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Il teorema di Weierstrass

Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane

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Il teorema di Weierstrass è un concetto fondamentale nell’analisi matematica, che esprime un’importante proprietà delle funzioni continue di una variabile reale. Esso infatti garantisce l’esistenza di valori massimi e minimi per una funzione continua in un un intervallo chiuso e limitato.
Per tale motivo, questo risultato costituisce uno strumento teorico di notevole utilità, permettendo di stabilire a priori l’esistenza di tali massimi e minimi e aprendo così la strada alla loro determinazione.

L’articolo spiega in maniera chiara la sua formulazione e ne espone la dimostrazione, soffermandosi poi su esempi espliciti che illustrano situazioni in cui le ipotesi del teorema non sono verificate, proponendo quindi una trattazione completa dell’argomento.

Per tali ragioni, il materiale è consigliato a studenti dei corsi di Analisi 1 e appassionati che desiderano approfondire tutti gli aspetti legati a questo importante risultato dell’Analisi Matematica.

Consigliamo i seguenti articoli di esercizi:

Risultano invece di interesse le seguenti risorse aggiuntive di teoria, delle quali è possibile reperire una lista completa alla fine dell’articolo:

 

Autori e revisori

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Autori:Daniele Fakhoury, Luigi De Masi, Giuseppe Palaia, Silvia Lombardi.  

Revisori: Valerio Brunetti, Sara Sottile, Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.  

 

Introduzione

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Le funzioni continue possiedono numerose proprietà. Tra di esse, assume notevole rilevanza quella stabilita dal teorema di Weierstrass, che è il risultato principale di questo articolo.

 

Teorema 1 (Weierstrass). Sia A \subseteq \mathbb{R} un insieme chiuso e limitato, e sia f\colon A \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in A, ovvero esistono x_m, \, x_M \in A tali che

\[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in A. \]

In particolare la conclusione è vera se A=[a,b], ossia se A è un intervallo chiuso è limitato.

 

Osserviamo che \inf_A f e \sup_A f esistono sempre in quanto estremo inferiore e superiore dell’insieme f(A)=\operatorname{Im}f, si veda [1, Funzioni elementari — Volume 1, sezione 2.8.3]. Per una funzione generica, però, \inf_A f e \sup_A f non appartengono all’immagine di f, cioè non costituiscono rispettivamente minimo e massimo di f. In particolare, \inf_A f e \sup_A f possono anche essere infiniti.

Il teorema 1 afferma quindi che, sotto le ipotesi che A sia chiuso e limitato e f sia continua, invece \min_A f e \max_A f esistono e sono finiti. In altre parole, f assume i valori estremi \inf_A f e \sup_A f nei punti rispettivamente pari a x_m e x_M, si veda anche la figura 1. Questa conclusione è falsa anche rimuovendo soltanto una delle ipotesi suddette, come mostreremo con opportuni esempi.

   

il teorema di Weierstrass

 

Figura 1: illustrazione del teorema di Weierstrass; la funzione f \colon [a,b] \to \mathbb{R} è continua, quindi assume valori massimo e minimo, in corrispondenza rispettivamente dei punti di massimo e minimo x_M,x_m \in [a,b].

   

Il lavoro è così organizzato: nella sezione 1 presentiamo le definizioni e i risultati necessari alla trattazione che segue. Nella sezione 2 dimostriamo il teorema 1, mentre nella sezione 3 facciamo vedere, con alcuni esempi, che ciascuna delle ipotesi del teorema è necessaria affinché la tesi sia valida.

 

Risultati preliminari

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Cominciamo col richiamare la definizione di massimo e minimo assoluti per una funzione e di punti di massimo e minimo.  

Definizione 2 (massimi e minimi assoluti). Sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione. Un punto x_M è detto punto di massimo assoluto per f se

(1) \begin{equation*} f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in A. \end{equation*}

Il valore f(x_M) è detto massimo assoluto di f ed è indicato col simbolo \max_A f.

Analogamente si definisce un punto di minimo x_m e il valore minimo f(x_m)=\min_A f di f.

 

Osserviamo che, mentre il valore \max_A f è unico, possono esistere molti (anche infiniti) punti di massimo assoluto.

Presentiamo inoltre un risultato riguardante le successioni che utilizzeremo nella dimostrazione del teorema 1: il teorema di Bolzano-Weierstrass. Esso afferma che una successione \{x_n\}_n a valori in un insieme chiuso e limitato (come il dominio A di f nelle ipotesi del teorema di Weierstrass) possiede una sottosuccessione convergente. Rimandiamo a [3, teorema di Bolzano-Weierstrass] per una dimostrazione.

 

Teorema 3 (Bolzano-Weierstrass). Sia A \subseteq \mathbb{R} un insieme chiuso e limitato, e sia \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} una successione a valori in A. Allora esiste una sua sottosuccessione convergente a un elemento di A.

 

Riportiamo la caratterizzazione della continuità per successioni stabilita in [2, Funzioni continue, teorema 3.3], che utilizziamo nella dimostrazione del teorema 1.

 

Teorema 4 (caratterizzazione della continuità per successioni). Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia f \colon A \to \mathbb{R} e sia x_0 \in A. Allora le due affermazioni seguenti sono equivalenti:  

  1. f è continua in x_0;
  2. per ogni successione \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} a valori in A tale che x_n \to x_0, si ha

    (2) \begin{equation*} \displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=f(x_0). \end{equation*}

 

 

Dimostrazione del teorema di Weierstrass

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