Esercizi teorici su massimi e minimi di funzioni

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Esercizi teorici su massimi e minimi di funzioni

In questo articolo sono presentati alcuni esercizi teorici su massimi e minimi di funzioni, analizzando sia casi di funzioni continue, sia prescindendo da tale ipotesi, senza tuttavia richiedere l’utilizzo delle derivate.

Gli esercizi vengono svolti attraverso un’ampia varietà di tecniche classiche (teorema di Weierstrass, dei valori intermedi in primis) integrate con metodi e idee provenienti altri campi dell’Analisi Matematica. La raccolta è quindi destinata agli studenti e agli appassionati che desiderano approfondire la loro conoscenza teorica dei massimi e minimi di funzioni di variabile reale attraverso esercizi di carattere pratico. Auguriamo a tutti una buona lettura.

La parte teorica di riferimento per gli esercizi trattati è raccolta nelle dispense di teoria sulle funzioni e sulle funzioni continue.

Scarica gli esercizi teorici svolti

Ottieni il documento contenente 9 esercizi teorici svolti sui massimi e minimi di funzioni.

Autori e revisori.

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Autore: Sara Sottile, Luigi De Masi

Revisore: Valerio Brunetti.

Richiami teorici

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Definizione 1 (massimi e minimi assoluti) Sia $f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione. $M\in \mathbb{R}$ si dice massimo di $f$ in $A$ se esiste $x_0\in A$ tale che

$f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.$

In tal caso scriviamo $M = \max_A f$ e $x_0$ si dice punto di massimo per $f$ .

Analogamente, $m\in \mathbb{R}$ si dice minimo di $f$ in $A$ se esiste $x_0\in AA$ tale che

$f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.$

In tal caso scriviamo $m=\min_A f$ e $x_0$ si dice punto di minimo per $f$ .

Un punto $x_0$ può non essere di massimo o di minimo assoluto per $f$ , ma può esserlo se restringiamo $f$ a un intorno di $x_0$ . Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 (massimi e minimi locali) Sia $f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funzione. $x_0\in A$ si dice punto di massimo locale per $f$ se esiste $\delta >0$ tale che

$f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).$

Analogamente, $x_0\in A$ si dice punto di minimo locale per $f$ se esiste $\delta >0$ tale che

$f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).$

Teorema 3 (Weierstrass, [2, teorema 5.30]) Siano $a, b \in \mathbb{R}$ , con $a \leq b$ e sia $f\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione continua. Allora $f$ ammette massimo e minimo assoluti in $[a,b]$ , ovvero esistono $x_m, \, x_M \in [a,b]$ tali che

$f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] .$

Testi degli esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervallo e sia $f \colon I \to \mathbb{R}$ una funzione continua tale che

$\min_{I}f(x) = -3 \quad \text{ e } \quad \max_{I} f(x) =1.$

Cosa si può dire del minimo e del massimo della funzione $|f|$ ? Come cambia la risposta se la funzione $f$ non è continua?

Massimo e minimo della funzione valore assoluto.

Sia $|f| \colon I \to (0,+\infty)$ definita da

$|f|(x) = \begin{cases} f(x) & f(x) \ge 0,\\ - f(x) & f(x) < 0. \end{cases}$

Poiché $f$ ha un minimo negativo e un massimo positivo, allora esiste almeno un punto $\tilde{x}\in I$ tale che $f(\tilde{x})=0$ , per il teorema degli zeri [2, teorema 5.3]. Poiché la funzione $|f|$ è sempre non negativa, allora

$\min_{I}|f|(x) = 0.$

Passiamo ora ai punti di massimo. Da

(1) $\begin{equation*} -3 \leq f(x) \leq 1 \leq 3 \qquad \forall x \in [a,b], \end{equation*}$

e ricordando che $-s \leq t \leq s$ è equivalente a $|t| \leq s$ , otteniamo

(2) $\begin{equation*} |f(x)| \leq 3 \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

Segue $3=\max_{I} |f|$ .

Risposta per funzione non continua.

Osserviamo che nel ragionamento relativo al massimo non abbiamo utilizzato la continuità di $f$ . Pertanto, anche se $f$ non è continua, $|f|$ ha massimo e vale

(3) $\begin{equation*} \max_{I} |f| = 3. \end{equation*}$

Notiamo che, se $f$ non è continua, in generale $|f|$ non ha minimo in $I$ . Consideriamo infatti $I=[-3,1]$ e sia $f \colon [-3,1] \to \mathbb{R}$ la funzione definita da

(4) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} x & \text{se } x \in [-3,0) \\[5pt] -\dfrac{x}{2}+1 & \text{se } x \in [0,1], \end{cases} \end{equation*}$

il cui grafico è rappresentato a sinistra in figura 1.

Figura 1: a sinistra il grafico della funzione $f$ , a destra il grafico di $|f|$ ; si vede che $|f|$ ha massimo pari a $3$ . Essa non ha minimo, in quanto $0$ è l’estremo inferiore di $|f|$ , ma non appartiene alla sua immagine.

Si vede che $\min_{[-3,1]}f = -3$ e $\max_{[-3,1]}f = 1$ , ma la funzione $|f| \colon [-3,1] \to \mathbb{R}$ , definita dall’espressione

(5) $\begin{equation*} |f(x)| = \begin{cases} -x & \text{se } x \in [-3,0) \\[5pt] -\dfrac{x}{2}+1 & \text{se } x \in [0,1] \end{cases} \end{equation*}$

e rappresentata a destra in figura 1, non ha minimo. Infatti si ha $\inf_{[-3,1]}|f| = 0$ , ma tale valore non è assunto e quindi essa non possiede minimo.

Osservazione.

Con un procedimento simile a quello utilizzato sopra, si può dimostrare la seguente generalizzazione dell’esercizio 1.

Proposizione 4. Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione continua tale che $\min f < 0 < \max f$ . Allora si ha

(6) $\begin{equation*} \min |f|=0, \qquad \max |f|= \max\left \{\left | \min f \right |, \max f \right \}. \end{equation*}$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione monotona decrescente, per la quale dunque vale

$\min_{[a,b]}f(x) = f(b) \quad \text{ e } \quad \max_{[a,b]} f(x) =f(a).$

Allora necessariamente per la funzione $f^2\colon [a,b]\to \mathbb{R}$ si ha che

$\max_{[a,b]}f^2(x) = f^2(a) \quad \text{ e }\quad \min_{[a,b]}f^2(x) = f^2(b) ?$

Svolgimento.

La risposta è negativa. Consideriamo infatti la funzione $f \colon [0,1] \to \mathbb{R}$ definita da

(7) $\begin{equation*} f(x)=-x \qquad \forall x \in [0,1]. \end{equation*}$

Essa è decrescente e quindi

(8) $\begin{equation*} \max f=f(0)=0, \qquad \min f=f(1)=-1. \end{equation*}$

Si ha però $f^2(x)=(-x)^2=x^2$ per ogni $x \in [0,1]$ . Dunque $f^2$ è una funzione crescente, pertanto si ha

(9) $\begin{equation*} \min f^2=f^2(0)=0 \neq f^2(1), \qquad \max f^2=f^2(1)=1 \neq f^2(0). \end{equation*}$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sia $\ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ . Dimostrare che, se $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è una funzione continua tale che

(10) $\begin{equation*} \lim_{x \to - \infty} f(x)= \lim_{x \to + \infty} f(x)= \ell, \end{equation*}$

allora $f$ ammette massimo o minimo in $\mathbb{R}$ . Mostrare che lo stesso risultato vale se $f$ è definita in un intervallo aperto $(a,b)$ e soddisfa

(11) $\begin{equation*} \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to b} f(x) = \ell. \end{equation*}$

Svolgimento

Dimostriamo la seguente proprietà

Proposizione 5. Sia $f$ una funzione soddisfacente le ipotesi dell’esercizio 3. Se $f$ assume un valore maggiore di $\ell$ , allora $f$ ha massimo. Analogamente, se $f$ assume un valore minore di $\ell$ , allora ha minimo.

Tale proposizione implica ovviamente la tesi: infatti, se $f$ non è costante ${\color{blue} ^1}$ ,assumerà un valore diverso da $\ell$ e quindi, per la proposizione 2, avrà massimo o minimo. Osserviamo inoltre che, nel caso $\ell=+\infty$ , allora dalla proposizione 2 segue che $f$ ha necessariamente minimo. Analogamente, se $\ell=-\infty$ , allora la proposizione 2 implica che $f$ ha necessariamente massimo. Dimostriamo quindi la proposizione 2.

Se $f$ assume un valore maggiore di $\ell$ , esiste $x_0 \in \mathbb{R}$ tale che $f(x_0) > \ell$ . Per l’ipotesi $\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=\ell$ , dalla definizione di limite segue che esiste $T >0$ tale che

(12) $\begin{equation*} f(x) < f(x_0) \qquad \forall x \in (-\infty,-T) \cup (T,+\infty). \end{equation*}$

Da tale disuguaglianza si ha ovviamente che $x_0 \in [-T,T]$ . Poiché l’intervallo $[-T,T]$ è chiuso e limitato e $f$ è continua, per il teorema di Weierstrass 3 essa assume su tale intervallo valore massimo, nel punto $x_M$ . Poiché $x_0 \in [-T,T]$ , si ha

(13) $\begin{equation*} \max_{[-T,T]}f = f(x_M) \geq f(x_0). \end{equation*}$

Da tale relazione e da (12), segue che

(14) $\begin{equation*} \max_{\mathbb{R}}f = f(x_M), \end{equation*}$

quindi $f$ assume valore massimo.

Nel caso in cui il dominio di $f$ è l’intervallo aperto $(a,b)$ l’argomento è lo stesso, a meno di sostituire $T$ con $b-\varepsilon$ e $a+\varepsilon$ per un $\varepsilon$ opportuno.

$\[\]$

Nel qual caso avrà ovviamente sia minimo che massimo. ↩

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si provi che la funzione $f \colon [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ definita da

(15) $\begin{equation*} f(x)= \arctan\left (x e^{-x}\right ) \qquad \forall x \in [0,+\infty) \end{equation*}$

ha massimo e minimo in $[0,+\infty)$ .

Svolgimento.

Si ha $f(x) \geq 0$ per ogni $x \in [0,+\infty)$ in quanto $xe^{-x}\geq 0$ in tale intervallo. Poiché $f(0)=0$ , allora

(16) $\begin{equation*} \min f = f(0)=0. \end{equation*}$

Per provare che $f$ ha massimo, osserviamo che

(17) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \arctan\left (x e^{-x}\right ) = 0, \end{equation*}$

dove si è usato il noto limite $\lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$ e il teorema sul limite delle funzioni composte. Dunque $f$ soddisfa le ipotesi dell’esercizio 3 e, poiché assume valori maggiori di $0$ , per la proposizione 2. essa possiede massimo assoluto. Il grafico di $f$ è rappresentato in figura 2.

Figura 2: la funzione $f$ dell’esercizio 4. Essa possiede massimo e minimo.

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $P \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione polinomiale di grado pari. Si provi che $P$ ha massimo o minimo e si stabilisca sotto quali condizioni vale l’una o l’altra conclusione. $P$ può avere sia massimo che minimo?

Svolgimento.

Supponiamo che $P(x)=a_nx^n+\dots+a_1 x+ a_0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ , dove $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ è un numero pari e $a_n \neq 0$ . Si ha

(18) $\begin{equation*} \begin{gathered} \lim_{x \to \pm \infty} P(x) = \lim_{x \to \pm \infty} a_n x^n \left ( 1 + \frac{a_{n-1}}{a_n x} + \dots + \frac{a_1}{a_n x^{n-1}} + \frac{a_0}{a_n x^n} \right ) = \operatorname{sign}(a_n)\cdot(+\infty), %\\ %\lim_{x \to - \infty} P(x) %= %\lim_{x \to - \infty} a_n x^n \left ( 1 + \frac{a_{n-1}}{a_n x} + \dots + \frac{a_1}{a_n x^{n-1}} + \frac{a_0}{a_n x^n} \right ) %= %\operatorname{sign}(a_n)\cdot(+\infty), \end{gathered} \end{equation*}$

dove si è sfruttato che il fattore tra parentesi ha limite $1$ . Poiché $P$ è continua, si può applicare l’esercizio 3 per trarre le seguenti conclusioni:

$P$ ha minimo se $a_n>0$ , in quanto in tal caso $P$ è superiormente illimitata e dunque non possiede massimo;
$P$ ha massimo se $a_n<0$ , in quanto in tal caso $P$ è inferiormente illimitata e dunque non possiede minimo.

In particolare, $P$ non può avere sia massimo che minimo. Il grafico di $P$ nel caso $n=2$ e $a_2<0$ è rappresentato in figura 3.

Figura 3: il polinomio $P$ dell’esercizio 5. nel caso $n=2$ e $a_2<0$ . Si vede che $P$ è illimitato inferiormente e possiede massimo.

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione continua e periodica. Provare che $f$ ha massimo e minimo.

Svolgimento.

Sia $T>0$ un periodo di $f$ . Poiché $f$ è continua nell’intervallo chiuso $[0,T]$ , possiamo ad essa applicare il teorema di Weierstrass 3. per ottenere l’esistenza del massimo e del minimo su tale insieme:

(19) $\begin{equation*} M= \max_{[0,T]} f, \qquad m = \min_{[0,T]} f. \end{equation*}$

Proviamo che tali valori costituiscono anche il massimo e il minimo di $f$ in $\mathbb{R}$ . Sia $x \in \mathbb{R}$ e sia $k \in \mathbb{Z}$ tale che

(20) $\begin{equation*} 0 \leq x +kT \leq T. \end{equation*}$

Osserviamo che un tale $k \in \mathbb{Z}$ esiste, poiché i punti $x + nT$ con $n \in \mathbb{Z}$ hanno distanza $T$ e dunque uno di essi deve necessariamente appartenere all’intervallo $[0,T]$ . Per la periodicità di $f$ si ha quindi

(21) $\begin{equation*} m \leq f(x+kt) = f(x) \leq M. \end{equation*}$

Dall’arbitrarietà di $x$ , da tali disuguaglianze e dal fatto che i valori $m,M$ sono assunti da $f$ , segue che essi sono rispettivamente minimo e massimo di $f$ in $\mathbb{R}$ .

Figura 4: poiché il comportamento di una funzione periodica di periodo $T$ è determinato dalla sua restrizione all’intervallo $[0,T]$ , se essa è continua allora si può applicare il teorema di Weierstrass in $[0,T]$ e dedurne che possiede massimo e minimo assoluti in $\mathbb{R}$ .

Osservazione 2.

Osserviamo che in questa soluzione non si può direttamente utilizzare il teorema di Weierstrass per ottenere l’esistenza del massimo e del minimo di $f$ in $\mathbb{R}$ , poiché tale insieme non è limitato. Abbiamo quindi avuto necessità di ricondurci, grazie alla periodicità di $f$ , all’intervallo chiuso e limitato $[0,T]$ e poi osservare che il grafico di $f$ è costituito da “copie” della porzione di grafico in $[0,T]$ .

Osservazione 3.

Questo esercizio può essere utilizzato anche in esempi più pratici: ad esempio per dimostrare che la funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(22) $\begin{equation*} f(x) = e^{2 \sin x + \cos(3x)} \qquad \forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}$

ha massimo e minimo. Hint: $f$ è periodica.

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f \colon (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ una funzione continua tale che

(23) $\begin{equation*} f(2x)= f(x) \qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{equation*}$

Provare che $f$ ha massimo e minimo.

Svolgimento.

Figura 5: grafico (in blu) della funzione $f$ ; si noti che il grafico di $f$ consiste di copie scalate di fattori $2^n$ della porzione del grafico di $f$ corrispondente all’intervallo $[1,2]$ .

Il grafico di una tale funzione $f$ è rappresentato in figura 5. Poiché $f$ è continua nell’intervallo $[1,2]$ , per il teorema di Weierstrass 3 essa possiede massimo $M$ e minimo $m$ in tale insieme. Proviamo che tali valori sono rispettivamente il massimo e il minimo assoluti di $f$ in $(0,+\infty)$ . A tal fine, consideriamo $x \in \mathbb{R}$ e sia $k \in \mathbb{Z}$ tale che $2^k x \in [1,2]$ : un tale $k$ esiste in quanto si può scegliere

(24) $\begin{equation*} k = - \lfloor \log_2 x \rfloor, \end{equation*}$

ossia la parte intera di $\log_2 x$ . Poiché $2^k x \in [1,2]$ si ha quindi

(25) $\begin{equation*} m \leq f(2^k x) = f(x) \leq M, \end{equation*}$

dove si è usata l’equazione (23). La precedente equazione prova quindi che $m$ e $M$ sono rispettivamente il minimo e il massimo di $f$ in $\mathbb{R}$ .

Svolgimento alternativo.

La soluzione appena presentata possiede delle strette somiglianze con quella dell’esercizio 6. Vediamo infatti che la soluzione può essere ricondotta a tale esercizio: proponiamo dunque una soluzione alternativa che lo utilizza direttamente.

Consideriamo la funzione $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(26) $\begin{equation*} g(x) = f(2^x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

In altre parole, $g=f \circ h$ con $h \colon \mathbb{R} \to (0,+\infty)$ definita da

(27) $\begin{equation*} h(x) = 2^x \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$g$ è una funzione continua in quanto composizione di funzioni continue. Proviamo inoltre che essa è periodica di periodo $1$ . Infatti, si ha

(28) $\begin{equation*} g(x+1) = f(2^{x+1}) = f(2 \cdot 2^x) = f(2^x) = g(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

dove si è usata l’equazione (23). Dunque $g$ è periodica e, per l’esercizio 6, essa ha massimo $M$ e minimo $m$ in $\mathbb{R}$ , assunti rispettivamente in $x_M, x_m$ .

Proviamo che $M= \max_{(0,+\infty)} f$ e che tale valore è assunto in $2^{x_M}$ :

(29) $\begin{equation*} f(x) = f(2^{\log_2 x}) = g(\log_2 x) \leq g(x_M) = f(2^{x_M}) \qquad \forall x \in (0,+\infty). \end{equation*}$

Analogamente si prova che $m=\min_{(0,+\infty)}f$ e che tale valore è assunto in $2^{x_m}$ .

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sia $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione continua tale che ogni punto in $\mathbb{R}$ sia di minimo locale per $f$ . Si provi che $f$ è costante.

Svolgimento.

Mostriamo che $f$ è costante nell’intervallo $[a,b]$ . Ciò, per l’arbitrarietà di $[a,b]$ , implicherà la tesi.

Poiché $[a,b]$ è chiuso e limitato, possiamo applicare il teorema di Weierstrass 3. che assicura l’esistenza del massimo $M$ e di un punto di massimo $x_0 \in [a,b]$ .

Mostriamo che $f$ è costantemente pari a $M$ in $[a,b]$ e, a tal fine, proviamo che $f=M$ in ogni intervallo $[x_0,x]$ con $x \in [x_0,b]$ . Definiamo infatti l’insieme

(30) $\begin{equation*} E \coloneqq \{ x \in [x_0,b] \colon f(t)=M \text{ in } [x_0, x] \} \end{equation*}$

e osserviamo che $E$ non è vuoto in quanto $x_0 \in E$ . Poiché $E \subseteq [x_0,b]$ , esso è limitato superiormente e quindi esiste $\bar{x}=\sup E \in [x_0,b]$ . Per definizione di estremo superiore, esiste una successione $x_n \in E$ tale che $x_n \to \bar{x}$ . Da $f(t)= M$ in ogni intervallo $[x_0,x_n]$ e dal fatto che $x_n \to \bar{x}$ , si ha

(31) $\begin{equation*} f(t)=M \qquad \forall t \in [x_0,\bar{x}). \end{equation*}$

La continuità di $f$ e il teorema ponte [1] implicano dunque $f(\bar{x})=M$ . Dato che $\bar{x}$ è un punto di minimo locale per $f$ , esiste $\delta>0$ tale che

(32) $\begin{equation*} f(t) \geq f(\bar{x}) \qquad \forall t \in [a,b] \cap (\bar{x}-\delta,\bar{x}+\delta). \end{equation*}$

Osserviamo però che la disuguaglianza non può essere stretta, in virtù del fatto che $\bar{x}$ è anche un punto di massimo assoluto per $f$ in $[a,b]$ , in quanto $f(\bar{x})= M = \max_{[a,b]} f$ . Dunque la disuguaglianza è in realtà un’uguaglianza e vale

(33) $\begin{equation*} f(t) = f(\bar{x}) = M \qquad \forall x \in [a,b] \cap (\bar{x}-\delta,\bar{x}+\delta). \end{equation*}$

Tale uguaglianza, insieme a (31), prova che

(34) $\begin{equation*} f(t) = M \qquad \forall t \in [x_0, \bar{x}+\delta) \cap [x_0,b]. \end{equation*}$

Ciò implica che $\bar{x}=b$ , altrimenti esisterebbero elementi di $E$ strettamente maggiori di $\bar{x}$ , contro l’ipotesi che esso sia l’estremo superiore di $E$ . Questo ragionamento prova che

(35) $\begin{equation*} f(t)= M \qquad \forall t \in [x_0, b]. \end{equation*}$

In maniera analoga si mostra che $f(t)=M$ in $[a,x_0]$ .

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f \colon (a,b) \to \mathbb{R}$ una funzione convessa² e si supponga che essa assuma massimo assoluto in $(a,b)$ . Dimostrare che $f$ è costante. Cosa si può dire invece se $f$ possiede un punto di massimo locale?

$\[\]$

2. La funzione $f \colon (a,b) \to \mathbb{R}$ si dice convessa se

(36) $\begin{equation*} f \big( (1-t) x + ty \big) \leq (1-t)f(x) + tf(y) \qquad \forall x,y \in (a,b), \,\, \forall t \in [0,1]. \end{equation*}$

Rimandiamo a [4] per una trattazione approfondita dell’argomento.↩

Svolgimento primo punto.

Sia $M=\max_{(a,b)}f$ , sia $x_0 \in (a,b)$ un punto di massimo assoluto e siano $x,y \in (a,b)$ tali che

(37) $\begin{equation*} x < x_0 < y. \end{equation*}$

Si ha

(38) $\begin{equation*} x_0 = x + \frac{x_0 - x}{y-x} (y-x) = \left (1 - \frac{x_0 - x}{y-x} \right )x + \left (\frac{x_0 - x}{y-x} \right ) y. \end{equation*}$

Dato che $\frac{x_0 - x}{y-x} \in (0,1)$ , ponendo $t \coloneqq \frac{x_0 - x}{y-x}$ e usando la convessità di $f$ si ottiene

(39) $\begin{equation*} M = f(x_0) = f \big( (1-t) x + ty \big) \leq (1-t)f(x) + tf(y) \leq (1-t) M + t M = M, \end{equation*}$

dove l’ultima disuguaglianza segue dal fatto che $M$ è il massimo assoluto di $f$ . Dato che il primo e l’ultimo membro della catena di disuguaglianze è lo stesso, tutte le relazioni devono essere delle uguaglianze. In particolare le disuguaglianze $f(x) \leq M$ e $f(y) \leq M$ non possono essere strette e quindi vale

(40) $\begin{equation*} f(x)=M = f(y). \end{equation*}$

Dall’arbitrarietà di $x$ e $y$ segue che $f$ è costantemente pari a $M$ .

Svolgimento secondo punto.

Se invece $x_0$ è un punto di massimo locale, per definizione esiste un intorno $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ di $x_0$ in cui esso è un punto di massimo assoluto per $f$ . Per il ragionamento appena esposto e per la convessità di $f$ , essa è costante in tale intorno. Non si può però concludere che $f$ sia costante nell’intero intervallo $(a,b)$ . Si consideri infatti la funzione $f \colon (0,2) \to \mathbb{R}$ definita da

(41) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x \in (0,1] \\ x & \text{se } x \in (1,2), \end{cases} \end{equation*}$

il cui grafico è rappresentato in figura 6. $f$ è convessa e il punto $x_0=\frac{1}{2}$ è di massimo locale per $f$ , ma essa non è costante in $(0,2)$ . Chiaramente, però, $f$ è localmente costante, e infatti lo è in $(0,1]$ .

Figura 6: la funzione $f$ definita in (41); $f$ è convessa ma, nonostante $\frac{1}{2}$ sia un suo punto di massimo locale, essa non è globalmente costante. $f$ è però localmente costante in un intorno di $\frac{1}{2}$ .

Riferimenti bibliografici

[1] Qui Si Risolve Continuità per successioni: il teorema ponte

[2] Qui Si Risolve Funzioni Continue – Teoria.

[3] Qui Si Risolve Teoria delle funzioni.

[4] Qui Si Risolve Teoria sulle funzioni convesse.

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MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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Esercizi teorici su massimi e minimi di funzioni

Esercizi teorici su massimi e minimi di funzioni

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Massimo e minimo della funzione valore assoluto.

Risposta per funzione non continua.

Osservazione.

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Svolgimento

Svolgimento.

Svolgimento.

Svolgimento.

Osservazione 2.

Osservazione 3.

Svolgimento.

Svolgimento alternativo.

Svolgimento.

Svolgimento primo punto.

Svolgimento secondo punto.

Riferimenti bibliografici

Tutta la teoria di analisi matematica

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Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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Tutti gli esercizi di geometria

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Suggerimenti, refusi ed errori