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Il teorema di Weierstrass

Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane

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Il teorema di Weierstrass

Il teorema di Weierstrass è un concetto fondamentale nell’analisi matematica, che esprime un’importante proprietà delle funzioni continue di una variabile reale. Esso infatti garantisce l’esistenza di valori massimi e minimi per una funzione continua in un un intervallo chiuso e limitato.
Per tale motivo, questo risultato costituisce uno strumento teorico di notevole utilità, permettendo di stabilire a priori l’esistenza di tali massimi e minimi e aprendo così la strada alla loro determinazione.

L’articolo spiega in maniera chiara la sua formulazione e ne espone la dimostrazione, soffermandosi poi su esempi espliciti che illustrano situazioni in cui le ipotesi del teorema non sono verificate, proponendo quindi una trattazione completa dell’argomento.

Per tali ragioni, il materiale è consigliato a studenti dei corsi di Analisi 1 e appassionati che desiderano approfondire tutti gli aspetti legati a questo importante risultato dell’Analisi Matematica.

Consigliamo i seguenti articoli di esercizi:

Risultano invece di interesse le seguenti risorse aggiuntive di teoria, delle quali è possibile reperire una lista completa alla fine dell’articolo:

 

Autori e revisori

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Autori:Daniele Fakhoury, Luigi De Masi, Giuseppe Palaia, Silvia Lombardi.  

Revisori: Valerio Brunetti, Sara Sottile, Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.  

 

Introduzione

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Le funzioni continue possiedono numerose proprietà. Tra di esse, assume notevole rilevanza quella stabilita dal teorema di Weierstrass, che è il risultato principale di questo articolo.

 

Teorema 1 (Weierstrass). Sia A \subseteq \mathbb{R} un insieme chiuso e limitato, e sia f\colon A \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in A, ovvero esistono x_m, \, x_M \in A tali che

    \[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in A. \]

In particolare la conclusione è vera se A=[a,b], ossia se A è un intervallo chiuso è limitato.

 

Osserviamo che \inf_A f e \sup_A f esistono sempre in quanto estremo inferiore e superiore dell’insieme f(A)=\operatorname{Im}f, si veda [1, Funzioni elementari — Volume 1, sezione 2.8.3]. Per una funzione generica, però, \inf_A f e \sup_A f non appartengono all’immagine di f, cioè non costituiscono rispettivamente minimo e massimo di f. In particolare, \inf_A f e \sup_A f possono anche essere infiniti.

Il teorema 1 afferma quindi che, sotto le ipotesi che A sia chiuso e limitato e f sia continua, invece \min_A f e \max_A f esistono e sono finiti. In altre parole, f assume i valori estremi \inf_A f e \sup_A f nei punti rispettivamente pari a x_m e x_M, si veda anche la figura 1. Questa conclusione è falsa anche rimuovendo soltanto una delle ipotesi suddette, come mostreremo con opportuni esempi.

   

il teorema di Weierstrass

 

Figura 1: illustrazione del teorema di Weierstrass; la funzione f \colon [a,b] \to \mathbb{R} è continua, quindi assume valori massimo e minimo, in corrispondenza rispettivamente dei punti di massimo e minimo x_M,x_m \in [a,b].

   

Il lavoro è così organizzato: nella sezione 1 presentiamo le definizioni e i risultati necessari alla trattazione che segue. Nella sezione 2 dimostriamo il teorema 1, mentre nella sezione 3 facciamo vedere, con alcuni esempi, che ciascuna delle ipotesi del teorema è necessaria affinché la tesi sia valida.

 

Risultati preliminari

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Cominciamo col richiamare la definizione di massimo e minimo assoluti per una funzione e di punti di massimo e minimo.  

Definizione 2 (massimi e minimi assoluti). Sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione. Un punto x_M è detto punto di massimo assoluto per f se

(1)   \begin{equation*} f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in A. \end{equation*}

Il valore f(x_M) è detto massimo assoluto di f ed è indicato col simbolo \max_A f.

Analogamente si definisce un punto di minimo x_m e il valore minimo f(x_m)=\min_A f di f.

 

Osserviamo che, mentre il valore \max_A f è unico, possono esistere molti (anche infiniti) punti di massimo assoluto.

Presentiamo inoltre un risultato riguardante le successioni che utilizzeremo nella dimostrazione del teorema 1: il teorema di Bolzano-Weierstrass. Esso afferma che una successione \{x_n\}_n a valori in un insieme chiuso e limitato (come il dominio A di f nelle ipotesi del teorema di Weierstrass) possiede una sottosuccessione convergente. Rimandiamo a [3, teorema di Bolzano-Weierstrass] per una dimostrazione.

 

Teorema 3 (Bolzano-Weierstrass). Sia A \subseteq \mathbb{R} un insieme chiuso e limitato, e sia \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} una successione a valori in A. Allora esiste una sua sottosuccessione convergente a un elemento di A.

 

Riportiamo la caratterizzazione della continuità per successioni stabilita in [2, Funzioni continue, teorema 3.3], che utilizziamo nella dimostrazione del teorema 1.

 

Teorema 4 (caratterizzazione della continuità per successioni). Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia f \colon A \to \mathbb{R} e sia x_0 \in A. Allora le due affermazioni seguenti sono equivalenti:  

  1. f è continua in x_0;
  2. per ogni successione \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} a valori in A tale che x_n \to x_0, si ha

    (2)   \begin{equation*} \displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=f(x_0). \end{equation*}

 

 

Dimostrazione del teorema di Weierstrass

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In questa sezione dimostriamo il teorema 1.

 

Dimostrazione. Sia m = \inf_{A} f; per definizione di estremo inferiore, esiste una successione y_n \in \operatorname{Im} f tale che y_n \to m. Poiché y_n \in f(A), esiste una successione x_n \in A tale che

(3)   \begin{equation*} f(x_n) = y_n \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}

Poiché A è chiuso e limitato, per il teorema 3, esiste una sottosuccessione x_{n_k} convergente in A, cioè esiste x_m \in A tale che

(4)   \begin{equation*} \lim_{k \to \infty} x_{n_k}=x_m. \end{equation*}

Si ha

(5)   \begin{equation*} f(x_m) = \lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = \lim_{k \to \infty} y_{n_k} = m, \end{equation*}

dove la prima uguaglianza segue dalla continuità di f in x_m e dal teorema 4, mentre la terza uguaglianza segue dal fatto che y_n \to m e y_{n_k} è una sottosuccessione di y_n. L’equazione (5) mostra che m \in f(A) (in particolare m > - \infty) e quindi m=\min_A f.

Analogamente si mostra che f ha massimo in A.

 

Necessità delle ipotesi del teorema di Weierstrass

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La conclusione del teorema 1 non è valida rimuovendo anche una sola delle ipotesi. Andiamo infatti ad analizzare alcuni controesempi che lo dimostrano.

Chiusura del dominio

L’ipotesi di chiusura del dominio è essenziale, come mostrato dall’esempio 5. Inoltre, l’esempio 6 prova che anche assumendo per ipotesi la limitatezza della funzione, essa può non assumere minimo e/o massimo.

 

Esempio 5 (dominio non chiuso). Sia f \colon (0,1] \to \mathbb{R} la funzione definita da

(6)   \begin{equation*} f(x)=\dfrac{1}{x} \qquad \forall x \in (0,1], \end{equation*}

rappresentata in figura 2, è continua e ammette valore minimo pari a 1, ma non ammette massimo.

   

 

Figura 2: la funzione f dell’esempio 5; si vede che \min f=1 (assunto in corrispondenza di x=1), ma che f è illimitata superiormente, per cui non ammette massimo.

   

Infatti, è chiaro che f è decrescente, quindi

(7)   \begin{equation*} f(x) \geq f(1) \qquad \forall x \in (0,1], \end{equation*}

da cui segue, per la definizione 2, che x=1 è un punto di minimo per f e che 1= \min_{(0,1]} f. D’altra parte, sempre per la monotonia di f si ha che

(8)   \begin{equation*} \sup_{(0,1]} f = \lim_{x \to 0^+}f(x) = +\infty, \end{equation*}

quindi f non ammette valore massimo.

 

Esempio 6 (dominio non chiuso e funzione limitata). La funzione f \colon (1,2] \to \mathbb{R} definita da f(x)=x per ogni x \in (1,2] è continua, limitata, ma non ammette minimo. Infatti

(9)   \begin{equation*} \max_{(1,2]} f = 2, \qquad \inf_{(1,2]} f = 1, \end{equation*}

ma il valore 1 non è assunto da f, come mostrato in figura 3.

   

 

Figura 3: la funzione f dell’esempio 6; si vede che \max f=2 (assunto in corrispondenza di x=2), ma che f non ammette minimo in quanto il valore 1 non appartiene all’immagine di f.

Limitatezza del dominio.

L’esempio 7 mostra che, se il dominio della funzione è illimitato, essa può non assumere massimo oppure minimo. L’esempio 8 assicura che neppure la limitatezza della funzione basta ad ottenere l’esistenza del massimo e/o del minimo.

 

Esempio 7 (dominio illimitato). La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x)=x per ogni x \in \mathbb{R} è continua, il suo dominio è chiuso, ma non ammette né massimo né minimo in quanto

(10)   \begin{equation*} \inf_\mathbb{R}f = -\infty, \qquad \sup_\mathbb{R}f = +\infty. \end{equation*}

 

Esempio 8 (dominio illimitato e funzione limitata). La funzione f \colon [1,+\infty) \to \mathbb{R} definita da

(11)   \begin{equation*} f(x)=\frac{1}{x} \qquad \forall x \in [1,+\infty) \end{equation*}

(rappresentata in figura 4) è continua, il suo dominio è chiuso e

(12)   \begin{equation*} \max_{[1,+\infty)}f = 1, \qquad \inf_{[1,+\infty)}f = 0, \end{equation*}

ma f non ha minimo in quanto f(x)>0 per ogni x \in [1,+\infty).

 

   

 

Figura 4: la funzione f dell’esempio 8; si vede che \max f=1 (assunto in corrispondenza di x=1) e che \inf f=0, ma poiché tale valore non è assunto f non ammette minimo.

   

Continuità della funzione.

L’esempio 9 mostra che, anche se il dominio della funzione è chiuso e limitato, se questa non è continua può non assumere massimo o minimo.

 

Esempio 9 (funzione non continua). La funzione f \colon [-2,2] \to \mathbb{R} definita da

(13)   \begin{equation*} f(x)= \begin{cases} 0 & \text{se } x \in [-2,1] \cup [1,2]\\ x & \text{se } x \in (-1,1), \end{cases} \end{equation*}

il cui grafico è mostrato in figura 5, è definita su un dominio chiuso e limitato, ha delle discontinuità di salto in -1 e 1 e non ammette né massimo né minimo, infatti

(14)   \begin{equation*} \inf_{[-2,2]}f = -1, \qquad \sup_{[-2,2]}f = 1, \end{equation*}

ma tali valori non appartengono all’immagine di f.

   

 

Figura 5: la funzione f dell’esempio 9; si vede che \inf f=-1 e \sup f=1, ma tali valore non sono assunti e quindi f non ammette minimo. Si notino le discontinuità di salto di f in x=-1 e x=1.

   

 

Riferimenti bibliografici

[1] Qui Si Risolve Funzioni elementari — Volume 1.

[2] Qui Si Risolve Funzioni continue.

[3] Qui Si Risolve Teorema di Bolzano-Weierstrass per successioni.

 
 

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Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
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