Funzioni elementari: trigonometriche e iperboliche

Funzioni elementari, Teoria sulle Funzioni: Concetti Fondamentali e Proprietà

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Il presente volume è una risorsa essenziale nell’esplorazione delle funzioni elementari, naturale prosecuzione di Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche . In questa seconda parte offriamo una presentazione chiara, semplice ma accurata dei seguenti argomenti:

Definizione degli angoli orientati e le loro misure in gradi e radianti;
Funzioni trigonometriche fondamentali seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante;
Funzioni trigonometriche inverse arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente, arcosecante, e arcocosecante;
Formule trigonometriche di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione;
Funzioni seno e coseno iperbolico, loro inverse e relative formule.

Grazie a una trattazione dettagliata ma vicina al lettore, il volume è ideale sia per studenti della scuola secondaria, sia per studenti universitari che desiderano prepararsi ai corsi di Analisi Matematica. Gli argomenti vengono presentati con esempi concreti e grafici illustrativi, rendendo il materiale accessibile e facilmente comprensibile.

Cosa aspetti quindi? Non ti resta che immergerti nella lettura di questi affascinanti temi!

Oltre all’esaustiva lista reperibile alla fine dell’articolo, consigliamo la lettura del seguente materiale collegato:

Prerequisiti

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Questo testo è pensato per un ampio pubblico e prevede i seguenti requisiti minimi: la logica elementare (implicazione, equivalenza), la definiziona di insieme, le operazioni tra insiemi (unione, intersezione, prodotto cartesiano), e infine la definizione e le proprietà degli insiemi numerici.

Per leggere con profitto questo volume, il lettore dovrebbe anche conoscere le definizioni fondamentali della teoria delle funzioni, così come le proprietà generali delle funzioni contenute in Teoria delle funzioni : definizione di funzione, immagine, controimmagine, iniettività, suriettività, biettività, limitatezza, massimi, minimi, monotonia, periodicità. Inoltre, nell’ultima sezione faremo uso delle funzioni esponenziali, introdotte in Funzioni elementari – Volume 1. Invitiamo il lettore a consultare tali volumi in modo da avere una panoramica degli argomenti in esso contenuti.

Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini , Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Sara Sottile.

Notazioni

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$\emptyset$	$\qquad$ $\qquad$ insieme vuoto;
$\mathbb{N}\coloneqq \{ 1,2, \dots \}$	$\qquad$ $\qquad$ insieme dei numeri naturali;
$\mathbb{Z}$	$\qquad$ $\qquad$ insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{N}_0=\mathbb{N}\cup \{0\}$	$\qquad$ $\qquad$ insieme dei numeri interi non negativi;
$\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$	$\qquad$ $\qquad$ insieme dei numeri interi non nulli;
$\mathbb{Q}$	$\qquad$ $\qquad$ insieme dei numeri razionali;
$\mathbb{R}$	$\qquad$ $\qquad$ insieme dei numeri reali;
$\mathbb{C}$	$\qquad$ $\qquad$ insieme dei numeri complessi;
$\mathbb{R}^+\coloneqq \{x\in \mathbb{R}: x>0\}$	$\qquad$ $\qquad$ insieme dei numeri reali positivi, cf. [4, Definizione 2.62];
$\mathbb{R}^+_0\coloneqq \{x\in \mathbb{R}: x \ge 0\}$	$\qquad$ $\qquad$ insieme dei numeri reali non negativi, cf. [4, Definizione 2.62];
$\mathbb{R}^-\coloneqq \{x \in \mathbb{R}: x<0\}$	$\qquad$ $\qquad$ insieme dei numeri reali negativi, cf. [4, Definizione 2.62];
$\mathbb{R}^-_0\coloneqq \{x\in \mathbb{R}: x \le 0\}$	$\qquad$ $\qquad$ insieme dei numeri reali non positivi, cf. [4, Definizione 2.62];
$\mathbb{R}^*\coloneqq \{x \in \mathbb{R}: x \neq 0\}$	$\qquad$ $\qquad$ insieme dei numeri reali non nulli;
$A \times B$	$\qquad$ $\qquad$ prodotto cartesiano degli insiemi $A$ e $B$ ;
$A^c\coloneqq U\setminus A$	$\qquad$ $\qquad$ complementare di $A$ nell’insieme ambiente $U$ ;
$\mathbb{R}^2\coloneqq \mathbb{R}\times \mathbb{R}$	$\qquad$ $\qquad$ piano cartesiano, i.e. prodotto cartesiano di $\mathbb{R}$ con sè stesso;
$f \colon E \to F$	$\qquad$ $\qquad$ funzione da $E$ a $F$ , cf. [4, Definizione 1.1];
$f \colon x \in E\mapsto f(x) \in F$	$\qquad$ $\qquad$ funzione da $E$ a $F$ , cf. [4, Definizione 1.1];
${\rm Dom} f$	$\qquad$ $\qquad$ dominio della funzione $f$ , cf. [4, Definizione 1.1];
$\Gamma_f$	$\qquad$ $\qquad$ grafico della funzione $f$ , cf. [4, Definizione 1.2];
$f(A)$	$\qquad$ $\qquad$ immagine dell’insieme $A$ tramite $f$ , cf. [4, Definizione 1.6];
${\rm Im} f$	$\qquad$ $\qquad$ immagine della funzione $f$ , cf. [4, Definizione 1.6];
$f^{-1}(B)$	$\qquad$ $\qquad$ controimmagine dell’insieme $B$ tramite $f$ , cf. [4, Definizione 1.11];
$g \circ f$	$\qquad$ $\qquad$ composizione delle funzioni $g$ e $f$ , cf. [4, Definizione 2.16];
${\rm Id}_E$	$\qquad$ $\qquad$ funzione identità di $E$ , cf. [4, Definizione 2.18];
$f\|_{E'}, f\|^{F'}, f\|_{E'}^{F'}$	$\qquad$ $\qquad$ restrizioni di $f$ , cf. [4, Definizione 2.29];
$f^{-1}$	$\qquad$ $\qquad$ funzione inversa di $f$ , cf. [4, Definizione 2.22];
$f+g, fg$	$\qquad$ $\qquad$ rispettivamente somma e prodotto delle funzioni $f,g$ , cf. [4, Definizione 2.10,2.13];
$\max E, \min E$	$\qquad$ $\qquad$ rispettivamente massimo e minimo dell’insieme $E$ , cf. [4, Definizione 2.69];
$\sup E, \inf E$	$\qquad$ $\qquad$ rispettivamente estremo superiore ed estremo inferiore dell’insieme $E$ , cf. [4, Definizione 2.76];
$\max f, \min f$	$\qquad$ $\qquad$ rispettivamente massimo e minimo della funzione $f$ , cf. [4, Definizione 2.82];
$\sup f, \inf f$	$\qquad$ $\qquad$ rispettivamente estremo superiore ed estremo inferiore della funzione $f$ , cf. [4, Definizione 2.82];
$\overset{\rightarrow}{AB}$	$\qquad$ $\qquad$ vettore di estremo iniziale $A$ ed estremo finale $B$ ;
$AB$	$\qquad$ $\qquad$ segmento di estremi $A$ e $B$ ;
$\overline{AB}$	$\qquad$ $\qquad$ misura del segmento di estremi $A$ e $B$ ;
$\overset{\large \frown}{AB}$	$\qquad$ $\qquad$ arco di circonferenza di estremi $A$ e $B$ ;
$\angle ABC$	$\qquad$ $\qquad$ angolo di vertice $B$ , di lato iniziale $\overset{\rightarrow}{BA}$ e lato finale $\overset{\rightarrow}{BC}$ ;
$\triangle ABC$	$\qquad$ $\qquad$ triangolo di vertici $A$ , $B$ , $C$ .

Introduzione

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Lo scopo di queste note è fornire gli strumenti minimi necessari alla comprensione del concetto di funzione reale di variabile reale, descrivendone le proprietà principali, ponendo una particolare attenzione sui grafici di alcune funzioni elementari fondamentali. In particolare, in questo volume, presentiamo due famiglie di funzioni elementari note come funzioni trigonometriche e funzioni iperboliche. Di esse studiamo le principali proprietà, ne rappresentiamo i grafici e mostriamo alcuni esempi di utilizzo.

Di seguito un breve sommario della dispensa:

Nella sezione 1 introduciamo la nozione di angolo, di misura di un angolo, e costruiamo le funzioni trigonometriche geometricamente. Studiamo inoltre la circonferenza goniometrica, parametrizzata dalle funzioni trigonometriche, e introduciamo le coordinate polari nel piano.
Nella sezione 2 riportiamo le principali formule che coinvolgono le funzioni trigonometriche, ordinate per difficoltà.
Nella sezione 3 studiamo le principali proprietà delle funzioni trigonometriche e ne rappresentiamo il grafico.
Nella sezione 4 dimostriamo l’esistenza delle funzioni inverse delle funzioni trigonometriche e ne studiamo le proprietà, rappresentandone il grafico.
Nella sezione 6 introduciamo le cosiddette funzioni iperboliche, chiamate così perché parametrizzano un arco di iperbole.

Prime definizioni

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In questa sezione ci occupiamo di definire le cosiddette funzioni trigonometriche , i.e. relative ai triangoli, note anche come funzioni goniometriche , i.e. funzioni legate alle misure degli angoli o ancora come funzioni circolari , i.e. relative a una circonferenza. Le diverse nomenclature esistenti riflettono il fatto che ci sono diversi modi di definire tali funzioni. In questa dispensa scegliamo di definirle in modo geometrico, usando i triangoli rettangoli. Per definizioni più rigorose, si veda ad esempio [6, pag. 182].

Prima di tutto definiamo rigorosamente un angolo.

Definizione 1 (angoli). Chiamiamo angolo una figura geometrica piana composta da due semirette $Oa$

e $Ob$

, detti i lati dell’angolo, aventi in comune un estremo $O$

, detto vertice dell’angolo, insieme con una scelta di quale sia il lato iniziale e quale sia il lato finale. Identifichiamo due angoli se i loro lati possono essere sovrapposti ordinatamente tramite una traslazione e una rotazione.

Denotiamo con $\angle AOB$ l’angolo avente per lati le semirette $Oa$ e $Ob$ individuate dai segmenti $OA$ e $OB$ , essendo $A\in a$ e $B\in b$ due punti distinti da $O$ . Quando non è necessario esplicitare vertice e lati, indichiamo gli angoli con le lettere greche $\alpha, \beta, \gamma, \dots$ . Si veda la figura 1 per una rappresentazione grafica.

Figura 1: un angolo $\angle AOB$

Osservazione 2. Dati due angoli $\angle AOB$ e $\angle A'O'B'$ aventi i segmenti $OA$ , $OB$ , $O'A'$ , $O'B'$ congruenti fra loro, essi sono equivalenti se e soltanto se, nel sovrapporre $OA$ e $OA'$ tramite una traslazione e una rotazione, $OB$ si sovrappone a $OB'$ . In tal caso scriviamo $\angle AOB\equiv \angle A'O'B'$ , o semplicemente $\angle AOB= \angle A'O'B'$ .

Definizione 3 (operazioni sugli angoli). Siano $\angle AOB,\; \angle A'O'B'$

due angoli. A meno di cambiare i punti scelti, possiamo supporre che i segmenti $OA$

, $OB$

, $O'A'$

, $O'B'$

siano congruenti tra loro.

Somma. La somma di $\angle AOB$ e $\angle A'O'B'$ è l’angolo ottenuto sovrapponendo il lato finale del primo con il lato iniziale del secondo.
Angolo zero. L’angolo $\angle AOB$ è detto angolo zero¹ se $A=B$ .
Angolo opposto. L’angolo $\angle BOA$ è detto l’angolo opposto di $\angle AOB$ . Si noti che la somma di un angolo con il suo opposto produce l’angolo zero.
Angolo piatto. L’angolo $\angle AOB$ è piatto se $OA$ e $OB$ sono paralleli e non coincidenti.
Angolo retto. L’angolo $\angle AOB$ è retto se, sommato a sè stesso, produce un angolo piatto.

$\[\]$

In questo contesto l’angolo zero coincide con l’angolo giro, cf. figura 3. ↩

Le seguenti figure hanno lo scopo di esplicitare le operazioni sugli angoli appena definite.

Figura 2: somma di angoli, angolo opposto, angolo zero, angolo piatto.

La definizione che abbiamo dato potrebbe non rispecchiare la nostra idea di angolo. In effetti, anche la notazione grafica, che fa uso di una freccia, potrebbe sembrare ambigua. Infatti, in essa non viene specificato il senso di rotazione del segmento $OA$ sul segmento $OB$ , come si vede in figura 3.

Figura 3: L’orientazione della freccia in un angolo $\alpha$ .

Notiamo quindi che per definire un sistema di misura degli angoli, dobbiamo poter distinguerli a seconda del verso della rotazione della freccia. In questo modo, ad esempio, distinguiamo l’angolo zero, in cui non avviene alcuna rotazione, dall’angolo ottenuto facendo una rotazione completa del lato, detto angolo giro .

Nella prossima definizione, stabiliamo un tale criterio.

Definizione 4 (angoli orientati). Un angolo orientato è un angolo $\angle AOB$

con la scelta di un “segno” (o di un verso). Per convenzione, scegliendo il segno + (risp. -), si dice che l’angolo $\angle AOB$

è orientato positivamente (risp. orientato negativamente ) e si fa corrispondere ad esso la porzione di piano ottenuta dalle rotazione in senso antiorario (risp. orario) del lato $OA$

sul lato $OB$

Si veda la figura 4 per una rappresentazione grafica.

Per semplificare la notazione, denotiamo ancora con $\angle AOB$ un angolo generalizzato, quando non c’è rischio di confusione.

Figura 4: orientazione dell’angolo $\theta$ .

Figura 5: angoli e angoli orientati a confronto.

La prossima definizione ha lo scopo di introdurre il lettore alla nozione di angolo generalizzato, in cui si tiene conto di quanti giri il lato $OA$ compie sul lato $OB$ nel formare l’angolo $\angle AOB$ .

Definizione 5 (angoli generalizzati). Un angolo generalizzato è un angolo orientato con la scelta di un numero naturale $n\in \mathbb{N}$

, detto “indice di avvolgimento” dell’angolo. Ad un angolo $\angle AOB$

con indice $n$

, si fa corrispondere la rotazione che porta il lato $OA$

sul lato $OB$

, compiendo $n$

giri nel verso specificato dall’orientazione.

Si veda la figura 6 per una rappresentazione grafica.

Per semplificare la notazione, denotiamo ancora con $\angle AOB$ un angolo generalizzato, quando non c’è rischio di confusione.

Figura 6: un angolo generalizzato.

Misure degli angoli.

In questa sezione chiariamo il concetto di misura di un angolo. Poniamo di voler misurare l’ampiezza di un angolo, nel senso della definizione 1: ci accorgiamo ben presto che bisogna precisare il verso di orientazione della freccia se vogliamo distinguere un’ampiezza minore di un angolo piatto da un’ampiezza maggiore, cf. figura 3. Quello che ha senso misurare, dunque, sono gli angoli orientati. D’ora in avanti chiameremo semplicemente angoli gli angoli orientati, e specificheremo l’aggettivo solo in casi in cui c’è rischio di confusione.

Per ragioni storiche, si è soliti introdurre il sistema sessagesimale per misurare gli angoli.

Definizione 6 (sistema sessagesimale). Nel sistema sessagesimale gli angoli si misurano in gradi . Un angolo giro è pari a $360$

gradi, e si denota con $360^{\circ}$

. La misura degli altri angoli si ottiene frazionando tale valore. In particolare, un angolo che misura un grado , i.e. $1^{\circ}$

, si ottiene suddividendo l’angolo giro in $360$

parti uguali. A sua volta, un angolo di ampiezza un grado si suddivide in $60$

primi , e si scrive $1^\circ=60'$

. A sua volta, un primo si suddivide in $60$

secondi , e si scrive $1'=60''$

, ecc.

Si veda la figura 3 per una rappresentazione grafica del sistema sessagesimale.

Tale sistema non è utilizzato in matematica, in quanto fare operazioni sugli angoli utilizzando il sistema sessagesimale non è comodo².

Figura 7: angoli misurati in gradi

Un modo decisamente più efficace è usare il sistema radiale. Ricordiamo brevemente la sua definizione.

Definizione 7 ( sistema radiale ). Nel sistema radiale gli angoli si misurano in radianti . Dato un angolo $\angle AOB,$

e una circonferenza di centro nel vertice $O$

, la misura in radianti di $\angle AOB$

è definita come il rapporto tra la lunghezza dell’arco di circonferenza sotteso dall’angolo e il raggio della circonferenza. In particolare, un angolo di misura 1 radiante è un angolo che sottende un arco di lunghezza pari al raggio.

Si veda la figura 8 per una rappresentazione grafica del sistema radiale.

Figura 8: la definizione di radiante.

Osserviamo che la definizione è ben posta, ovvero non dipende dalla circonferenza scelta. Infatti, consideriamo due circonferenze concentriche di raggi $r$ e $r'>r$ e tracciamo l’angolo al centro $\theta\neq 0$ per le due circonferenze; denotiamo con $\ell$ e $\ell'$ gli archi formati da tale angolo per la prima e la seconda circonferenza rispettivamente. Ricordando che la lunghezza di una circonferenza di raggio $r$ è pari a $2\pi r$ , abbiamo che

$\frac{\ell}{\theta}=\frac{2\pi r}{360}, \quad \quad \frac{\ell'}{\theta}=\frac{2\pi r'}{360} ,$

da cui ricaviamo

$\frac{\ell}{r}= \frac{\ell'}{r'}.$

Dunque il rapporto tra l’arco corrispondente all’angolo e il raggio della circonferenza non cambia al variare del raggio, ma dipende solo dall’angolo $\theta$ scelto.

Possiamo quindi definire l’unità di misura dell’angolo in funzione di questo rapporto, ovvero

$\theta_{\text{rad}}=\dfrac{\ell}{r}.$

Infine, è facile vedere che la definizione data è invariante per congruenza, una volta ricordato il risultato di geometria elementare³ che afferma che, in una circonferenza, ad angoli al centro congruenti corrispondono archi congruenti.

Proposizione 8 (conversione gradi-radianti). Per passare dalla misura di un angolo $\theta$

in gradi ( $\theta_{\rm{deg}}$

) a quella in radianti ( $\theta_{\rm{rad}}$

) (e viceversa) si utilizza la seguente relazione:

$\theta_{\rm{rad}}=\frac{\pi}{180}\cdot \theta_{\rm{deg}}.$

Dimostrazione. Per ottenere la formula basta comparare le misure di un angolo specifico.

Scegliamo l’angolo giro, $\theta_\text{deg}=360^\circ$ . Abbiamo che $\theta_\text{rad}=\dfrac{2\pi r}{r}=2\pi$ , in quanto l’arco sotteso dall’angolo giro è l’intera circonferenza. Dunque, ottieniamo la relazione cercata tramite la proporzione

$\frac{\theta_{\text{deg}}}{\theta_{\text{rad}}}=\frac{360}{2\pi }$

da cui ricaviamo

${\theta_{\text{rad}}=\frac{\pi}{180}\cdot \theta_{\text{deg}}}.$

Esempio 9. Scriviamo in radianti l’angolo $\theta_{\text{deg}}=120^\circ$ . Dalla formula di conversione si ha

$\frac{180^{}}{\pi}=\frac{120^{}}{ \theta_{\text{rad}}},$

da cui

$\theta_{\text{rad}}=\frac{120^{} \cdot \pi}{180^{}} \quad \Rightarrow \quad \theta_{\text{rad}}=\frac{120}{180} \pi=\frac{2}{3} \pi.$

Finora, abbiamo considerato solo angoli la cui misura è compresa tra 0 e $360^{\circ}$ (o meglio, tra 0 e $2\pi$ ).

Se consideriamo angoli generalizzati, possiamo interpretare un qualunque $\theta \in \mathbb{R}$ come un angolo, come mostra il prossimo risultato.

Lemma 10. Dato $\theta \in \mathbb{R}$

, esiste un unico $\theta' \in [0, 2\pi)$

e un unico $k \in \mathbb{Z}$

tale che

(1) $\begin{equation*} \theta =2k \pi + \theta'. \end{equation*}$

Dimostrazione. Definiamo

$k\coloneqq \left\lfloor \frac{\theta}{2\pi} \right\rfloor,$

e $\theta' \coloneqq \theta - 2k\pi.$

L’equazione (1) può essere espressa utilizzando la relazione di congruenza⁴.

$\theta \equiv \theta' \quad {\rm mod}\; 2\pi.$

In quest’ottica, dato un angolo orientato, esso può essere interpretato come una classe di equivalenza di numeri reali, identificati tra di loro se differiscono di un multiplo intero di $2\pi$ .

Viceversa, dato un numero reale, esso si può interpretare come un angolo generalizzato tramite la scelta di un’orientazione.

Dunque, il lemma precedente stabilisce una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e angoli generalizzati. Il numero intero $k$ dato dal lemma, stabilisce il “segno” (il segno di $k$ ) e “l’indice di avvolgimento” (ovvero $|k|$ ) dell’angolo generalizzato.

La seguente definizione permette di definire le funzioni trigonometriche come funzioni di variabile reale: una volta definite tali funzioni per angoli compresi tra $0$ e $2\pi$ , esse possono essere dunque definite su tutto $\mathbb{R}$ per estensione periodica.

Definizione 11 (estensione periodica). Sia $f: [0,2\pi) \to \mathbb{R}$

una funzione. Dato $\theta \in \mathbb{R}$

, denotiamo con $\theta' \in [0,2\pi)$

, l’angolo determinato da $\theta$

secondo il lemma 10. Allora, esiste un’unica funzione $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

tale che

$F|_{[0,2\pi)}=f,$

e tale che

$F(\theta)=f(\theta') \qquad \forall \theta \in \mathbb{R}.$

Tale funzione è detta estensione periodica di $f$ .

Osservazione 12. La scelta dell’intervallo $[ 0,2\pi)$ nella definizione 11 è arbitraria. Un qualunque intervallo di lunghezza $2\pi$ chiuso a destra e aperto a sinistra può essere preso come dominio di partenza. Nel seguito, utilizzeremo anche $[-\pi,\pi)$ .

$\[\]$

Si calcoli, ad esempio, la somma dei due angoli $\alpha=32^\circ 27' 57''$ e $\beta= 17^\circ 42'42''$ , ↩

Teorema sugli archi congruenti, vedi ad esempio Wikipedia. ↩

Ricordiamo che, dati $a,b,c \in \mathbb{R}$ , si ha $a \equiv b \; ({\rm mod}\; c)$ se e solo se esiste un intero $k$ tale che $a=b+kc$ . ↩

Funzioni trigonometriche: definizione geometrica

Consideriamo un triangolo rettangolo qualsiasi, cf. figura 9. Poiché triangoli simili hanno lati proporzionali tra loro⁵, i possibili rapporti tra i tre lati di un triangolo sono degli invarianti di scala e quindi essi non dipendono dal particolare triangolo scelto, ma solo dagli angoli che formano i suoi lati.

Figura 9: triangoli simili.

Dato un triangolo rettangolo come in figura 10, chiamiamo $c$ l’ipotenusa, $a$ il cateto adiacente che forma un angolo $0 <\theta< 90^{\circ}$ con l’ipotenusa⁶ e $b$ il cateto opposto a tale angolo.

Figura 10: un triangolo rettangolo con ipotenusa $c$ e cateti $a,\,b$ riferiti a uno specifico angolo.

Per semplicità di esposizione, e con un piccolo abuso di notazione, indicheremo con $a, b$ e $c$ anche le loro rispettive lunghezze. I possibili rapporti tra i tre lati sono sei:

$\frac{a}{{c}},\; \frac{{b}}{{c}},\; \frac{{b}}{{a}}, \;\frac{{a}}{{b}}, \;\frac{{c}}{{a}},\; \frac{{c}}{{b}}.$

Come abbiamo notato, tali rapporti dipendono soltanto dall’angolo $\theta$ , e quindi essi sono funzioni di $\theta$ . Possiamo dunque definire le funzioni trigonometriche come segue.

Definizione 14 (definizione geometrica). Fissato un angolo $\theta$

, con $0 <\theta< 90^{\circ}$

, costruiamo un triangolo rettangolo come in figura 10. Definiamo le seguenti quantità relative all’angolo $\theta$

( seno ) $\displaystyle \sin\theta= \frac{{b}}{{c}}=\frac{\rm Cateto \;opposto}{\rm Ipotenusa} ,$

( coseno ) $\displaystyle\cos\theta= \frac{{a}}{{c}}= \frac{\rm Cateto \;adiacente}{\rm Ipotenusa},$

( tangente ) $\displaystyle \tan\theta= \frac{{b}}{{a}}=\frac{\rm Cateto \;opposto}{\rm Cateto \;adiacente},$

( cotangente ) $\displaystyle \cot\theta= \frac{{a}}{{b}}=\frac{\rm Cateto \;adiacente}{\rm Cateto \;opposto},$

( secante ) $\displaystyle \sec\theta= \frac{{c}}{{a}}=\frac{\rm Ipotenusa}{\rm Cateto \;adiacente} ,$

( cosecante ) $\displaystyle \csc\theta= \frac{{c}}{{b}}=\frac{\rm Ipotenusa}{\rm Cateto \;opposto}.$

$\[\]$

L’affermazione è conseguenza dei criteri di similitudine, vedi ad esempio Wikipedia. ↩

Ovviamente scegliere questo angolo piuttosto che l’angolo opposto è del tutto arbitrario, una volta espressi i vari rapporti in funzione di quest’angolo si può chiaramente fare un discorso analogo con l’altro angolo. ↩

La circonferenza geometrica.

Ora che sappiamo come misurare gli angoli, e come orientarli, presentiamo un utile strumento per visualizzare le quantità introdotte nella definizione 13: la circonferenza goniometrica.

Definizione 13 (circonferenza geometrica). Definiamo la circonferenza goniometrica come la circonferenza di raggio unitario e di centro l’origine del sistema di assi cartesiani, in cui un angolo $\theta\in [0,2\pi)$

si misura a partire dal semiasse positivo dell’asse $x$

, orientato positivamente in accordo con la definizione 4.

A partire dalla circonferenza goniometrica, possiamo definire le funzioni trigonometriche di un angolo compreso tra $0$ e $2\pi$ , e dunque, per il lemma 10, per angoli qualunque.

Definizione 15 (seno e coseno). Dato un angolo $\theta \in [0,2\pi)$

sulla circonferenza goniometrica, sia $P$

il punto di coordinate $(x_P,y_P)$

ottenuto intersecando il lato finale di $\theta$

con la circonferenza, cf. figura 11. Definiamo

$\cos \theta=x_P \qquad \text{e} \qquad \sin\theta=y_P,$

detti rispettivamente il seno e il coseno dell’angolo $\theta$ .

Figura 11: definizione di seno e coseno sulla circonferenza goniometrica.

La definizione appena data è coerente con la definizione 14, ovvero le due definizioni coincidono nel caso $\theta \in (0, \pi/2)$ .

In figura 12 riportiamo i valori del seno e del coseno per alcuni angoli sulla circonferenza goniometrica.

Figura 12: alcuni angoli notevoli (in gradi e radianti) sulla circonferenza goniometrica e i corrispettivi valori del seno (ordinate) e del coseno (ascisse).

Definizione 16 (tangente). Dato un angolo $\theta \in [-\pi,\pi)$

, con $\theta \neq \pm\dfrac{\pi}{2}$

. Sia $Q$

il punto di coordinate $(1,y_Q)$

ottenuto intersecando il secondo lato che forma $\theta$

con la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto di coordinate $(1,0)$

. Allora definiamo la tangente dell’angolo $\theta$

il numero

$\tan \theta=y_Q.$

Osservazione 17. Osserviamo che se l’angolo $\theta=\frac{\pi}{2}+ k\pi$ , con $k \in \mathbb{Z}$ , allora la retta tangente alla circonferenza nel punto $(1,0)$ è parallela al secondo lato che forma $\theta$ (che giace sull’asse delle ordinate), e in tal caso $y_Q$ non è definito (il suo valore diventa “infinito”).

Definizione 18 (cotangente). Dato un angolo $\theta \in [0,2\pi)$

, con $\theta \neq 0,{\pi}$

. Sia $R$

il punto di coordinate $(x_R,1)$

ottenuto intersecando il secondo lato che forma $\theta$

con la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto di coordinate $(0,1)$

. Allora definiamo la cotangente dell’angolo $\theta$

il numero

$\cot \theta=x_R.$

Osservazione 19. Osserviamo che se $\theta=\pi+k\pi$ , con $k \in \mathbb{Z}$ , allora la retta tangente alla circonferenza nel punto $(0,1)$ è parallela al secondo lato che forma $\theta$ (che giace sull’asse delle ascisse), e in tal caso $x_R$ non è definito (il suo valore diventa “infinito”).

Definizione 20 (secante). Dato un angolo $\theta \in [0,2\pi)$

, con $\theta \neq \pm\dfrac{\pi}{2}$

. Sia $P$

il punto di coordinate ottenuto intersecando il secondo lato che forma $\theta$

con la circonferenza goniometrica. Sia ora $P'=(x_{P'},0)$

il punto ottenuto intersecando la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto $P$

con l’asse delle ascisse. Allora definiamo la secante dell’angolo $\theta$

come

$\sec \theta=x_{P'}.$

Osservazione 21. Osserviamo che se $\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi$ , con $k \in \mathbb{Z}$ , allora la retta tangente alla circonferenza nel punto $P$ è parallela al secondo lato che forma $\theta$ (che giace sull’asse delle ascisse), e in tal caso $x_{P'}$ non è definito (il suo valore diventa “infinito”).

Definizione 22 (cosecante). Dato un angolo $\theta \in [0,2\pi)$

, con $\theta \neq 0,{\pi}$

. Sia $P$

il punto di coordinate ottenuto intersecando il secondo lato che forma $\theta$

con la circonferenza goniometrica. Sia ora $P''=(0, y_{P''})$

il punto ottenuto intersecando la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto $P$

con l’asse delle ordinate. Allora definiamo la cosecante dell’angolo $\theta$

come

$\csc \theta=y_{P''}.$

Osservazione 23. Osserviamo che se $\theta=k\pi$ , con $k \in \mathbb{Z}$ , allora la retta tangente alla circonferenza nel punto $P$ è parallela al secondo lato che forma $\theta$ (che giace sull’asse delle ordinate), e in tal caso $y_{P''}$ non è definito (il suo valore diventa “infinito”).

La figura 13 rappresenta graficamente le funzioni trigonometriche appena definite.

Figura 13: la circonferenza goniometrica e le sei funzioni trigonometriche. Per convenzione, l’angolo $\theta$ è scelto partendo dall’orizzontale e misurandolo in senso antiorario.

Un esempio analitico: le coordinate polari.

Consideriamo un piano cartesiamo $Oxy$ e un punto arbitrario $P_0=(x_0,y_0)\neq (0,0)$ come in figura 14.

Figura 14: un punto nel piano ottenuto come il punto della circonferenza di centro $O$ e raggio $\rho$ .

Sappiamo che possiamo determinare $P_0$ attraverso le sue coordinate cartesiane $(x_0,y_0)$ . Tuttavia, spesso è utile ottenere le coordinate del punto $P_0$ in un altro sistema di coordinate, dette coordinate polari. Notiamo che il punto $P_0$ appartiene alla circonferenza di centro $O$ e raggio pari alla lunghezza del segmento che unisce $O$ a $P_0$ . Dunque vorremmo esprimere le coordinate cartesiane in funzione della lunghezza $\rho$ del segmento $\overline{OP_0}$ e dell’angolo $\theta$ che il segmento $\overline{OP_0}$ forma col semiasse positivo dell’asse delle $x$ . Notiamo che per il teorema di Pitagora abbiamo

(2) $\begin{equation*} \rho=\sqrt{x_0^2+y_0^2}. \end{equation*}$

Per esprimere $(x_0,y_0)$ in funzione di $(\theta, \rho)$ dobbiamo dunque studiare un triangolo rettangolo $\angle HOP_0$ , dove $H$ è la proiezione di $P_0$ sull’asse $x$ , cf. figura 14, che ha $\theta$ come l’angolo formato dall’ipotenusa e il cateto $OH$ .

Usando la definizione 14, si ha

(3) $\begin{equation*} x_0=\rho\cos \theta \quad ; \quad y_0=\rho\sin\theta\quad ;\quad \frac{y_0}{x_0}=\tan \theta. \end{equation*}$

Le prime due equazioni di (3) esprimono le coordinate cartesiane $P_0=(x_0,y_0)$ in funzione delle cosiddette coordinate polari $(\theta, \rho)$ . In particolare, possiamo descrivere $\mathbb{R}^2$ usando delle circonferenze concentriche di raggio sempre più grande.

Osservazione 24. Osserviamo tuttavia che l’angolo $\theta$ non è ben definito se $\rho=0$ , in quanto non è univocamente determinato.

Inoltre, fissando il raggio $\rho=1$ , e facendo variare $\theta \in [0,2\pi)$ , otteniamo una parametrizzazione della circonferenza unitaria

$\begin{cases} x =\cos\theta \\ y= \sin \theta. \end{cases}$

Un esempio geometrico: risoluzione dei triangoli rettangoli.

Un’altra applicazione molto importante è la risoluzione dei triangoli rettangoli: conoscere le funzioni goniometriche permette di ottenere i lati di un qualsiasi triangolo rettangolo a partire dalla conoscenza della lunghezza di uno solo di essi e di un angolo in un vertice del triangolo. A tal proposito, riportiamo due classici risultati la cui dimostrazione è un utile esercizio per chi legge. Nella formulazione dei seguenti teoremi si considera un triangolo rettangolo come in figura 15.

Figura 15: Triangolo rettangolo di cateti $a$ e $b$ e ipotenusa $c$ , rettangolo in $\alpha$ .

Lemma 25. In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto oppure per il coseno dell’angolo adiacente. In formule:

$\begin{split} &b=c\sin\beta=c\cos\gamma\\ & a=c\sin \gamma=c\cos\beta. \end{split}$

Dimostrazione. Segue immediatamente dalla definizione 14.

Lemma 26. In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo, o per la cotangente dell’angolo adiacente. In formule:

$\begin{split} &a=b\tan \gamma=b\cot \beta\\ & b=a\tan \beta=a\cot\gamma. \end{split}$

Dimostrazione. Segue immediatamente dalla definizione 14.

Formule trigonometriche – Parte 1

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In questa sezione vogliamo fornire alcune formule utili nelle applicazioni. Iniziamo con le cosiddette relazioni fondamentali.

Relazioni fondamentali.

Dalla discussione precedente, e dalla circonferenza goniometrica, ricaviamo le seguenti semplici, ma fondamentali, prime relazioni trigonometriche. Ci si può riferire alla figura 13 per seguire meglio le dimostrazioni.

Proposizione 27 (relazione ( I )). Sia $\alpha \in \mathbb{R}$

, allora si ha

(4) $\begin{equation*} \cos^2 \alpha +\sin^2 \alpha =1, \qquad \forall\, \alpha\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Dimostrazione. Questa prima relazione è una riformulazione equivalente del Teorema di Pitagora, che afferma che, in riferimento alla figura 15, si ha

$a^2+b^2=c^2 \quad \iff \quad \left( \frac{a}{c} \right)^2+ \left( \frac{b}{c} \right)^2=1.$

La formula (4) segue immediatamente dalla definizione 14. Per una dimostrazione rigorosa, si veda, ad esempio, [6, pag. 182].

Proposizione 28 (relazione ( II )). Sia $\alpha\in \mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k: k\in \mathbb{Z}\right\}$

, allora si ha

$\tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.$

Dimostrazione. Nel caso in cui $\alpha \in [0,\pi/2)$ la proposizione segue direttamente dalla definizione geometrica della tangente, cf. definizione 14. Per gli altri casi, è sufficiente fare le dovute considerazioni sul segno delle quantità in gioco per rendersi conto che l’identità rimane valida. Notiamo che, affinché l’identità abbia senso, bisogna escludere i punti in cui si annulla il coseno di $\alpha$ .

Proposizione 29 (relazione ( III )). Sia $\alpha\in \mathbb{R}\setminus\left\{\pi k, k\in \mathbb{Z}\right\}$

, allora si ha

$\cot \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.$

Dimostrazione. Nel caso in cui $\alpha \in [0,\pi/2)$ la proposizione segue direttamente dalla definizione geometrica della cotangente, cf. definizione 14. Per gli altri casi, è sufficiente fare le dovute considerazioni sul segno delle quantità in gioco per rendersi conto che l’identità rimane valida. Notiamo che, affinché l’identità abbia senso, bisogna escludere i punti in cui si annulla il seno di $\alpha$ .

Proposizione 30 (relazione ( IV )). Sia $\alpha\in \mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in \mathbb{Z}\right\}$

, allora si ha

$\sec \alpha=\frac{1}{\cos\alpha}.$

Dimostrazione. Facendo riferimento alla figura 16., notiamo che i triangoli $OPH$ e $OPP'$ sono simili, poiché aventi i tre angoli congruenti. Di conseguenza, le lunghezze dei segmenti soddisfano:

$\frac{\overline{OP}}{\overline{OH}}=\frac{\overline {OP'}}{\overline {OP}}.$

Osservando la figura 16, e dalla definizione geometrica di $\sec \alpha$ , cf. definizione 14, abbiamo

$\overline{OP}=1, \quad \overline{OH}=\cos \alpha, \quad \overline{OP'}=x_{P'}=\sec \alpha,$

da cui, poiché $\alpha\in \mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in \mathbb{Z}\right\}$

$\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{\sec\alpha}{1}.$

Questo dimostra la tesi per $\alpha \in [0,\pi/2)$ . Per gli altri casi, è sufficiente fare le dovute considerazioni sul segno delle quantità in gioco per rendersi conto che l’identità rimane valida.

Figura 16: dimostrazione della relazione ( IV )

Proposizione 31 (relazione ( V )). Sia $\alpha\in \mathbb{R}\setminus\left\{\pi k, k\in \mathbb{Z}\right\}$

, allora si ha

$\csc \alpha=\frac{1}{\sin\alpha}.$

Dimostrazione. Dalla figura 17 qui sotto osserviamo subito che i triangoli $OPH$ e $OPP'$ sono simili, poiché aventi i tre angoli congruenti. Di conseguenza, le lunghezze dei segmenti soddisfano:

$\frac{\overline{OP}}{\overline{OH}}=\frac{\overline {OP'}}{\overline {OP}}.$

Osservando la figura 17, e dalla definizione geometrica di $\csc \alpha$ , abbiamo

$\overline{OP}=1, \quad \overline{OH}=\sin \alpha, \quad \overline{OP'}=y_{P'}=\csc \alpha,$

da cui, poiché $\alpha\in \mathbb{R}\setminus\left\{\pi k, k\in \mathbb{Z}\right\}$

$\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{\csc\alpha}{1}$

che conclude la dimostrazione.

Figura 17: dimostrazione della relazione ( V )

Archi associati.

Definizione 32. Dato un angolo $\alpha\in [0,2\pi)$

i seguenti angoli sono detti archi associati, o angoli associati ad $\alpha$

$-\alpha,\quad \frac{\pi}{2}\pm \alpha,\quad \pi \pm \alpha, \quad\frac 32\pi \pm \alpha,\quad 2\pi\pm\alpha.$

Lemma 33 (seno di archi associati). Sia $\alpha \in \mathbb{R}$

. Valgono le seguenti relazioni:

$\begin{split} & \sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos (\alpha),\\ & \sin (-\alpha)=-\sin (\alpha),\\ &\sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos (\alpha), \\ &\sin (\pi-\alpha)=\sin (\alpha),\\ &\sin (\pi+\alpha)=-\sin (\alpha),\\ &\sin \left(\frac{3}{2} \pi-\alpha\right)=-\cos (\alpha) , \\ &\sin \left(\frac{3}{2} \pi+\alpha\right)=-\cos (\alpha). %&\sin(-\alpha)= \sin (2\pi-\alpha)= - \sin(\alpha). \end{split}$

Dimostrazione. Il lemma è conseguenza della proposizione 22, che vedremo più avanti. Tuttavia, invitiamo il lettore a dimostrare tali identità senza l’ausilio della suddetta proposizione, ma piuttosto tramite la circonferenza goniometrica, cf. figura 13, e le relazioni fondamentali (I),…,(V), cf. proposizioni 27, 28, 29, 30, 31. A titolo di esempio, mostriamo come provare che

(5) $\begin{equation*} \sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos (\alpha). \end{equation*}$

Osserviamo la figura 18 e per fissare le idee immaginiamo che $B$ appartenga al primo quadrante. La dimostrazione è simile negli altri casi, e viene lasciata al lettore. Preso un qualsiasi angolo $\alpha$ , consideriamo i triangoli $OCB$ e $OAB$ . Chiramente, $\cos\alpha= \overline{OC}\equiv \overline{AB}$ per definizione di coseno e per costruzione. D’altra parte, il triangolo $OAB$ è rettangolo in $A$ , ha ipotenusa uguale al raggio della circonferenza unitaria, e angolo opposto al cateto $\overline{AB}$ pari al complementare di $\alpha$ , ovvero $\overline{AB}= \sin(\pi/2 - \alpha)$ da cui la conclusione.

Figura 18: dimostrazione della relazione (5).

Esercizio 34. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. (Coseno di archi associati) sia $\alpha \in \R$

. Valgono le seguenti relazioni:

$\begin{split} & \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin (\alpha), \\ & \cos (-\alpha)=\cos (\alpha), \\ &\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin (\alpha), \\ & \cos (\pi-\alpha)=-\cos (\alpha), \\ & \cos (\pi+\alpha)=-\cos (\alpha), \\ &\cos \left(\frac{3}{2} \pi-\alpha\right)=-\sin (\alpha), \\ & \cos \left(\frac{3}{2} \pi+\alpha\right)=\sin (\alpha). %& \cos (-\alpha)=\cos(2\pi - \alpha)=\cos (\alpha) \end{split}$

Una volta determinate le relazioni tra le seni e coseni di angoli associati, le formule per tangente, cotangente, secante e cosecante si ottengono facilmente a partire da essi. A titolo di esempio, mostriamo come ricavarli per la tangente e lasciamo cotangente, secante e cosecante per esercizio.

Lemma 35 (tangente di archi associati). Sia $\alpha \in \R$

tale che, nel seguito, l’argomento della tangente non appartenga all’insieme $\left\{ \dfrac{\pi}{2}+k\pi : k\in \mathbb{Z}\right\}$

. Valgono le seguenti relazioni:

$\begin{split} &\tan \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot (\alpha), \\ & \tan \left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cot (\alpha), \\ &\tan (\pi-\alpha)=-\tan (\alpha),\\ & \tan (\pi+\alpha)=\tan (\alpha), \\ &\tan \left(\dfrac{3}{2} \pi-\alpha\right)=\cot{\alpha}, \\ & \tan \left(\dfrac{3}{2} \pi+\alpha\right)=-\cot (\alpha),\\ &\tan (-\alpha)=-\tan (\alpha). \end{split}$

Dimostrazione. Utilizziamo le identità già note, cf. lemma 32 , esercizio 34.

Si ha

$\begin{split} &\tan \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\dfrac{\cos (\alpha)}{\sin (\alpha)}=\cot (\alpha), \\ & \tan \left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\dfrac{\cos (\alpha)}{-\sin (\alpha)}=-\cot (\alpha), \\ &\tan (\pi-\alpha)=\dfrac{\sin (\pi-\alpha)}{\cos (\pi-\alpha)}=\dfrac{\sin (\alpha)}{-\cos (\alpha)}=-\tan (\alpha),\\ & \tan (\pi+\alpha)=\dfrac{\sin (\pi+\alpha)}{\cos (\pi+\alpha)}=\dfrac{-\sin (\alpha)}{-\cos (\alpha)}=\tan (\alpha), \\ &\tan \left(\dfrac{3}{2} \pi-\alpha\right)=\dfrac{\sin \left(\dfrac{3}{2} \pi-\alpha\right)}{\cos \left(\dfrac{3}{2} \pi-\alpha\right)}=\dfrac{-\cos (\alpha)}{-\sin (\alpha)}=\cot{\alpha}, \\ & \tan \left(\dfrac{3}{2} \pi+\alpha\right)=\dfrac{\sin \left(\dfrac{3}{2} \pi+\alpha\right)}{\cos \left(\dfrac{3}{2} \pi+\alpha\right)}=\dfrac{-\cos (\alpha)}{\sin (\alpha)}=-\cot (\alpha),\\ &\tan (-\alpha)=\tan( 2\pi - \alpha)=-\tan (\alpha). \end{split}$

Esercizio 36 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Ricavare le seguenti formule degli angoli associati per cotangente, secante e cosecante, usando le loro definizioni e gli angoli associati per seno, coseno e tangente appena ottenuti.

Per la cotangente si ha:
$\begin{split} &\cot (-\alpha)=-\cot (\alpha),\\ &\cot \left(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\right)=\mp\tan (\alpha),\\ & \cot (\pi\pm\alpha)=\pm\cot (\alpha),\\ &\cot \left(\frac{3}{2} \pi\pm\alpha\right)=\mp \tan (\alpha).\\ \end{split}$
Per la secante si ha
$\begin{split} &\sec(-\alpha)=\sec (\alpha),\\ &\sec \left(\frac{\pi}{2}\mp\alpha\right)=\pm\csc (\alpha),\\ &\sec (\pi\pm \alpha)=-\sec (\alpha),\\ &\sec \left(\frac{3}{2} \pi\mp\alpha\right)=\mp \csc (\alpha). \end{split}$
Per la cosecante si ha
$\begin{split} &\csc (-\alpha)=-\csc (\alpha),\\ &\csc \left(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\right)=\sec (\alpha),\\ &\csc (\pi\pm\alpha)=\mp \csc (\alpha),\\ &\csc \left(\frac{3}{2} \pi\mp \alpha\right)=\mp \sec (\alpha). \end{split}$

Formule di addizione e sottrazione.

Siano $\theta, \gamma \in \mathbb{R}$

. È naturale domandarsi se sia possibile esprimere $\sin(\theta \pm \gamma )$

e $\cos(\theta \pm \gamma)$

in funzione di $\sin \theta, \cos \theta, \sin \gamma, \cos \gamma$

. Il prossimo risultato mostra che questo è possibile, fornendo delle identità note come formule di addizione.

Proposizione 37 (formule di addizione). Siano $\theta, \gamma \in \mathbb{R}$

, e supponiamo che le funzioni trigonometriche elencate qui sotto siano ben definite in $\theta + \gamma$

. Valgono le seguenti formule di addizione:

(Coseno)
(6) $\begin{equation*} {\cos(\theta+\gamma)=\cos\theta\cos\gamma-\sin\theta\sin\gamma}, \end{equation*}$
(Seno)
(7) $\begin{equation*} {\sin(\theta+\gamma)=\cos\theta\sin\gamma+\sin\theta\cos\gamma}. \end{equation*}$
(Tangente)

(8) $\begin{equation*} {\tan (\theta+\gamma)=\frac{\tan \theta+\tan \gamma}{1-\tan \theta \tan \gamma}. } \end{equation*}$

Dimostrazione. Consideriamo un triangolo rettangolo come in figura 10, e ricordiamo le notazioni precedentemente utilizzate: $c$ è l’ipotenusa, $a$ il cateto adiacente che forma un angolo $\theta$ con l’ipotenusa e $b$ il cateto opposto a tale angolo.

Un metodo semplice e molto utile per dedurre in modo diretto le formule di addizione e sottrazione è sfruttare dalla definizione il fatto, già incontrato, che si ha

(9) $\begin{equation*} a=c \cos \theta\quad \text{e} \quad b=c\sin\theta. \end{equation*}$

Opereremo la seguente costruzione geometrica (figura 19.), osservando che essa funziona per $\theta, \gamma \geq 0$ e tali che $\theta + \gamma \leq \pi$ . È un utile esercizio per chi legge usare le formule degli angoli associati e dimostrare che ci si può ricondurre sempre al caso $\theta, \gamma \in [0, \pi/2]$ .

Figura 19: formule di addizione: costruzione geometrica.

Disegnamo un triangolo $\triangle ABC$ rettangolo in $C$ , che ha ipotenusa $\overline{AB}=1$ , dunque, per (9), il cateto adiacente all’angolo $\theta=\angle BAC$ è dato da $\overline{AC}=\cos \theta$ e il cateto opposto è dato da $\overline{BC}=\sin \theta$ ;
Consideriamo l’angolo $\gamma$ consecutivo a $\theta$ , avente il lato $AC$ in comune con $\theta$ ;
Prolunghiamo il segmento che, insieme ad $AC$ , forma l’angolo $\gamma$ , e prendiamo la sua parallela passante per $B$ . Quindi, tracciamo l’unica retta perpendicolare ad esse passante per $C$ , e chiamiamo $A'$ e $B'$ , rispettivamente, le intersezioni di essa con le due rette parallele appena descritte. Notiamo che i triangoli $\triangle ACA'$ e $\triangle BB'C$ formati da questa costruzione sono rettangoli in $A'$ e in $B'$ .
Tracciamo la retta perpendicolare ad $\overline{AA'}$ passante per $B$ , e chiamiamo $H$ la proiezione di $B$ su $\overline{AA'}$ . Consideriamo il triangolo rettangolo $\triangle ABH$ ;
Notiamo che l’angolo $\angle BCB'=\gamma$ , in quanto alterno interno a $\angle HBC$ , il quale è uguale a $\gamma$ per costruzione (come si può notare dal fatto che è differenza tra il complementare di $\theta$ e il complementare di $\theta + \gamma$ );

Le conseguenze geometriche di questa costruzione sono le seguenti, e tutte ricavate utilizzando (9). Abbiamo già notato che $\overline{AC}=\cos\theta$ e $\overline{BC}=\sin\theta$ . Inoltre, si ha:

Poiché il triangolo $\triangle ACA'$ ha ipotenusa di lunghezza $\overline{AC}=\cos\theta$ , dalla (9) troviamo

(10) $\begin{equation*} \begin{split} \overline{AA'}=& \overline{AC}\cos \gamma=\cos\theta\cos\gamma,\\ \overline{A'C}=& \overline{AC}\sin \gamma=\cos\theta\sin\gamma. \end{split} \end{equation*}$

Poiché il triangolo $\triangle BB'C$ ha ipotenusa di lunghezza $\overline{BC}=\sin\theta$ , dalla (9) troviamo

(11) $\begin{equation*} \begin{split} \overline{B'C}=& \overline{BC}\cos \gamma=\sin\theta\cos\gamma,\\ \overline{BB'}=& \overline{BC}\sin \gamma=\sin\theta\sin\gamma. \end{split} \end{equation*}$

Poiché il triangolo $\triangle ABH$ ha come angolo in $A$ la somma $\theta+\gamma$ e ipotenusa di lunghezza $\overline{AB}=1$ , dalla definizione di seno e coseno, cf. definizione 14, troviamo

(12) $\begin{equation*} \begin{split} &\cos \left( \theta+\gamma \right)={\overline{AH}}/{\overline{AB}}=\overline{AH}\\ &\sin \left( \theta+\gamma \right)={\overline{BH}}/{\overline{AB}}=\overline{BH}. \end{split} \end{equation*}$

Inoltre, per costruzione si ha

(13) $\begin{equation*} \begin{split} &\cos \left( \theta+\gamma \right)=\overline{AH}=\overline{AA'}-\overline{HA'}=\overline{AA'}-\overline{BB'}\\ &\sin \left( \theta+\gamma \right)=\overline{BH}=\overline{A'B'}=\overline{A'C}+\overline{CB'}. \end{split} \end{equation*}$

Dalle equazioni (10),(11) e (13), otteniamo le formule di addizione per seno e coseno, cf. (7) e (6).

Per la dimostrazione della formula di addizione per la tangente, osserviamo che possiamo scrivere, dalla proposizione 27 e da (7), (6):

$\begin{split} \tan (\theta+\gamma) &=\frac{\sin (\theta+\gamma)}{\cos (\theta+\gamma)}=\frac{\sin \theta \cos \gamma+\cos \theta \sin \gamma}{\cos \theta \cos \gamma-\sin \theta \sin \gamma} \\ &=\dfrac{\left( \dfrac{\sin \theta \cos \gamma}{\cos \theta \cos \gamma}+\dfrac{\cos \theta \sin \gamma}{\cos \theta \cos \gamma} \right)}{\left( \dfrac{\cos \theta \cos \gamma}{\cos \theta \cos \gamma}-\dfrac{\sin \theta \sin \gamma}{\cos \theta \cos \gamma} \right)}=\frac{\tan \theta+\tan \gamma}{1-\tan \theta \tan \gamma}, \end{split}$

da cui la formula di addizione per la tangente, cf. (8).

Nel seguito vedremo dei corollari delle formule di addizione.

Esistono formule analoghe a quelle di addizione, note come formule di sottrazione, che sono diretta conseguenza della proposizione 37 e delle simmetrie delle funzioni trigonometriche.

Corollario 38 (formule di sottrazione). Si hanno le seguenti formule di sottrazione :

(Coseno)
${\cos (\theta-\gamma) =\cos \theta \cos \gamma+\sin \theta \sin \gamma.}$
(Seno)
${\sin (\theta-\gamma) =\sin \theta \cos \gamma-\cos \theta \sin \gamma.}$
(Tangente)
${\tan (\theta-\gamma)=\frac{\tan \theta-\tan \gamma}{1+\tan \theta \tan \gamma}.}$

Dimostrazione. Ricordando le identità

$(\cos(-\alpha)=\cos \alpha), \quad (\sin(-\alpha)=-\sin \alpha)$

, cf. lemma 33, esercizio 34, otteniamo

$\begin{split} \sin (\theta-\gamma) &=\sin (\theta+(-\gamma))=\sin \theta \cos (-\gamma)+\cos \theta \sin (-\gamma) \\ &=\sin \theta \cos \gamma-\cos \theta \sin \gamma; \\ \\ \cos (\theta-\gamma) &=\cos (\theta+(-\gamma))=\cos \theta \cos (-\gamma)-\sin \theta \sin (-\gamma) \\ &=\cos \theta \cos \gamma+\sin \theta \sin \gamma. \end{split}$

Per dimostrare la formula di addizione della tangente, utilizziamo (8) e il fatto che la tangente è una funzione dispari:

$\begin{split} \tan (\theta-\gamma) =\frac{\tan \theta+\tan\left( - \gamma \right)}{1-\tan \theta \tan \left(- \gamma \right)}=\frac{\tan \theta-\tan \gamma}{1+\tan \theta \tan \gamma}. \end{split}$

Osservazione 39. È un utile esercizio osservare come le formule di addizione e sottrazione possono essere utilizzate per calcolare facilmente le formule per gli archi associati, cf. lemma 32 e 35.

Formule di duplicazione.

Vediamo ora alcune formule note, anch’esse conseguenza diretta delle formule di addizione, cf. proposizione 37.

Corollario 40. (duplicazione). Valgono le seguenti formule, dette formule di duplicazione :

Per ogni $x\in \mathbb{R}$ , si ha
${\sin 2x =2 \sin x \cos x.}$
Per ogni $x\in \mathbb{R}$ , si ha
${\cos 2 x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin^2 x=2\cos^2 x-1.}$
Per ogni $x\in \mathbb{R}\setminus( \left\{\frac{\pi}{2} + k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z}\right\})$ , si ha
${\tan 2 x =\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2}x}.}$

Dimostrazione. Dalla formula di addizione del seno

$\begin{split} \sin (2 x) &=\sin (x+x) =\sin x \cos x+\cos x \sin x= 2 \sin x \cos x. \end{split}$

Dalla formula di addizione del coseno

$\begin{split} \cos (2 x) &=\cos (x+x)=\cos x \cos x-\sin x \sin x= \cos^{2} x-\sin ^{2} x. \end{split}$

Inoltre, dalla prima relazione fondamentale $\cos^{2} x+\sin ^{2} x=1$ si ha $\cos^{2} x=1-\sin ^{2} x$ oppure anche $\sin ^{2} x=1-\cos^{2} x$ . Queste formule conducono a

$\begin{split} &\cos (2 x) =\cos^{2} x-\sin ^{2} x=1-2\sin^2(x);\\ &\cos (2 x) =\cos^{2} x-\sin ^{2} x=2\cos^2 x-1. \end{split}$

Infine, assumiamo che $x\neq \frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$ e $x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$ , allora $\cos(2x)\neq 0$ e per le formule di duplicazione del seno e del coseno e la definizione di tangente, si ha

$\tan (2 x)= \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^{2} x-\sin ^{2} x}.$

Dividendo numeratore e denominatore per $\cos^2x \neq 0$ , si ha

$\tan (2 x)=\dfrac{\left( \dfrac{2 \sin x \cos x}{\cos^{2} x} \right)}{\left( \dfrac{\cos^{2} x}{\cos^{2} x}-\dfrac{\sin ^{2} x}{\cos^{2} x} \right)}=\dfrac{\left( \dfrac{2 \sin x}{\cos x} \right)}{\left( 1-\dfrac{\sin ^{2} x}{\cos^{2} x} \right)}=\dfrac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}.$

Le formule per cotangente, secante e cosecante si mostrano in modo analogo e sono lasciate per esercizio.

Formule di bisezione.

Le seguenti formule sono dimostrabili facilmente a partire delle formule di duplicazione, quindi anch’esse sono una conseguenza diretta delle formule di addizione, cf. proposizione 37.

Corollario 41 (bisezione). Valgono le seguenti formule, dette formule di bisezione:

Per ogni $x\in \mathbb{R}$ , si ha

(14) $\begin{equation*} {\sin \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}}, \end{equation*}$

$\text{dove prendiamo il segno }+\, \text{per } \displaystyle x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [4k\pi, (4k+2)\pi)\,\, \text{e il segno } -$ altrimenti.
Per ogni $x\in \mathbb{R}$ , si ha

(15) $\begin{equation*} {\cos \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}}, \end{equation*}$

$\text{dove prendiamo il segno }+\, \text{per } \displaystyle x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}}[(4k-1)\pi, (4k+1)\pi)\,\, \text{e il segno } -$ altrimenti.
Per ogni $x\in \mathbb{R}\setminus\{ \pi+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$ , si ha
${\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}.}$

Dimostrazione.

Dalla formula di duplicazione del coseno si ha, per ogni $y\in \mathbb{R}$
$\cos(2y)=1-2\sin^2(y).$

Ponendo $x=2y$ si ha $y=\frac x2$ e otteniamo

$\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)=1-\cos(x).$

Poiché $|\cos(x)|\le 1$ , si può eseguire la radice quadrata dei due membri dell’uguaglianza di sopra, ottenendo così

$\sin \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}.$

Osserviamo che, poiché $\sin \alpha > 0$ per $\alpha \in (2k\pi,(2k+1)\pi), \; k\in \mathbb{Z}$ e $\sin \alpha <0$ altrimenti, la formula precedente ci dice che dobbiamo scegliere il segno $+$ quando $\dfrac x2 \in [2k\pi,(2k+1)\pi)$ , e il segno – altrimenti. Ricordando che la funzione $f(x)=\sin \left( \dfrac x 2 \right)$ è periodica di periodo minimo $T=4\pi$ , un intervallo di riferimento nella scelta del segno è $[0,4\pi)$ . Dunque, scegliamo il segno $+$ quando $x\in (0,2\pi)$ e il segno – quando $x\in (2\pi,4\pi)$ .
Dalla formula di duplicazione del coseno si ha, per ogni $y\in \mathbb{R}$ ,
$\cos(2y)=2\cos^2(y)-1.$

Ponendo $x=2y$ si ha $y=\frac x2$ e otteniamo

$\cos^2\left(\frac x2\right)=\frac{\cos(x)+1}{2}.$

Poiché $|\cos(x)|\le 1$ , si può eseguire la radice quadrata dei due membri dell’uguaglianza di sopra, ottenendo così

$\cos \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.$

Osserviamo che, poiché $\cos \alpha > 0$ per $\alpha \in (2k\pi- \frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2} ), \; k\in \mathbb{Z}$ e $\cos \alpha <0$ altrimenti, la formula precedente ci dice che dobbiamo scegliere il segno $+$ quando $\dfrac x2 \in [2k\pi- \frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2} )$ , e il segno – altrimenti. Ricordando che la funzione $f(x)=\cos \left( \dfrac x 2 \right)$ è periodica di periodo minimo $T=4\pi$ , un intervallo di riferimento nella scelta del segno è $[-2\pi,2\pi)$ . Dunque, scegliamo il segno $+$ quando $x\in (-\pi,\pi)$ e il segno – quando $x\in (-2\pi,-\pi) \cup (\pi, 2\pi)$ .
Le formule per la tangente sono una conseguenza diretta delle formule appena trovate, e si ottengono anch’esse usando le formule di duplicazione. Infatti per $x\neq \pi+2k\pi, k\in \mathbb{Z}$ , dalle (14) e (15), si trova che
$\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{{\sin\left(\dfrac x2\right)}}{{\cos\left(\dfrac x2\right)}}=\dfrac{\sin ^{2}\left( \dfrac x2 \right)}{{\cos\left(\dfrac x2\right)} {\sin\left(\dfrac x2\right)}}=\dfrac{1-\cos x}{\sin x}$

oppure

$\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{{\sin\left(\dfrac x2\right)}}{{\cos\left(\dfrac x2\right)}}=\dfrac{{\sin\left(\dfrac x2\right)} {\cos\left(\dfrac x2\right)}}{{\cos ^{2}\left( \dfrac{x}{2} \right)}}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}.$

Formule di Werner e di prostaferesi.

Le seguenti formule, ancora conseguenza delle precedenti, permettono di trasformare somme e differenze di funzioni goniometriche in un prodotto di funzioni goniometriche e viceversa. Esse sono note come formule di Werner e formule di prostaferesi⁷.

Proposizione 42 (formule di Werner). Per ogni $x,y\in \mathbb{R}$

, si hanno le seguenti formule, dette formule di Werner:

(16) $\begin{equation*} \sin x\sin y& =\frac 12 \left( \cos(x-y)-\cos(x+y) \right), \end{equation*}$

(17) $\begin{equation*} \cos x\cos y&=\frac 12 \left( \cos(x+y)+\cos(x-y) \right), \end{equation*}$

(18) $\begin{equation*} \sin x\cos y&=\frac 12 \left( \sin(x+y)+\sin(x-y) \right). \end{equation*}$

Dimostrazione. La dimostrazione è analoga per tutte e tre le formule, ed è una semplice applicazione delle formule di addizione e sottrazione del seno e del coseno date nella proposizione 37. A titolo di esempio, mostriamo la formula per il prodotto dei coseni, le altre sono lasciate per esercizio. Dalla formule di addizione e sottrazione del coseno abbiamo, per ogni $x,y \in \mathbb{R}$ ,

$\begin{split} &\cos (x-y)-\cos (x+y)\\ &=(\cos (x) \cos (y)+\sin (x) \sin (y))-(\cos (x) \cos (y)-\sin (x) \sin (y)) \\ &= 2 \sin (x) \sin (y), \end{split}$

da cui (16), e anche

$\begin{split} &\cos (x+y)+\cos (x-y)\\ &=(\cos (x) \cos (y)-\sin (x) \sin (y))+(\cos (x) \cos (y)+\sin (x) \sin (y)) \\ &= 2 \cos (x) \cos (y), \end{split}$

da cui (17). Infine,

$\begin{split} &\sin (x+y)+\sin (x-y)\\ &=(\sin (x) \cos (y)+\sin (y) \cos (x))+(\sin(x) \cos (y)-\sin (y) \cos (x)) \\ &= 2 \sin (x) \cos (y), \end{split}$

da cui (18).

Proposizione 43 (formule di prostaferesi). Per ogni $x,y\in \mathbb{R}$

, valgono le seguenti formule, dette formule di prostaferesi:

Per il seno si ha

(19) $\begin{equation*} &\sin x+\sin y=2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right), \end{equation*}$

(20) $\begin{equation*} &\sin x-\sin y=2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right). \end{equation*}$
Per il coseno si ha

(21) $\begin{equation*} &\cos x+\cos y=2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right), \end{equation*}$

(22) $\begin{equation*} &\cos x-\cos y=-2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right). \end{equation*}$

Dimostrazione. Dati $x,y \in \mathbb{R}$ , poniamo

(23) $\begin{equation*} \alpha\coloneqq \frac{x+y}{2} \quad \text{e} \quad \beta\coloneqq \frac{x-y}{2}, \end{equation*}$

così da avere

(24) $\begin{equation*} \alpha+\beta=\frac{x+y}{2}+ \frac{x-y}{2}=x \quad \text{e} \quad \alpha-\beta=\frac{x+y}{2}+ \frac{x-y}{2}=y. \end{equation*}$

Sostituendo (23) e (24) in (16), (17), (18) (dove si sostituisce ovunque $x,y$ con $\alpha, \beta$ ), troviamo, rispettivamente, (22), (21), (19).

D’altra parte, dalle formule di addizione e sottrazione del seno si ha

$\begin{split} &\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)= \\ &=\sin (\alpha) \cos (\beta)+\cos (\alpha) \sin (\beta)-\sin (\alpha) \cos (\beta)+\cos (\alpha) \sin (\beta)\\ &=2\cos (\alpha) \sin (\beta). \end{split}$

Operando le trasformazioni (23), e sostituendole nell’ equazione sopra si ottiene (20).

$\[\]$

Il nome proviene dalle parole greche prosthesis (somma) e aphairesis (sottrazione). ↩

Funzioni trigonometriche

Le funzioni seno e coseno.

La funzione seno

Abbiamo definito, per ogni angolo $x \in \mathbb{R}$ , misurato in radianti, il valore $\sin x$ . Pertanto risulta definita una funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)= \sin x, \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

Osserviamo innanzitutto che la funzione seno soddisfa

$\sin(-\pi/2)=-1, \; \sin(0)=0,\; \sin(\pi/2)=1,$

e che, nell’intervallo $[-\pi/2,\pi/2]$ essa è strettamente crescente: infatti si può notare che, all’aumentare dell’angolo $x$ nel suddetto intervallo, l’ordinata del punto $P$ che definisce $\sin(x)$ aumenta. La funzione è invece decrescente nell’intervallo $[\pi/2, 3\pi/2]$ per le stesse ragioni. Osserviamo anche che $\sin(\pi)=0$ e che $\sin(3\pi/2)=-1$ in quanto la funzione è periodica di periodo $2\pi$ . In riferimento alla figura 12, possiamo compilare la seguente tabella di alcuni valori del $\sin x$ dove in questo caso $x$ indica l’angolo misurato in radianti:

$\begin{tabular}{|l|c|r|} \hline $x$ & $f(x)= \sin x$ \\ \hline 0 & 0 \\ \hline $\pi/4$ & $\sqrt 2/2$ \\ \hline $\pi/2$ & 1 \\ \hline $ 3\pi /4 $ &$ \sqrt 2/ 2$\\ \hline $\pi$ & 0 \\ \hline $5\pi /4 $ & $ -\sqrt 2/ 2$ \\ \hline $ 3\pi /2 $ & -1 \\ \hline $ 7\pi/4 $ & $ -\sqrt 2/ 2$\\ \hline $2\pi$ & 0 \\ \hline \end{tabular}$

Possiamo dedurre l’andamento del $\sin x$ al variare di $x$ in $[0, 2\pi]$ : partendo da $0$ ( $\sin 0=0$ ) il segmento corrispondente al seno di $x$ raggiunge la sua lunghezza massima quando $x=\pi/2$ per poi decrescere nuovamente fino a raggiungere di nuovo lo zero a $x=\pi$ ( $\sin \pi=0$ ), continuando a decrescere negativamente e raggiungere il suo valore minimo dato da $\sin(\frac 32 \pi)=-1$ ed infine ricrescere fino a tornare a $\sin (2\pi) =0$ .

In figura 20 abbiamo rappresentato, per alcuni valori dell’angolo $x \in [0,\pi]$ , il segmento orientato la cui lunghezza rappresenta il valore di $\sin x$ .

Figura 20: l’andamento del segmento in rosso che rappresenta il seno di un angolo che varia al variare di $8$ angoli in ordine crescente da $0$ a $\pi$ .

Sia $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=\sin x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}$ .
(Simmetrie.) Si ha che $f$ è dispari: il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine e
$\sin(-x)=-\sin(x).$
(Periodicità.) La funzione è periodica di periodo minimo $2\pi$ , ovvero
$\sin(x+2\pi)=\sin x \quad \forall x \in \mathbb{R}.$
( Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P=(0,0)$ , mentre le intersezioni con l’asse $x$ sono date dai punti $x$ che sono soluzione dell’equazione
$\sin x=0.$

Le soluzioni sono della forma $x=k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$ .
( Segno.) Il segno della funzione seno si trova risolvendo la disequazione

$\sin x \geq 0.$

Le soluzioni sono

$x \in [2k\pi, (2k+1)\pi], \quad k \in \mathbb{Z}.$
(Immagine.) L’immagine della funzione seno è
$\text{Im}(f)=[-1,1].$

L’inclusione $``\subseteq''$ è ovvia, in quanto per definizione $|\sin x|\leq 1$ per ogni $x\in \mathbb{R}$ . L’inclusione opposta è meno banale, e non la dimostriamo.

In particolare, notiamo che $f$ è limitata inferiormente e superiormente e si ha

$\min_{x\in \mathbb{R}} f(x)=-1 \quad ; \quad \max_{x\in \mathbb{R}}f(x)= 1.$

(Invertibilità.) Le restrizioni di $f$ date da $f_{k}: x \in\left[-\frac{\pi}{2} +k \pi, \frac{\pi}{2}+k \pi\right] \mapsto \sin x \in [1,1]$ , con $k\in \mathbb{Z}$ , sono funzioni invertibili, e la funzione inversa di $f_0$ è detta arcoseno e indicata con $\mathrm{arcsin}$ .

Possiamo infine rappresentare l’andamento del seno (in particolare del segmentino rosso di figura 21) su un piano cartesiano.

Figura 21: una porzione del grafico della funzione $f(x)=\sin x$ .

La funzione coseno

Abbiamo definito, quindi, per ogni angolo $x \in \mathbb{R}$ , misurato in radianti, il valore $\cos x$ . Pertanto risulta definita una funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)= \cos x, \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

Osserviamo innanzitutto che la funzione coseno soddisfa

$\cos(0)=1,\;\cos(\pi/2)=0, \; \cos(\pi)=-1\; \cos(3\pi/2)=0,$

e che, nell’intervallo $[\pi,2\pi]$ essa è strettamente crescente: infatti si può notare che, all’aumentare dell’angolo $x$ nel suddetto intervallo, l’ascissa del punto $P$ che definisce $\cos(x)$ aumenta. La funzione è invece decrescente nell’intervallo $[0, \pi]$ per ragioni analoghe. In riferimento alla figura 12, possiamo compilare la seguente tabella di alcuni valori del $\cos x$ dove in questo caso $x$ indica l’angolo misurato in radianti:

$\begin{tabular}{|l|c|r|} \hline $x$ & $f(x)= \cos x$ \\ \hline 0 & 1 \\ \hline $\pi/4$ & $\sqrt 2/2$ \\ \hline $\pi/2$ & 0 \\ \hline $ 3\pi /4 $ &$ -\sqrt 2/ 2$\\ \hline $\pi$ & -1 \\ \hline $5\pi /4 $ & $ -\sqrt 2/ 2$ \\ \hline $ 3\pi /2 $ & 0 \\ \hline $ 7\pi/4 $ & $ \sqrt 2/ 2$\\ \hline $2\pi$ & 1 \\ \hline \end{tabular}$

Possiamo dedurre l’andamento del $\cos x$ al variare di $x$ in $[0, 2\pi]$ : partendo dalla sua lunghezza massima $1$ ( $\cos 0=1$ ) il segmento corrispondente al coseno di $x$ decresce in modo continuo nell’intervallo $[0, \pi]$ fino a raggiungere il suo valore minimo a $\cos \pi=-1$ , per poi crescere nell’intervallo $[\pi, 2\pi]$ fino a tornare a $\cos (2\pi) =1$ .

In figura 22. abbiamo rappresentato, per alcuni valori dell’angolo $x \in [0,\pi]$ , il segmento orientato la cui lunghezza rappresenta il valore di $\cos x$ .

Figura 22: L’andamento del segmento in blu che rappresenta il coseno di un angolo che varia al variare di $8$ angoli in ordine crescente da $0$ a $\pi$ .

Sia $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=\cos x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}$ .
(Simmetrie.) Si ha che $f$ è pari: il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$ e
$\cos(-x)=\cos(x).$
( Periodicità.) La funzione è periodica di periodo minimo $2\pi$ , ovvero
$\cos(x+2\pi)=\cos x \quad \forall x\in\mathbb{R}.$
( Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P=(0,1)$ , mentre le intersezioni con l’asse $x$ sono date dai punti $x$ che sono soluzione dell’equazione
$\cos x=0.$

Le soluzioni sono della forma $x=\dfrac{\pi}{2}+ k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$ .
(Segno.) Il segno della funzione coseno si trova risolvendo la disequazione

$\cos x \geq 0.$

Le soluzioni sono

$x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, \dfrac{\pi}{2}+2k\pi\right], \quad k \in \mathbb{Z}.$
(Immagine.) L’immagine della funzione coseno è
$\text{Im}(f)=[-1,1].$

L’inclusione $``\subseteq''$ è ovvia, in quanto per definizione $|\cos x|\leq 1$ per ogni $x\in \mathbb{R}$ . L’inclusione opposta è meno banale, e non la dimostriamo.

In particolare, notiamo che $f$ è limitata inferiormente e superiormente e si ha

$\min_{x\in \mathbb{R}} f(x)=-1 \quad ; \quad \max_{x\in \mathbb{R}}f(x)= 1.$

(Invertibilità.) Le restrizioni di $f$ date da $f_{k}: x \in[k\pi, (k+1)\pi] \mapsto \cos x \in [1,1]$ , con $k\in \mathbb{Z}$ , sono funzioni invertibili, e la funzione inversa di $f_0$ è detta arcocoseno e indicata con $\mathrm{arccos}$ .

Possiamo infine rappresentare l’andamento del coseno (in particolare del segmentino blu di figura 23) su un piano cartesiano.

Figura 23: una porzione del grafico della funzione $f(x)=\cos x$ .

Osservazione 44. È utile infine comparare i grafici delle funzioni seno e coseno nello stesso piano cartesiano, come in figura 24. Osserviamo che i due grafici rappresentano la stessa curva traslata lungo le ascisse: per esempio, come già osservato dalle formule sugli angoli associati, $\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos x$ .

Figura 24: le funzioni seno e coseno a confronto.

Le funzioni tangente e cotangente.

La funzione tangente

In questa sezione studiamo la funzione

$f(x)=\tan x.$

Prima di tutto ricordiamo che $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ , e quindi

$\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}.$

Ancora in riferimento alla figura 12, possiamo compilare la seguente tabella di valori della $\tan x$ dove in questo caso $x$ indica l’angolo misurato in radianti:

$\begin{tabular}{|l|c|r|} \hline $x$ & $f(x)= \tan x$ \\ \hline 0 & 0 \\ \hline $\pi/4$ & $1$ \\ \hline $\pi/2$ & non definita \\ \hline $ 3\pi /4 $ &$-1$\\ \hline $\pi$ & 0 \\ \hline $5\pi /4 $ & $ 1$\\ \hline $ 4\pi /3 $ &$ \sqrt 3$ \\ \hline $ 3\pi /2 $ & non definita \\ \hline $ 7\pi/4 $ & $ -1$\\ \hline $2\pi$ & 0 \\ \hline \end{tabular}$

Sia $f : \mathbb{R}\setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k \pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\}\to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=\tan x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}\setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k \pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\}$ .
(Simmetrie.) Si ha che $f$ è dispari: il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine in quanto
$\tan(-x)=-\tan(x).$
(Periodicità.) La funzione è periodica di periodo minimo $\pi$ :
$\tan(x+\pi)=\tan x \quad \forall x \in \operatorname{Dom}(f).$
(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è solo in $y=0$ , mentre le intersezioni con l’asse $x$ sono date dai punti $x$ che sono soluzione dell’equazione

$\tan x=0.$

Le soluzioni sono della forma $x=k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$
(Segno.) Il segno della funzione tangente si trova risolvendo la disequazione

$\tan x \geq 0.$

Le soluzioni sono

$x \in \Big[k\pi, \dfrac{\pi}{2}+k\pi\Big), \quad k \in \mathbb{Z}.$
(Immagine.) L’immagine della funzione tangente è

$\text{Im}(f)=\mathbb{R}.$

L’inclusione $``\subseteq''$ è ovvia. L’inclusione opposta è meno banale, e non la dimostriamo.

In particolare, notiamo che $f$ è illimitata inferiormente e superiormente e si ha

$\inf_{x\in \operatorname{Dom}(f)} f(x)=-\infty \quad ; \quad \sup_{x\in \operatorname{Dom}(f)}f(x)= +\infty.$

(Invertibilità.) Le restrizioni di $f$ date da $f_{k}: x \in \left( - \frac{\pi}{2}+ k\pi, \frac{\pi}{2}+ k\pi \right)\mapsto \tan x \in \mathbb{R}$ , con $k\in \mathbb{Z}$ , sono funzioni invertibili, e la funzione inversa di $f_0:\left( - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)\to \mathbb{R}$ è detta arcotangente e indicata con $\arctan$ .

Rappresentiamo il grafico della tangente su un piano cartesiano (figura 25.).

Figura 25: una porzione del grafico della funzione $f(x)=\tan x$ .

Osservazione 45. Osserviamo che non è del tutto ovvio, nella proposizione precedente, che $\operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}.$ La dimostrazione rigorosa di questo fatto prescinde dagli scopi di queste note. Tuttavia, si può osservare (anche intuitivamente usando la circonferenza goniometrica oppure con una calcolatrice) che, calcolando $\tan(x)$ per $x$ sempre più vicino a $\pi/2$ (oppure $-\pi/2$ ) si ottengono valori sempre più grandi, che tendono a $+\infty$ (o $-\infty$ ).

La funzione cotangente

In questa sezione studiamo la funzione

$f(x)=\cot x.$

Ricordiamo che la funzione cotangente è definita dall’espressione

$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x},$

dunque, in particolare,

$\operatorname{Dom}(f)= \mathbb{R}\setminus \left\{k \pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\}.$

Notiamo inoltre che

$\cot x = -\tan( x- \pi/2),$

dunque molte delle proprietà di $\cot$ possono essere dedotte da quelle di $\tan$ .

Riportiamo alcuni valori della cotangente in una tabella.

$\begin{tabular}{|l|c|r|} \hline $x$ & $f(x)= \cot x$ \\ \hline 0 & non definita \\ \hline $\pi/4$ & $1$ \\ \hline $\pi/2$ & 0\\ \hline $ 3\pi /4 $ &$-1$\\ \hline $\pi$ & non definita \\ \hline $5\pi /4 $ & $ 1$\\ \hline $ 4\pi /3 $ &$ \sqrt 3/3$ \\ \hline $ 3\pi /2 $ & 0 \\ \hline $ 7\pi/4 $ & $ -1$\\ \hline $2\pi$ & non definita \\ \hline \end{tabular}$

Sia $f : \mathbb{R}\setminus \left\{ k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=\cot x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}\setminus \left\{ k \pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\}$ .
(Simmetrie.) Si ha che $f$ è dispari: il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine in quanto
$\cot(-x)=-\cot(x).$
( Periodicità.) La funzione è periodica di periodo minimo $\pi$ :
$\cot(x+\pi)=\cot x \quad \forall x \in \operatorname{Dom}(f).$
(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ non è definita, mentre le intersezioni con l’asse $x$ sono date dai punti $x$ che sono soluzione dell’equazione

$\cot x=0.$

Le soluzioni sono della forma $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$ .
(Segno.) Il segno della funzione cotangente si trova risolvendo la disequazione

$\cot x \geq 0.$

Le soluzioni sono

$x \in \Big(k\pi, \dfrac{\pi}{2}+k\pi\Big], \quad k \in \mathbb{Z}.$
(Immagine.) L’immagine della funzione cotangente è
$\text{Im}(f)=\mathbb{R}.$

L’inclusione $``\subseteq''$ è ovvia. L’inclusione opposta è meno banale, e non la dimostriamo.

In particolare, notiamo che $f$ è illimitata inferiormente e superiormente e si ha

$\inf_{x\in \operatorname{Dom}(f)} f(x)=-\infty \quad ; \quad \sup_{x\in \operatorname{Dom}(f)}f(x)= +\infty.$

(Invertibilità.) Le restrizioni di $f$ date da $f_{k}: x \in \left( k\pi, (k+1)\pi \right)\mapsto \cot x \in \mathbb{R}$ , con $k\in \mathbb{Z}$ , sono funzioni invertibili, e la funzione inversa di $f_0:\left( 0, \pi \right)\to \mathbb{R}$ è detta arcocotangente e indicata con arccot.

Rappresentiamo il grafico della cotangente su un piano cartesiano (figura 26).

Figura 26: una porzione del grafico della funzione $f(x)=\cot x$ .

Le funzioni secante e cosecante.

La funzione secante

In questa sezione studiamo la funzione

$f(x)=\sec x.$

Ricordiamo che la funzione secante è la funzione determinata dall’espressione

$f(x)= \frac{1}{\cos x},$

e dunque il suo dominio è

$\operatorname{Dom}(f)= \mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{\pi}{2} +k \pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\}.$

Sia $f : \mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{\pi}{2} +k \pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\}\to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=\sec x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{\pi}{2} +k \pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\}$ .
(Simmetrie.) Si ha che $f$ è pari: il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$ e
$\sec(-x)=\sec(x).$
(Periodicità.) La funzione è periodica di periodo minimo $2\pi$ , ovvero
$\sec(x+2\pi)=\sec x \quad \forall x\in\operatorname{Dom}(f).$
(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P=(0,1)$ , mentre non ci sono intersezioni con l’asse $x$ . Infatti, l’equazione
$\sec x=0$

non ha soluzione, ovvero $\frac{1}{\cos x} \neq 0$ per ogni $x\in\operatorname{Dom}(f).$
(Segno.) Il segno della funzione coseno si trova risolvendo la disequazione

$\frac{1}{\cos x} \geq 0 \quad \iff \quad \cos x >0.$

Le soluzioni sono

$x \in \left(-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, \dfrac{\pi}{2}+2k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}.$
(Immagine.) L’immagine della funzione secante è
$\text{Im}(f)=\mathbb{R} \setminus (-1,1).$

L’inclusione $``\subseteq''$ è ovvia, in quanto $|\cos x|\leq 1$ per ogni $x\in \mathbb{R}$ , e dunque

$\left\vert \frac{1}{\cos x} \right\vert \geq 1 \qquad \forall x \in \operatorname{Dom}(f).$

L’inclusione opposta è meno banale, e non la dimostriamo.

In particolare, notiamo che $f$ è illimitata inferiormente e superiormente e si ha

$\inf_{x\in \operatorname{Dom}(f)} f(x)=-\infty \quad ; \quad \sup_{x\in \operatorname{Dom}(f)}f(x)= +\infty.$

(Invertibilità.) La restrizione di $f$ data da $g \colon x \in [0,\pi/2) \cup (\pi/2,\pi] \mapsto \sec x \in \mathbb{R} \setminus (-1,1)$ è una funzione invertibile. La sua inversa è detta arcosecante ed è denotata con arcsec.

Rappresentiamo il grafico della secante su un piano cartesiano (figura 27).

Figura 27: una porzione del grafico della funzione $f(x)=\sec x$ .

La funzione cosecante

In questa sezione studiamo la funzione

$f(x)=\csc x.$

Ricordiamo che la funzione cosecante è la funzione determinata dall’espressione

$f(x)= \frac{1}{\sin x},$

e dunque il suo dominio è

$\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus \left\{k \pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\}.$

Sia $f : \mathbb{R}\setminus \left\{k \pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\}\to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=\csc x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}\setminus \left\{k \pi \colon k \in \mathbb{Z}\right\}$ .
(Simmetrie.) Si ha che $f$ è dispari:
$\csc(-x)=-\csc(x).$
(Periodicità.) La funzione è periodica di periodo minimo $2\pi$ , ovvero
$\csc(x+2\pi)=\csc x \quad \forall x \in \operatorname{Dom}(f).$
(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ non è definita, mentre non ci sono intersezioni con l’asse $x$ . Infatti, l’equazione
$\csc x=0$

non ha soluzioni, ovvero $\frac{1}{\sin x}\neq 0$ per ogni $x\in \operatorname{Dom}(f)$ .
(Segno.) Il segno della funzione cosecante si trova risolvendo la disequazione

$\frac{1}{\sin x}\geq 0 \quad \iff \quad \sin x > 0.$

Le soluzioni sono

$x \in (2k\pi, (2k+1)\pi), \quad k \in \mathbb{Z}.$
(Immagine.) L’immagine della funzione cosecante è
$\text{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus (-1,1).$

L’inclusione $``\subseteq''$ è ovvia, in quanto per definizione $|\sin x|\leq 1$ per ogni $x\in \mathbb{R}$ , e dunque

$\frac{1}{\sin x}\geq 1.$

L’inclusione opposta è meno banale, e non la dimostriamo.

In particolare, notiamo che $f$ è illimitata inferiormente e superiormente e si ha

$\inf_{x\in \operatorname{Dom}(f)} f(x)=-\infty \quad ; \quad \sup_{x\in \operatorname{Dom}(f)}f(x)= +\infty.$

(Invertibilità.) La restrizione di $f$ data da $g \colon x \in [-\pi/2,0) \cup (0,\pi/2] \mapsto \csc x \in \mathbb{R} \setminus (-1,1)$ è una funzione monotona invertibile. La funzione inversa è detta arcocosecante ed è denotata con arccosec.

Rappresentiamo il grafico della cosecante su un piano cartesiano (figura 28).

Figura 28: una porzione del grafico della funzione $f(x)=\csc x$ .

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Funzioni trigonometriche inverse

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Nella precedente sezione abbiamo preannunciato che le sei funzioni trigonometriche descritte risultano invertibili se ristrette a un sottoinsieme del dominio. L’invertibilità delle funzioni trigonometriche può essere dimostrata nell’ambito della teoria delle funzioni continue, che tratteremo in seguito. In questa sezione ci limitiamo ad enunciare tale risultato e a studiare i grafici delle sei corrispondenti funzioni inverse.

Riassumiamo di seguito gli intervalli di invertibilità, dove le restrizioni delle funzioni agli intervalli appropriati verranno denotate con

$f^*=f|_{\text{Dominio di invertibilità}}.$

Abbiamo dunque:

(25) $\begin{equation*} \begin{split} &\sin^*:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to [-1,1],\\ &\cos^*:[0,\pi]\to [-1,1],\\ &\tan^*:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)\to \mathbb{R},\\ &\cot^*:(0,\pi)\to \mathbb{R},\\ &\sec^*: \left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]\to (-\infty,-1] \cup[1,+\infty), \\ &\csc^*:\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup\left(0, \frac{\pi}{2}\right]\to(-\infty,-1] \cup[1,+\infty). \end{split} \end{equation*}$

Teorema 46 (funzioni trigonometriche inverse). Le funzioni $\mathrm{sin^*, cos^*, tan^*, cotan^*, sec^*, csc^*}$

definite in (25), ottenute restringendo le funzioni trigonometriche $\mathrm{sin, cos, tan, cotan, sec, csc}$

agli opportuni domini, sono invertibili. Chiamiamo, nell’ordine, arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente, arcosecante e arcocosecante (denotate $\mathrm{arcsin, arccos, arctan, arccot,arcsec,arccosec}$

) le funzioni inverse di tali funzioni.

Osservazione 47. L’appellativo arco+ nome della funzione per indicare la sua inversa (per esempio l’arcoseno è la funzione inversa del seno) è legato direttamente alla costruzione geometrica di queste funzioni. Infatti, “ arcoseno di $x$ ” è una abbreviazione di “ l’arco (ovvero l’angolo) il cui seno è x“.

Le funzioni arcoseno e arcocoseno.

La funzione arcoseno

Sia $f :[-1,1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ definita da $f(x)=\arcsin x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $[-1,1]$ .
(Simmetrie.) Si ha che $f$ è dispari:
$\arcsin(-x)=-\arcsin(x) \qquad \forall x \in [-1,1].$

(Periodicità.) La funzione non può essere periodica in quanto il suo dominio non è invariante per traslazioni.
(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P=(0,0)$ . Tale punto rappresenta anche l’unica intersezione con l’asse $x$ , in quanto l’equazione

$\arcsin x =0$

ha come unica soluzione $x=0$ .
(Segno.) Il segno della funzione arcoseno si trova risolvendo la disequazione

$\arcsin x\geq 0,$

la cui soluzione è

$x \in [0,1].$
(Immagine.) L’immagine della funzione arcoseno è
$\text{Im}(f)=\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].$

In particolare, notiamo che $f$ è limitata inferiormente e superiormente e si ha

$\min_{x\in \operatorname{Dom}(f)} f(x)=- \frac{\pi}{2} \quad ; \quad \max_{x\in\operatorname{Dom}(f)}f(x)= \frac{\pi}{2}.$

(Invertibilità.) La funzione è invertibile e la sua inversa è data da
$x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \mapsto \sin x \in [-1,1].$

In figura 29 è rappresentato il grafico dell’arcoseno.

Figura 29: il grafico della funzione $f(x)=\arcsin x$ .

La funzione arcocoseno

Sia $f :[-1,1]\to [0,\pi]$ definita da $f(x)=\mathrm{arccos}$ x. Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $[-1,1]$ .
(Simmetrie.) La funzione $f$ non è nè pari nè dispari.
(Periodicità.) La funzione non può essere periodica in quanto il suo dominio non è invariante per traslazioni.
(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P=\left( 0,\frac{\pi}{2} \right)$ . L’intersezione con l’asse $x$ , è data dal punto $Q=(1,0)$ , in quanto l’equazione

$$\mathrm{arccos}$ x =0$

ha come unica soluzione $x=1$ .
(Segno.) Il segno della funzione arcoseno si trova risolvendo la disequazione

$$\mathrm{arccos}$ x\geq 0,$

la cui soluzione è

$x \in [-1,1].$

(Immagine.) L’immagine della funzione arcocoseno è
$\text{Im}(f)=\left[0, \pi \right].$

In particolare, notiamo che $f$ è limitata inferiormente e superiormente e si ha

$\min_{x\in \operatorname{Dom}(f)} f(x)=0 \quad ; \quad \max_{x\in \operatorname{Dom}(f)}f(x)= \pi.$

(Invertibilità.) La funzione è invertibile e la sua inversa è data da

$x \in \left[ 0, \pi \right] \mapsto \cos x \in [-1,1].$

In figura 30 è rappresentato il grafico dell’arcocoseno.

Figura 30: il grafico della funzione $f(x)=\mathrm{arccos} x$ .

Le funzioni arcotangente e arcocotangente.

La funzione arcotangente

Sia $f :\mathbb{R}\to \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ definita da $f(x)=\arctan x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}$ .
(Simmetrie.) La funzione $f$ è dispari:

$\arctan(-x)=\arctan x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$
(Periodicità.) La funzione non è periodica.
(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P=(0,0)$ . Tale punto rappresenta anche l’unica intersezione con l’asse $x$ , in quanto l’equazione

$\arctan x =0$

ha come unica soluzione $x=0$ .
(Segno.) Il segno della funzione arcotangente si trova risolvendo la disequazione

$\arctan x\geq 0,$

la cui soluzione è

$x \geq 0.$

(Immagine.) L’immagine della funzione arcotangente è
$\text{Im}(f)=\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).$

In particolare, notiamo che $f$ è limitata inferiormente e superiormente e si ha

$\inf_{x\in \mathbb{R}} f(x)=- \frac{\pi}{2} \qquad \sup_{x\in \mathbb{R}} f(x)= \frac{\pi}{2}.$

La funzione non ammette massimo e minimo assoluti.

(Invertibilità.)La funzione è invertibile e la sua inversa è data da
$x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \mapsto \tan x \in \mathbb{R}.$

In figura 31 è rappresentato il grafico dell’arcotangente.

Figura 31: il grafico della funzione $f(x)=\arctan x$ .

La funzione arcotangente

Sia $f :\mathbb{R}\to (0,\pi)$ definita da $f(x)=\mathrm{arccot} x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}$ .
(Simmetrie.) La funzione $f$ non è nè pari nè dispari.
(Periodicità.) La funzione non è periodica.
(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P=\left( 0,\frac{\pi}{2} \right)$ , mentre non interseca l’asse $x$ , in quanto l’equazione

$\mathrm{arccot} x =0$

non ha soluzione.
(Segno.) Il segno della funzione arcocotangente si trova risolvendo la disequazione

$\mathrm{arccot} x\geq 0,$

la cui soluzione è

$x \in \mathbb{R}.$
(Immagine.) L’immagine della funzione arcocotangente è
$\text{Im}(f)=\left(0, \pi \right).$

In particolare, notiamo che $f$ è limitata inferiormente e superiormente e si ha

$\inf_{x\in \mathbb{R}} f(x)=0 \qquad \sup_{x\in \mathbb{R}} f(x)=\pi.$

La funzione non ammette massimo e minimo assoluti.

(Invertibilità.)La funzione è invertibile e la sua inversa è data da
$x \in \left(0, \pi \right) \mapsto \cot x \in \mathbb{R}.$

In Figura 32 è rappresentato il grafico dell’arcocotangente.

Figura 32: una porzione del grafico della funzione $f(x)=\mathrm{arccot} x$ .

Le funzioni arcosecante e arcocosecante.

La funzione arcosecante

Sia $f :(-\infty,-1] \cup[1,+\infty) \to \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right)\cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ definita da $f(x)=\mathrm{arcsec} x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $(-\infty,-1] \cup[1,+\infty)$ .
(Simmetrie.) La funzione $f$ non è nè pari nè dispari.
(Periodicità.) La funzione non può essere periodica in quanto il suo dominio non è invariante per traslazioni.
(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ non è definita, mentre interseca l’asse $x$ nel punto $P=(1,0)$ , in quanto l’equazione

$\mathrm{arcsec} x =0$

ha come unica soluzione $x=1$ .
(Segno.) Il segno della funzione arcosecante si trova risolvendo la disequazione

$\mathrm{arcsec} x\geq 0,$

la cui soluzione è

$x \in (-\infty,-1] \cup[1,+\infty).$
(Immagine.) L’immagine della funzione arcosecante è

$\text{Im}(f)=\left[ 0,\frac{\pi}{2} \right)\cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right].$

In particolare, notiamo che $f$ è limitata inferiormente e superiormente e si ha

$\min_{x\in \mathbb{R}} f(x)=0 \qquad \max_{x\in \mathbb{R}} f(x)=\pi.$

(Invertibilità.) La funzione è invertibile e la sua inversa è data da
$x \in \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right)\cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] \mapsto \sec x \in (-\infty,-1] \cup[1,+\infty).$

In figura 33 è rappresentato il grafico dell’arcosecante.

Figura 33: una porzione del grafico della funzione $f(x)=\mathrm{arcsec}x$ .

La funzione arcocosecante

Sia $f :(-\infty,-1] \cup[1,+\infty) \to \left[-\frac{\pi}{2},0\right) \cup\left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ definita da $f(x)=$ \mathrm{arccsc} $x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $(-\infty,-1] \cup[1,+\infty)$ .
(Simmetrie.) La funzione $f$ è dispari:
$$\mathrm{arccsc}$(-x)=-$\mathrm{arccsc}$ x \qquad \forall x \in (-\infty,-1] \cup[1,+\infty).$
(Periodicità.) La funzione non può essere periodica in quanto il suo dominio non è invariante per traslazioni.
(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ non è definita. Inoltre, non interseca l’asse $x$ in quanto l’equazione

$$\mathrm{arccsc}$ x =0$

non ha soluzione.
(Segno.) Il segno della funzione arcocosecante si trova risolvendo la disequazione

$$\mathrm{arccsc}$x\geq 0,$

la cui soluzione è

$x \in [1,+\infty).$
(Immagine.) L’immagine della funzione arcocosecante è

$\text{Im}(f)=\left[-\frac{\pi}{2},0\right) \cup\left(0, \frac{\pi}{2}\right].$

In particolare, notiamo che $f$ è limitata inferiormente e superiormente e si ha

$\min_{x\in \mathbb{R}} f(x)=-\frac{\pi}{2} \qquad \max_{x\in \mathbb{R}} f(x)=\frac{\pi}{2}.$

(Invertibilità.) La funzione è invertibile e la sua inversa è data da
$x \in \left[-\frac{\pi}{2},0\right) \cup\left(0, \frac{\pi}{2}\right] \mapsto \csc x \in (-\infty,-1] \cup[1,+\infty).$

In figura 34 è rappresentato il grafico dell’arcocosecante.

Figura 34: una porzione del grafico della funzione $f(x)=\mathrm{arccsc}x$ .

Formule trigonometriche – Parte 2

Formule parametriche.

Proposizione 48 (formule parametriche). Per ogni $x\in \mathbb{R}\setminus\{\pi+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$

, la trasformazione

$t=t(x):\mathbb{R}\setminus\{\pi+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\to \mathbb{R}$

definita da

$t\coloneqq t(x)=\tan\left(\frac x2\right)$

è tale che

$\begin{split} &{\sin x=\frac{2t}{1+t^2}}\quad \text{e} \quad {\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.} \end{split}$

Dimostrazione. Notiamo che la trasformazione $x \mapsto t(x)=\tan (x/2)$ è ben definita per ogni

$x\in \mathbb{R}\setminus\{\pi+2k\pi: k\in \mathbb{Z}\}.$

Dimostriamo innanzitutto la formula per il seno: dalla formula di duplicazione del seno, cf. corollario 40 e dalla prima relazione fondamentale, cf. proposizione 27, si ha che per ogni $y\in \mathbb{R}$

(26) $\begin{equation*} \sin(2y)=\frac{2\sin y\cos y}{1}=\frac{2\sin y\cos y}{\sin^2 y+\cos^2 y}. \end{equation*}$

Poniamo $x \coloneqq 2y$ , e osserviamo che se $y\in \mathbb{R}\setminus\{\pi/2+k\pi:k\in \mathbb{Z}\}$ , allora $\cos y \neq 0$ . Segue che, al membro di destra della (26), possiamo dividere numeratore e denominatore per $\cos^2 y$ , trovando così

$\sin(2y)=\frac{\left( \dfrac{2\sin y}{\cos y} \right)}{\left( \dfrac{\sin^2y}{\cos^2 y}+1 \right)}.$

Poiché $y=x/2$ , e ricordando che $\tan y = \tan(x/2)$ e $\tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y}=t$ , otteniamo

$\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}.$

Similmente, dalle formule di duplicazione del coseno abbiamo

$\cos 2y=\frac{\cos^2y-\sin^2y}{\cos^2y+\sin^2y}.$

Ponendo $x \coloneqq 2y$ , con un ragionamento analogo al precedente, otteniamo che per ogni $y\in \mathbb{R}\setminus\{\pi/2+k\pi:k\in \mathbb{Z}\}$ si ha

$\cos(2y)=\frac{\left( 1-\dfrac{\sin^2y}{\cos^2 y} \right)}{\left( 1+\dfrac{\sin^2y}{\cos^2 y} \right)},$

da cui otteniamo

$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$

Formule trigonometriche per le funzioni inverse.

Concludiamo queste note con una sezione aggiuntiva in cui forniamo alcune proprietà e identità speciali, a volte poco note, che coinvolgono le funzioni trigonometriche inverse. Il seguente risultato riguarda la composizione mista di funzioni trigonometriche inverse con funzioni trigonometriche.

Proposizione 49 (composizione). Valgono le seguenti formule:

$\arcsin(\cos \alpha)=\begin{cases} \dfrac{\pi}{2}-\alpha, \qquad \forall \alpha \in [0,\pi];\\ \\ \dfrac{\pi}{2}-\beta, \qquad \forall \alpha : \alpha \notin [0,\pi], \; \mbox{ dove }\; \beta \in [0,\pi] : \;\cos\alpha=\cos\beta; \end{cases}$
$$\mathrm{arccos}$(\sin \alpha)=\begin{cases} \dfrac{\pi}{2}-\alpha, \qquad \forall \alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right];\\ \\ \dfrac{\pi}{2}-\beta, \qquad \forall \alpha : \alpha \notin \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right],\; \mbox{ dove }\; \beta \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]: \;\sin\alpha=\sin\beta. \end{cases}$

Dimostrazione. Proviamo soltanto la prima uguaglianza, l’altra è analoga e viene lasciata per esercizio al lettore. Per ogni $\alpha \in \R$ , consideriamo

$x \coloneqq \arcsin(\cos \alpha) \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right].$

Per definizione di $\arcsin$ , si ha

(27) $\begin{equation*} \sin x= \cos \alpha= \sin\left( \dfrac{\pi}{2}-\alpha \right), \end{equation*}$

dove nell’ultima uguaglianza abbiamo utilizzato le formule degli archi associati, cf. lemma 32. Dunque, se

$\dfrac{\pi}{2}-\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] \quad \iff \quad \alpha\in [0,\pi],$

per l’iniettività della funzione $\sin$ in $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right],$ la (27) implica che $x= \dfrac{\pi}{2}- \alpha$ . Altrimenti, esiste unico $k \in \mathbb{Z}$ e $\beta \in [0,\pi]$ tale che $\beta=2k\pi + \alpha$

(28) $\begin{equation*} \cos \alpha= \sin\left( \dfrac{\pi}{2}-\alpha \right)= \sin\left( \dfrac{\pi}{2}-\beta \right)= \cos \beta, \end{equation*}$

e dunque, analogamente a prima, sostituendo (28) nella (27), otteniamo $x= \dfrac{\pi}{2}- \beta$ .

Nel seguito, utilizzeremo anche le seguenti formule.

Proposizione 50 (trasformazione). Valgono le seguenti formule:

$$\mathrm{arccos}$ x =\arcsin (\sqrt{1-x^2}) \qquad \forall\, x \in [0,1];$
$$\mathrm{arcsin}$ x = \frac{1}{2}$\text{arccos}$(1-2x^2)\qquad \forall\, x \in [0,1];$

Dimostrazione.

Sia $x\in [0,1]$ e notiamo che, posto
$$\mathrm{y}$=$\text{arccos}$ x \in \left[ 0, \frac{\pi}{2}\right],$

la tesi è equivalente a dimostrare l’identità

(29) $\begin{equation*} \sin y=\sqrt{1-x^2}, \end{equation*}$

che segue dall’identità fondamentale (4), poiché

$\sin y=\sqrt{1-\cos^2 y}=\sqrt{1-x^2}.$
Sia $x\in [0,1]$ e notiamo che, posto

(30) $\begin{equation*} y=2\arcsin x \in \left[ 0, \pi\right], \end{equation*}$

la tesi è equivalente a dimostrare l’identità

(31) $\begin{equation*} \cos y=1-2x^2. \end{equation*}$

Da (30) segue che

$x=\sin \left( \frac y 2 \right),$

e dunque, per l’identità (14), si ha

$1-2x^2=1-2\sin^2 \left( \frac y 2 \right)=1-2\left( \frac{1-\cos y}{2} \right)=\cos y,$

ovvero la (31).

Proposizione 51 (somme miste). Valgono le seguenti formule:

Per ogni ${x}\in [-1,1]$ si ha

(32) $\begin{equation*} \arcsin{x}+\arccos{x}=\frac{\pi}{2}. \end{equation*}$
Per ogni ${x} \in \mathbb{R}$ si ha

(33) $\begin{equation*} \arctan {x}+\mathrm{arccot} {x}=\frac{\pi}{2}. \end{equation*}$
Per ogni $|{x}| \ge 1$ si ha

(34) $\begin{equation*} \mathrm{arcsec} {x}+\mathrm{arccosec} {x}=\frac{\pi}{2}. \end{equation*}$

Dimostrazione. Dimostriamo soltanto la (32) e (33). La (34) si dimostra in modo analogo ed è lasciata per esercizio.

Dimostriamo (32). Sia $x \in [-1,1]$ ; allora, per l’invertibilità della funzione $\sin_{| [-\pi/2,\pi/2]}$ , esiste un unico $\alpha \in [-\pi/2,\pi/2]$ tale che $\sin \alpha = x$ . Si ha quindi

$\arcsin x + \arccos x = \arcsin (\sin \alpha) + \arccos (\sin \alpha) = \alpha + \frac{\pi}{2} - \alpha = \frac{\pi}{2},$

ovvero la (32).
Dimostriamo (33). Poniamo $\beta=\mathrm{arccot} {x}$ , ovvero ${x}=\cot \beta$ . Dalle formule degli angoli associati per la tangente, abbiamo che
$x = \cot \beta = \tan(\pi/2 - \beta)$

con $\pi/2 - \beta \in (-\pi/2,\pi/2)$ . Allora, per la definizione di arcotangente, si ha

$\frac{\pi}{2} - \beta = \arctan x$

$%\tan\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\cot \beta={a}=\tan{\arctan({a})}, %$

che implica la (33) per la definizione di $\beta$ .

Il prossimo risultato fornisce delle formule per trasformare una funzione trigonometrica inversa in un’altra, quando l’argomento di una delle due è un reciproco. La dimostrazione viene lasciata per esercizio.

Esercizio 52 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

(argomenti reciproci). Valgono le seguenti formule:

Per ogni ${x}$ tale che $|x|\geq 1$ , si ha
(35) $\begin{equation*} $\mathrm{arccos}$\left( \frac{1}{x} \right)=$\mathrm{arccos}$ x; \end{equation*}$
Per ogni ${x}$ tale che $|x|\geq 1$ , si ha
(36) $\begin{equation*} \arcsin\left( \frac{1}{x}\right)= \arccos x; \end{equation*}$
Si ha
(37) $\begin{equation*} \arctan\left( \frac{1}{x}\right)= \begin{cases} \mathrm{arccot} x, &\qquad \forall x >0;\\ \mathrm{arccot} x- \pi, &\qquad \forall x<0. \end{cases} \end{equation*}$

È possibile ridurre un’espressione in cui compare la somma di più funzioni inverse ad una in cui la funzione compare una volta sola. La prossima proposizione è un risultato per l’arcoseno, risultati analoghi si hanno per le altre funzioni, e sono lasciati come esercizio conclusivo.

Proposizione 53 (riduzione). Siano $x,y \in [-1,1]$

. Allora si ha:

Se $xy \leq 0 \, \vee \, x^2 + y^2 \leq 1$ :

$\arcsin x + \arcsin y = \arcsin \left( x \sqrt{1 - y^2} + y \sqrt{1 - x^2} \right).$

Se $x > 0 \, \wedge \, y > 0 \, \wedge \, x^2 + y^2 > 1$ :

$\arcsin x + \arcsin y = \pi - \arcsin \left( x \sqrt{1 - y^2} + y \sqrt{1 - x^2} \right).$

Se $x < 0 \, \wedge \, y < 0 \, \wedge \, x^2 + y^2 > 1$ :

$\arcsin x + \arcsin y = -\pi - \arcsin \left( x \sqrt{1 - y^2} + y \sqrt{1 - x^2} \right).$

Se $x y \ge 0 \; \vee \; x^{2} + y^{2} \leq 1$ :

$\arcsin x - \arcsin y = \arcsin \left( x \sqrt{1 - y^{2}} - y \sqrt{1 - x^{2}} \right).$

Se $x > 0 \, \wedge \, y < 0 \, \wedge \, x^{2} + y^{2} > 1$ :

$\arcsin x - \arcsin y = \pi - \arcsin \left( x \sqrt{1 - y^{2}} - y \sqrt{1 - x^{2}} \right).$

Se $x < 0 \, \wedge \, y > 0 \, \wedge \, x^{2} + y^{2} > 1$ :

$\arcsin x - \arcsin y = -\pi - \arcsin \left( x \sqrt{1 - y^{2}} - y \sqrt{1 - x^{2}} \right).$

Dimostrazione. Dati $x,y \in [-1,1]$ , esistono unici $\alpha,\beta \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ tali che

$x=\sin\alpha \quad \text{e} \quad y=\sin \beta.$

Allora, si ha

$\begin{aligned} \arcsin \left(x \sqrt{1-y^{2}}\pm y \sqrt{1-x^{2}}\right) &=\arcsin (\sin \alpha \cos \beta\pm \sin \beta \cos \alpha)=\\ &=\arcsin (\sin (\alpha\pm \beta)) =\\ &=\left\{\begin{array}{ll} \alpha\pm \beta & \text { se } \alpha\pm \beta \in\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] \\ \\ \pi-(\alpha\pm \beta) & \text { se } \alpha\pm \beta \in\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right] \\ \\ -\pi-(\alpha\pm \beta) & \text { se } \alpha\pm \beta \in\left[-\pi,-\dfrac{\pi}{2}\right) . \end{array}\right. \end{aligned}$

Sostituendo $\alpha\pm\beta$ con $\arcsin x\pm\arcsin y$ , si ottiene

Se $\arcsin x \pm \arcsin y \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ :

$\arcsin x \pm \arcsin y = \arcsin \left(x \sqrt{1 - y^2} \pm y \sqrt{1 - x^2}\right).$

Se $\arcsin x \pm \arcsin y \in \left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$ :

$\arcsin x \pm \arcsin y = \pi - \arcsin \left(x \sqrt{1 - y^2} \pm y \sqrt{1 - x^2}\right).$

Se $\arcsin x \pm \arcsin y \in \left[-\pi, -\dfrac{\pi}{2}\right)$ :

$\arcsin x \pm \arcsin y = -\pi - \arcsin \left(x \sqrt{1 - y^2} \pm y \sqrt{1 - x^2}\right).$

Dimostriamo che prendendo ovunque il segno $+$ , troviamo le condizioni enunciate.
Poiché $\alpha,\beta \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ , si ha

(38) $\begin{equation*} \alpha+\beta \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \quad \Longleftrightarrow \quad \alpha \beta \leq 0 \; \vee \; \left(\alpha \beta \geq 0 \wedge|\alpha+\beta| \leq \frac{\pi}{2}\right), \end{equation*}$

in quanto se $\alpha,\beta$ sono discordi, abbiamo

$-\dfrac{\pi}{2} \leq \min\left\{ \alpha,\beta \right\} \leq \alpha+\beta \leq \max\left\{ \alpha,\beta \right\} \leq \dfrac{\pi}{2}.$

La condizione $\alpha \beta \le 0$ equivale a $xy \le 0$ , per come è stata definita la funzione $\arcsin$ , cf. teorema 46. Analizziamo il caso $\alpha \ge 0$ e $\beta\ge 0$ : poiché $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ , cf. (32), troviamo che

$x \geq 0, y \geq 0, \arcsin x+\arcsin y \leq \frac{\pi}{2} \Longleftrightarrow x\geq 0, y \geq 0, \arcsin y \leq \arccos x.$

Inoltre, se $0\leq x \leq 1$ , si ha $\arccos x=\arcsin \left(\sqrt{1-x^{2}}\right)$ , cosicché

$\begin{gathered} x \geq 0, \;y \geq 0,\; \arcsin y \leq \arccos x \quad \Longleftrightarrow \quad x \geq 0,\; y \geq 0, \;\arcsin y \leq \arcsin \sqrt{1-x^{2}} \\ \Longleftrightarrow \quad x\geq 0, y \geq 0, x^{2}+y^{2} \leq 1, \end{gathered}$

dove nell’ultimo passaggio abbiamo utilizzato la crescenza della funzione $\arcsin$ . Il caso $x\le 0,\; y\le 0$ segue da quanto appena visto, ricordando che la funzione $\arcsin$ è dispari:

$x\le 0,\; y\le 0\; \wedge \; |\arcsin x+\arcsin y |\leq \dfrac \pi2 \quad \iff \quad x\le 0,\; y\le 0\; \wedge \; \arcsin (-x)+\arcsin (-y) \leq \dfrac \pi2$

Mettendo insieme i risultati visti finora, otteniamo la condizione equivalente a (38), e otteniamo il primo caso. I rimanenti casi seguono da ragionamenti analoghi.

Esercizio 54 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Usando ragionamenti simili a quello della dimostrazione della proposizione 53, dimostrare le seguenti formule:

Per l’arcocoseno si ha
$\begin{split} &\arccos \alpha+\arccos \beta=\arccos\left[\alpha \beta-\sqrt{1-\alpha^{2}} \sqrt{1-\beta^{2}}\right]\quad \quad \alpha+\beta \geq 0\\ &\arccos\alpha-\arccos \beta=\arccos\left[\alpha \beta+\sqrt{1-\alpha^{2}} \sqrt{1-\beta^{2}}\right]\quad \quad \alpha \leq \beta \end{split}$
Per l’arcotangente si ha
$\begin{split} &\arctan \alpha+\arctan \beta=\arctan \left(\frac{\alpha+\beta}{1-\alpha\beta}\right), \qquad \alpha \beta <1\\ &\arctan \alpha-\arctan \beta=\arctan \left(\frac{\alpha-\beta}{1+\alpha\beta}\right), \qquad \alpha \beta >-1.\\ \end{split}$

Funzioni iperboliche e loro inverse

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In questa sezione introduciamo una famiglia di funzioni nota come funzioni iperboliche. In analogia con le funzioni trigonometriche, note anche come funzioni circolari, che emergono come parametrizzazione naturale della circonferenza unitaria, vedremo che le funzioni iperboliche sono strettamente collegate alle iperboli, nel senso che esse forniscono una parametrizzazione naturale di un ramo dell’iperbole equilatera di semiassi unitari, cf. proposizione 58, ovvero dell’insieme

$\left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \colon x>0, \; x^2-y^2=1\right\}.$

Definizione 55 (seno e coseno iperbolici). Definiamo

coseno iperbolico la funzione $\cosh: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(39) $\begin{equation*} \cosh x \coloneqq \dfrac{e^x+ e^{-x}}{2} \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$
seno iperbolico la funzione $\sinh: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(40) $\begin{equation*} \sinh x \coloneqq \dfrac{e^x- e^{-x}}{2} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Notiamo che esistono forme alternative per esprimere le funzioni iperboliche, ottenute raccogliendo uno dei fattori al numeratore. Ad esempio

(41) $\begin{equation*} \begin{aligned} \cosh x &= \frac{e^{2x}+1}{2e^x}=\frac{1+e^{-2x}}{2e^{-x}}, \\ \sinh x & = \frac{e^{2x}-1}{2e^x}=\frac{1-e^{-2x}}{2e^{-x}}. \end{aligned} \end{equation*}$

Una proprietà delle funzioni iperboliche, che risulta evidente dalla definizione, è la seguente.

Lemma 56. La funzione coseno iperbolico (risp. seno iperbolico) è pari (risp. dispari).

Dimostrazione. Ricordiamo che ogni funzione $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ può essere decomposta in maniera unica come somma di una funzione pari $f_p$ (detta la parte pari di $f$ ) e di una funzione dispari $f_d$ (detta la parte dispari di $f$ ), cf. [4, Lemma 2.50]. Si vede facilmente dalla definizione che la funzione coseno iperbolico (risp. seno iperbolico) è la parte pari (risp. dispari) della funzione esponenziale, cf. [5, Definizione 5.8],

$f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; f(x)=e^x.$

Dalle funzioni seno e coseno iperbolico, analogamente a quanto visto per le funzioni trigonometriche, si ricavano una serie di funzioni “derivate” da queste.

Definizione 57. Definiamo

Tangente iperbolica la funzione $\tanh:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , definita da

(42) $\begin{equation*} \tanh x \coloneqq \frac{\sinh x}{\cosh x}= \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} \qquad \forall x \in \mathbb{R}; \end{equation*}$

Cotangente iperbolica la funzione $\coth:\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}$ , definita da

(43) $\begin{equation*} \coth x \coloneqq \frac{\cosh x}{\sinh x}= \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1} \qquad \forall x \neq 0. \end{equation*}$

Secante iperbolica la funzione $\sech: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , definita da

(44) $\begin{equation*} \sech x \coloneqq \frac{1}{\cosh x}= \frac{2}{e^x+e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}+1}=\frac{2e^{-x}}{1+e^{-2x}} \qquad \forall x \in \mathbb{R}; \end{equation*}$

Cosecante iperbolica la funzione $\csch: \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}$ , definita da

(45) $\begin{equation*} \csch x \coloneqq \frac{1}{\sinh x}= \frac{2}{e^x-e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}-1}=\frac{2e^{-x}}{1-e^{-2x}} \qquad \forall x \neq 0; \end{equation*}$

Formule iperboliche.

Proposizione 58 (relazione fondamentale). Si ha

(46) $\begin{equation*} \cosh^2 x -\sinh^2 x =1, \qquad \forall\, x\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Dimostrazione. Questa prima relazione è una riformulazione equivalente del fatto, già menzionato, che le funzioni iperboliche parametrizzano il ramo di iperbole contenuto nel semipiano $\left\{ x>0 \right\}$ . Da un calcolo diretto, otteniamo

(47) $\begin{equation*} \begin{aligned} \cosh^2 x -\sinh^2 x &= \left( \dfrac{e^x+ e^{-x}}{2} \right) ^2 - \left( \dfrac{e^x- e^{-x}}{2} \right)^2=\\ &=\frac{e^{2x}+2+ e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x}-2+ e^{-2x}}{4}=1. \end{aligned} \end{equation*}$

Proposizione 59 (formule di addizione). Si ha

(Coseno iperbolico)
$\cosh(x+y)=\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y, \qquad \forall\, x,y\in \mathbb{R}.$

(Seno iperbolico)
$\sinh(x+y)=\sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y, \qquad \forall\, x,y\in \mathbb{R}.$

(Tangente iperbolica)
$\tanh(x+y)=\frac{\tanh x +\tanh y}{1+ \tanh x \tanh y}, \qquad \forall\, x,y\in \mathbb{R}.$

Dimostrazione. La dimostrazione segue da un calcolo diretto e dunque mostriamo soltanto la prima delle identità, lasciando le altre al lettore come utile esercizio. Abbiamo

$\begin{aligned} \cosh (x+y)&= \dfrac{e^{x+y}+ e^{-x-y}}{2}=\dfrac{e^{x+y}\pm e^{x-y}\pm e^{-x+y}+ e^{-x-y}}{2}=\\ &=\frac{1}{2}\left( e^{x+y}+ e^{x-y} + e^{-x+y} + e^{-x-y} - e^{x-y}-e^{-x+y} \right)=\\ &=\frac{1}{2}\left( e^{x}(e^y+ e^{-y}) + e^{-x}(e^y+ e^{-y})- (e^{x-y}+e^{-(x-y)}) \right)=\\ &=\frac{1}{2}\left( (e^{x} + e^{-x})(e^y+ e^{-y})- 2\cosh (x-y) \right) \end{aligned}$

che implica che

$\cosh(x+y)+ \cosh(x-y)=\frac{1}{2}\left( (e^{x} + e^{-x})(e^y+ e^{-y})\right)= 2\cosh x \cosh y.$

Inoltre,

$\begin{aligned} \cosh (x+y)&= \dfrac{e^{x+y}+ e^{-x-y}}{2}=\dfrac{e^{x+y}\pm e^{x-y}\pm e^{-x+y}+ e^{-x-y}}{2}=\\ &=\frac{1}{2}\left( e^{x+y}- e^{x-y} - e^{-x+y}+ e^{-x-y} +e^{x-y}+e^{-x+y} \right)=\\ &=\frac{1}{2}\left( e^{x}(e^y- e^{-y}) - e^{-x}(e^y- e^{-y})+ (e^{x-y}-e^{-(x-y)}) \right)=\\ &=\frac{1}{2}\left( (e^{x} - e^{-x})(e^y- e^{-y})+ 2\cosh (x-y) \right), \end{aligned}$

che implica che

$\cosh(x+y)- \cosh(x-y)=\frac{1}{2}\left( (e^{x} - e^{-x})(e^y- e^{-y})\right)= 2\sinh x \sinh y.$

Infine, risolvendo il sistema⁸.

$\begin{cases} \cosh(x+y)+ \cosh(x-y)=2\cosh x \cosh y \\ \cosh(x+y)- \cosh(x-y)=2\sinh x \sinh y, \end{cases}$

rispetto alle variabili $\cosh x, \cosh y$ , troviamo

$\begin{cases} \cosh(x+y)=\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y\\ \cosh(x-y)=\cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y. \end{cases}$

Corollario 60 (formule di sottrazione). Si ha

(Coseno iperbolico)
$\cosh(x-y)=\cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y, \qquad \forall\, x,y\in \mathbb{R}.$
(Seno iperbolico)
$\sinh(x-y)=\sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y, \qquad \forall\, x,y\in \mathbb{R}.$
(Tangente iperbolica)
$\tanh(x-y)=\frac{\tanh x -\tanh y}{1- \tanh x \tanh y}, \qquad \forall\, x,y\in \mathbb{R}.$

Esercizio 61 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Dimostrare le formule di duplicazione. Si ha

(Coseno iperbolico)
$\cosh(2x)=\cosh^2 x + \sinh^2 x, \qquad \forall\, x\in \mathbb{R}.$
(Seno iperbolico)
$\sinh(2x)=2\sinh x \cosh x, \qquad \forall\, x\in \mathbb{R}.$
(Tangente iperbolica)
$\tanh(2x)=\frac{2\tanh x}{1+ \tanh ^2x }, \qquad \forall\, x\in \mathbb{R}.$

Esercizio 62 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Dimostrare le formule di bisezione. Si ha

(Coseno iperbolico)
$\cosh\left( \frac{x}{2} \right)=\sqrt{\dfrac{\cosh x +1}{2}}, \qquad \forall\, x\in \mathbb{R}.$
(Seno iperbolico)
$\sinh\left( \frac{x}{2} \right)=\pm \sqrt{\dfrac{\cosh x -1}{2}},, \qquad \forall\, x\in \mathbb{R}.$
(Tangente iperbolica)
$\tanh \left( \frac{x}{2} \right)=\frac{\cosh x-1}{\sinh x }, \qquad \forall\, x\in \mathbb{R}.$

oppure,

$\tanh \left( \frac{x}{2} \right)=\frac{\sinh x}{\cosh x +1}, \qquad \forall\, x\in \mathbb{R}.$

Esercizio 63 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Dimostrare le formule di Werner iperboliche : per ogni $x,y\in \mathbb{R}$

, si ha

(48) $\begin{equation*} \begin{aligned} \sinh x\sinh y& =\frac 12 \left( \cosh(x+y)-\cosh(x-y) \right), \\ \cosh x\cosh y&=\frac 12 \left( \cosh(x+y)+\cosh(x-y) \right),\label{IW2} \\ \sinh x\cosh y&=\frac 12 \left( \sinh(x+y)+\sinh(x-y) \right).\label{IW3} \end{aligned} \end{equation*}$

Esercizio 64 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Dimostrare le formule di prostaferesi iperboliche : per ogni $x,y\in \mathbb{R}$

, si ha

(Seno iperbolico)

(49) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\sinh x+\sinh y=2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right), \\ &\sinh x-\sinh y=2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right).\label{IP2} \end{aligned} \end{equation*}$
(Coseno iperbolico)

(50) $\begin{equation*} \begin{aligned} &\cosh x+\cosh y=2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right), \\ &\cosh x-\cosh y=2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \sinh \left(\frac{x-y}{2}\right). \label{IP4} \end{aligned} \end{equation*}$

$\[\]$

Ad esempio, sommando e sottraendo le due equazioni e dividendo per 2. ↩

Le funzioni seno e coseno iperbolici.

La funzione seno iperbolico

Sia $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=\sinh x$ .

Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}$ .
(Simmetrie.) Si ha che $f$ è dispari:
$\sinh(-Z)=-\sinh(x).$

Ciò si vede da un calcolo diretto:

$\sinh(-x)= \dfrac{e^{-x}- e^{-(-x)}}{2}=-\dfrac{e^x- e^{-x}}{2}=-\sinh x.$
(Periodicità.) La funzione $f$ non è periodica.
(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P=(0,0)$ , che è anche l’intersezione con l’asse $x$ . Infatti, l’equazione

$\dfrac{e^x- e^{-x}}{2}=0 \quad \iff \quad e^x=e^{-x}\quad \iff \quad e^{2x}=1$

ha come unica soluzione $x=0$ .
(Segno.) Il segno della funzione seno iperbolico si trova risolvendo la disequazione

$\dfrac{e^x- e^{-x}}{2}\geq 0 \quad \iff \quad e^{2x}\geq 1.$

La soluzione è

$x \geq 0.$
(Immagine.) L’immagine della funzione seno iperbolico è
$\text{Im}(f)=\mathbb{R}.$

L’inclusione $``\subseteq''$ è ovvia. L’inclusione opposta è meno banale, e la dimostriamo in appendice..

In particolare, notiamo che $f$ è illimitata inferiormente e superiormente:

$\inf_{x\in \mathbb{R}} f(x)=-\infty \quad ; \quad \sup_{x\in \mathbb{R}}f(x)= +\infty.$

(Invertibilità.) La funzione seno iperbolico è invertibile e la sua inversa è detta arcoseno iperbolico e indicata con { $\mathrm{arsinh}$ }.

Possiamo infine rappresentare l’andamento del seno iperbolico su un piano cartesiano.

Figura 35: una porzione del grafico della funzione $f(x)=\sinh x$ .

La funzione coseno iperbolico

Sia $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=\cosh x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}$ .
(Simmetrie.) Si ha che $f$ è pari:
$\cosh(-x)=\cosh(x).$

Ciò si vede da un calcolo diretto:

$\cosh(-x)= \dfrac{e^{-x}+ e^{-(-x)}}{2}=\dfrac{e^x+ e^{-x}}{2}=\cosh x.$
(Periodicità.) La funzione $f$ non è periodica.
(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P=(0,1)$ , mentre non ci sono intersezioni con l’asse $x$ . Infatti, l’equazione

$\dfrac{e^x+ e^{-x}}{2}=0 \quad \iff \quad e^x=-e^{-x}\quad \iff \quad e^{2x}=-1$

non ha soluzione.
(Segno.) Il segno della funzione coseno iperbolico si trova risolvendo la disequazione

$\dfrac{e^x+ e^{-x}}{2}\geq 0 \quad \iff \quad e^{2x}\geq -1.$

La soluzione è

$x \in \mathbb{R}.$
(Immagine.) L’immagine della funzione coseno iperbolico è
$\text{Im}(f)=[1,+\infty).$

L’inclusione $``\subseteq''$ segue da un calcolo diretto:

$\begin{equation*} \begin{aligned} & \dfrac{e^x+ e^{-x}}{2}\geq 1 \quad \iff \quad e^x+ \dfrac{1}{e^x}\geq 2 \\ & e^{2x}-2e^x+ 1\geq 0 \quad \iff \quad \begin{cases} t=e^x\\ t^2-2t+1 \geq 0 \end{cases} \end{aligned} \end{equation*}$

Poiché $t^2-2t+1=(t-1)^2 \geq 0$ per ogni $t \in \mathbb{R}$ , la disequazione è soddisfatta per ogni $x \in \mathbb{R}$ . L’inclusione opposta è meno banale, e la dimostriamo in appendice.

In particolare, notiamo che $f$ è limitata inferiormente e illimitata superiormente:

$\min_{x\in \mathbb{R}} f(x)=1 \quad ; \quad \sup_{x\in \mathbb{R}}f(x)= +\infty.$

(Invertibilità.) La funzione coseno iperbolico è invertibile e la sua inversa è detta arcocoseno iperbolico e indicata con $\mathrm{arcosh}$ .

Possiamo infine rappresentare l’andamento del coseno iperbolico su un piano cartesiano.

Figura 36: una porzione del grafico della funzione $f(x)=\cosh x$ .

Lasciamo al lettore il compito di tracciare un grafico approssimativo delle funzioni iperboliche ottenute a partire dal seno e coseno iperbolici, cf. definizione 51.

Esercizio 65 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Tracciare un grafico approssimativo delle funzioni tangente, cotangente, secante e cosecante iperbolici.

Funzioni iperboliche inverse.

Abbiamo visto che le funzioni seno e coseno iperbolici risultano invertibili se ristrette a un sottoinsieme del dominio. In questa sezione studiamo i grafici delle corrispondenti funzioni inverse.

Le restrizioni delle funzioni agli intervalli appropriati verranno denotate con

$f^*=f|_{\text{Dominio di invertibilità}}.$

Abbiamo dunque:

(51) $\begin{equation*} \begin{split} &\sinh^*\equiv \sinh: \mathbb{R}\to \mathbb{R},\\ &\cosh^*: x \in [0,+\infty) \mapsto \cosh x \in [1,+\infty). \end{split} \end{equation*}$

Teorema 66 (funzioni iperboliche inverse). Le funzioni $\sinh^*, \cosh^*$

definite in (51), ottenute restringendo $\mathrm{sinh, cosh}$

agli opportuni domini, sono invertibili. Chiamiamo arcoseno iperbolico e arcocoseno iperbolico (denotate rispettivamente $\mathrm{arsinh, arcosh}$

) le funzioni inverse delle funzioni $\sinh^*, \cosh^*$

, rispettivamente. Inoltre, valgono le seguenti uguaglianze:

(52) $\begin{equation*} \text{arsinh}x = \ln(x+\sqrt{x^2+1}) \qquad \forall x \in \mathbb{R}; \end{equation*}$
(53) $\begin{equation*} \text{arcosh} x = \ln(x+\sqrt{x^2-1}) \qquad \forall x \geq 1. \end{equation*}$

Dimostrazione del teorema 66.

Osservazione 67. La nomenclatura arco+ nome della funzione è il modo standard per indicare le inverse delle funzioni iperboliche, e tale uso è legato storicamente al nome utilizzato per le funzioni trigonometriche inverse. Alcuni autori preferiscono utilizzare la nomenclatura “settore + nome della funzione ” (ad esempio, “settore coseno iperbolico”) per le suddette funzioni inverse, denotate rispettivamente con $\mathrm{settsinh,\; settcosh}$ . Seppure tale nome ricordi la loro costruzione geometrica, i.e. “settore seno iperbolico di $x$ ” è un’abbreviazione di “il settore di iperbole il cui seno iperbolico è $x$ ”, tale nomenclatura non è universalmente accettata.

Le funzioni arcoseno e arcocoseno iperbolici

Elenchiamo di seguito le proprietà delle funzioni iperboliche inverse. Tali proprietà possono essere dedotte direttamente dalle proprietà del seno e del coseno iperbolici viste finora.

La funzione arcoseno iperbolico

Sia $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=\text{arsinh} x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}$ .
(Simmetrie.) Si ha che $f$ non è nè pari nè dispari. Ciò si vede da un calcolo diretto, ricordando l’espressione (54):

$\text{arsinh}(-x)= \ln(-x+\sqrt{(-x)^2+1}) \neq \begin{cases} \ln(x+\sqrt{x^2+1}), \\ -\ln(x+\sqrt{x^2+1}). \end{cases}.$
(Periodicità.) La funzione $f$ non è periodica.
(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P=(0,0)$ , che è anche l’intersezione con l’asse $x$ .
(Segno.) Il segno della funzione arcoseno iperbolico si trova risolvendo la disequazione

$\ln(x+\sqrt{x^2+1})\geq 0 \quad \iff \quad x+\sqrt{x^2+1}\geq 1,$

dunque troviamo

$\sqrt{x^2+1} \geq 1-x \quad \iff \quad x^2+1 \geq 1+x^2-2x,$

la cui soluzione è

$x \geq 0.$
(Immagine.) L’immagine della funzione arcoseno iperbolico è

$\text{Im}(f)=\mathbb{R}.$

In particolare, notiamo che $f$ è illimitata inferiormente e superiormente:

$\inf_{x\in \mathbb{R}} f(x)=-\infty \quad ; \quad \sup_{x\in \mathbb{R}}f(x)= +\infty.$
(Invertibilità.) La funzione arcoseno iperbolico è invertibile e la sua inversa è il seno iperbolico.

Possiamo infine rappresentare l’andamento dell’arcoseno iperbolico su un piano cartesiano

Figura 37: una porzione del grafico della funzione $f(x)=\text{arsinh} x$ .

La funzione arcocoseno iperbolico

Sia $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=\mathrm{arcosh} x$ . Riassumiamo di seguito le proprietà principali della funzione $f$ .

(Dominio.) Il dominio della funzione $f$ è $[1,+\infty)$ .
(Simmetrie.) La funzione $f$ non può essere nè pari nè dispari, in quanto il suo dominio non è simmetrico rispetto lo 0.
(Periodicità.) La funzione non può essere periodica in quanto il suo dominio non è invariante per traslazioni.
(Intersezione con gli assi.) L’intersezione con l’asse $y$ è data dal punto $P=\left( 0,\frac{\pi}{2} \right)$ . L’intersezione con l’asse $x$ , è data dal punto $Q=(1,0)$ , in quanto l’equazione
$\mathrm{arcosh} x =0$

ha come unica soluzione $x=1$ .
(Segno.) Il segno della funzione arcocoseno iperbolico si trova risolvendo la disequazione

$\ln(x+\sqrt{x^2-1})\geq 0 \quad \iff \quad x+\sqrt{x^2-1}\geq 1,$

dunque troviamo

$\sqrt{x^2-1} \geq 1-x \quad \iff \quad x^2-1 \geq 1+x^2-2x,$

la cui soluzione è

$x \geq 1.$
(Immagine.) L’immagine della funzione arcocoseno iperbolico è
$\text{Im}(f)=[0,+\infty).$

In particolare, notiamo che $f$ è illimitata inferiormente e superiormente:

$\min_{x\in \mathbb{R}} f(x)=0 \quad ; \quad \sup_{x\in \mathbb{R}}f(x)= +\infty.$

(Invertibilità.) La funzione arcocoseno iperbolico è invertibile e la sua inversa è il seno iperbolico.

Possiamo infine rappresentare l’andamento dell’arcocoseno iperbolico su un piano cartesiano.

Figura 38: una porzione del grafico della funzione $f(x)=\mathrm{arcosh} x$ .

Appendice

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In questa sezione riportiamo la dimostrazione dell’esistenza delle funzioni iperboliche inverse, cf. teorema 66.

Teorema 66 (funzioni iperboliche inverse). Le funzioni $\sinh^*, \cosh^*$

definite in (51), ottenute restringendo $\mathrm{sinh, cosh}$

agli opportuni domini, sono invertibili. Chiamiamo arcoseno iperbolico e arcocoseno iperbolico (denotate rispettivamente $\mathrm{arsinh, arcosh}$

) le funzioni inverse delle funzioni $\sinh^*, \cosh^*$

, rispettivamente. Inoltre, valgono le seguenti uguaglianze:

(54) $\begin{equation*} \text{arsinh}x = \ln(x+\sqrt{x^2+1}) \qquad \forall x \in \mathbb{R}; \end{equation*}$
(55) $\begin{equation*} \text{arcosh} x = \ln(x+\sqrt{x^2-1}) \qquad \forall x \geq 1. \end{equation*}$

Dimostrazione. Dimostriamo prima l’invertibilità del seno iperbolico, ovvero mostriamo che, dato $y \in \mathbb{R}$ , esiste un unico $x \in \mathbb{R}$ tale che

$\sinh x =y.$

Ricordando la forma (41), otteniamo l’equazione

$\frac{e^{2x}-1}{2e^x}=y \quad \iff \quad e^{2x}-2ye^x-1=0.$

Ponendo $t\coloneqq e^x$ , l’ultima equazione si può riscrivere come

$t^2-2yt-1=0,$

che ha soluzione per ogni $y\in \mathbb{R}$ , in quanto $\Delta = 4y^2+4>0$ . Troviamo dunque

$t_{1,2}= y \pm \sqrt{y^2+1}.$

La soluzione $t=y - \sqrt{y^2+1}$ è negativa e dunque è da escludere in quanto per definizione $t=e^x>0$ . Troviamo dunque che

$\sinh x =y \quad \iff \quad e^x=y+\sqrt{y^2+1} \quad \iff \quad x=\ln(y+\sqrt{y^2+1}).$

Mostriamo ora l’invertibilità del coseno iperbolico, ovvero mostriamo che, dato $y \geq 1$ , esiste un unico $x \geq 0$ tale che

$\cosh x =y.$

Ricordando la forma (41), otteniamo l’equazione

$\frac{e^{2x}+1}{2e^x}=y \quad \iff \quad e^{2x}-2ye^x+1=0.$

Ponendo $t\coloneqq e^x$ , l’ultima equazione si può riscrivere come

$t^2-2yt+1=0,$

che ha soluzione per ogni $y\geq 1$ , in quanto $\Delta = 4y^2-4 \geq 0$ . Troviamo dunque

$t_{1,2}= y \pm \sqrt{y^2-1}.$

Le soluzioni sono distinte per $y \neq 1$ . In questo caso, osserviamo che la soluzione $t=y - \sqrt{y^2-1}$ è da escludere in quanto

(56) $\begin{equation*} y - \sqrt{y^2-1} <1 \end{equation*}$

e per definizione $t=e^x \geq 1$ per ogni $x\geq 0$ . La (56) può essere dimostrata con un calcolo diretto:

$y < \sqrt{y^2-1} +1 \quad \iff \quad y^2 < y^2-1 +1 +2\sqrt{y^2-1} \quad \iff \quad \sqrt{y^2-1} >0 \quad \iff \quad |y| >1.$

Troviamo dunque che

$\cosh x =y \quad \iff \quad e^x=y+\sqrt{y^2-1} \quad \iff \quad x=\ln(y+\sqrt{y^2-1}).$

Riferimenti bibliografici

[1] Apostol, T. M.; Calculus, Volume I: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra, John Wiley & Sons 1967.

[2] Dedekind R., Essays on the Theory of Numbers: I. Continuity and Irrational Numbers, II. The Nature and Meaning of Numbers (translated by W.W. Beman), Chicago, Open Court Publishing , 1901.

[3] Giusti, E.; Analisi matematica 1, I Programma di matematica fisica elettronica, Bollati Boringhieri 1992.

[4] Qui Si Risolve Teoria delle funzioni

[5] Qui Si Risolve Funzioni elementari – Volume 1

[6] Rudin, W.; Principles of mathematical analysis, International series in pure and applied mathematics, McGraw-Hill 1976.

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Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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