Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni

Una successione convergente è sicuramente limitata; il viceversa di tale risultato è falso. Consideriamo ad esempio la successione di termine -esimo ; questa è ovviamente limitata; infatti per ogni . Essa non è però convergente in quanto le due sottosuccessioni e hanno valori costanti e pari rispettivamente a e .

Il teorema di Bolzano-Weierstrass consiste in una parziale inversione del teorema di limitatezza delle successioni convergenti, affermando che ogni successione limitata possiede sempre una sottosuccessione convergente. Dunque, il viceversa del teorema di limitatezza vale a meno di passare a un’opportuna estratta della successione iniziale.

In questo articolo proponiamo due dimostrazioni di questo risultato: la prima fa uso del teorema sull’esistenza di estratte monotone, mentre la seconda è più costruttiva e intuitiva, anche se leggermente più articolata.

Oltre alle raccolte di esercizi

• Limiti di successioni – Esercizi misti 1,
• Limiti di successioni – Esercizi misti 2,
• Limiti di successioni – Esercizi misti 3,
• Numero di Nepero: esercizi sul limite notevole,

consigliamo gli articoli sulla teoria delle successioni, in particolare i seguenti:

• Criterio del rapporto per le successioni;
• Criterio della radice;
• Definizione e proprietà del numero di Nepero;
• Successioni di Cauchy;
• Il teorema ponte.

Buona lettura!

Autori e revisori

Il teorema di Bolzano-Weierstrass: l’enunciato

Teorema 1 (Bolzano-Weierstrass). Sia una successione limitata. Allora possiede una sottosuccessione convergente.

Se inoltre è a valori in un insieme chiuso, allora l’estratta converge a un elemento di .

Due dimostrazioni del teorema di Bolzano-Weierstrass

Dimostrazione.

Consideriamo una successione limitata , allora essa ammette una sottosuccessione monotona . Allora questa sottosuccessione ammette limite . Inoltre, essendo una sottosuccessione di una successione limitata, anch’essa è limitata. Di conseguenza, deduciamo che , essendo una successione monotona e limitata, converge a un numero reale .

L’ultima affermazione segue immediatamente dal fatto che se è un insieme chiuso allora ogni successione a valori in convergente a un numero reale , allora ¹.