Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni

Teoria sulle Successioni

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Uno dei risultati basilari sulla teoria delle successioni reali è che una successione convergente è limitata. In generale però, una successione limitata non è convergente, come mostra l’esempio

    \[a_n=(-1)^n.\]

Il teorema di Bolzano-Weierstrass inverte parzialmente la precedente proprietà: una successione limitata possiede una sottosuccessione convergente. In altre parole, anche se una successione limitata non è necessariamente convergente, essa può diventarlo a meno di “selezionare” solo alcuni dei suoi termini. Ad esempio, (-1)^{2n} è una sottosuccessione convergente della successione precedente.

Questo articolo traccia la storia della formulazione di questo importante teorema; ne offre inoltre una dimostrazione dettagliata esplicativa del suo significato profondo.

Se desideri saperne di più, prosegui pure la lettura!

 

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