Uno dei risultati basilari sulla teoria delle successioni reali è che una successione convergente è limitata. In generale però, una successione limitata non è convergente, come mostra l’esempio
Il teorema di Bolzano-Weierstrass inverte parzialmente la precedente proprietà: una successione limitata possiede una sottosuccessione convergente. In altre parole, anche se una successione limitata non è necessariamente convergente, essa può diventarlo a meno di “selezionare” solo alcuni dei suoi termini. Ad esempio, è una sottosuccessione convergente della successione precedente.
Questo articolo traccia la storia della formulazione del teorema di Bolzano-Weierstrass; ne offre inoltre una dimostrazione dettagliata esplicativa del suo significato profondo.
Se desideri saperne di più, prosegui pure la lettura!
Oltre agli esercizi misti sulle successioni, consigliamo la lettura dei seguenti articoli sulla teoria delle successioni:
- Criterio del rapporto per le successioni;
- Definizione e proprietà del numero di Nepero;
- Limite di una successione monotona;
- Successioni di Cauchy;
- Il teorema ponte.
Autori e revisori
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Revisori: Matteo Talluri, Valerio Brunetti.
Introduzione
Il Teorema di Bolzano-Weierstrass fu dimostrato nel 1817 dal matematico boemo Bernard Bolzano, ma divenne noto solo mezzo secolo più tardi quando Karl Weierstrass, ignaro del lavoro di Bolzano, fornì una nuova dimostrazione. Per questo motivo il Teorema prende il nome di entrambi i matematici.
Per quanto riguarda il Teorema di Bolzano-Weierstrass, in letteratura troviamo diversi enunciati alternativi; in quello che segue, diamo quello che a nostro avviso è l’enunciato più classico e, tra le tante dimostrazioni, abbiamo scelto una dimostrazione costruttiva.
Prerequisiti
Per leggere e comprendere quanto segue diamo per buono i seguenti concetti/risultati:
- La definizione di successione e di sottosuccessione;
- Il concetto di successione convergente;
- La definizione di successione limitata e di successione monotona e il teorema di convergenza monotona che richiamiamo brevemente.
In altre parole, una successione si dice limitata se ogni termine della successione è compreso tra e .
Una successione si dice monotona decrescente, se , .
Una successione si dice monotona se è monotona crescente o monotona decrescente.
In altre parole una successione è monotona se i suoi termini continuano a crescere/decrescere al crescere dell’indice .
Detto in altre parole, il teorema appena enunciato appare estremamente intuitivo: se una successione ha termini che non possono diventare troppo grandi o troppo piccoli (perché la successione è limitata) e non può oscillare (perché la successione è monotona), la successione, al crescere dell’indice deve avvicinarsi a un valore (che sarà il suo valore limite).
Teorema di Bolzano-Weierstrass
Siamo finalmente pronti ad enunciare il Teorema di Bolzano-Weierstrass. Il teorema può essere visto come la versione debole del viceversa del teorema che afferma che ogni successione convergente è limitata. Non è vero infatti che vale il viceversa: esistono successioni limitate che non sono convergenti. L’esempio classico è la successione
la successione che ha termini con indice pari uguale ad e termini con indici dispari uguali a . La successione è chiaramente limitata, ma continua ad oscillare e al crescere di non si avvicina a nessun valore reale.
Quello che invece è vero è che esistono delle sue sottosuccessioni che convergono: per esempio le sottosuccessioni dei termini con indice pari e quella con indice dispari, sono costanti e dunque chiaramente convergenti. Questo è proprio l’enunciato del teorema di Bolzano-Weierstrass.
La dimostrazione del teorema segue un’idea intuitiva ma è piùttosto tecnica.
Dimostrazione.
Partiamo dal caso banale: la successione non assume infiniti valori. Se la successione non assume infiniti valori, dato che abbiamo un infinità numerabile di indici , devono esistere infiniti indici per cui assume uno stesso valore . Riordinando tali indici in modo crescente otteniamo una sottosuccessione di costante, che è chiaramente convergente ad . In simboli :
se
tale che
Sia una successione crescente di indici, allora la sottosuccessione è chiaramente costante, dunque in particolare convergente.
Passiamo al caso più interessante in cui la successione assume infiniti valori. Per ipotesi la successione è limitata per cui devono esistere due valori e tali che per ogni termine al variare di .
Costruzione della sottosuccessione
Dividiamo l’intervallo a metà; in una delle due metà devono finire un’infinita di valori assunti della successione (se per assurdo in entrambe le metà dell’intervallo ci fossero solo un numero finito di valori assunti dalla successione, essendo tutti i valori assunti dalla successione compresi tra e , la successione assumerebbe un valore finito di valori contro la nostra assunzione iniziale).
Chiamiamo la metà dell’intervallo con un’infinità di valori di e poniamo il primo termine della sottosuccessione come un qualunque valore della successione nell’intervallo (abbiamo un’infinità di scelte!). Notiamo subito che l’intervallo ha ampiezza esattamente la metà dell’intervallo che è .
Chiamiamo la metà di dell’intervallo con una infinità di valori di e poniamo il secondo termine della sottosuccessione come un qualunque valore della successione nell’intervallo (abbiamo un’infinità di scelte!). Notiamo subito che l’intervallo ha ampiezza : un quarto dell’ampiezza dell’intervallo .
Ripetendo ancora questo procedimento, alla -esima volta chiameremo la metà di dell’intervallo con una infinità di valori di e poniamo il k-esimo termine della sottosuccessione come un qualunque valore della successione nell’intervallo . In generale avremo che l’intervallo ha ampiezza esattamente .
Convergenza della sottosuccessione
In questo modo abbiamo costruito due nuove successioni: la successione degli estremi sinistri degli intervalli e la successioni degli estremi destri degli intervalli. Inoltre abbiamo costruito esplicitamente una sottosuccessione di . La dimostrazione si conclude dimostrando che converge.
Osserviamo che per costruzione si ha che e sono monotone e limitate e per il Teorema 1 esistono ed e si ha che converge a e converge a . Inoltre vale che e devono necessariamente trovarsi nell’intervallo per qualunque ma abbiamo già osservato che questo intervallo diventa sempre più piccolo fino a costringere ed ad essere lo stesso valore che chiameremo . Formalmente:
Passando al limite per e osservando che il limite di esiste, abbiamo
Finiamo stimando la distanza tra e al crescere di ; per costruzione entrambi devono trovarsi nell’intervallo per ogni .
Abbiamo già osservato che questo intervallo diventa sempre più piccolo fino a costringere ed ad essere vicini a piacere. Appena un po’ più formalmente abbiamo:
e l’ultimo membro diventa piccolo a piacere al crescere di infatti passando al limite per si ha
da cui per il teorema del doppio confronto, si ha
questo dimostra che la sottosuccessione costruita deve convergere e conclude la dimostrazione.
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