Esercizi teorici su massimi e minimi di funzioni

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In questo articolo sono presentati alcuni esercizi teorici su massimi e minimi di funzioni, analizzando sia casi di funzioni continue, sia prescindendo da tale ipotesi, senza tuttavia richiedere l’utilizzo delle derivate.

Gli esercizi vengono svolti attraverso un’ampia varietà di tecniche classiche (teorema di Weierstrass, dei valori intermedi in primis) integrate con metodi e idee provenienti altri campi dell’Analisi Matematica. La raccolta è quindi destinata agli studenti e agli appassionati che desiderano approfondire la loro conoscenza teorica dei massimi e minimi di funzioni di variabile reale attraverso esercizi di carattere pratico. Auguriamo a tutti una buona lettura.

La parte teorica di riferimento per gli esercizi trattati è raccolta nelle dispense di teoria sulle funzioni e sulle funzioni continue.

Autori e revisori.

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Autore: Sara Sottile, Luigi De Masi

Revisore: Valerio Brunetti.

Richiami teorici

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Definizione 1 (massimi e minimi assoluti) Sia $f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione. $M\in \mathbb{R}$ si dice massimo di $f$ in $A$ se esiste $x_0\in A$ tale che

$f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.$

In tal caso scriviamo $M = \max_A f$ e $x_0$ si dice punto di massimo per $f$ .

Analogamente, $m\in \mathbb{R}$ si dice minimo di $f$ in $A$ se esiste $x_0\in AA$ tale che

$f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.$

In tal caso scriviamo $m=\min_A f$ e $x_0$ si dice punto di minimo per $f$ .

Un punto $x_0$ può non essere di massimo o di minimo assoluto per $f$ , ma può esserlo se restringiamo $f$ a un intorno di $x_0$ . Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 (massimi e minimi locali) Sia $f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funzione. $x_0\in A$ si dice punto di massimo locale per $f$ se esiste $\delta >0$ tale che

$f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).$

Analogamente, $x_0\in A$ si dice punto di minimo locale per $f$ se esiste $\delta >0$ tale che

$f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).$

Teorema 3 (Weierstrass, [2, teorema 5.30]) Siano $a, b \in \mathbb{R}$ , con $a \leq b$ e sia $f\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione continua. Allora $f$ ammette massimo e minimo assoluti in $[a,b]$ , ovvero esistono $x_m, \, x_M \in [a,b]$ tali che

$f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] .$

Testi degli esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervallo e sia $f \colon I \to \mathbb{R}$ una funzione continua tale che

$\min_{I}f(x) = -3 \quad \text{ e } \quad \max_{I} f(x) =1.$

Cosa si può dire del minimo e del massimo della funzione $|f|$ ? Come cambia la risposta se la funzione $f$ non è continua?

Massimo e minimo della funzione valore assoluto.

Sia $|f| \colon I \to (0,+\infty)$ definita da

$|f|(x) = \begin{cases} f(x) & f(x) \ge 0,\\ - f(x) & f(x) < 0. \end{cases}$

Poiché $f$ ha un minimo negativo e un massimo positivo, allora esiste almeno un punto $\tilde{x}\in I$ tale che $f(\tilde{x})=0$ , per il teorema degli zeri [2, teorema 5.3]. Poiché la funzione $|f|$ è sempre non negativa, allora

$\min_{I}|f|(x) = 0.$

Passiamo ora ai punti di massimo. Da

(1) $\begin{equation*} -3 \leq f(x) \leq 1 \leq 3 \qquad \forall x \in [a,b], \end{equation*}$

e ricordando che $-s \leq t \leq s$ è equivalente a $|t| \leq s$ , otteniamo

(2) $\begin{equation*} |f(x)| \leq 3 \qquad \forall x \in [a,b]. \end{equation*}$

Segue $3=\max_{I} |f|$ .

Risposta per funzione non continua.

Osserviamo che nel ragionamento relativo al massimo non abbiamo utilizzato la continuità di $f$ . Pertanto, anche se $f$ non è continua, $|f|$ ha massimo e vale

(3) $\begin{equation*} \max_{I} |f| = 3. \end{equation*}$

Notiamo che, se $f$ non è continua, in generale $|f|$ non ha minimo in $I$ . Consideriamo infatti $I=[-3,1]$ e sia $f \colon [-3,1] \to \mathbb{R}$ la funzione definita da

(4) $\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} x & \text{se } x \in [-3,0) \\[5pt] -\dfrac{x}{2}+1 & \text{se } x \in [0,1], \end{cases} \end{equation*}$

il cui grafico è rappresentato a sinistra in figura 1.

Figura 1: a sinistra il grafico della funzione $f$ , a destra il grafico di $|f|$ ; si vede che $|f|$ ha massimo pari a $3$ . Essa non ha minimo, in quanto $0$ è l’estremo inferiore di $|f|$ , ma non appartiene alla sua immagine.

Si vede che $\min_{[-3,1]}f = -3$ e $\max_{[-3,1]}f = 1$ , ma la funzione $|f| \colon [-3,1] \to \mathbb{R}$ , definita dall’espressione

(5) $\begin{equation*} |f(x)| = \begin{cases} -x & \text{se } x \in [-3,0) \\[5pt] -\dfrac{x}{2}+1 & \text{se } x \in [0,1] \end{cases} \end{equation*}$

e rappresentata a destra in figura 1, non ha minimo. Infatti si ha $\inf_{[-3,1]}|f| = 0$ , ma tale valore non è assunto e quindi essa non possiede minimo.

Osservazione.

Con un procedimento simile a quello utilizzato sopra, si può dimostrare la seguente generalizzazione dell’esercizio 1.

Proposizione 4. Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione continua tale che $\min f < 0 < \max f$ . Allora si ha

(6) $\begin{equation*} \min |f|=0, \qquad \max |f|= \max\left \{\left | \min f \right |, \max f \right \}. \end{equation*}$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione monotona decrescente, per la quale dunque vale

$\min_{[a,b]}f(x) = f(b) \quad \text{ e } \quad \max_{[a,b]} f(x) =f(a).$

Allora necessariamente per la funzione $f^2\colon [a,b]\to \mathbb{R}$ si ha che

$\max_{[a,b]}f^2(x) = f^2(a) \quad \text{ e }\quad \min_{[a,b]}f^2(x) = f^2(b) ?$

Svolgimento.

La risposta è negativa. Consideriamo infatti la funzione $f \colon [0,1] \to \mathbb{R}$ definita da

(7) $\begin{equation*} f(x)=-x \qquad \forall x \in [0,1]. \end{equation*}$

Essa è decrescente e quindi

(8) $\begin{equation*} \max f=f(0)=0, \qquad \min f=f(1)=-1. \end{equation*}$

Si ha però $f^2(x)=(-x)^2=x^2$ per ogni $x \in [0,1]$ . Dunque $f^2$ è una funzione crescente, pertanto si ha

(9) $\begin{equation*} \min f^2=f^2(0)=0 \neq f^2(1), \qquad \max f^2=f^2(1)=1 \neq f^2(0). \end{equation*}$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sia $\ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ . Dimostrare che, se $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è una funzione continua tale che

(10) $\begin{equation*} \lim_{x \to - \infty} f(x)= \lim_{x \to + \infty} f(x)= \ell, \end{equation*}$

allora $f$ ammette massimo o minimo in $\mathbb{R}$ . Mostrare che lo stesso risultato vale se $f$ è definita in un intervallo aperto $(a,b)$ e soddisfa

(11) $\begin{equation*} \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to b} f(x) = \ell. \end{equation*}$

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