Forme indeterminate – Esercizi

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi completamente risolti sulle forme indeterminate nel calcolo dei limiti. In questo articolo presentiamo 55 esercizi di calcolo dei limiti, in cui lo svolgimento produce una forma indeterminata, tra le tipologie più frequentemente occorrenti. Forniamo delle tecniche generali e specifiche per lo studio di questi problemi, illustrate da molteplici esempi di difficoltà e natura varia. Non ti resta dunque che metterti alla prova e confrontare le tue soluzioni con quelle da noi proposte!

Consigliamo la lettura del seguente materiale di teoria inerente all’argomento:

Segnaliamo inoltre le seguenti raccolte di esercizi su temi affini:

Buona lettura!

Sommario

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Questo documento presenta 55 esercizi risolti riguardanti le forme indeterminate $\infty/\infty$

, $0/0$

, $\infty \cdot 0$

e $+\infty-\infty$

. Ogni esercizio è sviluppato in maniera dettagliata, garantendo la completa esposizione di tutti i passaggi necessari. Sono inclusi esercizi simili e ripetuti, al fine di soddisfare le esigenze degli studenti che necessitano di un ampio repertorio di pratica. La trattazione teorica non è stata inclusa in questo documento, in quanto già approfondita nella sezione teorica dell’articolo Teoria sui limiti disponibile sul sito Qui Si Risolve. Questa dispensa è particolarmente indicata per studenti di ingegneria, fisica e matematica, impegnati nei corsi di Analisi 1.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi

Revisori: Sergio Fiorucci.

Forme indeterminate: i prerequisiti

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I prerequisiti necessari per affrontare gli esercizi di questa dispensa sono descritti in questa sezione: forme indeterminate e limiti notevoli.

$\quad$

Forme indeterminate $+\infty - \infty$

Forme indeterminate $\dfrac{\infty}{\infty}$ e gerarchia degli infiniti

Forme indeterminate $\dfrac{0}{0}$ e limiti notevoli

Forme indeterminate $0 \cdot \infty$

dell’articolo Teoria sui limiti disponibile sul sito Qui Si Risolve. Rispetto alla notazione adottata nella dispensa teorica, dove le forme indeterminate sono indicate come $[\infty/\infty]$ , $[+\infty-\infty]$ , $[0/0]$ e $[\infty\cdot 0]$ , in questo documento abbiamo scelto di utilizzare una notazione più semplice e pratica per la risoluzione degli esercizi, ovvero $\infty/\infty$ , $+\infty-\infty$ , $0/0$ e $\infty\cdot 0$ . Questa scelta semplifica e velocizza l’applicazione delle tecniche necessarie per la risoluzione degli esercizi.

Introduzione alle forme indeterminate

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Di seguito viene fornita una breve guida per il calcolo dei limiti del tipo

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{a_nx^n + \dots + a_0}{b_m x^m + \dots + b_0},$

dove numeratore e denominatore rappresentano rispettivamente due polinomi di grado $n \in \mathbb{N}$ e $m \in \mathbb{N}$ .

Osserviamo che

$\lim_{x\to+\infty}\left(a_nx^n + \dots + a_0\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(b_m x^m + \dots + b_0\right)=+\infty.$

A seconda della forma indeterminata incontrata nel calcolo di un limite, è possibile applicare un metodo di risoluzione specifico. Riconoscere correttamente la forma indeterminata è fondamentale, poiché guida la scelta del metodo più appropriato, garantendo la correttezza e l’efficienza. Di seguito viene illustrato il ragionamento seguito per le forme indeterminate del tipo $\infty/\infty$ e $0/0$ .

$\quad$

Forma indeterminata $\infty/\infty$ : in questo caso, si procede raccogliendo il monomio di grado maggiore sia al numeratore che al denominatore, semplificando l’espressione e poi calcolando il limite. In generale, si ha:

(1) $\begin{equation*} \lim_{x \to+ \infty} \dfrac{a_nx^n + \dots + a_0}{b_m x^m + \dots + b_0} = \begin{cases} \dfrac{a_n}{b_m} \qquad & \text{se} \, n=m,\\ \textbf{sgn}\left(\dfrac{a_n}{b_m}\right) \cdot \; +\infty \qquad & \text{se} \, n>m,\\ 0 \qquad & \text{se} \, 0<n<m, \end{cases} \end{equation*}$

dove $x^n$ e $x^m$ sono i monomi di grado massimo al numeratore e al denominatore, rispettivamente. Sebbene questo schema sia utile, è preferibile affrontare il calcolo con maggiore dettaglio per comprendere appieno il metodo.

Forma indeterminata $0/0$ : in questo caso, si risolve scomponendo il numeratore e il denominatore, semplificando l’espressione risultante e calcolando il limite. Un’alternativa valida in molti casi è l’applicazione della regola di De L’Hospital, che consiste nel calcolare il limite del rapporto tra le derivate del numeratore e del denominatore. Di seguito tre esempi per i precedenti casi.

Esempio 1: forma indeterminata $\infty/\infty$ .

Si consideri il seguente limite:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^3 + 5x^2 - 2x + 1}{7x^3 - 4x + 9}.$

In questo caso, sia il numeratore che il denominatore sono polinomi di terzo grado, per cui ci troviamo di fronte a una forma indeterminata del tipo $\infty/\infty$ . Per risolvere il limite, si procede raccogliendo il monomio di grado massimo sia al numeratore che al denominatore:

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3\left(1 + \dfrac{5}{3x} - \dfrac{2}{3x^2} + \dfrac{1}{3x^3}\right)}{7x^3\left(1 - \dfrac{4}{7x^2} + \dfrac{9}{7x^3}\right)}.$

Semplificando, si ottiene:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{3\left(1 + \dfrac{5}{3x} - \dfrac{2}{3x^2} + \dfrac{1}{3x^3}\right)}{7\left(1 - \dfrac{4}{7x^2} + \dfrac{9}{7x^3}\right)}.$

Dal momento che i termini contenenti $x$ al denominatore tendono a zero per $x \to +\infty$ , il limite si riduce a:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 5x^2 - 2x + 1}{7x^3 - 4x + 9}=\frac{3}{7}.$

Esempio 2: Forma indeterminata $0/0$

Si consideri ora il limite seguente:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}.$

Sostituendo direttamente $x = 1$ , si ottiene la forma indeterminata $0/0$ . Per risolvere il limite, si procede scomponendo il numeratore:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}.$

Semplificando l’espressione, eliminando il fattore comune $x - 1$ , si ottiene:

$\lim_{x \to 1} (x + 1).$

Infine, calcolando il limite si ha:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}=1 + 1 = 2.$

I casi sopra descritti si applicano ai polinomi, ma possono essere generalizzati anche al caso in cui al numeratore e al denominatore compaiano funzioni irrazionali o una combinazione di funzioni irrazionali e polinomi.

Esempio 3: Funzioni irrazionali $\dfrac{+\infty}{+\infty}$

Consideriamo il seguente limite:

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^4 + x^2}}{2x^2 - 1}$

in questo caso, abbiamo una funzione irrazionale al numeratore ( $\sqrt{4x^4 + x^2}$ ) e un polinomio al denominatore ( $2x^2 - 1$ ). Il limite si presenta come una forma indeterminata del tipo $\dfrac{+\infty}{+\infty}$ . Per risolverlo, raccogliamo il termine di grado massimo all’interno della radice al numeratore e nel polinomio al denominatore:

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^4\left(4 + \dfrac{1}{x^2}\right)}}{x^2\left(2 - \dfrac{1}{x^2}\right)},$

semplificando, otteniamo

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^2}}}{x^2\left(2 - \dfrac{1}{x^2}\right)},$

possiamo ulteriormente semplificare

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4 + \dfrac{1}{x^2}}}{2 - \dfrac{1}{x^2}},$

poiché i termini contenenti $x$ al denominatore delle frazioni all’interno del radicale e del polinomio tendono a zero per $x \to +\infty$ , il limite si riduce a

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^4 + x^2}}{2x^2 - 1} =\dfrac{\sqrt{4}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1.$

pertanto, il valore del limite è 1.

Esempio 4: Combinazione di funzioni irrazionali e polinomi $0/0$

Consideriamo il limite:

$\lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$

sostituendo $x = 4$ , otteniamo la forma indeterminata $0/0$ . Per risolvere questo limite, possiamo moltiplicare e dividere l’espressione per $(\sqrt{x} + 2)$ :

$\lim_{x \to 4} \dfrac{\left(\sqrt{x} - 2\right)\left(\sqrt{x} + 2\right)}{\left(x - 4\right)\left(\sqrt{x} + 2\right)},$

questo porta a

$\lim_{x \to 4} \dfrac{x - 4}{\left(x - 4\right)\left(\sqrt{x} + 2\right)},$

semplificando l’espressione eliminando il fattore comune $x - 4$ , si ottiene

$\lim_{x \to 4} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}.$

Ora, calcoliamo il limite sostituendo $x = 4$ :

$\dfrac{1}{\sqrt{4} + 2} = \dfrac{1}{2 + 2} = \dfrac{1}{4}$

pertanto, il valore del limite è $\dfrac{1}{4}$ .

Esempio 5: Funzioni irrazionali $\dfrac{\infty}{\infty}$

Consideriamo il seguente limite:

$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 3x}}{x - 5}.$

In questo caso, abbiamo una funzione irrazionale al numeratore ( $\sqrt{x^2 + 3x}$ ) e un polinomio al denominatore ( $x - 5$ ). Il limite si presenta come una forma indeterminata del tipo $\dfrac{\infty}{\infty}$ . Per risolverlo, raccogliamo il termine di grado massimo all’interno della radice al numeratore e nel polinomio al denominatore:

$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2\left(1 + \dfrac{3}{x}\right)}}{x\left(1 - \dfrac{5}{x}\right)}$

semplificando, otteniamo:

$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{|x|\sqrt{1 + \dfrac{3}{x}}}{x\left(1 - \dfrac{5}{x}\right)}.$

poiché $x \to -\infty$ , abbiamo che $|x| = -x$ , quindi il limite diventa:

$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{-x\sqrt{1 + \dfrac{3}{x}}}{x\left(1 - \dfrac{5}{x}\right)} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-\sqrt{1 + \dfrac{3}{x}}}{1 - \dfrac{5}{x}},$

considerando che i termini contenenti $\dfrac{1}{x}$ tendono a zero quando $x \to -\infty$ , il limite si riduce a

$-\dfrac{\sqrt{1}}{1} = -1$

pertanto, il valore del limite è $-1$ .

Di seguito vengono esaminati casi distinti rispetto a quelli precedentemente trattati.

$\quad$

Forme indeterminate $\infty \cdot 0$ e $+\infty -\infty$ : queste due forme indeterminate possono presentarsi in una vasta gamma di contesti, e purtroppo non esiste una strategia unica e universale per risolverle tutte. Anche il caso precedentemente discusso, $\infty/\infty$ , rappresenta solo una situazione specifica, ma esistono numerose altre configurazioni di natura diversa che possono verificarsi. Pertanto, l’approccio più efficace per padroneggiare le forme indeterminate consiste nel costruire una solida comprensione della Teoria sui limiti, disponibile sul sito Qui Si Risolve nei prerequisiti 1, e nello svolgimento di numerosi esercizi, come quelli presentati nelle sezione 4, 9, 5, 6, 7 e 13. In questo modo, si svilupperanno l’esperienza e le competenze necessarie per applicare con successo le diverse tecniche risolutive. Tra le tecniche consigliate, vi è l’uso della gerarchia degli infiniti, come illustrato nell’esempio (2), o degli infinitesimi, come mostrato nell’esempio (61). Un’altra tecnica efficace consiste nell’utilizzo delle formule goniometriche, manipolando l’espressione della funzione di cui si sta calcolando il limite, come si vede nell’esercizio 18. Nel caso, ad esempio, di somme di funzioni irrazionali, è spesso utile razionalizzare o applicare la somma e la differenza di cubi, come mostrato negli esempi (3) e (59). Di seguito vengono presentati alcuni esempi che illustrano varie tecniche risolutive.

Esempio 6.

Consideriamo il seguente limite:

(2) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x}=0, \end{equation*}$

perché $x$ è un infinito di ordine inferiore rispetto a $e^{x}$ per $x\to+\infty$ .

Esempio 7.

Consideriamo il seguente limite:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \ln(x^2 + 1) - \ln(x^2) \right).$

In questo caso, entrambe le funzioni logaritmiche tendono a $+\infty$ per $x \to +\infty$ , creando una forma indeterminata del tipo $+\infty - \infty$ . Per risolvere, possiamo utilizzare la proprietà dei logaritmi:

$\lim_{x \to +\infty} \ln\left(\dfrac{x^2 + 1}{x^2}\right) = \lim_{x \to +\infty} \ln\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right).$

Quando $x$ tende a $+\infty$ , il termine $\dfrac{1}{x^2}$ tende a zero, quindi:

$\lim_{x \to +\infty} \ln\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)= \ln(1 + 0) = \ln(1) = 0.$

Esempio 8.

Consideriamo il seguente limite:

(3) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x} \right). \end{equation*}$

In questo caso, entrambe le radici quadrate tendono a $+\infty$ quando $x$ tende a $+\infty$ , creando una forma indeterminata del tipo $+\infty - \infty$ . Per risolvere, razionalizziamo l’espressione:

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\left( \sqrt{x^2 + x} - \sqrt{x^2 - x} \right) \cdot \left( \sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x} \right)}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + x} + \sqrt{x^2 - x}}$

semplificando ulteriormente:

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x}{x\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x}} \right)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x}}} = \dfrac{2}{2} = 1.$

Tabella operativa: guida alla risoluzione degli esercizi sulle forme indeterminate

Introduzione.

Consideriamo due numeri reali positivi $a > 0$

e $b > 0$

. Nel contesto del calcolo dei limiti, capita frequentemente di dover effettuare operazioni che coinvolgono grandezze finite e infinite. Sebbene non sia formalmente possibile definire operazioni elementari come somma, prodotto e altre tra tali grandezze, è comunque possibile attribuire a queste operazioni un significato ad hoc in relazione ai teoremi sui limiti. Pertanto, si applicano le seguenti convenzioni, dove $I$

indica che ci troviamo di fronte a una forma indeterminata. Le notazioni che seguono, pur rappresentando formalmente degli abusi di notazione, sono state definite e spiegate con rigore nel seguente articolo: Esercizi sui limiti di base.

Addizione.

(4) $\begin{equation*} \begin{array}{lc|c|c|c|c|c|} + & & a & -a & 0 & +\infty & -\infty \\ & & & & & & \\ \hline b & & a+b & -a+b & b & +\infty & -\infty\\ \hline -b & & a-b & -a-b & -b & +\infty & -\infty\\ \hline 0 & & a & -a & 0 & +\infty & -\infty\\ \hline +\infty & & +\infty & +\infty & +\infty & +\infty & I\\ \hline -\infty & & -\infty & -\infty & -\infty & I & -\infty\\ \hline \end{array} \end{equation*}$

Moltiplicazione.

(5) $\begin{equation*} \begin{array}{lc|c|c|c|c|c|c|} \cdot & & a & -a & 0^+ & 0^- & +\infty & -\infty \\ & & & & & & & \\ \hline b & & ab & -ab & 0^+ & 0^-& +\infty & -\infty\\ \hline -b & & -ab & ab & 0^- & 0^+ & -\infty & +\infty\\ \hline 0^+ & & 0^+ & 0^- & 0^+ & 0^- & I & I\\ \hline 0^- & & 0^- & 0^+ & 0^- & 0^+ & I & I\\ \hline +\infty & & +\infty & -\infty & I & I & +\infty & -\infty\\ \hline -\infty & & -\infty & +\infty & I & I & -\infty & +\infty\\ \hline \end{array} \end{equation*}$

Spiegazione della Tabella Operativa dei Limiti

La tabella operativa dei limiti mostra le regole di somma tra varie grandezze, che possono essere numeri reali positivi $a$ e $b$ , oppure valori infiniti $+\infty$ e $-\infty$ . Queste regole si applicano nel contesto del calcolo dei limiti, dove è necessario manipolare espressioni che coinvolgono sia grandezze finite sia infinite. La tabella fornisce un modo per determinare il risultato della somma di due valori quando almeno uno di essi è infinito.

Interpretazione delle colonne e delle righe

Le righe della tabella rappresentano il primo termine dell’operazione di somma, mentre le colonne rappresentano il secondo termine. La cella all’intersezione di una riga e una colonna contiene il risultato della somma di quei due termini.

Alcuni casi

$\quad$

$a + b$ indica la somma di due numeri reali positivi $a$ e $b$ , che è un numero reale positivo.

$a + 0$ e $0 + a$ restituiscono semplicemente $a$ , perché aggiungere zero non cambia il valore di $a$ .

$a + (+\infty)$ e $(+\infty) + a$ danno $+\infty$ , poiché aggiungere un valore finito a $+\infty$ dà $+\infty$ .

$(+\infty) + (-\infty)$ è una forma indeterminata $I$ , poiché la somma di $+\infty$ e $-\infty$ non ha un risultato definito.

$(+\infty) + (+\infty)$ e $(- \infty) + (-\infty)$ danno rispettivamente $+\infty$ e $-\infty$ , poiché sommare due infiniti dello stesso segno rafforza l’infinito.

Conclusione

La tabella evidenzia i casi in cui è possibile determinare un risultato definitivo per l’operazione di somma nel contesto dei limiti, nonché i casi in cui si ottiene una forma indeterminata. Questa è una risorsa utile quando si affrontano esercizi sui limiti in cui compaiono grandezze infinite.

Osservazione. la colonna o la riga corrispondente a $I$ indica una forma indeterminata, dove ulteriori analisi o tecniche di risoluzione sono necessarie per valutare il limite.

Quoziente.

Sulla prima riga i numeratori, sulla prima colonna i denominatori.

(6) $\begin{equation*} \begin{array}{lc|c|c|c|c|c|c|} \div & & a & -a & 0^+ & 0^- & +\infty & -\infty \\ & & & & & & & \\ \hline b & & a/b & -a/b & 0^+ & 0^-& +\infty & -\infty\\ \hline -b & & -a/b & a/b & 0^- & 0^+ & -\infty & +\infty\\ \hline 0^+ & & +\infty & -\infty & I & I & +\infty & -\infty\\ \hline 0^- & & -\infty & +\infty & I & I & -\infty & +\infty\\ \hline +\infty & & 0^+ & 0^- & 0^+ & 0^- & I & I\\ \hline -\infty & & 0^- & 0^+ & 0^- & 0^+ & I & I\\ \hline \end{array} \end{equation*}$

Spiegazione della Tabella Operativa dei Limiti per il Quoziente

La tabella operativa per il quoziente elenca le regole per dividere varie grandezze, che possono essere numeri reali positivi $a$ e $b$ , oppure valori infiniti $+\infty$ e $-\infty$ . La tabella viene utilizzata nel contesto del calcolo dei limiti per determinare il risultato della divisione di un numeratore per un denominatore.

Interpretazione della Tabella

$\quad$

La prima riga della tabella rappresenta i numeratori, mentre la prima colonna rappresenta i denominatori.

Ogni cella della tabella mostra il risultato della divisione tra il numeratore e il denominatore corrispondente.

Alcuni casi

$\quad$

$\dfrac{a}{b}$ indica il quoziente di due numeri reali positivi $a$ e $b$ , che è un numero reale positivo.

$\dfrac{a}{0^+}$ e $\dfrac{a}{0^-}$ indicano rispettivamente $+\infty$ e $-\infty$ , poiché dividere un numero positivo per un numero infinitesimamente piccolo positivo o negativo vale $+\infty$ o $-\infty$ .

$\dfrac{0^+}{a}$ risulta in $0^+$ , poiché un numero infinitesimamente piccolo diviso per un numero finito equivale a zero positivo.

$\dfrac{0^+}{0^+}$ è una forma indeterminata indicata con $I$ , poiché non è possibile determinare un risultato definitivo senza ulteriori informazioni.

$\dfrac{+\infty}{+\infty}$ è anch’essa una forma indeterminata $I$ , poiché la divisione di due infiniti non ha un risultato ben definito.

Conclusione

Questa tabella è utile per determinare rapidamente il risultato di un quoziente tra diverse grandezze nel calcolo dei limiti, identificando al contempo le situazioni in cui si presenta una forma indeterminata, in cui si richiedono ulteriori analisi.

Potenze.

Sulla prima riga le basi, sulla prima colonna gli esponenti.

(7) $\begin{equation*} \begin{array}{lc|c|c|c|c|c|} & & a>1 & 0<a<1 & 1 & 0^+ & +\infty \\ & & & & & & \\ \hline b & & a^b & a^b & 1 & 0^+ & +\infty\\ \hline -b & & 1/a^b & 1/a^b & 1 & +\infty & 0^+\\ \hline 0 & & 1 & 1 & 1 & I & I\\ \hline +\infty & & +\infty & 0^+ & I & 0^+ & +\infty\\ \hline -\infty & & 0^+ & +\infty & I & +\infty & 0^+\\ \hline \end{array} \end{equation*}$

Spiegazione della Tabella Operativa dei Limiti per le Potenze

La tabella operativa per le potenze descrive le regole per calcolare i risultati delle potenze, con diverse basi ed esponenti, nel contesto del calcolo dei limiti.

Alcuni casi

$\quad$

La prima riga della tabella elenca le basi $a$ utilizzate nell’operazione di potenza.

La prima colonna rappresenta gli esponenti $b$ utilizzati per elevare la base corrispondente.

Ogni cella della tabella mostra il risultato dell’operazione $a^b$ per la specifica combinazione di base ed esponente.

Alcuni casi

$\quad$

Se $a > 1$ e $b > 0$ , $a^b$ è un numero positivo maggiore di 1.

Se $a > 1$ e $b = 0$ , $a^0 = 1$ , indipendentemente dal valore di $a$ .

Se $0 < a < 1$ e $b$ è positivo, $a^b$ sarà un numero positivo minore di 1.

Se $a = 0$ e $b > 0$ , $0^b = 0$ . Tuttavia, se $b = 0$ , $0^0$ è una forma indeterminata (indicata con $I$ ).

Se $a = +\infty$ e $b > 0$ , $(+\infty)^b = +\infty$ .

Se $a = +\infty$ e $b = 0$ , $(+\infty)^0$ è una forma indeterminata $I$ , poiché non è definito.

Conclusione

Questa tabella è utile per determinare rapidamente il risultato di una potenza nel contesto del calcolo dei limiti, identificando al contempo le situazioni in cui si presenta una forma indeterminata, richiedendo ulteriori analisi.

Esercizi forma indeterminata $\dfrac{\infty}{\infty}$

$\quad$

Esercizio 1. Calcolare il seguente limite

(8) $\begin{equation*} \lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^6-3x^4}{2x^2-2x+1} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^6-3x^4}{2x^2-2x+1} ,$

si presenta nella forma indeterminata

$\dfrac{+\infty-\infty}{+\infty}.$

Quindi procediamo come segue

$\begin{aligned} \lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^6-3x^4}{2x^2-2x+1} &= \lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^6\left(1 -\dfrac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(2-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)} =\\ & = \lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^4\left(1 -\dfrac{3}{x^2}\right)}{2-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}} = \\ &= \dfrac{(-\infty)^4\left(1 - \dfrac{3}{-\infty}\right)}{2+\dfrac{2}{-\infty}+\dfrac{1}{-\infty}} = +\infty . \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to - \infty} \dfrac{x^6-3x^4}{2x^2-2x+1} =+\infty. }$

Osserviamo che il limite rispetta (1) essendo il grado del polinomio a numeratore maggiore del grado del polinomio a denominatore.

Esercizio 2. Calcolare il seguente limite

(9) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3-4x^2+6}{3x^2-2x+x^3} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to + \infty} \dfrac{3x^3-4x^2+6}{3x^2-2x+x^3} ,$

si presenta nella forma indeterminata

$\dfrac{+\infty-\infty}{+\infty-\infty}.$

Quindi procediamo come segue

$\begin{aligned} \lim_{x \to + \infty} \dfrac{3x^3-4x^2+6}{3x^2-2x+x^3} &= \lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^3 \left(3-\dfrac{4}{x} + \dfrac{6}{x^3} \right)}{x^3\left(\dfrac{3}{x} - \dfrac{2}{x^2} + 1\right)} = \\ & = \lim_{x \to + \infty} \dfrac{3-\dfrac{4}{x} + \dfrac{6}{x^3} }{ \dfrac{3}{x} - \dfrac{2}{x^2} + 1 } = \\ &= \dfrac{3-\dfrac{4}{+\infty} + \dfrac{6}{+\infty} }{ \dfrac{3}{+\infty} - \dfrac{2}{+\infty} + 1 } = 3 . \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to + \infty} \dfrac{3x^3-4x^2+6}{3x^2-2x+x^3}=3.}$

Osserviamo che il limite rispetta (1) essendo il grado del polinomio a numeratore uguale al grado del polinomio a denominatore.

Esercizio 3. Calcolare il seguente limite

(10) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-2x+3x^3}{2x^4-x^2}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-2x+3x^3}{2x^4-x^2} ,$

si presenta nella forma indeterminata

$\dfrac{+\infty-\infty}{+\infty-\infty}.$

Procediamo come segue

$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-2x+3x^3}{2x^4-x^2} &= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}+3\right)}{x^4\left(2-\dfrac{1}{x^2}\right)} = \\ & = \dfrac{ \dfrac{1}{+\infty}-\dfrac{2}{+\infty}+3}{+\infty \left(2-\dfrac{1}{\infty}\right)} = 0. \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-2x+3x^3}{2x^4-x^2}=0.}$

Osserviamo che il limite rispetta (1) essendo il grado del polinomio a numeratore minore del grado del polinomio a denominatore.

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Ottieni il documento contenente 55 esercizi risolti, contenuti in 42 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione delle forme indeterminate.

Esercizio 4. Calcolare il seguente limite

(11) $\begin{equation*} \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x-2}{\sqrt{x^2-x+1}} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x-2}{\sqrt{x^2-x+1}} ,$

si presenta nella forma indeterminata

$\dfrac{-\infty}{+\infty}.$

Quindi procediamo come segue

$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x-2}{\sqrt{x^2-x+1}} &= \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x\left(3-\dfrac{2}{x}\right)}{\sqrt{x^2\left(1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}} = \\ & = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x\left(3-\dfrac{2}{x}\right)}{\sqrt{x^2} \; \sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}} = \\ &=\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x\left(3-\dfrac{2}{x}\right)}{\vert x \vert \; \sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}} \overset{\heartsuit}{=} \\ & \overset{\heartsuit}{=} \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x\left(3-\dfrac{2}{x}\right)}{-x \; \sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}} = \\ &=\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3-\dfrac{2}{x}}{-\sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}} = \\ & = \dfrac{3+\dfrac{2}{-\infty}}{-\sqrt{1+\dfrac{1}{-\infty}+\dfrac{1}{-\infty}}} =\\ &= -3 . \end{aligned}$

dove in $\heartsuit$ abbiamo sfruttato $\vert x \vert = -x$ con $x<0$ , in quanto $x \to -\infty$ .

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x-2}{\sqrt{x^2-x+1}} =-3.}$

Esercizio 5. Calcolare il seguente limite

(12) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2-3}}{x+1} . \end{equation*}$

Svolgimento.

sserviamo che

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2-3}}{x+1} ,$

si presenta nella forma indeterminata

$\dfrac{+\infty}{+\infty}.$

Quindi procediamo come segue

$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2-3}}{x+1} &= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 \left(4-\dfrac{3}{x^2}\right)}}{x\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)} = \\ & = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2} \sqrt{4-\dfrac{3}{x^2}}}{x\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)} =\\ &= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\vert x \vert \sqrt{4-\dfrac{3}{x^2}}}{x\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)} \overset{\heartsuit}{=} \\ & \overset{\heartsuit}{=} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x \sqrt{4-\dfrac{3}{x^2}}}{x\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)} =\\ &= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4-\dfrac{3}{x^2}}}{1 + \dfrac{1}{x}} = \\ &=2. \end{aligned}$

dove in $\heartsuit$ abbiamo sfruttato $\vert x \vert = x$ con $x>0$ , in quanto $x \to +\infty$ .

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2-3}}{x+1} =2.}$

Esercizio 6. Calcolare il seguente limite

(13) $\begin{equation*} \lim_{x\to-\infty} \dfrac{\sqrt[4]{x^4+1}}{x}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Procediamo come segue

$\lim_{x\to-\infty} \dfrac{\sqrt[4]{x^4+1}}{x}= \lim_{x\to-\infty} \dfrac{\sqrt[4]{x^4\left(1+\dfrac{1}{x^4} \right)}}{x}=\lim_{x\to-\infty} \dfrac{\left \vert x \right \vert \sqrt[4]{\left(1+\dfrac{1}{x^4} \right)}}{x}.$

Ricordando che $\left \vert x \right \vert=\max\{-x,x\}$ si ha

$\lim_{x\to-\infty} \dfrac{\left \vert x \right \vert \sqrt[4]{\left(1+\dfrac{1}{x^4} \right)}}{x} =\lim_{x\to-\infty} \dfrac{- x \sqrt[4]{\left(1+\dfrac{1}{x^4} \right)}}{x}=\lim_{x\to-\infty}-\sqrt[4]{\left(1+\dfrac{1}{x^4} \right)}=-1.$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x\to-\infty} \dfrac{\sqrt[4]{x^4+1}}{x}=-1.}$

Esercizi forma indeterminata $\dfrac{0}{0}$

$\quad$

Esercizio 7. Calcolare il seguente limite

(14) $\begin{equation*} \lim_{x \to -5} \dfrac{x^2+3x-10}{x^2-25} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to -5} \dfrac{x^2+3x-10}{x^2-25},$

si presenta nella forma indeterminata

$\dfrac{0}{0}.$

Scomponiamo il numeratore

$x^2+3x-10=x^2+5x -2x - 10 = x(x+5)-2(x+5) = (x-2)(x+5)$

e il denominatore¹

$x^2-25 = (x-5)(x+5)$

ottenendo

$\begin{aligned} \lim_{x \to -5} \dfrac{x^2+3x-10}{x^2-25} &= \lim_{x \to -5} \dfrac{(x-2)(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \\ & = \lim_{x \to -5} \dfrac{x-2}{x-5} = \\ &= \dfrac{-7}{-10} = \dfrac{7}{10}. \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to -5} \dfrac{x^2+3x-10}{x^2-25}= \dfrac{7}{10}.}$

Differenza di due quadrati: $A^2-B^2 = (A-B)(A+B).$ ↩

Esercizio 8. Calcolare il seguente limite

(15) $\begin{equation*} \lim_{x \to 2} \dfrac{3x^2-x-10}{x^2+5x-14} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to 2} \dfrac{3x^2-x-10}{x^2+5x-14},$

si presenta nella forma indeterminata

$\dfrac{0}{0}.$

Scomponiamo il numeratore

$3x^2-x-10 = 3 (x-x_1)(x-x_2)$

dove $x_1$ e $x_2$ sono le soluzioni dell’equazione

$3x^2-x-10 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x_{1,2} = \dfrac{1 \pm 11}{6}$

da cui

$3x^2-x-10 = 3 \left(x + \dfrac{5}{3} \right) \left( x-2\right) = (3x+5)(x-2)$

e il denominatore

$x^2+5x-14 = x^2+7x - 2x - 14 = x(x+7)-2(x+7) = (x-2)(x+7)$

ottenendo

$\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \dfrac{3x^2-x-10}{x^2-5x-14} &= \lim_{x \to 2} \dfrac{(3x+5)(x-2)}{(x-2)(x+7)} = \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{3x+5}{x+7} = \dfrac{11}{9}. \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to 2} \dfrac{3x^2-x-10}{x^2-5x-14} =\dfrac{11}{9}.}$

Esercizio 9. Calcolare il seguente limite

(16) $\begin{equation*} \lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-1}{x^4-1} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-1}{x^4-1} ,$

si presenta nella forma indeterminata

$\dfrac{0}{0}.$

Quindi scomponiamo il numeratore²

$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$

e il denominatore³

$x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)$

ottenendo

$\begin{aligned} \lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-1}{x^4-1} &= \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} =\\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2+x+1}{(x+1)(x^2+1)} = \dfrac{3}{4} . \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow 1}\dfrac{x^3-1}{x^4-1}=\dfrac{3}{4}.}$

Differenza di due cubi: $A^3-B^3 = (A-B) (A^2+AB+B^2)$ ↩

Differenza di due quadrati $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ ↩

Esercizio 10. Calcolare il seguente limite

(17) $\begin{equation*} \lim_{x \to - 1} \dfrac{-x^3+3x^2+9x+5}{x^2-6x-7} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to - 1} \dfrac{-x^3+3x^2+9x+5}{x^2-6x-7} ,$

si presenta nella forma indeterminata

$\dfrac{0}{0}.$

Quindi scomponiamo il numeratore⁴

$\begin{aligned} -x^3+3x^2+9x+5 & = (x+1)(-x^2 +4x+5) = \\ &= -(x+1)(x^2-4x-5) =\\ & = -(x+1)(x-5)(x+1) = -(x+1)^2(x-5) \end{aligned}$

e il denominatore

$x^2-6x-7 = x^2 - 7x + x - 7 = x(x-7)-(x-7) = (x+1)(x-7)$

ottenendo

$\begin{aligned} & \lim_{x \to -1} \dfrac{-(x+1)^2(x-5)}{(x+1)(x-7)} = \lim_{x \to -1} \dfrac{-(x+1)(x-5)}{x-7} = 0. \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to -1} \dfrac{-(x+1)^2(x-5)}{(x+1)(x-7)}=0.}$

Scomposizione con Ruffini ↩

Esercizio 11. Calcolare il seguente limite

(18) $\begin{equation*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{2-2\sin x}{\cos^2x} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{2-2\sin x}{\cos^2x},$

si presenta nella forma indeterminata

$\dfrac{0}{0}.$

Quindi scomponiamo il numeratore

$2-2\sin x = 2(1-\sin x)$

e riscriviamo il denominatore⁵

$\cos^2 x = 1-\sin^2 x = (1-\sin x) (1+\sin x)$

ottenendo

$\begin{aligned} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{2-2\sin x}{\cos^2x} & = \lim_{x \to \dfrac{\pi}{2}} \dfrac{2(1-\sin x)}{(1-\sin x) (1+\sin x)} = \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{2}{1+\sin x}= \\ &= \dfrac{2}{2} = 1 . \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{2-2\sin x}{\cos^2x}=1.}$

Utilizziamo la prima relazione fondamentale $\sin^2\alpha+ \cos^2\alpha =1$ per ogni $a \in \mathbb{R}$ e la differenza di due quadrati $A^2-B^2 = (A-B)(A+B)$ . ↩

Esercizi forma indeterminata $\infty \cdot 0$

$\quad$

Esercizio 12. Calcolare il seguente limite

(19) $\begin{equation*} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left[ (1+\tan x) \cdot \cot x\right]. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left[ (1+\tan x) \cdot \cot x\right] ,$

si presenta nella forma indeterminata

$\infty \cdot 0.$

Quindi

$\begin{aligned} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left[ (1+\tan x) \cdot \cot x\right] &= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left[ \dfrac{\cos x + \sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} \right] = \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left[ \dfrac{\cos x + \sin x}{\sin x} \right] = 1 \end{aligned}$

dove abbiamo sfruttato la seconda relazione fondamentale $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ e la definizione di cotangente $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ . Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left[ (1+\tan x) \cdot \cot x\right] =1.}$

Esercizio 13. Calcolare il seguente limite

(20) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \left[ (1- \cos 2x) \cdot \cot x\right]. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to 0} \left[ (1- \cos 2x) \cdot \cot x\right] ,$

si presenta nella forma indeterminata

$\infty \cdot 0.$

Quindi

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \left[ (1- \cos 2x) \cdot \cot x\right] &= \lim_{x \to 0} \left[ (1- (\cos^2 x - \sin^2 x)) \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} \right] = \\ & = \lim_{x \to 0} \left[ (1- (\cos^2 x - \sin^2 x)) \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} \right] = \\ &=\lim_{x \to 0} \left[ (1- \cos^2 x + \sin^2 x) \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} \right] =\\ &= \lim_{x \to 0} \left( 2\sin^2 x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} \right) = \lim_{x \to 0} 2 \sin x \cos x = 0 \end{aligned}$

dove abbiamo sfruttato la formula di duplicazione del coseno $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ , la prima relazione fondamentale $\cos^2x + \sin^2x = 1$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ e la definizione di cotangente $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ .

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to 0} \left[ (1- \cos 2x) \cdot \cot x\right] =0.}$

Esercizio 14. Calcolare il seguente limite

(21) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \left(\left(4-\dfrac{1}{x}\right) (x^2+2x)\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to 0} \left(\left(4-\dfrac{1}{x}\right) (x^2+2x) \right),$

si presenta nella forma indeterminata

$\infty \cdot 0.$

Quindi

$\begin{aligned} & \lim_{x \to 0} \left(\left(4-\dfrac{1}{x}\right) (x^2+2x)\right) = \lim_{x \to 0} \left(\left(4x-1\right) (x+2) \right)= - 2. \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to 0} \left(\left(4-\dfrac{1}{x}\right) (x^2+2x)\right)=-2. }$

Esercizio 15. Calcolare il seguente limite

(22) $\begin{equation*} \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \left[ (1+\sin x)\cdot \tan^2 x\right]. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \left[ (1+\sin x)\cdot \tan^2 x\right] = \infty \cdot 0$

si presenta nella forma indeterminata

$\infty \cdot 0.$

Quindi

$\begin{aligned} \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \left[ (1+\sin x)\cdot \tan^2 x\right] &= \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \left[ (1+\sin x)\cdot \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \right] \cdot \dfrac{1-\sin x}{1-\sin x} =\\ & = \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \left[ (1-\sin^2 x)\cdot \dfrac{\sin^2 x}{(1-\sin x)\cos^2 x} \right] = \\ & = \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \left[ \cos^2 x \cdot \dfrac{\sin^2 x}{(1-\sin x)\cos^2 x} \right] = \\ & = \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \dfrac{\sin^2 x}{1-\sin x} = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$

dove abbiamo sfruttato la prima relazione fondamentale $\cos^2x + \sin^2x = 1$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ e la seconda relazione fondamentale $\sin x = \frac{\sin x}{\cos x}$ .

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}} \left[ (1+\sin x)\cdot \tan^2 x\right]=\dfrac{1}{2}.}$

Esercizio 16. Calcolare il seguente limite

(23) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0^+} \left(\sqrt{9x^2+1}-1\right) \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to 0^+} \left(\left(\sqrt{9x^2+1}-1\right) \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x}\right)\right)$

si presenta nella forma indeterminata

$+\infty \cdot 0.$

Quindi

$\begin{aligned} & \lim_{x \to 0^+} \left(\left(\sqrt{9x^2+1}-1\right) \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x}\right) \right)= \\ & = \lim_{x \to 0^+}\left( \left(\sqrt{9x^2+1}-1\right) \cdot \dfrac{\sqrt{9x^2+1}+1}{\sqrt{9x^2+1}+1} \cdot \dfrac{1+x}{x^2} \right)= \\ & = \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{9x^2}{\sqrt{9x^2+1}+1} \; \dfrac{1+x}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{9(1+x)}{\sqrt{9x^2+1}+1}\right)=\\ &= \dfrac{9}{2} . \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to 0^+}\left( \left(\sqrt{9x^2+1}-1\right) \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x}\right)\right)=\dfrac{9}{2}.}$

Esercizi forma indeterminata $+\infty - \infty$

$\quad$

Esercizio 17. Calcolare il seguente limite

(24) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right) ,$

si presenta nella forma indeterminata

$+\infty - \infty.$

Procediamo come segue

$\begin{aligned} & \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right) = \\ & = \lim_{x \to +\infty}\left( \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}} \right)\overset{\star}{=}\\ & \overset{\star}{=} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\left(\sqrt{x+1}\right)^2-(\sqrt{x+2})^2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}} = \\ & = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x+1-(x+2)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}= \\ & = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}= \dfrac{-1}{+\infty} = 0 \end{aligned}$

dove in $\star$ abbiamo utilizzato il prodotto notevole $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ . Inoltre è importante osservare che

$\sqrt{\left(x+1\right)^2}=\left \vert x+1 \right \vert$

ma siccome siamo in un intorno di infinito abbiamo

$\sqrt{\left(x+1\right)^2}=\left \vert x+1 \right \vert =x+1 \quad \text{per}\,\, x \rightarrow +\infty.$

Analogamente vale lo stesso discorso per

$\sqrt{\left(x+2\right)^2}=\left \vert x+2\right \vert=x+2 \quad \text{per}\,\, x \rightarrow +\infty.$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right)=0.}$

Esercizio 18. Calcolare il seguente limite

(25) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2+x}\right) . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2+x}\right),$

si presenta nella forma indeterminata

$+\infty - \infty.$

Abbiamo dunque

$\begin{aligned} & \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2+x}\right) = \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x} \; \left(1-\dfrac{1}{x+1}\right) \right)= \\ & = \lim_{x \to 0}\left( \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{x}{x+1}\right) =\\ &= \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x+1} = 1 . \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2+x}\right)=1.}$

Esercizio 19. Calcolare il seguente limite

(26) $\begin{equation*} \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}}{3x} . \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}}{3x},$

si presenta nella forma indeterminata

$+\infty - \infty.$

Abbiamo dunque

$\begin{aligned} &\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}}{3x}=\\ & = \lim_{x \to -\infty} \left(\dfrac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}}{3x} \cdot \dfrac{\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x}}{\sqrt{1-x} +\sqrt{1-2x}}\right) = \\\\ & = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{(\sqrt{1-x})^2 - (\sqrt{1-2x})^2}{3x (\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})} = \\\\ & = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1-x - (1-2x)}{3x (\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})} = \\\\ & = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{3x (\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})} = \\\\ & = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{3(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-2x})} = \dfrac{1}{+\infty}=0. \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}}{3x} =0.}$

Esercizio 20. Calcolare il seguente limite

(27) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} (-3x^3+2x^2-x). \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to +\infty} (-3x^3+2x^2-x) ,$

si presenta nella forma indeterminata

$+\infty-\infty .$

Raccogliamo la potenza di grado massimo

$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} (-3x^3+2x^2-x) & = \lim_{x \to +\infty} x^3 \left(-3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2} \right) = \\ & = (+\infty)^3 \left(-3+\dfrac{2}{+\infty}-\dfrac{1}{(+\infty)^2} \right) = \\ & = +\infty \cdot (-3) =\\ &= - \infty . \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} (-3x^3+2x^2-x)=-\infty.}$

Esercizio 21. Calcolare il seguente limite

(28) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{2x+2}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{2x+2}},$

si presenta nella forma indeterminata

$+\infty - \infty .$

Abbiamo dunque

$\begin{aligned} &\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{2x+2}} =\\ &= \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{2x+2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x-2}}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x+2}}\right) =\\ & = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x (\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x-2})}{(\sqrt{2x-1})^2-(\sqrt{2x+2})^2} = \\ & = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x (\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x-2})}{(2x-1)-(2x+2)} = \\ & = \lim_{x \to +\infty}\left( -\frac{x}{3} (\sqrt{2x-1}+\sqrt{2x+2}) \right) = -\infty. \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{2x-2}}\right)=-\infty.}$

Esercizi misti forme indeterminate $\dfrac{\infty}{\infty}$ , $\dfrac{0}{0}$ , $\infty \cdot 0$ e $+\infty - \infty.$

$\quad$

Esercizio 22. Calcolare il seguente limite:

(29) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\log(\log(x))}{1 + \log(x)}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Per risolvere questo limite, osserviamo che il limite

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\log(\log(x))}{1 + \log(x)},$

si presenta nella forma indeterminata

$\dfrac{+\infty}{+\infty}.$

Osserviamo che il denominatore

$\log(x) + 1 \sim \log(x), \qquad x \to +\infty,$

inoltre $\log(\log(x))$ è un ordine di infinito inferiore rispetto a $\log(x)$ . Pertanto si conclude che

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\log(\log(x))}{1+\log(x)} = 0.$

Si conclude quindi che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\log(\log(x))}{1 + \log(x)}\right) = 0.}$

Esercizio 23. Calcolare il seguente limite:

(30) $\begin{equation*} \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-x + \sqrt{x^2 - 8}}{6x + 7}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Per risolvere questo limite, possiamo procedere come di seguito:

$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} \frac{-x + \sqrt{x^2 - 8}}{6x + 7} &= \lim_{x \to -\infty} \frac{-x + \sqrt{x^2 \left(1 - \dfrac{8}{x^2}\right)}}{6x + 7} \\ &= \lim_{x \to -\infty} \frac{-x - x \sqrt{1 - \dfrac{8}{x^2}}}{6x + 7} \\ &= \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\left(1 + \sqrt{1 - \dfrac{8}{x^2}}\right)}{x\left(6 + \dfrac{7}{x}\right)} \\ &= \frac{-2}{6} \\ &= -\frac{1}{3}, \end{aligned}$

dove abbiamo sfruttato il fatto che

$\sqrt{x^2}=\left \vert x \right \vert=-x\quad \text{per }x\to -\infty.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow -\infty}\left(\dfrac{-x + \sqrt{x^2 - 8}}{6x + 7}\right) =-\dfrac{1}{3}.}$

Esercizio 24. Calcolare il seguente limite:

(31) $\begin{equation*} \lim_{x \to -\infty} \left(-x^4 - x^3 - x^2 - x \right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Poiché $x$

tende a $-\infty$

, e il termine dominante è $-x^4$

, che tende anch’esso a $-\infty$

, possiamo concludere che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow -\infty}\left(-x^4 - x^3 - x^2 - x\right) = -\infty.}$

Esercizio 25. Calcolare il seguente limite:

(32) $\begin{equation*} \lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{x^2 - 4x - 5}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che il limite si presenta nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$

. Scomponiamo il denominatore:

$x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1).$

Quindi il limite diventa:

$\lim_{x \to 5} \dfrac{x - 5}{(x - 5)(x + 1)} = \lim_{x \to 5} \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{1}{6} .$

Si conclude dunque

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to 5} \dfrac{x-5}{x^2-4x-5} = \dfrac{1}{6}.}$

Esercizio 26. Calcolare il seguente limite:

(33) $\begin{equation*} \lim_{x \to -3^+} \dfrac{x + 3}{x^3 + 8x^2 + 21x + 18}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Il denominatore può essere scomposto, considerando $x + 3$

come un fattore:

$x^3 + 8x^2 + 21x + 18 = (x + 3)(x^2 + 5x + 6)=(x+2)(x+3)^2.$

Quindi il limite diventa:

$\lim_{x \to -3^+} \dfrac{1}{(x+2)(x+3)},$

dove si sono semplificati numeratore e denominatore.

Passando al limite, si ottiene:

$\lim_{x \to -3^+} \dfrac{1}{(x+2)(x+3)}=\dfrac{1}{0^-}=-\infty,$

cioè

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow -3^+}\left(\dfrac{x + 3}{x^3 + 8x^2 + 21x + 18}\right) = -\infty.}$

Esercizio 27. Calcolare il seguente limite:

(34) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2x - \sqrt{3} - 4x^2}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che il termine $4x^2$

è dominante nel denominatore. Pertanto, possiamo riscrivere il limite come:

$\lim_{x \to +\infty}\left( \dfrac{1}{4x^2} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{2x - \sqrt{3}}{4x^2}- 1}\right).$

Dato che il termine $\dfrac{2x - \sqrt{3}}{4x^2}$ tende a $0$ quando $x \to +\infty$ , si ha

$\lim_{x \to +\infty}\left( \dfrac{1}{4x^2} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{2x - \sqrt{3}}{4x^2} - 1}\right)= 0.$

Quindi, il limite richiesto è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2x - \sqrt{3} + 4x^2} = 0.}$

Esercizio 28. Calcolare il seguente limite:

(35) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2 }- x}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Per calcolare questo limite, razionalizziamo il denominatore moltiplicando numeratore e denominatore per $\sqrt{1 + x^2} + x$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{1 \cdot (\sqrt{1 + x^2} + x)}{(\sqrt{1 + x^2} - x)(\sqrt{1 + x^2} + x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{1} = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{1 + x^2} + x).$

Sostituendo $x \to +\infty$ , otteniamo:

$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{1 + x^2} + x) = +\infty.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2} + x} = +\infty.}$

Esercizio 29. Calcolare il seguente limite:

(36) $\begin{equation*} \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Quando $x \to 1$

, sia il numeratore che il denominatore tendono a zero, ottenendo la forma indeterminata $\dfrac{0}{0}$

. Pertanto, possiamo procedere con la semplificazione della frazione:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}.$

Scomponiamo il numeratore utilizzando la differenza di quadrati:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1).$

Ora possiamo semplificare l’espressione:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1},$

ottenendo

$\lim_{x \to 1} (x + 1)=2.$

Quindi, il limite richiesto è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2.}$

Esercizio 30. Calcolare il seguente limite:

(37) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x^2 + \sqrt{3} + x^4}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che il termine dominante al denominatore è $x^4$

. Dividiamo numeratore e denominatore per $x^4$

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{x}{x^4}}{\dfrac{x^2}{x^4} + \dfrac{\sqrt{3}}{x^4} + \dfrac{x^4}{x^4}} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x^3}}{\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{\sqrt{3}}{x^4} + 1}.$

Passando al limite, abbiamo:

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x^3}}{\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{\sqrt{3}}{x^4} + 1}= 0.$

Quindi, il limite richiesto è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x^2 + \sqrt{3} + x^4} = 0.}$

Esercizio 31. Calcolare il seguente limite:

(38) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 - 5x^3 }{2x^3 + 4x^2 - x}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Il termine dominante sia al numeratore che al denominatore è $x^3$

. Pertanto, possiamo dividere numeratore e denominatore per $x^3$

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - 5x^3 + x^2}{2x^3 + 4x^2 - x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{x^2}{x^3} - \dfrac{5x^3}{x^3} + \dfrac{x^2}{x^3}}{\dfrac{2x^3}{x^3} + \dfrac{4x^2}{x^3} - \dfrac{x}{x^3}} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x} - 5 + \dfrac{1}{x}}{2 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{1}{x^2}}.$

Passando al limite, otteniamo:

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x} - 5 + \dfrac{1}{x}}{2 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{1}{x^2}} = \dfrac{0 - 5 + 0}{2 + 0 - 0} = \dfrac{-5}{2}.$

Quindi, il limite richiesto è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x^2 - 5x^3 + x^2}{2x^3 + 4x^2 - x} = -\dfrac{5}{2}.}$

Esercizio 32. Calcolare il seguente limite:

(39) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - x + 2}{3x + \sqrt{x^2}- 1}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Il termine dominante al numeratore è $x^2$

, mentre al denominatore è

$3x+\sqrt{x^2} = 3x+\left \vert x\right \vert=3x+x=4x, \qquad x>0.$

Poiché $x^2$ è un infinito di ordine maggiore di $x$ per $x\to+\infty$ , il limite sarà $+\infty$ . Infatti

$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - x + 2}{3x + \sqrt{x^2} - 1} &= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - x + 2}{3x + x - 1} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - x + 2}{4x - 1} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2\left(1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x^2}\right)}{4x\left(1 - \dfrac{1}{4x}\right)} \\ &= +\infty. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x^2 - x + 2}{3x + \sqrt[3]{x^3}- 1} = +\infty.}$

Esercizio 33. Calcolare il seguente limite:

(40) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \left(3x - \sqrt{9x^2 + 1}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Per risolvere questo limite, moltiplichiamo e dividiamo per $3x + \sqrt{9x^2 + 1}$

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\left(3x - \sqrt{9x^2 + 1}\right)\left(3x + \sqrt{9x^2 + 1}\right)}{3x + \sqrt{9x^2 + 1}} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{9x^2 - (9x^2 + 1)}{3x + \sqrt{9x^2 + 1}}.$

Semplificando otteniamo:

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{-1}{3x + \sqrt{9x^2 + 1}} = 0.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(3x - \sqrt{9x^2 + 1}\right) = 0.}$

Esercizio 34. Calcolare il seguente limite:

(41) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - 2x^3 + x^4}{x^5 + x^3 - 2x}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Dividiamo sia numeratore che denominatore per $x^5$

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{x^2}{x^5} - \dfrac{2x^3}{x^5} + \dfrac{x^4}{x^5}}{\dfrac{x^5}{x^5} + \dfrac{x^3}{x^5} - \dfrac{2x}{x^5}} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x^3} - \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{x}}{1 + \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{2}{x^4}}.$

Passando al limite, otteniamo:

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x^3} - \dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{x}}{1 + \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{2}{x^4}} = \dfrac{0 - 0 + 0}{1 + 0 - 0} = 0.$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x^2 - 2x^3 + x^4}{x^5 + x^3 - 2x}\right) = 0.}$

Esercizio 35. Calcolare il seguente limite:

(42) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \left(x^5 - x^2 - x - 1000\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Per determinare il limite, dobbiamo considerare il comportamento di ciascun termine al tendere di $x$

a $+\infty$

$\quad$

Il termine dominante è $x^5$ perché cresce molto più velocemente di $x^2$ , $x$ , e del termine costante $-1000$ , per $x\to +\infty$ .

Possiamo riscrivere il limite come segue:
$\lim_{x \to +\infty} \left( x^5 - x^2 - x - 1000 \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( x^5 \left(1 - \dfrac{x^2}{x^5} - \dfrac{x}{x^5} - \dfrac{1000}{x^5} \right)\right).$

Semplificando i termini, otteniamo:
$= \lim_{x \to +\infty} \left( x^5 \left(1 - \dfrac{1}{x^3} - \dfrac{1}{x^4} - \dfrac{1000}{x^5} \right)\right).$

Poiché tutti i termini con $x$ al denominatore tendono a zero quando $x$ tende a $+\infty$ , il limite si semplifica a:
$\lim_{x \to +\infty} \left( x^5 \left(1 - \dfrac{1}{x^3} - \dfrac{1}{x^4} - \dfrac{1000}{x^5} \right)\right)=+\infty.$

Si conclude quindi che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(x^5 - x^2 - x - 1000\right) = +\infty.}$

Esercizio 36. Calcolare il seguente limite:

(43) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x - 4}{x^2 - 6x + 9}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo quanto segue:

$\quad$

al denominatore l’infinito di ordine maggiore per $x \to +\infty$ è $x^2$ ;

al numeratore l’infinito di ordine maggiore per $x \to +\infty$ è $x$ .

Poiché il denominatore è un infinito di ordine maggiore rispetto al numeratore, il limite sarà 0. Per confermare, dividiamo sia il numeratore che il denominatore per $x^2$ :

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x - 4}{x^2 - 6x + 9} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{x}{x^2} - \dfrac{4}{x^2}}{1 - \dfrac{6}{x} + \dfrac{9}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x} - \dfrac{4}{x^2}}{1 - \dfrac{6}{x} + \dfrac{9}{x^2}}.$

Passando al limite, tutti i termini con $x$ al denominatore tendono a zero:

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x} - \dfrac{4}{x^2}}{1 - \dfrac{6}{x} + \dfrac{9}{x^2}} = \dfrac{0 - 0}{1 - 0 + 0} = 0.$

Si conclude quindi che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x - 4}{x^2 - 6x + 9}\right) = 0.}$

Esercizio 37. Calcolare il seguente limite:

(44) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - 2x^3 + 5x + 7}{8x^2 - 2x^4 + 10x^6}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Per determinare il limite, consideriamo l’ordine di infinito maggiore per $x$

che tende a $+\infty$

$\quad$

al numeratore, il termine di ordine di infinito maggiore è $2x^3$ ;

al denominatore, il termine di ordine di infinito maggiore è $10x^6$ .

Poiché il denominatore, $10x^6$ , è un ordine di infinito maggiore rispetto al numeratore, $2x^3$ , il limite sarà 0.

Per confermare, possiamo dividere sia il numeratore che il denominatore per $x^6$ :

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - 2x^3 + 5x + 7}{8x^2 - 2x^4 + 10x^6} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{x^2}{x^6} - \dfrac{2x^3}{x^6} + \dfrac{5x}{x^6} + \dfrac{7}{x^6}}{\dfrac{8x^2}{x^6} - \dfrac{2x^4}{x^6} + \dfrac{10x^6}{x^6}}=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x^4} - \dfrac{2}{x^3} + \dfrac{5}{x^5} + \dfrac{7}{x^6}}{\dfrac{8}{x^4} - \dfrac{2}{x^2} + 10}.$

Passando al limite, si ha:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - 2x^3 + 5x + 7}{8x^2 - 2x^4 + 10x^6}=0.}$

Esercizio 38. Calcolare il seguente limite:

(45) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 5x + 4}{x^3 + 2x^2 - x + 1}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Per determinare il limite, consideriamo l’ordine di infinito maggiore per $x \to +\infty$

$\quad$

Al numeratore, il termine di ordine di infinito maggiore è $x^2$ .

Al denominatore, il termine di ordine di infinito maggiore è $x^3$ .

Il denominatore ha un ordine di infinito maggiore rispetto al numeratore per $x \to +\infty$ . Dividiamo quindi tutti i termini del numeratore e del denominatore per $x^3$ :

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^3 + 2x^2 - x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{x^2}{x^3} - \dfrac{5x}{x^3} + \dfrac{4}{x^3}}{\dfrac{x^3}{x^3} + \dfrac{2x^2}{x^3} - \dfrac{x}{x^3} + \dfrac{1}{x^3}}.$

Semplificando:

$= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x} - \dfrac{5}{x^2} + \dfrac{4}{x^3}}{1 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^3}}.$

Poiché tutti i termini che contengono $\dfrac{1}{x^n}$ tendono a zero per $x \to +\infty$ :

$\dfrac{\dfrac{1}{x} - \dfrac{5}{x^2} + \dfrac{4}{x^3}}{1 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^3}} \to \dfrac{0}{1} = 0.$

Si conclude quindi che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 5x + 4}{x^3 + 2x^2 - x + 1} = 0.}$

Esercizio 39. Calcolare il seguente limite:

(46) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + 4x + 5}{x^3 + 6x^2 + 12x + 8}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Per determinare il limite, consideriamo l’ordine di infinito maggiore per $x$

che tende a $+\infty$

$\quad$

al numeratore, il termine di ordine di infinito maggiore è $x^2$ ;

al denominatore, il termine di ordine di infinito maggiore è $x^3$ .

Poiché il denominatore, $x^3$ , ha un ordine di infinito maggiore rispetto al numeratore, $x^2$ , il limite sarà 0.

Abbiamo dunque:

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + 4x + 5}{x^3 + 6x^2 + 12x + 8} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{x^2}{x^3} + \dfrac{4x}{x^3} + \dfrac{5}{x^3}}{\dfrac{x^3}{x^3} + \dfrac{6x^2}{x^3} + \dfrac{12x}{x^3} + \dfrac{8}{x^3}} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{x^2} + \dfrac{5}{x^3}}{1 + \dfrac{6}{x} + \dfrac{12}{x^2} + \dfrac{8}{x^3}}=0.$

Si conclude quindi che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x^2 + 4x + 5}{x^3 + 6x^2 + 12x + 8}= 0.}$

Esercizio 40. Calcolare il seguente limite:

(47) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan^2(x)}{\sin(x)}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Per calcolare questo limite possiamo riscrivere $\tan(x)$

come $\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$

, ottenendo:

$\frac{\tan^2(x)}{\sin(x)} = \frac{\left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)\sin(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}.$

A questo punto, possiamo valutare direttamente il limite:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}$

Quando $x \to 0$ , sappiamo che $\sin(x)$ tende a $0$ e $\cos(x)$ tende a $1$ . Quindi, abbiamo:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}=\frac{0}{1^2} = 0.$

Pertanto, il limite richiesto è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow 0}\left(\dfrac{\tan^2(x)}{\sin(x)}\right) = 0.}$

Esercizio 41. Calcolare il seguente limite:

(48) $\begin{equation*} \lim_{x \to 1} \dfrac{1 - x}{1 - \sqrt{x}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Razionalizziamo il denominatore moltiplicando e dividendo per $1 + \sqrt{x}$

$\dfrac{(1 - x)(1 + \sqrt{x})}{1 - x} = 1 + \sqrt{x}.$

In questo modo si può calcolare il limite sostituendo $x=1$ e si ottiene $2$ .

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow 1}\left(\dfrac{1 - x}{1 - \sqrt{x}}\right) = 2.}$

Esercizio 42. Calcolare il seguente limite:

(49) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0^+} x \cdot \log(x). \end{equation*}$

Svolgimento 1.

Riscriviamo il prodotto $x \cdot \log(x)$

in una forma equivalente utilizzando il rapporto:

$x \cdot \log(x) = \frac{\log(x)}{\dfrac{1}{x}}.$

Osserviamo che, per $x \to 0^+$ , si ha $\log(x) \to -\infty$ e $\dfrac{1}{x} \to +\infty$ . Tuttavia, il denominatore $\dfrac{1}{x}$ è un infinito di ordine maggiore rispetto $\log(x)$ per $x\to 0^+$ . Questo fatto è giustificato dalla gerarchia degli infiniti, che stabilisce che il comportamento di crescita di una funzione razionale o polinomiale è dominante rispetto a quello di una funzione logaritmica nel limite $x \to 0^+$ .

Scriviamo quindi il limite nella forma:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\log(x)}{\dfrac{1}{x}}.$

Ora, considerando che il numeratore $\log(x)$ è un infinito di ordine inferiore rispetto ad $\dfrac{1}{x}$ , possiamo concludere che il rapporto tende a zero. Formalmente:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\log(x)}{\dfrac{1}{x}} = 0.$

Pertanto, segue che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow 0^+} x \cdot \log(x) = 0.}$

Svolgimento 2.

Per risolvere questo limite, consideriamo la sostituzione $x = e^{-t}$

, con $t \to +\infty$

quando $x \to 0^+$

. Allora il limite diventa:

$\lim_{x \to 0^+} x \cdot \log(x) = \lim_{t \to +\infty} e^{-t} \cdot \log(e^{-t}).$

Poiché $\log(e^{-t}) = -t$ , possiamo riscrivere il limite come:

$\lim_{t \to +\infty} e^{-t} \cdot (-t) = -\lim_{t \to +\infty} t \cdot e^{-t}.$

A questo punto, osserviamo che l’esponenziale $e^t$ è un infinito di ordine maggiore rispetto a $t$ , per $t\to +\infty$ . Questo significa che $t \cdot e^{-t}$ tende a zero, per $t\to +\infty$ .

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow 0^+} x \cdot \log(x) = 0.}$

Esercizio 43. Calcolare il seguente limite:

(50) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2x - 2} \left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Riscriviamo l’espressione:

$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2x - 2} \left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right) &= \lim_{x \to +\infty} \dfrac{(x - 1)}{2(x - 1)(x + 1)}=\\ &=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2(x + 1)}=\\ &=0. \end{aligned}$

Si conclude che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2x - 2} \left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right) = 0.}$

Esercizio 44. Calcolare il seguente limite:

(51) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln^2 x + 2 \ln x}{\ln x + 1}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Osserviamo che per $x \to +\infty$

, $\ln^2 x$

è l’infinito di ordine maggiore, mentre al denominatore è $\ln x$

. Riscriviamo quindi il limite:

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln^2 x \left(1 + \dfrac{2}{\ln x}\right)}{\ln x \left(1 + \dfrac{1}{\ln x}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x \left(1 + \dfrac{2}{\ln x}\right)}{1 + \dfrac{1}{\ln x}} = +\infty.$

Quindi, il limite richiesto è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln^2 x + 2 \ln x}{\ln x + 1} = +\infty.}$

Esercizio 45. Calcolare il seguente limite:

(52) $\begin{equation*} \lim_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Per risolvere questo limite, si utilizza la tecnica della somma e differenza di cubi. Iniziamo riscrivendo il denominatore $x - 8$

come una differenza di cubi, sfruttando la seguente identità:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).$

Nel nostro caso, $a = \sqrt[3]{x}$ e $b = 2$ , quindi possiamo riscrivere il denominatore come:

$x - 8 = (\sqrt[3]{x})^3 - 2^3 = (\sqrt[3]{x} - 2)\left((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4\right).$

Ora, sostituiamo questa espressione nel limite:

$\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} = \lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{(\sqrt[3]{x} - 2)\left((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4\right)}.$

Semplificando il termine $\sqrt[3]{x} - 2$ che compare sia al numeratore sia al denominatore, otteniamo:

$\lim_{x \to 8} \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}.$

A questo punto, possiamo sostituire direttamente $x = 8$ nell’espressione risultante:

$\frac{1}{(\sqrt[3]{8})^2 + 2\sqrt[3]{8} + 4}.$

Poiché $\sqrt[3]{8} = 2$ , l’espressione diventa:

$\frac{1}{2^2 + 2 \cdot 2 + 4} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}.$

Pertanto, il limite richiesto è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} = \dfrac{1}{12}.}$

Esercizio 46. Calcolare il seguente limite:

(53) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3 - 4x}{x^3 - 2x^2 + x - 2}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Dividiamo numeratore e denominatore per $x^3$

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 - \dfrac{4}{x^2}}{1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{2}{x^3}} = \dfrac{1}{1} = 1.$

Quindi, il limite richiesto è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3 - 4x}{x^3 - 2x^2 + x - 2} = 1.}$

Esercizio 47. Calcolare il seguente limite:

(54) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{2 - x} - \sqrt{2 + x}}{x}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Utilizzando il metodo di razionalizzazione, otteniamo:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{(\sqrt{2 - x} - \sqrt{2 + x})(\sqrt{2 - x} + \sqrt{2 + x})}{x (\sqrt{2 - x} + \sqrt{2 + x})}.$

Questo diventa:

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{2 - x - (2 + x)}{x \left( \sqrt{2 - x} + \sqrt{2 + x} \right)} &= \lim_{x \to0} \frac{-2x}{x \left( \sqrt{2 - x} + \sqrt{2 + x} \right)} \\ &= \lim_{x \to0} \frac{-2}{\sqrt{2 - x} + \sqrt{2 + x}} \\ &= \frac{-2}{2\sqrt{2}} \\ &= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}$

Quindi, il limite richiesto è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to 2^- } \dfrac{\sqrt{2 - x} - \sqrt{2 + x}}{x} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.}$

Esercizio 48. Calcolare il seguente limite:

(55) $\begin{equation*} \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Il limite presenta una forma indeterminata $\frac{0}{0}$

quando $x$

tende a 1. Per risolvere questo limite, possiamo sfruttare la fattorizzazione del numeratore.

Iniziamo fattorizzando il numeratore. L’espressione $x^3 - 1$ è una differenza di cubi, che può essere scomposta utilizzando la seguente identità:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).$

Nel nostro caso, ponendo $a = x$ e $b = 1$ , possiamo scrivere:

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1).$

Quindi, possiamo sostituire questa fattorizzazione nel limite:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}.$

A questo punto, possiamo semplificare il fattore comune $x - 1$ al numeratore e al denominatore:

$\lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1)=1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3.$

Quindi, il limite richiesto è:

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}=3.}$

Esercizio 49. Calcolare il seguente limite:

(56) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - x^2}{e^x + x}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Per risolvere questo limite, consideriamo l’ordine di infinito delle funzioni coinvolte. Quando $x$

tende a $+\infty$

, il termine esponenziale $e^x$

è di ordine di infinito maggiore rispetto ai termini polinomiali $x^2$

e $x$

Pertanto abbiamo:

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{e^x}{e^x} - \dfrac{x^2}{e^x}}{\dfrac{e^x}{e^x} + \dfrac{x}{e^x}} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 - \dfrac{x^2}{e^x}}{1 + \dfrac{x}{e^x}}=1.$

Si conclude che

$\boxcolorato{analisi}{ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - x^2}{e^x + x}=1.}$

Esercizio 50. Calcolare il seguente limite:

(57) $\begin{equation*} \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - \sqrt{5 - x}}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{2}}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Per semplificare il calcolo, procediamo come segue:

$\frac{\sqrt{x+3} - \sqrt{5-x}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{2}} \cdot \frac{(\sqrt{x+3} + \sqrt{5-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{2})}{(\sqrt{x+3} + \sqrt{5-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{2})},$

da cui

$(\sqrt{x+3} - \sqrt{5-x})(\sqrt{x+3} + \sqrt{5-x}) = (x+3) - (5-x) = 2x - 2 = 2(x-1)$

$(\sqrt{1+x} - \sqrt{2})(\sqrt{1+x} + \sqrt{2}) = (1+x) - 2 = x-1.$

Semplificando $x-1$ al numeratore e al denominatore, otteniamo:

$\frac{2(x-1)}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x+3} + \sqrt{5-x}} = \frac{2(\sqrt{1+x} + \sqrt{2})}{\sqrt{x+3} + \sqrt{5-x}}.$

Per $x \to 1$ , sostituendo $x = 1$ otteniamo:

$\frac{2(\sqrt{1+1} + \sqrt{2})}{\sqrt{1+3} + \sqrt{5-1}} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{2})}{\sqrt{4} + \sqrt{4}} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \sqrt{2}.$

Pertanto, il risultato del limite è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x + 3} - \sqrt{5 - x}}{\sqrt{1 + x} - \sqrt{2}} = \sqrt{2}.}$

Esercizio 51. Calcolare il seguente limite:

(58) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x - 2}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{2x} \right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Riscriviamo l’espressione:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x - 2}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{2x} \right) = \lim_{x \to +\infty}\left( \dfrac{3 - \dfrac{2}{x}}{1}\cdot \dfrac{1 - \dfrac{1}{x}}{2} \right)= \dfrac{3}{2}.$

Quindi, il limite richiesto è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x - 2}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{2x} \right) = \dfrac{3}{2}.}$

Esercizio 52. Calcolare il seguente limite:

(59) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x - 3}\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Per risolvere il limite, consideriamo la differenza tra le radici cubiche $\sqrt[3]{x + 1}$

e $\sqrt[3]{x - 3}$

. Osserviamo che, quando $x$

tende a $+\infty$

, arriviamo alla forma indeterminata $+\infty-\infty$

. In questo contesto, possiamo utilizzare la formula per la differenza di cubi, che afferma che:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).$

Qui, poniamo $a = \sqrt[3]{x + 1}$ e $b = \sqrt[3]{x - 3}$ . Moltiplicando e dividendo l’espressione data per $a^2+ab+b^2$ con $a$ e $b$ uguali alle espressioni indicate, si ha:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\left(\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x - 3}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{(x + 1)^2} + \sqrt[3]{(x + 1)(x - 3)} + \sqrt[3]{(x - 3)^2}\right)}{\sqrt[3]{(x + 1)^2} + \sqrt[3]{(x + 1)(x - 3)} + \sqrt[3]{(x - 3)^2}}.$

Il numeratore si semplifica a:

$(x + 1) - (x - 3) = 4.$

Il limite quindi si riduce a:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{4}{\sqrt[3]{(x + 1)^2} + \sqrt[3]{(x + 1)(x - 3)} + \sqrt[3]{(x - 3)^2}}.$

Per $x\to +\infty$ il denominatore tende a $+\infty$ e, di conseguenza, la frazione tende a $0$ . Pertanto abbiamo:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x - 3}\right) = 0.}$

Esercizio 53. Calcolare il seguente limite:

(60) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt[3]{x^3 + 6x^2 - 3x + 2} - x\right). \end{equation*}$

Svolgimento.

Per risolvere il limite, possiamo utilizzare la formula della differenza di cubi. Definiamo $a = \sqrt[3]{x^3 + 6x^2 - 3x + 2}$

e $b = x$

. Notiamo che la differenza richiesta è espressa come $a - b$

, quindi utilizziamo la relazione:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2),$

dove $a^3 = x^3 + 6x^2 - 3x + 2$ e $b^3 = x^3$ . La differenza di cubi al numeratore diventa:

$a^3 - b^3 = \left(\sqrt[3]{x^3 + 6x^2 - 3x + 2}\right)^3 - x^3 = (x^3 + 6x^2 - 3x + 2) - x^3 = 6x^2 - 3x + 2.$

Ora, razionalizzando l’espressione iniziale, otteniamo:

$\sqrt[3]{x^3 + 6x^2 - 3x + 2} - x = \frac{6x^2 - 3x + 2}{a^2 + ab + b^2},$

dove $a^2 = \left(\sqrt[3]{x^3 + 6x^2 - 3x + 2}\right)^2$ , $ab = x \cdot \sqrt[3]{x^3 + 6x^2 - 3x + 2}$ , e $b^2 = x^2$ .

Per $x \to +\infty$ , il denominatore è asintotico ad:

$a^2 + ab + b^2 \approx 3x^2,$

mentre il numeratore è asintotico ad

$6x^2, \quad per \quad x\to+\infty.$

Per cui, quando $x$ tende a infinito, l’espressione si avvicina a 2.

Pertanto, il limite richiesto è:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt[3]{x^3 + 6x^2 - 3x + 2} - x\right) = 2.}$

Esercizio 54. Calcolare il seguente limite:

(61) $\begin{equation*} \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sqrt{x}- x\log(x)}{x + x^2}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Procediamo come di seguito

$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sqrt{x}- x\log(x)}{x + x^2}&= \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1 - \sqrt{x} \log(x)}{1 + x} \right)=\\[10pt] &=\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1 - \frac{\displaystyle\log(x)}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}}{1 + x} \right). \end{aligned}$

La funzione $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ ha un ordine di infinito maggiore rispetto $\log(x)$ , per $x\to 0^+$ . Di conseguenza, il rapporto

$\dfrac{\displaystyle\log(x)}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}(1 + x)},$

tende a zero per $x \to 0^+$ . Riprendendo i calcoli precedenti, abbiamo:

$\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sqrt{x} + x\log(x)}{x + x^2} = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1 - \dfrac{\log(x)}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}}{1 + x} \right) = +\infty \cdot \frac{1 - 0}{1 + 0},$

cioè

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow 0^+}\dfrac{\sqrt{x} + x\log(x)}{x + x^2}= +\infty.}$

Esercizio 55. Calcolare il seguente limite:

(62) $\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x - 1}{8x^2 + 7x}. \end{equation*}$

Svolgimento.

Per determinare il limite, consideriamo l’ordine di infinito maggiore per $x$

che tende a $+\infty$

$\quad$

al numeratore, il termine di ordine di infinito maggiore è $x$ ;

al denominatore, il termine di ordine di infinito maggiore è $8x^2$ .

Poiché il denominatore, $8x^2$ , ha un ordine di infinito maggiore rispetto al numeratore, per $x +\infty$ , il limite sarà 0.

Abbiamo dunque:

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x - 1}{8x^2 + 7x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{x}{x^2} - \dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{8x^2}{x^2} + \dfrac{7x}{x^2}}=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2}}{8 + \dfrac{7}{x}}=\dfrac{0}{8 + 0} = 0.$

Si conclude quindi che:

$\boxcolorato{analisi}{\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x - 1}{8x^2 + 7x}\right) = 0.}$

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