Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Numeri reali: costruzione e applicazioni

Insiemi numerici N, Z, Q, R

Home » Numeri reali: costruzione e applicazioni

I numeri reali si trovano in ogni campo della Matematica. Già i pitagorici erano a conoscenza del fatto che i razionali non sono sufficienti a misurare tutte le distanze in geometria e ciò ha portato all’introduzione dei numeri irrazionali e reali.

Cosa sono i numeri reali?

In questo articolo presentiamo la costruzione dei numeri reali: in breve, un numero reale può essere pensato come l’insieme dei numeri razionali (si veda ad esempio insiemi numerici \left(\mathbb{N},\, \mathbb{Z},\, \mathbb{Q}\right)) che lo precedono (o lo seguono). Tale idea, sviluppata dal matematico Richard Dedekind, viene appunto detta sezione di Dedekind.
Da questa costruzione discendono le caratteristiche fondamentali dei numeri reali: esploreremo la proprietà dell’estremo superiore e altre importanti nozioni di topologia.

La struttura del testo rende la materia accessibile e stimolante. È una lettura ideale per studenti universitari e appassionati del settore, offrendo sia solide basi teoriche che applicazioni pratiche e coniugando chiarezza espositiva e rigore accademico.

Se desideri approfondire questo affascinante argomento, ponte tra la matematica pura e le sue applicazioni nella vita reale, inizia pure la lettura!

Rimandando alla fine dell’articolo per una lista completa, consigliamo al lettore le seguenti risorse:

 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Jacopo Garofali, Martina Moro.

Revisore: Valerio Brunetti.

 

Sommario

Leggi...

Lo scopo di queste note è di introdurre il lettore al concetto di numero reale, che è alla base della matematica moderna. Nella prima sezione richiamiamo brevemente la nozione di relazione e di relazione d’ordine. Nella seconda sezione diamo la definizione assiomatica dell’insieme dei numeri reali, seguita dalla sua costruzione esplicita mediante le sezioni di Dedekind. La terza sezione è dedicata allo studio delle proprietà di \R e vediamo le prime conseguenze degli assiomi che lo definiscono. In particolare, in questa sezione introduciamo i concetti di estremo superiore e inferiore, fondamentali per proseguire lo studio delle funzioni reali di variabile reale. Infine, nell’ultima sezione viene introdotta qualche nozione di topologia, viene definito il concetto di intorno e di punto di accumulazione di un sottoinsieme di \mathbb{R}.

 

Prerequisiti

Leggi...

La nostra esposizione presuppone la conoscenza della logica elementare, del concetto di insieme e di relazione su un insieme.

 

L’insieme \mathbb{R} dei numeri reali

Introduzione.

Già all’epoca dei greci si sapeva che \mathbb{Q} non fosse sufficientemente espressivo per poter fare matematica. Per un periodo le scuole pitagoriche avevano creduto che tutto fosse commensurabile e scrivibile sotto forma di rapporto o frazione, dalla musica, all’arte alle misure della vita quotidiana. Questa convinzione fu distrutta da una semplice applicazione del teorema di pitagora. Consideriamo un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza pari ad uno. Allora la lunghezza dell’ipotenusa soddisfa

\[i^2 = c_1^2 + c_2^2 = 2.\]

La lunghezza dell’ipotenusa è un numero razionale? In altre parole, esiste un numero razionale che al quadrato è uguale a due? La risposta è negativa. Vediamo una bellissima dimostrazione per assurdo di questo fatto, attribuita a Ippaso di Metaponto, che produsse una argomentazione dell’irrazionalità della radice quadrata di 2. Tuttavia Pitagora credeva nell’assolutezza dei numeri, e non poteva accettare l’esistenza dei numeri irrazionali. Egli non era in grado di confutare la loro esistenza con la logica, ma le sue credenze non potevano tollerarne l’esistenza e, secondo una leggenda, per questo condannò Ippaso a morire annegato.

 

Proposizione 1. Non esiste q\in\mathbb{Q} tale che

\[q^2 = 2.\]

 

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esista un q\in\mathbb{Q} tale che q^2 = 2.

Sia q=\displaystyle\frac{n}{d}, allora senza perdita di generalità possiamo supporre che MCD(n,d)=1.

Quindi

\begin{equation*} \left(\frac{n}{d}\right)^2=2\qquad\Rightarrow\qquad n^2=2\cdot d^2. \end{equation*}

Da questa relazione possiamo dedurre che n^2 deve essere necessariamente un numero pari e quindi anche n deve essere un numero pari. Dunque \exists k\in\mathbb{Z} tale che n = 2k e sostituendo nella relazione ottenuta abbiamo

\begin{equation*} (2k)^2 = 2 d^2 \quad \Rightarrow \quad 4k^2 = 2d^2 \quad \Rightarrow \quad 2k^2 = d^2. \end{equation*}

Da questa ultima relazione scopriamo che d^2, e dunque d, deve essere pari. Quindi MDC(n,d)\geq 2, ma questo è assurdo perché n e d erano coprimi.

 

È chiaro che la dimostrazione precedente può essere ripetuta per ogni razionale positivo che non sia un quadrato di un altro razionale. Inoltre il discorso vale anche per potenze diverse da 2. Storicamente si conoscono altre grandezze incommensurabili legate ad altri problemi come ad esempio quello della quadratura del cerchio che consiste nel costruire con riga e compasso un quadrato di lato l equivalente ad un cerchio di cui è assegnato il raggio r.

Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi