Criterio della radice per le successioni

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Il criterio della radice consente in molti casi di studiare il limite di una successione a termini positivi, in quanto lega il limite di una successione $a_n$ con il limite di $\sqrt[n]{a_n}$ .
Sostanzialmente, così facendo, si confronta il tasso di crescita della successione $a_n$ con quello della successione $x^n$ , per cui si ha $\sqrt[n]{x^n}=x$ . Poiché sappiamo che tale successione diverge se $x>1$ ed è infinitesima se $x \in [0,1)$ , è naturale aspettarsi una casistica simile anche per una generica successione $a_n$ : se $\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{a_n}>1$ , allora la successione diverge; viceversa se $\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{a_n}\in (0,1)$ , allora $a_n$ è infinitesima.

In questo articolo offriamo una dimostrazione chiara e intuitiva, ed è quindi indicato per studenti dei corsi di Laurea in Ingegneria, Fisica o Matematica e per appassionati.

Oltre alle raccolte di esercizi

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

Buona lettura!

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi, Martina Moro.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.

Il criterio della radice è un criterio di convergenza che si basa sostanzialmente sul confronto dei termini di una successione con quelli della successione $\sqrt[n]{a}$ nei casi $a>1$ e $a \in (0,1)$ .

Teorema 1 (criterio della radice). Sia $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ una successione a termini positivi tale che

$\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n}=\ell. \end{equation*}$

Se $\ell>1$ , allora
$\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=+\infty.$
Se $\ell<1$ , allora
$\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n=0.$

Dimostriamo il teorema 1 come conseguenza della seguente proposizione, che esprime un risultato più forte.

Proposizione 2. Sia $a_n$ una successione a termini positivi.

Se esiste $\alpha>1$ tale che $\sqrt[n]{a_n} \geq \alpha$ definitivamente, allora $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_n = + \infty$ .
Se esiste $\alpha \in (0,1)$ tale che $\sqrt[n]{a_n} \leq \alpha$ definitivamente, allora $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_n = 0$ .

Dimostrazione.

Analizziamo i diversi casi separatamente.

Consideriamo il caso in cui $\alpha > 1$ e $\sqrt[n]{a_n} \geq \alpha$ definitivamente. Allora esiste un $N \in \mathbb{N}$ tale che per ogni $n \geq N$ si ha
(1) $\begin{equation*} a_{n} \geq \alpha^n. \end{equation*}$

Poichè $\alpha > 1$ , si ha che $\alpha^n \to + \infty$ .¹ Quindi, applicando il teorema del confronto, possiamo concludere che

(2) $\begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} a_n = +\infty. \end{equation*}$

Nel caso in cui $\sqrt[n]{a_n} \leq \alpha$ definitivamente con $\alpha < 1$ , esiste un $N \in \mathbb{N}$ per cui
(3) $\begin{equation*} a_{n} \leq \alpha^n \quad \forall n \geq N. \end{equation*}$

Poiché $\alpha < 1$ , si ha che $\alpha^n \to 0$ . Dunque, applicando il teorema del confronto, risulta che

(4) $\begin{equation*} \lim_{n \to + \infty} a_n = 0. \end{equation*}$