensiamo ad esempio a l’insieme di tutti i granelli di sabbia della Terra. Di sicuro ci sono un numero finito di granelli di sabbia ma è assurdo pensare di scrivere l’insieme di tutti i granelli di sabbia esplicitamente. Questi insiemi non hanno meno dignità degli altri e in realtà possono essere rappresentati in maniera intuitiva attraverso la seguente dichiarazione

In altri termini abbiamo espresso tale insieme tramite un predicato (cioè una proposizione, una frase) che descrive univocamente i suoi elementi; in questo caso parleremo di rappresentazione per caratteristica. Come notazione, invece della scritta “tale che” si usano spesso l’abbreviazione “t.c.” oppure i due punti “:” o anche una barretta verticale “|”. In generale, per mantenere il rigore logico, si fissa un insieme detto “universo”, una proposizione su e si definisce l’insieme composto da tutti gli elementi di che soddisfano la proposizione come segue

Ad esempio per indicare l’insieme dei numeri naturali dispari scriveremo

Notiamo come quest’ultimo insieme possa essere descritto anche come

cioè gli elementi della forma dove è un numero naturale. Infatti tutti i numeri naturali dispari possono essere descritti come il successivo di un multiplo naturale di .

 

Richiami di logica

Per concludere con questo paragrafo, elenchiamo alcuni dei principali simboli utilizzati nelle proposizioni logiche, che hanno lo scopo di semplificare la notazione e snellire il processo deduttivo. Forniamo solo un piccolo richiamo a tale importante argomento e rimandiamo alla dispensa di logica per una trattazione esaustiva. Essi costituiscono nella pratica dei veri e propri strumenti che permettono di costruire un insieme a partire da diversi predicati. Nello specifico abbiamo i quantificatori

• il quantificatore esistenziale che è l’abbreviazione della parola “esiste”
• la sua controparte con il punto esclamativo che sta per “esiste ed è unico”
• la sua negazione che sta per “non esiste”
• il quantificatore universale che abbrevia la locuzione “per ogni” o “qualunque”

e i connettivi logici

• la congiunzione logica “e”: che sta per “e (contemporaneamente)”
• la disgiunzione inclusiva che abbrevia la locuzione “o” nel senso di “oppure”
• l’implicazione che è l’abbreviazione della parola “implica”
• la co-implicazione che sta per “se e soltanto se”

Per esempio la proposizione

è un modo compatto (e astruso) per dire che, per qualunque elemento dell’insieme esiste un unico elemento dell’insieme che è il doppio di . (evidentemente e sono degli insiemi di numeri). Oppure, per esempio, date le proposizioni

• : “ supera l’esame di Analisi 1″
• : “ riceve un regalo”

la proposizione è la proposizione “se supera l’esame di Analisi 1 allora riceve un regalo”. Mentre la proposizione significa che riceverà il regalo se e soltanto se passerà l’esame di Analisi 1.

Per visualizzare gli insiemi spesso si usano quelli che vengono detti diagrammi di Eulero-Venn. Questi diagrammi raffigurano gli elementi come punti nel piano, e gli insiemi come regioni racchiuse da curve chiuse. Un diagramma di Eulero-Venn è composto da molteplici curve chiuse (di solito cerchi, o rettangoli, se le curve sono al massimo tre) che si sovrappongono, come mostrato in figura 1. I punti all’interno di una curva etichettata rappresentano elementi dell’insieme , mentre i punti all’esterno rappresentano gli elementi che non fanno parte di . Così, per esempio, l’insieme di tutti gli elementi che sono membri di entrambi gli insiemi e è visivamente rappresentato dall’area dove si sovrappongono le regioni e . Questi diagrammi sono usati spesso per insegnare teoria degli insiemi elementare, oltre che per illustrare e visualizzare semplici relazioni tra insiemi in probabilità, logica, statistica, linguistica e informatica. Per esempio dati i tre insiemi

otteniamo il seguente diagramma  

Figura 1: diagramma di Eulero-Venn.