Limiti di successioni – Esercizi misti 2
In questa raccolta presentiamo 33 esercizi sui limiti di successioni, da affrontarsi con tecniche di carattere vario. Gli esercizi sono completamente risolti e offrono un’ampia panoramica sulle tecniche disponibili in questo settore. La raccolta è pertanto particolarmente indicata per gli studenti dei corsi di Analisi Matematica e per gli appassionati.
Segnaliamo le seguenti ulteriori raccolte di esercizi
e la teoria di riferimento nella cartella di Teoria sulle successioni.
Buona lettura!
Sommario
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Autori e revisori
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Revisori: Matteo Talluri, Giulio Binosi.
Richiami di teoria
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Definizione 1 (successione). Una successione a valori reali è una funzione
(1)
Solitamente, l’immagine viene indicata col simbolo ed è detta termine -esimo della successione. Quando non vi sia possibilità di equivoco, una successione si denoterà semplicemente indicando il suo termine generale .
- è crescente se
- è strettamente crescente se
- è decrescente se
- è strettamente decrescente se
La successione è detta monotona se rientra in uno dei casi precedenti.
(2)
In tal caso si scrive
(3)
- Se , si dice convergente a . Se , si dice anche infinitesima.
- Se , si dice divergente a .
Le successioni convergenti o divergenti si dicono regolari, mentre le successioni che non ammettono limite si dicono non regolari.
Teorema 4 (unicità del limite). Sia una successione tale che
allora tale limite è unico.
Teorema 5 (prodotto di successioni limitate per infinitesime). Siano e due successioni tali che
e limitata. Allora
Teorema 6 (del confronto). Siano successioni, si supponga che esista tale che
(4)
e che valga
Allora
Teorema 7 (del confronto: ). Siano due successioni e supponiamo che esista tale che
(5)
- Se , allora .
- Se , allora .
Proposizione 8 (del confronto: ). Si ha
(6)
Inoltre, se , la successione è crescente.
Teorema 9 (criterio del rapporto). Sia una successione a termini positivi tale che
Allora
- se si ha che
- se si ha che
Teorema 10 (criterio della radice). Sia una successione a termini positivi tale che
Allora
- se si ha che
- se si ha che
Definizione 11 (successioni asintotiche). Due successioni e di numeri reali con definitivamente, si dicono asintotiche se
In tal caso scriverempo che per .
Teorema 12 (proprietà delle successioni asintotiche). Siano e due successioni; allora valgono le seguenti proprietà:
- se e , allora .
- Se e , allora .
- (Principio di sostituzione) Siano definitivamente; se , allora per ogni successione si ha
Teorema 13 Siano e due successioni tali che
- per ogni ;
- ;
Allora
Teorema 14 (Stolz-Cesaro). Siano e due successioni di numeri reali. Se
- per ogni ,
- è strettamente crescente,
- è illimitata,
- esiste tale che
allora
Corollario 15. Sia una successione positiva tale che . Allora
Corollario 16. Sia una successione positiva. Se la successione è regolare, anche la successione è regolare e si ha
Lemma 17. Sia una funzione continua, allora vale
Testi degli esercizi
Esercizio 1 . Calcolare il seguente limite di successione se esiste:
Svolgimento.
Si osserva che:
Dimostriamo tale identità applicando il principio di induzione.
Base induttiva per , si ha e quindi è dimostrata.
Passaggio induttivo per avendo l’ipotesi induttiva per :
(7)
dove in abbiamo utilizzato l’ipotesi induttiva.
Il passaggio induttivo è verificato, quindi possiamo usare l’identità:
Tornando al limite:
Concludiamo dunque
Svolgimento.
(8)
Concludiamo dunque
Svolgimento.
Allora
(9)
dove in abbiamo applicato l’approssimazione di Stirling. Abbiamo dunque che
Svolgimento metodo 1.
Svolgimento metodo 2.
Esercizio 5 . Calcolare i seguenti limiti:
(13)
(14)
Svolgimento.
Esercizio 6 . Calcolare il seguente limite:
Svolgimento.
(17)
(18)
Consideriamo ora il limite assegnato. Usando la (18) con , si ha:
(19)
Osservazione: si sarebbe potuta usare equivalentemente la (1) con e :
(20)
Abbiamo quindi
Esercizio 7 . Calcolare il seguente limite ():
(21)
Svolgimento.
Svolgimento.
Ricordando la seconda formula di prostaferesi5, si ha:
(26)
Soffermiamoci sulla successione definita sopra:
(27)
Ritorniamo al limite iniziale (25); usando la (26), si ha:
(28)
Ricordando che per , abbiamo poi che (sempre per ):
(29)
Inserendo il risultato (29) nella (28), abbiamo in conclusione:
Osservazione. Considerando la successione , abbiamo appena verificato che:
(30)
Nonostante questo limite esista, la successione \`e invece irregolare (non ammette limite) per . Se il limite di fosse stato un qualsiasi numero (o anche ), per il criterio del rapporto per successioni anche sarebbe dovuta necessariamente convergere a (se ) o divergere a (se ).
-
Se e sono angoli arbitrari, si ha:
Esercizio 9 . Calcolare, se esiste, il seguente limite:
Svolgimento.
(31)
da cui
(32)
dove in abbiamo usato il limite notevole con successione infinita per .
Concludiamo che
Esercizio 10 . Calcolare il seguente limite, se esiste:
Svolgimento.
(33)
dove in abbiamo applicato il limite notevole dove è una successione divergente per e in abbiamo applicato i noti sviluppi dell’esponenziale e del logaritmo per .
Si conclude che
Esercizio 11 . Sia
calcolare
Svolgimento.
Siccome
si conclude che
Esercizio 12 . Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:
Svolgimento metodo 1.
Nota:(*) si osserva che sono le somme di Riemann superiori della funzione logaritmo nell’intervallo .
Svolgimento metodo 2.
dove abbiamo usato il corollario 16. Concludiamo quindi che
Esercizio 13 . Calcolare, se esiste, il seguente limite di successione:
Svolgimento.
Applicando l’approssimazione di Stirling abbiamo che:
Il limite così diventa:
Concludiamo quindi che
Esercizio 14 . Calcolare se esiste il limite della successione:
Svolgimento.
Per calcolare il limite, usiamo il limite notevole:
(1)
con una generica successione che tende a 0 per .
Il limite dell’esercizio può essere riscritto, raccogliendo i termini di grado massimo ad esponente:
Semplificando , considerando i termini infinitesimi nella frazione e passando al limite usando il caso (1) si ottiene: .
Alternativamente si può passare alla forma esponenziale, sviluppare in serie e semplificare:
Concludiamo quindi che
Esercizio 15 . Calcolare il seguente limite, se esiste:
Svolgimento.
Applichiamo il teorema di Stolz-Cesaro:
Si ricorda che:
Quindi per .
Segue che:
(34)
Concludiamo quindi che
Esercizio 16 .Calcolare il seguente limite, se esiste:
Svolgimento.
Osserviamo che la somma è telescopica:
Tornando al limite si ottiene:
Concludiamo quindi che
Esercizio 17. Calcolare, se esiste, il seguente limite:
Svolgimento.
L’argomento della produttoria si può riscrivere come:
(35)
da cui
(36)
Moltiplichiamo e dividiamo il fattore ottenuto per , in tal modo si ottiene:
pertanto
Concludiamo quindi che
Esercizio 18 . Calcolare, se esiste, il seguente limite:
Svolgimento.
Concludiamo quindi che
Esercizio 19 . Calcolare, se esiste, il seguente limite:
Svolgimento.
Si ricorda che:
Ora applichiamo l’approssimazione di Stirling:
Tornando al limite:
Altrimenti si poteva applicare il teorema di Stolz-Cesaro:
Concludiamo quindi che
Esercizio 20 . Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:
Svolgimento.
Tornando al limite:
Concludiamo quindi che
Esercizio 21 . Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:
Svolgimento.
Concludiamo quindi che
Esercizio 22 . Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:
Svolgimento.
Applichiamo il teorema di Cesaro:
(37)
Esercizio 23 . Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:
Svolgimento.
Osserviamo che
(38)
quindi
(39)
Concludiamo quindi che
Esercizio 24 . Se esiste finito, calcolare il seguente limite:
Svolgimento.
Operiamo la seguente sostituzione da cui
Studiamo il carattere del seguente integrale improprio
Osserviamo che
da cui
quindi, per il teorema del confronto, esiste finito.
Torniamo al limite e concludiamo che
Alternativamente potevamo procedere con il calcolo diretto:
(40)
dove
(41)
(42)
e quindi
(43)
Calcoliamo
(44)
e tornando al limite abbiamo
(45)
Dunque concludiamo che il limite esiste finito e vale:
Esercizio 25 . Calcolare il seguente limite
Svolgimento.
(46)
Ora ricordiamo che se è una funzione integrabile su (per esempio se è continua), allora si ha:
(47)
da cui
(48)
Si conclude che
Esercizio 26 . Calcolare il seguente limite
Svolgimento.
(49)
Si conclude che
Esercizio 27 . Calcolare il seguente limite
Svolgimento.
(50)
e sapendo che valgono le seguenti diseguaglianze
(51)
si ha
(52)
quindi per il teorema del confronto concludiamo che
Esercizio 28 . Calcolare, se esiste, la somma della seguente serie doppia:
Svolgimento.
(53)
La serie su è una serie geometrica di ragione , la cui somma è data da:
(54)
Sommando ora su il risultato, ci troviamo di fronte ad una serie telescopica:
(55)
In conclusione:
-
È un caso speciale del teorema della convergenza monotona applicato alle serie. Se è una successione di numeri non-negativi tale che per ogni interi si ha , allora :
Nel nostro caso, , che è una successione monotona (in ) perché . ↩
Esercizio 29 . Calcolare il seguente limite
Svolgimento.
che è la somma di infiniti rettangoli di base e altezza con . A tal proposito consideriamo la seguente figura
Figura 1:
dalla quale si deduce che
(56)
passando al limite per
da cui, per il teorema del doppio confronto, abbiamo
perchè
Si conclude che
Esercizio 30 . Calcolare il valore al quale converge la seguente serie
Svolgimento.
(57)
Operando la seguente sostituzione e si ha
e applicando la formula di somma e sottrazione della tangente otteniamo
Osserviamo che è una serie telescopica, pertanto
(58)
Concludiamo dunque
Svolgimento.
concludendo che
Esercizio 32 . Calcolare il seguente limite se esiste:
Svolgimento.
(60)
e
Osserviamo che:
(61)
Posto :
(62)
Tornando al limite si ottiene:
(63)
Si conclude che
Esercizio 33 . Si calcoli:
dove è la successione dei numeri primi ().
Svolgimento.
Questa relazione asintotica si può invertire, cioè si può trovare quanto vale, asintoticamente, il valore dell’-esimo numero primo. Sia . Allora, tenendo conto che per definizione , si ha per :
(64)
Abbiamo utilizzato il fatto che, se , allora anche . Riassumendo, concludiamo che per . Usiamo questo fatto per calcolare . Passiamo per praticità di scrittura al logaritmo.
(65)
Per la (64), si ha per , e quindi . La successione () è dunque convergente e come tale limitata, per cui possiamo porre:
Allora naturalmente per . La seconda somma nella (65) si può dunque maggiorare così:
(66)
Per il teorema del confronto, concludiamo che la seconda sommatoria nella (65) tende a per . Per quanto riguarda la prima sommatoria, ricordiamo la formula di Stirling: per , da cui . Sostituendo nella (65), abbiamo finalmente:
Abbiamo quindi mostrato che , ossia:
-
Ricordiamo che due successioni e si dicono asintotiche, e si scrive , se:
Riferimenti bibliografici
[1] Tauraso, R., Sito personale di Roberto Tauraso, Università di Tor Vergata.
[2] Isola, T., Corso di Analisi Matematica I, Università di Tor Vergata.
[3] Braides, A., Sito personale di Andrea Braides, Università di Tor Vergata.
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