Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche

Funzioni elementari, Teoria sulle funzioni

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Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche

Questo articolo offre un’immersione nel mondo delle funzioni reali elementari, essenziali nei programmi della scuola secondaria e in preparazione ai corsi universitari di Analisi Matematica. La dispensa si propone di studiare le seguenti funzioni:

Funzioni costanti, lineari, affini, quadratiche e polinomiali;
Radicali e funzioni irrazionali;
Potenza con esponente intero e razionale;
Funzioni razionali;
Valore assoluto, parte intera e frazionaria;
Potenza a esponente reale e funzioni esponenziali;
Funzioni logaritmiche.

Il testo spiega questi argomenti in maniera chiara e accessibile tramite esempi pratici e grafici esplicativi. Un must per chi desidera un manuale completo e facilmente consultabile sulla teoria e la pratica delle funzioni elementari, completato dal volume successivo Funzioni elementari: trigonometriche e iperboliche.

Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Jacopo Garofali

Revisori: Valerio Brunetti, Sara Sottile, Matteo Talluri.

Sommario

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Questa dispensa è una gentile introduzione alla teoria delle funzioni reali di variabile reale.

In Teoria delle funzioni abbiamo definito in maniera ampia il concetto di funzione, e ne abbiamo studiato le proprietà generali.

Queste note sono dedicate allo studio delle principali funzioni trattate nei corsi universitari di analisi matematica, note come funzioni elementari. Il lettore avrà modo di familiarizzare con la teoria attraverso numerosi esempi, grafici ed esercizi guidati.

Una volta definite le funzioni elementari, ne studiamo le proprietà principali, preparando il lettore verso uno studio autonomo delle funzioni.

Prerequisiti

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Questo testo è pensato per un ampio pubblico e prevede i seguenti requisiti minimi: la logica elementare (implicazione, equivalenza), la definiziona di insieme, le operazioni tra insiemi (unione, intersezione, prodotto cartesiano), e infine la definizione e le proprietà degli insiemi numerici.

Per leggere con profitto questo volume, il lettore dovrebbe anche conoscere le definizioni fondamentali della teoria delle funzioni, così come le proprietà generali delle funzioni contenute in \href{https://quisirisolve.com/analisi-matematica/funzioni-analisi-matematica/teoria-sulle-funzioni/funzioni-elementari-volume-1/}{Teoria delle funzioni}: definizione di funzione, immagine, controimmagine, iniettività, suriettività, biettività, limitatezza, massimi, minimi, monotonia, periodicità. Invitiamo il lettore a consultare tale volume in modo da avere una panoramica degli argomenti in esso contenuti.

Notazioni

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$\emptyset$	$\qquad$ $\qquad$ insieme vuoto.
$\mathbb{N}\coloneqq \{ 1,2, \dots \}$	$\qquad$ $\qquad$ insieme dei numeri naturali;
$\mathbb{Z}$	$\qquad$ $\qquad$ insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{N}_0=\mathbb{N}\cup \{0\}$	$\qquad$ $\qquad$ insieme dei numeri interi non negativi;
$\mathbb{Z}^*=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$	$\qquad$ $\qquad$ insieme dei numeri interi non nulli;
$\mathbb{Q}$	$\qquadd$ $\qquad$ insieme dei numeri razionali;
$\mathbb{R}$	$\qquadd$ $\qquadd$ insieme dei numeri reali;
$\mathbb{C}$	$\qquadd$ $\qquadd$ insieme dei numeri complessi;
$\mathbb{R}^+\coloneqq \{x \in \mathbb{R} : x>0\}$	$\qquadd$ $\qquadd$ insieme dei numeri reali positivi, cf. \cite[Definizione 2.62]{qsucc};
$\mathbb{R}^+_0\coloneqq \{x\in \mathbb{R} : x \ge 0\}$	$\qquadd$ $\qquadd$ insieme dei numeri reali non negativi, cf. \cite[Definizione 2.62]{qsucc};
$\mathbb{R}^-\coloneqq \{x \in \mathbb{R} : x<0\}$	$\qquadd$ $\qquadd$ insieme dei numeri reali negativi, cf. \cite[Definizione 2.62]{qsucc};
$\mathbb{R}^-_0\coloneqq \{x\in \mathbb{R} : x \le 0\}$	$\qquadd$ $\qquadd$ insieme dei numeri reali non positivi, cf. \cite[Definizione 2.62]{qsucc};
$\mathbb{R}^*\coloneqq \{x \in \mathbb{R} : x \neq 0\}$	$\qquadd$ $\qquadd$ insieme dei numeri reali non nulli;
$A \times B$	$\qquadd$ $\qquadd$ prodotto cartesiano degli insiemi $A$ e $B$ ;
$A^c\coloneqq U\setminus A$	$\qquadd$ $\qquadd$ complementare di $A$ nell’insieme ambiente $U$ ;
$\mathbb{R}^2\coloneqq \mathbb{R} \times \mathbb{R}$	$\qquadd$ $\qquadd$ piano cartesiano, i.e. prodotto cartesiano di $\R$ con sé stesso;
$\mathbb{R}[x]$	$\qquadd$ $\qquadd$ insieme dei polinomi a coefficienti reali;
$f \colon E \to F$	$\qquadd$ $\qquadd$ funzione da $E$ a $F$ , cf. \cite[Definizione 1.1]{qsucc};
$f \colon x \in E\mapsto f(x) \in F$	$\qquadd$ $\qquadd$ funzione da $E$ a $F$ , cf. \cite[Definizione 1.1]{qsucc};
${\rm Dom} f$	$\qquadd$ $\qquadd$ dominio della funzione $f$ , cf. \cite[Definizione 1.1]{qsucc};
$\Gamma_f$	$\qquadd$ $\qquadd$ grafico della funzione $f$ , cf. \cite[Definizione 1.2]{qsucc};
$f(A)$	$\qquadd$ $\qquadd$ immagine dell’insieme $A$ tramite $f$ , cf. \cite[Definizione 1.6]{qsucc};
${\rm Im} f$	$\qquadd$ $\qquadd$ immagine della funzione $f$ , cf. \cite[Definizione 1.6]{qsucc};
$f^{-1}(B)$	$\qquadd$ $\qquadd$ controimmagine dell’insieme $B$ tramite $f$ , cf. \cite[Definizione 1.11]{qsucc};
$g \circ f$	$\qquadd$ $\qquadd$ composizione delle funzioni $g$ e $f$ , cf. \cite[Definizione 2.16]{qsucc};
${\rm Id}_E$	$\qquadd$ $\qquadd$ funzione identità di $E$ , cf. \cite[Definizione 2.18]{qsucc};
$f\|_{E'}, f\|^{F'}, f\|_{E'}^{F'}$	$\qquadd$ $\qquadd$ restrizioni di $f$ , cf. \cite[Definizione 2.29]{qsucc};
$f^{-1}$	$\qquadd$ $\qquadd$ funzione inversa di $f$ , cf. \cite[Definizione 2.22]{qsucc};
$f+g, fg$	$\qquadd$ $\qquadd$ rispettivamente somma e prodotto delle funzioni $f,g$ , cf. \cite[Definizione 2.10,2.13]{qsucc};
$\max E, \min E$	$\qquadd$ $\qquadd$ rispettivamente massimo e minimo dell’insieme $E$ , cf. \cite[Definizione 2.69]{qsucc};
$\sup E, \inf E$	$\qquadd$ $\qquadd$ rispettivamente estremo superiore ed estremo inferiore dell’insieme $E$ , cf. \cite[Definizione 2.76]{qsucc};
$\max f, \min f$	$\qquadd$ $\qquadd$ rispettivamente massimo e minimo della funzione $f$ , cf. \cite[Definizione 2.82]{qsucc};
$\sup f, \inf f$	$\qquadd$ $\qquadd$ rispettivamente estremo superiore ed estremo inferiore della funzione $f$ , cf. \cite[Definizione 2.82]{qsucc};
$\overset{\rightarrow}{AB}$	$\qquadd$ $\qquadd$ vettore di estremo iniziale $A$ ed estremo finale $B$ ;
$AB$	$\qquadd$ $\qquadd$ segmento di estremi $A$ e $B$ ;
$\overline{AB}$	$\qquadd$ $\qquadd$ misura del segmento di estremi $A$ e $B$ ;
$\angle ABC$	$\qquadd$ $\qquadd$ angolo di vertice $B$ , ottenuto facendo ruotare $\overset{\rightarrow}{BA}$ in senso antiorario verso $\overset{\rightarrow}{BC}$ ;
$\triangle ABC$	$\qquadd$ $\qquadd$ triangolo di vertici $A$ , $B$ , $C$ .

Introduzione

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Lo scopo di queste note è fornire gli strumenti minimi necessari alla comprensione del concetto di funzione reale di variabile reale.

In particolare, in \href{https://quisirisolve.com/analisi-matematica/funzioni-analisi-matematica/teoria-sulle-funzioni/funzioni-elementari-volume-1/}{Teoria delle funzioni}, cf. \cite{qsucc}, abbiamo presentato il concetto di funzione, le proprietà principali delle funzioni reali di variabile reale e abbiamo introdotto i primi elementi per lo studio del grafico di tali funzioni.

In questo volume, introduciamo alcune delle funzioni elementari maggiormente usate: funzioni polinomiali, razionali, radicali, valore assoluto, esponenziali e logaritmi. Di esse trattiamo le principali proprietà e mostriamo alcuni esempi di utilizzo, oltre a presentare dei problemi che coinvolgono equazioni e disequazioni relative. Per esplicitare le proprietà di una funzione, in accordo con la scaletta riportata in \cite[Sezione 3.5]{qsucc}, abbiamo esplicitato, nell’ordine: Dominio, Simmetrie, Periodicità, Intersezione con gli assi, Segno, Intervalli di monotonia, Immagine, Invertibilità.

Concludiamo questa introduzione con un breve sommario della dispensa:

Nella sezione Primi esempi introduciamo la funzione caratteristica di un insieme e in generale le funzioni definite a tratti, facendo alcuni esempi tra cui la funzione parte intera e parte frazionaria. Presentiamo inoltre il concetto di valore assoluto di un numero e di una funzione, attraverso numerosi esempi. Infine, definiamo la funzione distanza su $\R$ .

Nella sezione Funzioni monomiali e funzioni irrazionali presentiamo due classi di funzioni molto importanti: le funzioni monomiali, ovvero potenze di esponente naturale, e le funzioni radicali, loro inverse. Studiamo le proprietà di queste funzioni, anche attraverso esempi e grafici.

Nella sezione Funzioni polinomiali studiamo i polinomi e le funzioni polinomiali, indagando nello specifico i polinomi di grado 0, 1, 2.

Nella sezione Funzioni razionali studiamo le frazioni tra polinomi e le funzioni razionali, indagando nello specifico le funzioni omografiche, ovvero le funzioni razionali di grado 1.

Nella sezione Funzioni esponenziali e logaritmi introduciamo formalmente le funzioni esponenziale e logaritmo. In Esponenziali definiamo l’esponenziale di un numero reale, e studiamo le proprietà delle funzioni esponenziali. Infine, in Logaritmi, definiamo il logaritmo di un numero positivo e studiamo le proprietà delle funzioni logaritmiche.

Primi esempi

Funzioni definite per casi.

Cominciamo con l’introdurre le cosiddette funzioni definite per casi, ossia funzioni in cui l’espressione che le definisce cambia in base al valore assunto dalla variabile indipendente. Facciamo subito un esempio, prima di analizzare alcune delle funzioni definite per casi maggiormente utilizzate.

Sia $f \colon \R \to \R$ la funzione definita da

(1) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 2, & \text{se } x <1;\\ -1, & \text{se } x =1;\\[4pt] \dfrac{1}{2}, & \text{se } x >1. \end{cases} \end{equation*}$

Ad esempio, quindi, $f$ soddisfa $f(-5)=2$ e $f(2)=\frac{1}{2}$ . Il grafico di $f$ è rappresentato in Figura ??.

$\[\]$

Figura 1: Grafico della funzione $f$ definita da (1)

$\[\]$

Funzione indicatrice.

Alcune tra le funzioni definite per casi di maggiore importanza sono le cosiddette funzioni indicatrici o caratteristiche di sottoinsiemi $A$ di $\R$ . Tali funzioni assumono valori in un insieme di due elementi\footnote{In generale, si noti che una qualunque funzione che ha per immagine un insieme di due elementi può essere vista come una funzione caratteristica, basta fissare una volta per tutte una corrispondenza biunivoca tra l’insieme di due elementi e $\left\{ 0,1 \right\}$ .}, i.e. $\left\{ 0,1 \right\}$ , e il nome è dovuto al fatto che il valore assunto dalla funzione in un punto $x$ indica se $x$ appartiene o meno all’insieme $A$ .

Definizione 2. (Funzione indicatrice) Se $A \subseteq \mathbb{R}$ , allora la {\bf funzione indicatrice} o funzione caratteristica dell’insieme $A$ è la funzione $\ind{A} \colon \R \to \R$ definita da:

$\ind{A}(x)=\begin{cases} 1, &\text{se } x\in A;\\ 0, &\text{se } x\notin A. \end{cases}$

In altre parole, la funzione indicatrice $\ind{A}$ di un insieme $A$ vale $1$ in $A$ e $0$ fuori da $A$ .

Sottolineiamo che l’utilizzo del termine funzione indicatrice di un insieme $A$ (denotata, come abbiamo fatto, con $\mathbbm{1}_A$ ), oppure del termine funzione caratteristica di $A$ (denotata spesso con $\chi_A$ ) dipende dal contento in cui viene utilizzata. Facciamo qualche esempio.

Esempio 3. Sia $A=[-1,2)$ . Allora la funzione $\ind{[-1,2)} \colon \R \to \R$ è definita da

(2) $\begin{equation*} \ind{[-1,2)}(x) = \begin{cases} 1, &\text{se } x\in [-1,2);\\ 0, &\text{se } x\notin [-1,2). \end{cases} \end{equation*}$

Il suo grafico è rappresentato in Figura ??.

$\[\]$

Figura 2: Grafico della funzione $\ind{[-1,2)}$ definita da (2).

$\[\]$

Osservazione 4. Le funzioni indicatrici costituiscono in un certo modo una base per tutte le funzioni definite per casi, nel senso che ogni funzione definita per casi può essere scritta come somma di funzioni moltiplicate per funzioni indicatrici, ovvero

$f(x)=\sum_{i=1}^n \alpha_i (x)\mathbbm{1}_{A_i}(x)\qquad \forall x \in {\rm Dom}(f),$

per qualche $n\geq 1$ . Ad esempio, il lettore può verificare per esercizio che la funzione $f\colon \R \to \R$ definita (1) si può scrivere come

(3) $\begin{equation*} f = 2 \cdot \ind{(-\infty,1)} - \ind{\{1\}} + \frac{1}{2} \ind{(1,+\infty)}. \end{equation*}$

$\[\]$

Lemma 5. Si ha

$\mathbbm{1}_{\emptyset}(x)= 0, \quad \mathbbm{1}_{\R}(x)= 1 \qquad \forall \, x\in \R$ ;

Dati $A, B \subseteq \R$ , si ha $A \subseteq B$ se e soltanto se
$\mathbbm{1}_{A}(x) \leq \mathbbm{1}_{B}(x) \qquad \forall x \in \R;$

$\mathbbm{1}_{A \cup B}=\mathbbm{1}_{A} + \mathbbm{1}_{B} - \mathbbm{1}_{A \cap B}, \qquad \forall\, A,B \subseteq \R$ ;

$\mathbbm{1}_{A}(x)=1-\mathbbm{1}_{A^c}(x), \qquad \forall\, A \subseteq \R, \; x \in \R$ ;

$\mathbbm{1}_{A \cap B}=\mathbbm{1}_{A} \cdot \mathbbm{1}_{B}, \qquad \forall\, A, B \subseteq \R$ .

Dimostrazione.

Segue immediatamente dalla definizione;

Siano $A, B \subseteq \R$ . Siccome la funzione indicatrice assume solo valori nell’insieme $\left\{ 0,1 \right\}$ , è chiaro che
$\begin{gathered} \mathbbm{1}_{A} \leq \mathbbm{1}_{B} \quad \iff \quad \left( \forall\, x \in \R \quad \mathbbm{1}_{A}(x)=1 \implies \mathbbm{1}_{B}(x)=1\right) \quad \iff\\ \iff \quad \left( \forall\, x \in \R \quad x \in A \implies x \in B\right) \quad \iff A \subseteq B. \end{gathered}$

Sia . Abbiamo tre possibilità
- $x \notin A \cup B$ . In questo caso $\mathbbm{1}_{A \cup B}(x)=0$ , ma anche $\mathbbm{1}_{A }(x)=\mathbbm{1}_{B}(x)= \mathbbm{1}_{A\cap B}(x)= 0$ . La tesi segue da un calcolo diretto;
- $x \in A \setminus B$ . In questo caso $\mathbbm{1}_{A \cup B}(x)=\mathbbm{1}_{A }(x)=1$ , ma $\mathbbm{1}_{B}(x)=\mathbbm{1}_{A\cap B}(x)= 0$ . La tesi segue da un calcolo diretto;
- $x \in B \setminus A$ . Questo caso è analogo al precedente, e si ottiene da questo scambiando i ruoli di $A$ e $B$ .

Segue dal punto 3. e dal punto 1.

Segue immediatamente dalla definizione, osservando che, per ogni $x \in \R$ , si ha
$\mathbbm{1}_{A}(x) \cdot \mathbbm{1}_{B}(x) =1 \quad \iff \quad \mathbbm{1}_{A}(x)= \mathbbm{1}_{B}(x)=1 \quad \iff \quad x \in A \cap B.$

$\[\]$

In Figura ?? riportiamo un esempio famoso di una funzione indicatrice, ovvero $\mathbbm{1}_A(x)$ con $A=\R^+$ , detta funzione gradino di Heaviside, e denotata spesso con $H$ .

$\[\]$

Figura 3: Grafico della funzione $\mathbbm{1}_A$ , dove $A=\R^+$ , detta funzione gradino di Heaviside.

$\[\]$

Funzione segno.

Con il termine funzione segno indichiamo la funzione che, come suggerisce il nome, restituisce il segno del numero reale che ha per argomento.

Definizione 6. (Funzione segno) Si definisce funzione segno la funzione $\sgn \colon \R \to \R$ definita da

(4) $\begin{equation*} \sgn x= \begin{cases} -1, &\text{se } x<0;\\ 0, &\text{se } x=0;\\ 1, &\text{se } x>0. \end{cases} \end{equation*}$

Il grafico della funzione $\sgn$ è rappresentato in Figura ??.

$\[\]$

Figura 4: Grafico della funzione $\sgn$ .

$\[\]$

In virtù dell’Osservazione ??, si può scrivere la funzione $\sgn$ come combinazione di funzioni pesate con funzioni caratteristiche; infatti si ha

(5) $\begin{equation*} \sgn = \ind{[0,+\infty)}- \ind{(-\infty,0]}. \end{equation*}$

Osservazione 7. Notiamo che il segno del numero reale $0$ non è ben definito. Per questo motivo, alcuni autori preferiscono definire la funzione segno su $\R \setminus \{0\}$ invece che su $\R$ , mentre altri utilizzano la convenzione che $\sgn (0)=1$ . Noi abbiamo scelto di utilizzare la convenzione $\sgn(0)=0$ per ragioni di simmetria e semplicità.

$\[\]$

La funzione segno può essere utilizzata nei calcoli per ottenere un’espressione che cambia segno in base al valore di un parametro; ad esempio si ha

(6) $\begin{equation*} f(x)=x^2 \sgn(x) = \begin{cases} x^2, & \text{se } x \geq 0;\\ -x^2, & \text{se } x < 0. \end{cases} \end{equation*}$

Dalla regola dei segni, segue immediatamente il prossimo risultato.

Lemma 8. Siano $f,g: A \subseteq \R \to \R$ due funzioni. Allora, vale che

(7) $\begin{equation*} \sgn(f\cdot g)= \sgn(f)\cdot \sgn(g). \end{equation*}$

Infine, segue dal lemma precedente che la funzione segno è idempotente, ovvero

(8) $\begin{equation*} \sgn(\sgn x)=\sgn x \qquad \forall x \in \R. \end{equation*}$

Proprietà della funzione segno.

Enunciamo ora delle semplici proprietà della funzione definita da (4) e del suo grafico, cf. Figura ??.

(Dominio.) Il dominio della funzione segno è $\R$ , cf. Definizione ??.

(Simmetrie.) La funzione segno è una funzione dispari: segue dal Lemma ?? che
(9) $\begin{equation*} \sgn(-x) = -\sgn(x) \qquad \forall x \in \R. \end{equation*}$

In particolare, il grafico della funzione segno è simmetrico rispetto all’origine.

(Periodicità.) La funzione segno non è periodica.

(Intersezione con gli assi.) La funzione segno ha un’unica intersezione con l’asse $x$ nel punto $P=(0,0)$ . Tale punto rappresenta anche l’intersezione con l’asse $y$ .

(Segno.) La funzione segno, come suggerisce la parola stessa, ha lo stesso segno del suo argomento
$\sgn(x)\geq 0 \quad \iff \quad x \geq 0.$

(Intervalli di monotonia.) La funzione segno è una funzione monotona non decrescente in tutto il suo dominio.

(Immagine.) L’immagine della funzione segno è pari all’insieme $\{-1,0,1\}$ . In particolare, segue che la funzione segno è limitata superiormente e inferiormente e si ha
$\inf_{x\in \mathbb{R}} \sgn x= \min_{x \in \R} \sgn(x)=-1, \qquad \sup_{x\in \mathbb{R}}\sgn x = \max_{x \in \R}\sgn(x)=1.$

(Invertibilità.) La funzione segno non è invertibile, in quanto non iniettiva. Infatti, ad esempio, $\sgn(1)=\sgn(2)$ .

Funzione valore assoluto.

Funzione parte intera e frazionaria.

Funzioni monomiali e funzioni irrazionali

Introduzione.

Monomi.

Radicali.

Funzioni polinomiali

Introduzione.

Polinomi.

Grado 0: funzioni costanti.

Grado 1: funzioni affini.

Grado 2: funzioni quadratiche.

Funzioni razionali

Introduzione.

Funzioni algebriche razionali.

Funzione potenza con esponente intero negativo.

Funzioni razionali di grado 1: Funzioni omografiche.

Funzioni esponenziali e funzioni logaritmiche

Esponenziali.

Logaritmi.

Appendice

Funzioni monomiali e funzioni irrazionali.

Riferimenti bibliografici

[1] T. M. Apostol, Volume I: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra, John Wiley & Sons, 1967.

[2] R. Dedekind, Essays on the Theory of Numbers: I. Continuity and Irrational Numbers, II. The Nature and Meaning of Numbers (translated by W.W. Beman), Open Court Publishing, 1901.

[3] E. Giusti, Analisi matematica 1, I Programma di matematica fisica elettronica, Bollati Boringhieri, 1992.

[4] Qui Si Risolve, Teoria delle funzioni.

[5] Qui Si Risolve, Disuguaglianza di Bernoulli.

[6] W. Rudin, Principles of mathematical analysis, International series in pure and applied mathematics, McGraw-Hill, 1976.

[7] E. Senesi, Geometria 1, Programma di Matematica, Fisica, Elettronica, Bollati Boringhieri, 1989.

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
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Nota a piè di pagina

Document

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