Numero di Nepero: definizione e proprietà

Limiti notevoli, Teoria sulle Successioni

Home » Numero di Nepero: definizione e proprietà

Numero di Nepero: definizione e proprietà

Il numero di Nepero è una delle costanti più importanti della Matematica. Presente in ogni sua branca, le sue applicazioni spaziano dalla Fisica all’Ingegneria, fino all’Economia e alla Finanza. Questo articolo mostra le sue definizioni e le proprietà essenziali, oltre ad alcune curiosità come una semplice dimostrazione della sua irrazionalità.
Punto di partenza per ogni studio successivo e applicazione, il testo è una finestra sulle meraviglie della matematica e le sorprendenti proprietà di questa importantissima costante.

Se desideri approfondire la sua conoscenza, questo articolo è quello che fa per te!

Consigliamo gli esercizi sui limiti notevoli e gli esercizi sulle forme indeterminate, oltre alla lettura dei seguenti articoli su materiale di teoria correlato:

Autori e revisori

Leggi...

Autori:Valerio Brunetti, Daniele Malesani.

Revisore: Matteo Talluri.

Sommario

Leggi...

In questa sezione ci occupiamo di una delle costanti più importanti in matematica: il numero di Nepero $e$ , così chiamato (in italiano¹) in onore del matematico scozzese John Napier (1550–1617). Iniziamo introducendo la sua definizione più semplice, passando poi ad alcuni risultati utili per la risoluzione degli esercizi sui limiti. Per finire, concludiamo con alcuni approfondimenti un po’ più avanzati, e cioè la definizione alternativa di $e$ tramite una serie e la dimostrazione della sua irrazionalità (per quest’ultima parte, è necessaria una conoscenza almeno elementare delle serie).

Teorema 1. La successione

(1) $\begin{equation*} a_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n \quad (n>0) \end{equation*}$

è convergente. Il suo limite per $n \to +\infty$ è detto numero di Nepero $e$ .

Dimostrazione.

Dimostriamo che la successione $\{a_n\}$ è crescente e superiormente limitata, e dunque, per il teorema di monotonia, è convergente.

Crescenza della successione $\{a_n\}$ .
Dimostriamo che $\forall \, n \in \mathbb{N}^+$ si ha $a_{n+1} > a_n$ .Utilizzando la formula del binomio di Newton², possiamo esprimere $a_n$ come una sommatoria:

$a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} {\binom{n}{k} \frac{1}{n^k}}.$

Ora, osserviamo che, per $n > 0$ :

$\begin{equation*} \begin{split} a_{n+1} &= \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} {\binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}} = \\ & = \sum_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}+\underbrace{\frac{1}{(n+1)^{n+1}}}_{>0} > \sum_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k} \overset{(\bullet)}{\ge} \\ & \overset{(\bullet)}{\ge} \sum_{k=0}^{n} {\binom{n}{k} \frac{1}{n^k}} = \left({1+\frac{1}{n}}\right)^n = a_n. \end{split} \end{equation*}$

La minorazione $(\bullet)$ si giustifica così:

(2) $\begin{equation*}\begin{align*} \binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k} = {} & \frac{(n+1)!}{k!\,(n+1-k)!}\cdot\frac{1}{(n+1)^k} = \\ = {} & \frac{\overbrace{(n+1)n\cdots(n+1-k+1)}^{\text{$k$ fattori}}}{k!}\cdot\frac{1}{\underbrace{(n+1)\cdots(n+1)}_{\text{$k$ fattori}}} = \\ = {} & \frac{1}{k!} \cdot \frac{n+1}{n+1} \frac{(n+1)-1}{n+1} \cdots \frac{(n+1)-(k-1)}{n+1} \ge \\ \ge {} & \frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \frac{n-1}{n} \cdots \frac{n-(k-1)}{n}= \\ =& \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)(n-k)!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k}=\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}, \end{align*}\end{equation*}$

in quanto

$\frac{n+1-j}{n+1} = 1 - \frac{j}{n+1} \geq 1 - \frac{j}{n} = \frac{n-j}{n} \quad \forall \; j \geq 0.$
Limitatezza superiore della successione $\{a_n\}$ . $\forall \; n> 0$ abbiamo che

(3) $\begin{equation*} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = 1 + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k}. \end{equation*}$

Ora, osserviamo che, per $k > 0$ :

(4) $\begin{equation*} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \underbrace{\frac{n}{n}}_{=1} \cdot \underbrace{\frac{n-1}{n}}_{< 1} \cdots \underbrace{\frac{n-k+1}{n}}_{< 1} \cdot \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{k!}. \end{equation*}$

Ricordiamo che vale la seguente disuguaglianza:

$2^{k-1} \leq k! \quad (k>0).$

Infatti:

$k! = 1 \cdot 2 \cdots k \geq 1 \cdot \underbrace{2 \cdots 2}_{\text{$k-1$ volte}} = 2^{k-1} \quad (k>0).$

Usando la disuguaglianza appena ricavata, abbiamo che:

$\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k-1}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} \quad (k>0).$

Questo ci permette di maggiorare la sommatoria nella (3) con la somma di una progressione geometrica³ di ragione $1/2$ :

(5) $\begin{align*}\nonumber \left(1+\frac{1}{n}\right)^n&\leq 1 + \sum_{k=1}^n { \frac{1}{k!}}\leq 1+\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} = \\ \nonumber &= 1+\sum_{h=0}^{n-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{h}= 1+ \frac{1- \left(1/2\right)^{n}}{1-(1/2)} = \\ &= 1+2 \underbrace{\left[1-\left( \frac{1}{2}\right)^{n}\right]}_{<1} < 3. \end{align*}$

Questa catena di disuguaglianze mostra che $a_n < 3$ per ogni $n > 1$ , cioè 3 è un maggiorante di $\{a_n\}$ , che è dunque una successione limitata superiormente.

Forti di questo risultato, risulta ben posta la seguente definizione.

Definizione 2. Si definisce numero di Nepero il valore del seguente limite:

(6) $\begin{equation*} e \coloneqq \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n. \end{equation*}$

Essendo $\{a_n\}$ monotona crescente, vale anche, alternativamente:

$e =\sup \left\{ \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n : n \in \mathbb{N}^+ \right\}.$

Osservazione 3.

Dato che $a_1 = 2$ ed $\{a_n\}$ è crescente, considerando la (5) si conclude che $e \in (2,3)$ . Il suo valore approssimato a 12 cifre decimali, calcolabile usando per esempio la (1), risulta pari a

$e \approx 2{,}718281828459.$

Si può dimostrare che la differenza tra la (1) e il valore esatto di $e$ vale approssimativamente $e/(2n)$ , quindi è necessario inserire $n \approx 10^{13}$ nella (1) per ottenere il valore di $e$ con 12 cifre decimali esatte.

Osservazione 4.

Un esempio pratico in cui compare la successione (1) è nel calcolo dell’interesse composto. Si supponga di aver depositato in banca un certo capitale $C_0$ con un interesse annuale (particolarmente favorevole!) del $100\%$ . Se l’interesse viene pagato allo scadere dell’anno, si avrà una cifra totale $C_1 = 2C_0$ . Se si riceve invece l’interesse in due rate, pari al $50\%$ ogni 6 mesi, dopo un anno si sarà accumulata una somma maggiore: $C_2 = C_0(1+0{,}5)(1+0{,}5) = C_0(1+1/2)^2 = 2{,}25C_0$ . Se si aumenta il numero delle rate $n$ , riducendo corrispondentemente l’interesse per rata, si ha in generale $C_n = C_0(1+1/n)^n$ , dove ritroviamo la successione (1). Per quanto dimostrato nel teorema 1, si vede che il guadagno cresce all’aumentare del numero di rate. Nel caso limite di infinite rate pagate ad intervalli di tempi infinitesimi (detto “capitalizzazione continua”) si ha il massimo guadagno possibile, cioè $C_\infty = e\cdot C$ . Fu proprio studiando questo problema che nel 1683 il matematico svizzero Jakob Bernoulli (1655–1705) si imbattè per la prima volta nel numero $e$ .

Mostriamo ora alcuni risultati collegati alla definizione del numero di Nepero.

Proposizione 5. Sia:

$b_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \quad (n > 0).$

Allora $\{b_n\}$ è strettamente monotona decrescente e

$\lim_{n\to+\infty}b_n = e.$

Dimostrazione.

È facile notare che:

$\lim_{n\to+\infty} b_n = \lim_{n\to+\infty} \left[\underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}_{a_n} \cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)\right] = \left(\lim_{n\to+\infty} a_n\right) \cdot \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) = e.$

Mostriamo ora che $\{b_n\}$ è monotona decrescente. Facciamo vedere che, per ogni $n > 1$ , si ha $b_{n-1} > b_n$ .

$\begin{align*} b_{n-1} > b_n & \Leftrightarrow \left(1+\dfrac{1}{n-1} \right)^n > \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1} \Leftrightarrow \left(\dfrac{n}{n-1} \right)^n > \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n} \left(1+\dfrac{1}{n}\right) \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow \left(\dfrac{n^2}{n^2-1} \right)^ {n} > \left(1+\frac{1}{n}\right) \Leftrightarrow \underbrace{\left(1+\dfrac{1}{n^2-1} \right)^n > 1+\dfrac{1}{n} }_{(\star)}. \end{align*}$

La relazione $b_{n-1} > b_n$ è quindi equivalente alla $(\star)$ , che è sempre verificata in forza della disuguaglianza di Bernoulli⁴, dato che:

$\left(1+\frac{1}{n^2-1} \right)^n > 1+n\dfrac{1}{n^2-1 } > 1+n\frac{1}{n^2} = 1+\dfrac{1}{n}.$

Per dimostrare il prossimo risultato, dobbiamo introdurre un lemma dalla teoria delle successioni.

Lemma 6. . Sia $\{x_n\}_n$ una successione a valori reali. Se esiste $\ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$ tale che da ogni sottosuccessione $\{x_{n_k}\}_k$ di $\{x_n\}_n$ è possibile estrarre una sotto-sottosuccessione convergente ad $\ell$ , allora $\{x_n\}_n$ ha limite $\ell$ .

Dimostrazione.

Iniziamo con il caso $\ell \in \mathbb{R}$ . Per assurdo, supponiamo che $\{x_n\}_n$ non sia convergente ad $\ell$ . Esistono pertanto $\varepsilon > 0$ e una sottosuccessione $\{x_{n_k}\}_k$ di $\{x_n\}_n$ tali che

(7) $\begin{equation*} \left|x_{n_k} - \ell\right| > \varepsilon \quad \forall \; k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Ma da questa sottosuccessione, per ipotesi, possiamo estrarre una sotto-sottosuccessione $\{x_{n_{k_j}}\}_j$ convergente ad $\ell$ . Per cui esiste $J \in \mathbb{N}$ tale che, $\forall\;j \geq J$ , si ha $|x_{n_{k_j}}-\ell| < \varepsilon$ . Ma questo è in contrasto con l’ipotesi d’assurdo (7), per cui si conclude che $\{x_n\}_n$ deve essere necessariamente convergente ad $\ell$ .

Trattiamo ora il caso $\ell = +\infty$ , procedendo, come prima, per assurdo. Supponiamo quindi che $\{x_n\}_n$ non diverga a $+\infty$ . Esisteranno quindi $M \in \mathbb{R}$ e una sottosuccessione $\{x_{n_k}\}_k$ di $\{x_n\}_n$ tali che:

(8) $\begin{equation*} x_{n_k} \leq M \quad \forall \; k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Ma da questa sottosuccessione, per ipotesi, possiamo estrarre una sotto-sottosuccessione $\{x_{n_{k_j}}\}_j$ divergente a $+\infty$ . Per cui esiste $J \in \mathbb{N}$ tale che, $\forall \; j \geq J$ , si ha $x_{n_{k_j}} > M$ , in contrasto con l’ipotesi d’assurdo (8). Quindi $\{x_n\}_n$ è divergente a $+\infty$ . Per finire, se $\ell = -\infty$ , basta applicare il caso precedente alla successione definita da $y_n = -x_n$ .

Proposizione 7. Sia data una successione $\{c_n\}$ tale che $c_n \in (-\infty,-1) \cup (0,+\infty)$ $\forall\; n \in \mathbb{N}$ e che

$\lim_{n\to+\infty} |c_n| = +\infty.$

Allora si ha che

(9) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\left(1+\frac{1}{c_n} \right)^{c_n}=e. \end{equation*}$

Dimostrazione.

Osserviamo che si possono presentare tre casi:

$\lim\limits_{n\to+\infty} c_n = +\infty$ ;
$\lim\limits_{n\to+\infty} c_n = -\infty$ ;
non esiste $\lim\limits_{n\to+\infty} c_n$ .

Definiamo queste due successioni ausiliarie⁵:
$\alpha_n = \left( 1 + \frac{1}{1+ \lfloor c_n \rfloor}\right)^{\lfloor c_n \rfloor}, \quad \beta_n = \left( 1 + \frac{1}{\lfloor c_n \rfloor}\right)^{1+\lfloor c_n\rfloor},$

dove $\lfloor c_n \rfloor= \max\{k \in \mathbb{Z} : k \leq c_n\}$ denota la parte intera di $c_n$ .

Poiché $\lfloor c_n \rfloor \leq c_n \leq 1+\lfloor c_n \rfloor$ , e definitivamente $c_n \ge 1$ , si ha che per $n$ sufficientemente grande:

(10) $\begin{equation*} \alpha_n \leq \left(1+\frac{1}{c_n} \right)^{c_n} \leq \beta_n. \end{equation*}$

Osserviamo che

$\alpha_n = \underbrace{\left(1+\frac{1}{1+\lfloor c_n \rfloor} \right)^{1+\lfloor c_n \rfloor}}_{t_n} \cdot\underbrace{\left(1+\frac{1}{1+\lfloor c_n \rfloor} \right)^{-1}}_{u_n}.$

Si vede facilmente che $u_n \to 1$ per $n \to +\infty$ . Per calcolare il limite di $\{t_n\}$ , consideriamo ora una sottosuccessione arbitraria $\{c_{n_k}\}_k$ di $\{c_n\}_n$ , e da questa estraiamo una sotto-sottosuccessione $\{c_{n_{k_j}}\}_j$ con le seguenti proprietà: 1) $\{c_{n_{k_j}}\}_j$ sia monotona crescente; 2) $c_{n_{k_j}} > 0$ per ogni $j$ ; 3) la distanza tra termini successivi di $\{c_{n_{k_j}}\}_j$ sia sempre maggiore di 1, cioè $c_{n_{k_{j+1}}} - c_{n_{k_j}} > 1$ per ogni $j \in \mathbb{N}$ . Questo è sempre possibile perchè $\{c_n\}_n$ diverge a $+\infty$ . La sottosuccessione $\{t_{n_{k_j}}\}_j$ è quindi una sottosuccessione della successione convergente $\{a_n\}_n$ definita dalla (1), e come tale converge ad $e$ . Dato che $\{c_{n_k}\}_k$ era una sottosuccessione arbitraria di $\{c_n\}_n$ (e quindi $\{t_{n_k}\}_k$ di $\{t_n\}_n$ ), per il lemma 6 concludiamo che $\{t_n\}_n$ converge ad $e$ . Di conseguenza, anche $\alpha_n = t_n\cdot u_n$ ha come limite $e\cdot1 = e$ per $n \to +\infty$ .

Con passaggi analoghi si dimostra che anche $\beta_n \to e$ per $n \to +\infty$ . Pertanto, utilizzando il teorema del confronto nella (10), si ottiene che

$\lim_{n \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{c_n} \right)^{c_n} = e.$
Posto $d_n = -c_n$ , risulta $\lim d_n = - \lim c_n = +\infty$ per $n \to +\infty$ . Inoltre,
$\begin{align*} \left(1+\frac{1}{c_n} \right)^{c_n} = {} & \left(1-\frac{1}{d_n} \right)^{-d_n} = \left(\frac{d_n-1}{d_n} \right)^{-d_n} = \\ = {} & \left(\frac{d_n}{d_n-1} \right)^{d_n} = \underbrace{\left(1+\frac{1}{d_n-1} \right)^{d_n-1}}_{w_n}\cdot \underbrace{\left(1+\frac{1}{d_n-1} \right)}_{z_n}. \end{align*}$

Ora, per quanto visto in $1)$ , $w_n \to e$ per $n \to +\infty$ , e naturalmente $z_n \to 1$ . Quindi, anche in questo caso la (9) è verificata.
In questo caso esistono infiniti indici tali sia che $c_n > 0$ che $c_n < 0$ , ossia
$c_n = \begin{cases} c^+_n \quad n \in I^+:= \{n \in \mathbb{N}: c_n > 0\}, \quad |I^+|=+\infty, \quad \lim\limits_{n \to +\infty } c_n^+ = +\infty; \\ c^-_n \quad n \in I^-:= \{n \in \mathbb{N}: c_n < 0\}, \quad |I^-|=+\infty, \quad \lim\limits_{n \to +\infty } c_n^- = -\infty. \end{cases}$

Applicando il risultato dei punti 1) e 2) a $\{c_n^+\}$ e $\{c_n^-\}$ , rispettivamente, abbiamo:

$\lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{c_n^+}\right)^{c_n^+} = \lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{c_n^-}\right)^{c_n^-} = e.$

Applicando ancora il lemma 6, concludiamo che il risultato (9) vale per l’intera successione $\{c_n\}$ .

Proposizione 8. Se $x \in \mathbb{R}$ , valgono i seguenti risultati:

(11) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{x} \right)^x = {} & e;\end{equation*}$

(12) $\begin{equation*} \lim_{x \to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{x} \right)^x = {} & e. \end{equation*}$

Dimostrazione.

Entrambi i risultati sono conseguenza immediata dei punti 1) e 2) della proposizione 7, tenendo conto del cosiddetto teorema ponte⁶. Infatti, se $\{x_n\} \subset (-\infty,-1) \cup (0,+\infty)$ è una successione divergente a $\pm\infty$ per $n \to +\infty$ , allora, per la proposizione 7, si ha:

$\lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x_n}\right)^{x_n} = e.$

Quindi, data l’arbitrarietà di $\{x_n\}$ , valgono sia la (11) che la (12) per la condizione sufficiente del teorema ponte, con $f(x) = (1+1/x)^x$ , $x_0 = +\infty$ oppure $x_0 = -\infty$ ed $\ell = e$ .

Esempio 9. Calcolare il seguente limite:

(13) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\frac{2}{n}\right)^n. \end{equation*}$

Soluzione. Calcoliamo il limite (13) applicando la (9) con $c_n = n/2$ :

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\frac{2}{n}\right) ^n & = \lim_{n \to +\infty} \left[ \underbrace{\left( 1+\frac{1}{n/2}\right) ^{n/2}}_{\to e}\right]^2 = e^2. \end{aligned}$

Con un calcolo analogo a quello appena presentato⁷ (con $c_n = n/x$ ), si può concludere più in generale che:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x \quad \forall x \in \mathbb{R}. }$

Questa espressione è a volte utilizzata per definire la funzione esponenziale $e^x$ .

Esempio 10. Calcolare il seguente limite:

(14) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\frac{1}{n^2}\right)^n. \end{equation*}$

Soluzione. Calcoliamo il limite (14) applicando la (9):

$\begin{aligned} \lim_{n \to +\infty} \left( 1+\frac{1}{n^2}\right) ^n & = \lim_{n \to +\infty} \left[ \underbrace{\left( 1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}_{\to e}\right]^{\frac{1}{n}} = e^{\left(\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{1}{n}\right)} = e^0 = 1. \end{aligned}$

Presentiamo alcune proprietà più avanzate del numero di Nepero, inziando da questa famosa definizione alternativa alla (6).

Osservazione 11.

Il numero di Nepero si può definire come somma della seguente serie:

(15) $\begin{equation*} e \coloneqq \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}.\end{equation*}$

La serie (15) è convergente, dato che, come abbiamo visto precedentemente, si ha $k! \ge 2^{k-1}$ $\forall \; k \ge 0$ , e quindi:

$\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} \le \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{k-1}} = 2 \sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = 2 \frac{1}{1-1/2} = 4.$

Proposizione 12. Le definizioni del numero di Nepero (6) e (15) sono equivalenti tra di loro, cioè:

$\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!} = e.$

Dimostrazione.

Ricordando la maggiorazione (4), abbiamo che:

$a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} \leq \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}.$

Questo mostra che:

(16) $\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty} a_n \leqslant \lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}. \end{equation*}$

D’altro canto, preso $m \in \mathbb{N}$ arbitrario, si ha per $n \geq m$ :

$a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} \geq \sum_{k=0}^m \binom{n}{k}\frac{1}{n^k}.$

Prendendo il limite per $n \to +\infty$ :

(17) $\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty} a_n \geq \lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^m \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^m\lim_{n\to+\infty}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^m\frac{1}{k!}, \end{equation*}$

dove abbiamo usato il fatto che

$\lim_{n\to+\infty}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \lim_{n\to+\infty}\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k} = \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{k!}\frac{\overbrace{n(n-1)\cdots(n-k+1)}^{\text{$k$ termini}}}{n^k} = \frac{1}{k!}.$

Dato che la (17) vale per ogni $m \in \mathbb{N}$ , si ha:

(18) $\begin{equation*} \lim_{n\to+\infty} a_n \geq \sup_{m\in\mathbb{N}} \left\{\sum_{k=0}^m\frac{1}{k!}\right\} = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}. \end{equation*}$

Combinando la (16) con la (18), otteniamo finalmente la tesi.

La definizione (15) di $e$ tramite serie permette di dimostrare il seguente risultato.

Proposizione 13. La costante di Nepero $e$ è un numero irrazionale.

Dimostrazione.

Procediamo per assurdo supponendo che $e$ sia razionale. Ciò vuol dire che esistono due numeri naturali, primi tra loro, $a$ e $b$ ( $b \ne 0$ ), tali che

$e = \frac{a}{b}.$

Come abbiamo visto precedentemente (osservazione 3), si ha $2 < e < 3$ , quindi $e$ non è intero. Questo vuol dire che $b \ne 1$ , o, equivalentemente, $b > 1$ . Definiamo adesso la costante ausiliaria $x$

(19) $\begin{equation*} x = b! \left( e - \sum_{n=0}^{b} \frac{1}{n!} \right). \end{equation*}$

Se $e \in \mathbb{Q}$ , allora $x \in \mathbb{Z}$ . Infatti, sostituendo $e = a/b$ nella definizione di $x$ , otteniamo che

$x = b! \left( \frac{a}{b} - \sum_{n=0}^{b} \frac{1}{n!} \right) = \frac{ab!}{b} - \sum_{n=0}^{b} \frac{b!}{n!} = a(b-1)! - \sum_{n=0}^{b} \frac{b!}{n!}.$

Il primo termine $a(b-1)!$ è naturalmente un numero intero. Per quanto riguarda il secondo, se $0 \le n \le b$ , si ha:

$\frac{b!}{n!} = \frac{b(b-1)\cdots(n+1)n!}{n!} = b(b-1)\cdots(n+1),$

e quindi

$\sum_{n=0}^{b} \frac{b!}{n!} \in \mathbb{Z}.$

Di conseguenza, essendo $x$ pari alla differenza di due interi, $x \in \mathbb{Z}$ . Per concludere giungiamo alla contraddizione che $x \in (0,1)$ .

Mostriamo che $x > 0$ . Sostituendo la (15) nella definizione (19) di $x$ :
$x = b! \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} - \sum_{n=0}^{b} \frac{1}{n!} \right) = b!\sum_{n=b+1}^{+\infty} \frac{1}{n!}.$

Pertanto, $x>0$ in quanto somma di una serie a termini positivi.
Mostriamo che $x < 1$ . Abbiamo che:
$x = \sum_{n=b+1}^{+\infty}\frac{b!}{n!} = \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{b!}{(b+k)!}.$

Per $k > 1$ , il termine generale di questa serie si può maggiorare strettamente nel seguente modo:

$\frac{b!}{(b+k)!} = \frac{b!}{(b+k)(b+k-1)\cdots(b+1)b!} = \prod_{j=1}^{k} \frac{1}{b+j} < \frac{1}{(b+1)^k}.$

La medesima maggiorazione si può quindi applicare all’intera sommatoria:

$x = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{b!}{(b+k)!} < \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(b+1)^k}=\frac{1}{b+1} \left( \frac{1}{1-\frac{1}{b+1}} \right) = \frac{1}{b} <1.$

Pertanto, possiamo concludere che $x \in (0,1)$ . Ma abbiamo dimostrato sopra che $x$ è intero, giungendo quindi ad un assurdo, perchè l’intervallo aperto $(0,1)$ non contiene alcun numero intero. Quindi l’assunzione $e = a/b$ non può essere corretta, ed $e$ è un numero irrazionale.

$\[\]$

Nella letteratura internazionale, $e$ è invece conosciuto come numero di Eulero. ↩

Se $n \in \mathbb{N}$ e $x,y \in \mathbb{R}$ (con la convenzione $0^0 = 1$ ), vale la seguente formula (sviluppo binomiale di Newton):

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {\binom{n}{k} x^{n-k}y^k},$

dove si utilizzano i coefficienti binomiali

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}.$

↩

Ricordiamo, se $q \neq 1 \in \mathbb{R}$ ed $n, m$ sono numeri interi non negativi tali che $0 \le n \le m$ , si ha:

$\sum_{k=n}^{m} q^k = \frac{q^n-q^{m+1}}{1-q} = q^n \frac{1-q^{m-n+1}}{1-q}.$

Se, in particolare, $|q| < 1$ , per $m \to +\infty$ si ottiene la serie convergente (serie geometrica):

$\sum_{k=n}^{+\infty} q^k = \lim_{m\to+\infty}q^n \frac{1-q^{m-n+1}}{1-q} = \frac{q^n}{1-q}.$

↩

Per ogni $k \in \mathbb{N}$ e per ogni $x \geq -1$ , vale la seguente relazione (disuguaglianza di Bernoulli):

$(1+x)^k \ge 1+kx;$

la disuguaglianza è stretta se $x \ne 0$ e $k > 1$ . ↩

È possibile che, per un numero finito di valori di $n$ , le successioni $\{\alpha_n\}$ e $\{\beta_n\}$ non siano definite, nel caso in cui $\lfloor c_n\rfloor = 0$ , $-1$ oppure $-2$ . Dato che $|c_n| \to +\infty$ per $n \to +\infty$ , definitivamente $|c_n| \ge 3$ , e quindi il problema si presenta al più un numero finito di volte, e nulla cambia nel limite per $n \to +\infty$ . ↩

Il teorema ponte: siano $f$ : $D \to \mathbb{R}$ una funzione, $\ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$ e $x_0$ un punto di accumulazione per $D$ (eventualmente $x_0 = \pm\infty$ se $D$ è illimitato). Allora sono equivalenti le seguenti affermazioni:

$\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = \ell$ ;

per ogni successione $\{x_n\} \subseteq D \setminus \{x_0\}$ tale che $\lim\limits_{n\to+\infty} x_n = x_0$ si ha $\lim\limits_{n\to+\infty} f(x_n) = \ell$ .

↩

Il caso $x=0$ è banale ma va verificato separatamente. ↩

Tutta la teoria di analisi matematica

Leggi...

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

Leggi...

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

Document

Alessio Fulvi

2024-07-17

Un sito molto utile, professionale e chiaro, che approfondisce vari argomenti. Ho utilizzato questo sito per prepararmi a diversi esami, lo stesso mi ha fornito di strumenti adatti e specifici, permettendomi di colmare lacune che mi portavo avanti dai tempi del liceo. Il sito web è adatto ad una ricerca e risoluzione rapida di ogni quesito inerente alle materie trattate, facile ed intuitivo da utilizzare. Grazie e ben fatto.

Diego Aracri

2024-07-09

ho trovato questo sito mentre preparavo analisi 1 ed ho deciso di consultarlo. mi sono trovato benissimo, ha molto materiale da consultare, sia teorico che pratico, e ogni esercizio è spiegato nei minimi dettagli. consigliatissimo, dubito che altrimenti avrei passato l'esame!

Alessandro Morra

2024-06-20

Grazie, molto rigoroso e chiaro

martina toro

2024-06-13

Sito meraviglioso! Ho scoperto per caso questo sito perché cercavo le soluzioni degli esercizi di Fisica del libro "Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde" del Mazzoldi. Riescono a spiegare in modo chiaro ed esaustivo come si svolgono i problemi. Sono un'ottima risorsa per chi sta affrontando per la prima volta gli esercizi, ma anche per chi ha già una preparazione e vuole chiarire alcuni dubbi. Inoltre sono molto gentili e disponibili. Veramente un'ottima scoperta, consiglio a tutti.

Ugo Cozzi

2024-06-02

Uno dei più bei siti online di matematica e fisica. Dispense ben fatte. Impaginazione perfetta con Latex

antonio elia

2024-05-29

Sito ben fatto e con tanto materiale consultabile, sono cinquantenne autodidatta, ed ho trovato un valido aiuto

Francesco Doria

Un sito bellissimo sia per chi è all'università che alle superiori. Un lavoro fatto con passione e lungo, decisamente da tenere sempre in mente come riferimento, e non solo per gli esercizi. Un grande grazie.

Stefano Parisi

Un sito ben fatto, moltissimi argomenti trattati a diversi livelli di difficoltà, ottimo sia per la teoria che per gli esercizi.

50% di sconto su tutto fino al 31/12/2024

Menu

Chiudi

Numero di Nepero: definizione e proprietà

Numero di Nepero: definizione e proprietà

Autori e revisori

Leggi...

Sommario

Leggi...

Dimostrazione.

Osservazione 3.

Osservazione 4.

Dimostrazione.

Dimostrazione.

Dimostrazione.

Dimostrazione.

Osservazione 11.

Dimostrazione.

Dimostrazione.

Tutta la teoria di analisi matematica

Leggi...

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

Leggi...

Tutti gli esercizi di geometria

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

Suggerimenti, refusi ed errori

Numero di Nepero: definizione e proprietà

Numero di Nepero: definizione e proprietà

Autori e revisori

Leggi...

Sommario

Leggi...

Dimostrazione.

Osservazione 3.

Osservazione 4.

Dimostrazione.

Dimostrazione.

Dimostrazione.

Dimostrazione.

Osservazione 11.

Dimostrazione.

Dimostrazione.

Tutta la teoria di analisi matematica

Leggi...

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

Leggi...

Tutti gli esercizi di geometria

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

Legge di Ampere e campo magnetico: esercizi svolti

Circuiti elettrici e corrente elettrica: esercizi svolti

Legge di Gauss: esercizi svolti