Esercizi svolti forme indeterminate

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Esercizi svolti forme indeterminate

In questo documento vengono svolti cinque esercizi per ogni tipo di forma indeterminata: $\infty/\infty$ , $0/0$ , $\infty \cdot 0$ e $+\infty-\infty$ .

Introduzione

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A seconda del tipo di forma indeterminata trovata svolgendo il limite, possiamo applicare un preciso metodo di risoluzione. Nel caso della forma indeterminata $\infty/\infty$ si procede raccogliendo il monomio di grado maggiore sia a numeratore che denominatore, si prosegue con la semplificazione e poi con il limite. In generale vale quanto segue

(1) $\begin{equation*} \lim_{x \to \infty} \dfrac{a_nx^n + \dots + a_0}{b_m x^m + \dots + b_0} = \begin{cases} a/b \qquad & \text{se} \, n=m\\ \infty \qquad & \text{se} \, n>m\\ 0 \qquad & \text{se} \, n<m\\ \end{cases} \end{equation*}$

dove $x^n$ e $x^m$ sono rispettivamente i monomi di grado massimo a numeratore e denominatore. Nonostante il comodo schema, preferiamo procedere dilungandoci un po’ ma comprendendo fino in fondo il metodo.

Nel caso della forma indeterminata $0/0$ si procede scomponendo il numeratore e il denominatore, semplificando e poi facendo il limite.

Nel caso della forma indeterminata $\infty \cdot 0$ si procede scomponendo oppure utilizzando relazioni ben note per poi scomporre e procedere con il limite; difatti questa forma indeterminata non è raro trovarla con le funzioni goniometriche, quindi è bene ricordare la prima e la seconda relazione fondamentale, la definizione delle funzioni goniometriche e le formule note (duplicazione,bisezione ecc). Puo’ altresì capitare che nell’esercizio sia necessario razionalizzare.

Nel caso della forma indeterminata $+\infty -\infty$ possiamo avere a che fare con una frazione dove a numeratore o a denominatore sono presenti delle radici, quindi in questo caso si razionalizza con l’intento ben preciso di sfruttare il prodotto notevole $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ per eliminare la forma indeterminata. Se invece troviamo tale forma indeterminata ma dovuta ad un polinomio, si procede esattamente come nel caso $\infty/\infty$ stavolta raccogliendo il monomio di grado massimo.

Forma indeterminata $\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite

(2) $\begin{equation*} \lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^6-3x^4}{2x^2-2x+1} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^6-3x^4}{2x^2-2x+1} = \dfrac{+\infty-\infty}{+\infty}$

che è una forma indeterminata.

Quindi procediamo come segue

$\begin{aligned} & \lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^6-3x^4}{2x^2-2x+1} = \lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^6\left(1 -\dfrac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(2-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)} =\\ & = \lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^4\left(1 -\dfrac{3}{x^2}\right)}{2-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}} = \dfrac{(-\infty)^4\left(1 - \dfrac{3}{-\infty}\right)}{2+\dfrac{2}{-\infty}+\dfrac{1}{-\infty}} = +\infty . \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^6-3x^4}{2x^2-2x+1} =+\infty.}$

Osserviamo che il limite rispetta 1 essendo il grado del polinomio a numeratore maggiore del grado del polinomio a denominatore.

Esercizio 2. Calcolare il seguente limite

(3) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3-4x^2+6}{3x^2-2x+x^3}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to + \infty} \dfrac{3x^3-4x^2+6}{3x^2-2x+x^3} = \dfrac{+\infty-\infty}{+\infty-\infty}$

che è una forma indeterminata.

Quindi procediamo come segue

$\begin{aligned} & \lim_{x \to + \infty} \dfrac{3x^3-4x^2+6}{3x^2-2x+x^3} = \lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^3 \left(3-\dfrac{4}{x} + \dfrac{6}{x^3} \right)}{x^3\left(\dfrac{3}{x} - \dfrac{2}{x^2} + 1\right)} = \\ & = \lim_{x \to + \infty} \dfrac{3-\dfrac{4}{x} + \dfrac{6}{x^3} }{ \dfrac{3}{x} - \dfrac{2}{x^2} + 1 } = \dfrac{3-\dfrac{4}{+\infty} + \dfrac{6}{+\infty} }{ \dfrac{3}{+\infty} - \dfrac{2}{+\infty} + 1 } = 3 . \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to + \infty} \dfrac{3x^3-4x^2+6}{3x^2-2x+x^3}=3.}$

Osserviamo che il limite rispetta 1 essendo il grado del polinomio a numeratore uguale al grado del polinomio a denominatore.

Esercizio 3. Calcolare il seguente limite

(4) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-2x+3x^3}{2x^4-x^2}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-2x+3x^3}{2x^4-x^2} = \dfrac{+\infty-\infty}{+\infty-\infty}$

che è una forma indeterminata.

Procediamo come segue

$\begin{aligned} & \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-2x+3x^3}{2x^4-x^2} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}+3\right)}{x^4\left(2-\dfrac{1}{x^2}\right)} = \\ & = \dfrac{ \dfrac{1}{+\infty}-\dfrac{2}{+\infty}+3}{+\infty \left(2-\dfrac{1}{\infty}\right)} = 0. \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-2x+3x^3}{2x^4-x^2}=0.}$

Esercizio 4. Calcolare il seguente limite

(5) $\begin{equation*} \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x-2}{\sqrt{x^2-x+1}} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x-2}{\sqrt{x^2-x+1}} = \dfrac{-\infty}{+\infty}$

che è una forma indeterminata.

Quindi procediamo come segue

$\begin{aligned} & \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x-2}{\sqrt{x^2-x+1}} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x\left(3-\dfrac{2}{x}\right)}{\sqrt{x^2\left(1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}} = \\ & = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x\left(3-\dfrac{2}{x}\right)}{\sqrt{x^2} \; \sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x\left(3-\dfrac{2}{x}\right)}{\vert x \vert \; \sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}} \overset{\heartsuit}{=} \\ & \overset{\heartsuit}{=} \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x\left(3-\dfrac{2}{x}\right)}{-x \; \sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3-\dfrac{2}{x}}{-\sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}} = \\ & = \dfrac{3+\dfrac{2}{-\infty}}{-\sqrt{1+\dfrac{1}{-\infty}+\dfrac{1}{-\infty}}} = -3 . \end{aligned}$

dove in $\heartsuit$ abbiamo sfruttato $\vert x \vert = -x$ con $x<0$ , in quanto $x \to -\infty$ .

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x-2}{\sqrt{x^2-x+1}} =-3.}$

Esercizio 5. Calcolare il seguente limite

(6) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2-3}}{x+1} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2-3}}{x+1} = \dfrac{+\infty}{+\infty}$

che è una forma indeterminata.

Quindi procediamo come segue

$\begin{aligned} & \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2-3}}{x+1} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 \left(4-\dfrac{3}{x^2}\right)}}{x\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)} = \\ & = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2} \sqrt{4-\dfrac{3}{x^2}}}{x\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\vert x \vert \sqrt{4-\dfrac{3}{x^2}}}{x\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)} \overset{\heartsuit}{=} \\ & \overset{\heartsuit}{=} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x \sqrt{4-\dfrac{3}{x^2}}}{x\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4-\dfrac{3}{x^2}}}{1 + \dfrac{1}{x}} = 2. \end{aligned}$

dove in $\heartsuit$ abbiamo sfruttato $\vert x \vert = x$ con $x>0$ , in quanto $x \to +\infty$ .

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2-3}}{x+1} =2.}$

Esercizio 6.

(7) $\begin{equation*} \lim_{x\to-\infty} \dfrac{\sqrt[4]{x^4+1}}{x}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Procediamo come segue

$\lim_{x\to-\infty} \dfrac{\sqrt[4]{x^4+1}}{x}= \lim_{x\to-\infty} \dfrac{\sqrt[4]{x^4\left(1+\dfrac{1}{x^4} \right)}}{x}=\lim_{x\to-\infty} \dfrac{\left \vert x \right \vert \sqrt[4]{\left(1+\dfrac{1}{x^4} \right)}}{x}.$

Ricordando che $\left \vert x \right \vert=\max\{-x,x\}$ si ha

$\lim_{x\to-\infty} \dfrac{\left \vert x \right \vert \sqrt[4]{\left(1+\dfrac{1}{x^4} \right)}}{x} =\lim_{x\to-\infty} \dfrac{- x \sqrt[4]{\left(1+\dfrac{1}{x^4} \right)}}{x}=\lim_{x\to-\infty}-\sqrt[4]{\left(1+\dfrac{1}{x^4} \right)}=-1.$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x\to-\infty} \dfrac{\sqrt[4]{x^4+1}}{x}=-1.}$

Forma indeterminata $\displaystyle\frac{0}{0}$

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite

(8) $\begin{equation*} \lim_{x \to -5} \dfrac{x^2+3x-10}{x^2-25} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to -5} \dfrac{x^2+3x-10}{x^2-25} =\dfrac{0}{0}$

che è una forma indeterminata.

Scomponiamo il numeratore

$x^2+3x-10=x^2+5x -2x - 10 = x(x+5)-2(x+5) = (x-2)(x+5)$

e denominatore ¹

$x^2-25 = (x-5)(x+5)$

ottenendo

$\begin{aligned} & \lim_{x \to -5} \dfrac{x^2+3x-10}{x^2-25} = \lim_{x \to -5} \dfrac{(x-2)(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \\ & = \lim_{x \to -5} \dfrac{x-2}{x-5} = \dfrac{-7}{-10} = \dfrac{7}{10}. \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to -5} \dfrac{x^2+3x-10}{x^2-25}= \dfrac{7}{10}.}$

$\[\]$

Differenza di due quadrati: $A^2-B^2 = (A-B)(A+B)$

Esercizio 2. Calcolare il seguente limite

(9) $\begin{equation*} \lim_{x \to 2} \dfrac{3x^2-x-10}{x^2+5x-14} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to 2} \dfrac{3x^2-x-10}{x^2+5x-14} = \dfrac{0}{0}$

che è una forma indeterminata.

Scomponiamo il numeratore

$3x^2-x-10 = 3 (x-x_1)(x-x_2)$

dove $x_1$ e $x_2$ sono le soluzioni dell’equazione

$3x^2-x-10 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x_{1,2} = \dfrac{1 \pm 11}{6}$

da cui

$3x^2-x-10 = 3 \left(x + \dfrac{5}{3} \right) \left( x-2\right) = (3x+5)(x-2)$

e denominatore

$x^2+5x-14 = x^2+7x - 2x - 14 = x(x+7)-2(x+7) = (x-2)(x+7)$

ottenendo

$\begin{aligned} & \lim_{x \to 2} \dfrac{3x^2-x-10}{x^2-5x-14} = \lim_{x \to 2} \dfrac{(3x+5)(x-2)}{(x-2)(x+7)} = \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{3x+5}{x+7} = \dfrac{11}{9}. \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to 2} \dfrac{3x^2-x-10}{x^2-5x-14} =\dfrac{11}{9}.}$

Esercizio 3. Calcolare il seguente limite

(10) $\begin{equation*} \lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-1}{x^4-1} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-1}{x^4-1} = \dfrac{0}{0}$

che è una forma indeterminata.

Quindi scomponiamo numeratore ²

$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$

e denominatore ³

$x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)$

ottenendo

$\begin{aligned} & \lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-1}{x^4-1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} =\\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2+x+1}{(x+1)(x^2+1)} = \dfrac{3}{4} . \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \rightarrow 1}\dfrac{x^3-1}{x^4-1}=\dfrac{3}{4}.}$

$\[\]$

Differenza di due cubi: $A^3-B^3 = (A-B) (A^2+AB+B^2)$

$\[\]$

Differenza di due quadrati $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

Esercizio 4. Calcolare il seguente limite

(11) $\begin{equation*} \lim_{x \to - 1} \dfrac{-x^3+3x^2+9x+5}{x^2-6x-7} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to - 1} \dfrac{-x^3+3x^2+9x+5}{x^2-6x-7} = \dfrac{0}{0}$

che é una forma indeterminata.

Quindi scomponiamo numeratore⁴

$\begin{aligned} -x^3+3x^2+9x+5 & = (x+1)(-x^2 +4x+5) = -(x+1)(x^2-4x-5) =\\ & = -(x+1)(x-5)(x+1) = -(x+1)^2(x-5) \end{aligned}$

e denominatore

$x^2-6x-7 = x^2 - 7x + x - 7 = x(x-7)-(x-7) = (x+1)(x-7)$

ottenendo

$\begin{aligned} & \lim_{x \to -1} \dfrac{-(x+1)^2(x-5)}{(x+1)(x-7)} = \lim_{x \to -1} \dfrac{-(x+1)(x-5)}{x-7} = 0. \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to -1} \dfrac{-(x+1)^2(x-5)}{(x+1)(x-7)}=0.}$

$\[\]$

Scomposizione con Ruffini

Esercizio 5. Calcolare il seguente limite

(12) $\begin{equation*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{2-2\sin x}{\cos^2x} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{2-2\sin x}{\cos^2x} = \dfrac{0}{0}$

che è una forma indeterminata.

Quindi scomponiamo il numeratore

$2-2\sin x = 2(1-\sin x)$

e riscriviamo il denominatore ⁵

$\cos^2 x = 1-\sin^2 x = (1-\sin x) (1+\sin x)$

ottenendo

$\begin{aligned} & \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{2-2\sin x}{\cos^2x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{2(1-\sin x)}{(1-\sin x) (1+\sin x)} = \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{2}{1+\sin x} = \dfrac{2}{2} = 1 \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{2-2\sin x}{\cos^2x}=1.}$

$\[\]$

Utilizziamo la prima relazione fondamentale $\sin^2\alpha+ \cos^2\alpha =1$ per ogni $a \in \mathbb{R}$ e la differenza di due quadrati $A^2-B^2 = (A-B)(A+B)$ .

Forma indeterminata $\displaystyle\infty \cdot 0$

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite

(13) $\begin{equation*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left[ (1+\tan x) \cdot \cot x\right]. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left[ (1+\tan x) \cdot \cot x\right] = \infty \cdot 0$

che è una forma indeterminata.

Quindi

$\begin{aligned} & \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left[ (1+\tan x) \cdot \cot x\right] = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left[ \dfrac{\cos x + \sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} \right] = \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left[ \dfrac{\cos x + \sin x}{\sin x} \right] = 1 \end{aligned}$

dove abbiamo sfruttato la seconda relazione fondamentale $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ e la definizione di cotangente $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ .

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left[ (1+\tan x) \cdot \cot x\right] =1.}$

Esercizio 2. Calcolare il seguente limite

(14) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \left[ (1- \cos 2x) \cdot \cot x\right]. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to 0} \left[ (1- \cos 2x) \cdot \cot x\right] = \infty \cdot 0$

che è una forma indeterminata.

Quindi

$\begin{aligned} & \lim_{x \to 0} \left[ (1- \cos 2x) \cdot \cot x\right] = \lim_{x \to 0} \left[ (1- (\cos^2 x - \sin^2 x)) \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} \right] = \\[10pt] & = \lim_{x \to 0} \left[ (1- (\cos^2 x - \sin^2 x)) \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} \right] = \\[10pt] &=\lim_{x \to 0} \left[ (1- \cos^2 x + \sin^2 x) \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} \right] =\\[10pt] &= \lim_{x \to 0} \left( 2\sin^2 x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} \right) = \lim_{x \to 0} 2 \sin x \cos x = 0 \end{aligned}$

dove abbiamo sfruttato la formula di duplicazione del coseno $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ , la prima relazione fondamentale $\cos^2x + \sin^2x = 1$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ e la definizione di cotangente $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ .

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to 0} \left[ (1- \cos 2x) \cdot \cot x\right] =0.}$

Esercizio 3. Calcolare il seguente limite

(15) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \left(4-\dfrac{1}{x}\right) (x^2+2x). \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to 0} \left(4-\dfrac{1}{x}\right) (x^2+2x) = \infty \cdot 0$

che è una forma indeterminata.

Quindi

$\begin{aligned} & \lim_{x \to 0} \left(4-\dfrac{1}{x}\right) (x^2+2x) = \lim_{x \to 0} \left(4x-1\right) (x+2) = - 2. \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to 0} \left(4-\dfrac{1}{x}\right) (x^2+2x)=-2.}$

Esercizio 4. Calcolare il seguente limite

(16) $\begin{equation*} \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \left[ (1+\sin x)\cdot \tan^2 x\right]. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \left[ (1+\sin x)\cdot \tan^2 x\right] = \infty \cdot 0$

che è una forma indeterminata.

Quindi

$\begin{aligned} & \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \left[ (1+\sin x)\cdot \tan^2 x\right] = \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \left[ (1+\sin x)\cdot \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \right] \cdot \dfrac{1-\sin x}{1-\sin x} =\\[10pt] & = \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \left[ (1-\sin^2 x)\cdot \dfrac{\sin^2 x}{(1-\sin x)\cos^2 x} \right] = \\[10pt] & = \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \left[ \cos^2 x \cdot \dfrac{\sin^2 x}{(1-\sin x)\cos^2 x} \right] = \\[10pt] & = \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \dfrac{\sin^2 x}{1-\sin x} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$

dove abbiamo sfruttato la prima relazione fondamentale $\cos^2x + \sin^2x = 1$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ e la seconda relazione fondamentale $\sin x = \frac{\sin x}{\cos x}$ .

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \left[ (1+\sin x)\cdot \tan^2 x\right]=\dfrac{1}{2}.}$

Esercizio 5. Calcolare il seguente limite

(17) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0^+} \left(\sqrt{9x^2+1}-1\right) \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to 0^+} \left(\sqrt{9x^2+1}-1\right) \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x}\right) = +\infty \cdot 0$

che è una forma indeterminata.

Quindi

$\begin{aligned} & \lim_{x \to 0^+} \left(\sqrt{9x^2+1}-1\right) \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x}\right) = \\[10pt] & = \lim_{x \to 0^+} \left(\sqrt{9x^2+1}-1\right) \cdot \dfrac{\sqrt{9x^2+1}+1}{\sqrt{9x^2+1}+1} \cdot \dfrac{1+x}{x^2} = \\[10pt] & = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{9x^2}{\sqrt{9x^2+1}+1} \; \dfrac{1+x}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{9(1+x)}{\sqrt{9x^2+1}+1}= \dfrac{9}{2} . \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to 0^+} \left(\sqrt{9x^2+1}-1\right) \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{9}{2}.}$

Forma indeterminata $\displaystyle+\infty - \infty$

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite

(18) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right) . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right) = +\infty - \infty$

che è una forma indeterminata.

Procediamo come segue

$\begin{aligned} & \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right) = \\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}} \overset{\star}{=}\\[10pt] & \overset{\star}{=} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\left(\sqrt{x+1}\right)^2-(\sqrt{x+2})^2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}} = \\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x+1-(x+2)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}= \\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}= \dfrac{-1}{+\infty} = 0 \end{aligned}$

dove in $\star$ abbiamo utilizzato il prodotto notevole $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ . Inoltre è importante osservare che

$\sqrt{\left(x+1\right)^2}=\left \vert x+1 \right \vert$

ma siccome siamo in un intorno di infinito abbiamo

$\sqrt{\left(x+1\right)^2}=\left \vert x+1 \right \vert =x+1 \quad \text{per}\,\, x \rightarrow +\infty.$

Analogamente vale lo stesso discorso per

$\sqrt{\left(x+2\right)^2}=\left \vert x+2\right \vert=x+2 \quad \text{per}\,\, x \rightarrow +\infty.$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right)=0.}$

Esercizio 2. Calcolare il seguente limite

(19) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2+x}\right) . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2+x}\right) = +\infty - \infty$

che è una forma indeterminata.

Abbiamo dunque

$\begin{aligned} & \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2+x}\right) = \\[10pt] & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \; \left(1-\dfrac{1}{x+1}\right) = \\[10pt] & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{x}{x+1} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x+1} = 1 . \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2+x}\right)=1.}$

Esercizio 3. Calcolare il seguente limite

(20) $\begin{equation*} \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}}{3x} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}}{3x} = +\infty - \infty$

che è una forma indeterminata.

Abbiamo dunque

$\begin{aligned} &\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}}{3x}=\\[10pt] & = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}}{3x} \cdot \dfrac{\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x}}{\sqrt{1-x} +\sqrt{1-2x}} = \\[10pt] & = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{(\sqrt{1-x})^2 - (\sqrt{1-2x})^2}{3x (\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})} = \\[10pt] & = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1-x - (1-2x)}{3x (\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})} = \\[10pt] & = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{3x (\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})} = \\[10pt] & = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{3(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})} = \dfrac{1}{+\infty}=0. \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}}{3x} =0.}$

Esercizio 4. Calcolare il seguente limite

(21) $\begin{equation*} \lim_{x \to -\infty} (-3x^3+2x^2-x). \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to -\infty} (-3x^3+2x^2-x) = +\infty-\infty$

che è una forma indeterminata.

Raccogliamo il monomio di grado massimo

$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} (-3x^3+2x^2-x) & = \lim_{x \to -\infty} x^3 \left(-3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2} \right) = \\[10pt] & = (-\infty)^3 \left(-3-\dfrac{2}{-\infty}-\dfrac{1}{(-\infty)^2} \right) = \\[10pt] & = -\infty \cdot (-3) = + \infty . \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to -\infty} (-3x^3+2x^2-x)=+\infty.}$

Esercizio 5. Calcolare il seguente limite

(22) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{2x+2}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{2x+2}} = +\infty - \infty$

che è una forma indeterminata.

Abbiamo dunque

$\begin{aligned} &\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{2x+2}} =\\[10pt] &= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{2x+2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x-2}}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x+2}} =\\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x (\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x-2})}{(\sqrt{2x-1})^2-(\sqrt{2x+2})^2} = \\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x (\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x-2})}{(2x-1)-(2x+2)} = \\[10pt] & = \lim_{x \to +\infty} -\frac{x}{3} (\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x+2}) = -\infty. \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{2x-2}}\right)=-\infty.}$

Nota a piè di pagina

Document

Alessio Fulvi

2024-07-17

Un sito molto utile, professionale e chiaro, che approfondisce vari argomenti. Ho utilizzato questo sito per prepararmi a diversi esami, lo stesso mi ha fornito di strumenti adatti e specifici, permettendomi di colmare lacune che mi portavo avanti dai tempi del liceo. Il sito web è adatto ad una ricerca e risoluzione rapida di ogni quesito inerente alle materie trattate, facile ed intuitivo da utilizzare. Grazie e ben fatto.

Diego Aracri

2024-07-09

ho trovato questo sito mentre preparavo analisi 1 ed ho deciso di consultarlo. mi sono trovato benissimo, ha molto materiale da consultare, sia teorico che pratico, e ogni esercizio è spiegato nei minimi dettagli. consigliatissimo, dubito che altrimenti avrei passato l'esame!

Alessandro Morra

2024-06-20

Grazie, molto rigoroso e chiaro

martina toro

2024-06-13

Sito meraviglioso! Ho scoperto per caso questo sito perché cercavo le soluzioni degli esercizi di Fisica del libro "Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde" del Mazzoldi. Riescono a spiegare in modo chiaro ed esaustivo come si svolgono i problemi. Sono un'ottima risorsa per chi sta affrontando per la prima volta gli esercizi, ma anche per chi ha già una preparazione e vuole chiarire alcuni dubbi. Inoltre sono molto gentili e disponibili. Veramente un'ottima scoperta, consiglio a tutti.

Ugo Cozzi

2024-06-02

Uno dei più bei siti online di matematica e fisica. Dispense ben fatte. Impaginazione perfetta con Latex

antonio elia

2024-05-29

Sito ben fatto e con tanto materiale consultabile, sono cinquantenne autodidatta, ed ho trovato un valido aiuto

Francesco Doria

Un sito bellissimo sia per chi è all'università che alle superiori. Un lavoro fatto con passione e lungo, decisamente da tenere sempre in mente come riferimento, e non solo per gli esercizi. Un grande grazie.

Stefano Parisi

Un sito ben fatto, moltissimi argomenti trattati a diversi livelli di difficoltà, ottimo sia per la teoria che per gli esercizi.

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