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Verifica del limite: testi degli esercizi

Verifica del limite in funzioni

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Verifica del limite: testi degli esercizi

Questa raccolta di esercizi svolti tratta la verifica del limite attraverso l’uso della definizione. In essi vengono dimostrati molti dei risultati solitamente “dati per scontati”, come i limiti al finito e all’infinito della funzione esponenziale (esercizio 5), della funzione logaritmo (esercizio 6), delle funzioni trigonometriche (esercizi 10 e 11), delle funzioni potenza a esponente reale (esercizio 13) e molti altri esempi interessanti e istruttivi.

La raccolta si propone come mezzo per familiarizzare con lo strumento teorico del limite (tipicamente considerato “ostico” dagli studenti) attraverso l’illustrazione di casi particolari che permettano di comprendere i principi generali soggiacenti. Gli esercizi sono infatti completamente risolti attraverso una buona varietà di tecniche e le soluzioni sono ampiamente illustrate per permettere la visualizzazione intuitiva dei concetti esposti dalle formule.

Questi esercizi sono quindi perfetti sia per studenti delle scuole secondarie, sia per studenti universitari di ogni facoltà, che desiderano un banco di prova ampio e curato per lo studio di questo affascinante argomento. Buona lettura!

 

Verifica del limite: autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

Revisori: Matteo Talluri, Sergio Fiorucci.

 

Verifica del limite: introduzione

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Dati una funzione f \colon A \to \mathbb{R} e x_0 \in \overline{\mathbb{R}}, a quale valore “si avvicina f(x)” quando “x si avvicina a x_0“?

  La nozione di limite permette di rispondere a tale domanda in maniera rigorosa. La chiave consiste appunto nel dare un significato preciso ai verbi “si avvicina”, in modo che i risultati siano coerenti con ciò che ci si aspetta. È importante osservare che uno degli aspetti più importanti di tale teoria consiste nel definire il significato di questi concetti quando x_0 non appartiene al dominio di f, cioè quando f(x_0) non esiste.

L’obiettivo di trattare problemi come quelli posti sopra riveste notevole importanza pratica. La funzione f potrebbe infatti essere la temperatura di una barretta in funzione della posizione x, oppure la legge oraria di un corpo in movimento, che ne fornisce la posizione in funzione del tempo. Come anticipato, tali leggi potrebbero non essere definite in un determinato punto x_0, che potrebbe essere rispettivamente un estremo della barretta o un istante temporale in cui il modello fisico che ha generato la descrizione matematica f cessa di essere valido.

Risulta pertanto naturale studiare il comportamento del fenomeno fisico “in prossimità” di tali punti patologici, ponendosi dunque domande come “a cosa si avvicina la temperatura avvicinandosi all’estremo x_0?” oppure “verso quale posizione si avvicina il corpo per t che si avvicina al tempo t_0?”.

Vedremo che tutto ciò può essere ottenuto grazie alla nozione di limite. Negli esercizi si mostreranno numerosi esempi svolti sul significato di tale concetto illustrandolo nei vari casi che possono presentarsi. Ci occuperemo principalmente della verifica del limite, cioè di mostrare che la definizione formale si applica ai casi proposti, in cui viene preliminarmente fornita al lettore la conoscenza del “valore limite” assunto da f. Si tratta cioè di un modo per familiarizzare con la definizione e verificare che effettivamente essa fornisce le risposte che, intuitivamente, ci aspettiamo da tale strumento.

La verifica del limite si contrappone, per certi versi, al calcolo dei limiti, in cui non si è a conoscenza del valore limite della funzione e lo scopo è quindi di determinarlo; quest’ultima attività è dunque una sorta di passo preliminare per la verifica. Ciononostante, spesso nella pratica è possibile servirsi di teoremi che permettono di effettuare entrambi i punti contemporaneamente. Tali argomenti sono tipicamente oggetto di uno studio successivo, che sarà quindi trattato in altre dispense, come la dispensa di esercizi sui limiti notevoli, esercizi sulle forme indeterminate e esercizi misti sui limiti. Precisiamo dunque come gli esercizi di questa raccolta si focalizzano sulla verifica del limite utilizzando la sola definizione di limite.

 

Verifica del limite: richiami teorici

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Rimandiamo ai richiami di teoria sulla verifica del limite.

 

Testi degli esercizi sulla verifica del limite

Esercizio 1  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Sia f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} la funzione costante definita da f(x)=3 per ogni x \in \mathbb{R}.

  1. Provare che \displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)=3, per qualsiasi x_0 \in \mathbb{R};
  2. Provare che \displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=3;
  3. Provare che \displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=3.

 
Svolgimento esercizio 1

 

Esercizio 2  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Sia f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} la funzione definita da

    \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 2 & \text{se $x \neq 0$}\\ 1 & \text{se $x = 0$}. \end{cases} \end{equation*}

Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to 0} f(x) = 2. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 2
 

Esercizio 3  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Si verifichino, mediante la definizione, i seguenti limiti relativi alla funzione identità f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) =x per ogni x \in \mathbb{R}:

  1. \displaystyle \lim_{x \to x_0}x=x_0, per qualsiasi x_0 \in \mathbb{R};
  2. \displaystyle \lim_{x \to +\infty}x=+\infty;
  3. \displaystyle \lim_{x \to -\infty}x=-\infty.

 
Svolgimento esercizio 3
 

Esercizio 4  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Si verifichino, mediante la definizione, i seguenti limiti:

  1. \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty;
  2. \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}=0;
  3. \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}.

 
Svolgimento esercizio 4
 

Esercizio 5 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar).

Sia a>1. Si provino i seguenti limiti applicando la definizione:

  1. \displaystyle \lim_{x \to 0} a^x = 1;
  2. \displaystyle \lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty;
  3. \displaystyle \lim_{x \to -\infty} a^x = 0.

Cosa si può dire invece nel caso a \in (0,1)?

 
Svolgimento esercizio 5
 

Esercizio 6  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Verificare, mediante la definizione, i seguenti limiti:

  1. \displaystyle \lim_{x \to 1} \log x = 0;
  2. \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \log x = +\infty;
  3. \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \log x = -\infty.

 
Svolgimento esercizio 6
 

Esercizio 7  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to 1} -\frac{1}{x^2-2x+1} = -\infty. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 7
 

Esercizio 8  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1+e^x} = 0. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 8
 

Esercizio 9 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia f \colon A \to \mathbb{R}, sia x_0 un punto di accumulazione per A e si supponga che \lim_{x \to x_0} f(x)=+\infty. Provare che si ha

    \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = 0. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 9
 

Esercizio 10  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar).
Provare, usando la definizione, che il limite

    \begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \sin x \end{equation*}

non esiste.

 
Svolgimento esercizio 10
 

Esercizio 11  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Dimostrare che, per ogni x_0 \in \mathbb{R}, si ha

    \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \sin x = \sin x_0. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 11
 

Esercizio 12  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, che vale

    \begin{equation*} \lim_{x \to + \infty} \log \left (\dfrac{2}{x-2} \right ) = - \infty. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 12
 

Esercizio 13  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Sia \alpha>0. Verificare, mediante la definizione, i seguenti limiti:

  1. \displaystyle \lim_{x \to x_0} x^\alpha = x_0^\alpha per ogni x_0 \in [0,+\infty);
  2. \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^\alpha=+\infty.

 
Svolgimento esercizio 13
 

Esercizio 14  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*}\label{14:traccia} \lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^2+2} = + \infty. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 14
 

Esercizio 15  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to + \infty} \left(5x^2+2\right) = + \infty. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 15
 

Esercizio 16  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Verificare, mediante la definizione, i seguenti limiti:

  1. \displaystyle \lim_{x \to 3^+} e^{\frac{2}{3-x}} = 0;
  2. \displaystyle \lim_{x \to 3^-} e^{\frac{2}{3-x}} = +\infty.

 
Svolgimento esercizio 16
 

Esercizio 17  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to 9}2\left(\log_3 \sqrt{x}-5\right) = -8. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 17
 

Esercizio 18  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to 3} \dfrac{x+1}{x-1} = 2. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 18
 

Esercizio 19  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to -3}\dfrac{2}{\left(x+3\right)^2} = +\infty. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 19
 

Esercizio 20  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \dfrac{2^x-1}{2^x}=1. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 20
 

Esercizio 21  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \left (\sqrt{-1+x^2}-x \right )=0. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 21
 

Esercizio 22 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x+5e^{-x}}{e^x+2e^{-x}} =1. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 22
 

Esercizio 23  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to 0} x \sin \left ( \frac{1}{x} \right ) = 0. \end{equation*}

 
Svolgimento esercizio 23
 

Esercizio 24  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to -\infty} x (2-\cos x) = -\infty. \end{equation*}

Cosa si può dire invece di \displaystyle \lim_{x \to -\infty} x(1-\cos x)?

 
Svolgimento esercizio 24
 

 
 

Tutta la teoria di analisi matematica

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  1. Teoria Insiemi
  2. Il metodo della diagonale di Cantor
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  7. Gli assiomi di Peano
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  18. Funzioni goniometriche: la guida essenziale
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  22. Limite di una successione monotona
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  24. Il teorema ponte
  25. Teoria sui limiti
  26. Simboli di Landau
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  28. Il teorema di Weierstrass
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  30. Il teorema della permanenza del segno
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  39. Calcolo delle derivate: la guida pratica
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  42. I teoremi di de l’Hôpital
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  45. Il teorema di Cauchy
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  48. Integrali definiti e indefiniti
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  50. Integrali ricorsivi
  51. Formule del trapezio, rettangolo e Cavalieri-Simpson
  52. Teoria sugli integrali impropri
  53. Funzioni integrali – Teoria
  54. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di ingegneria — versione semplificata)
  55. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica)
  56. Serie numeriche: la guida completa
  57. Successioni di funzioni – Teoria
  58. Teoremi sulle successioni di funzioni
    1. 58a. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme
    2. 58b. Limite uniforme di funzioni continue
    3. 58c. Passaggio al limite sotto il segno di integrale
    4. 58d. Limite uniforme di funzioni derivabili
    5. 58e. Piccolo teorema del Dini
    6. 58f. Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzela
  59. Serie di funzioni – Teoria
  60. Serie di potenze – Teoria
  61. Serie di Fourier – Teoria e applicazioni
  62. Integrali multipli — Parte 1 (teoria)
  63. Integrali multipli — Parte 2 (teoria e esercizi misti)
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  65. Jacobiano associato al cambiamento di coordinate sferiche
  66. Guida ai Massimi e Minimi: Tecniche e Teoria nelle Funzioni Multivariabili
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  73. Diverse formulazioni dell’assioma di completezza
  74. Numeri di Delannoy centrali
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Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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    5. Insiemi numerici N,Z,Q,R
    6. Funzioni elementari
    7. Logica elementare
    8. Insiemi
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    1. Teoria sulle Successioni
    2. Estremo superiore e inferiore
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    5. Limiti notevoli
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    7. Successioni per ricorrenza
  3. Funzioni
    1. Teoria sulle funzioni
    2. Verifica del limite in funzioni
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    8. Dominio di una funzione
    9. Esercizi misti Funzioni
    10. Esercizi misti sui Limiti
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    1. Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
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    1. Derivate
    2. Calcolo delle derivate
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    4. Punti di non derivabilità nel calcolo differenziale
    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate
    6. Studio di funzione completo nel calcolo differenziale
    7. Esercizi teorici nel calcolo differenziale
    8. Metodo di bisezione
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  6. Teoremi del calcolo differenziale
    1. Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale
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  7. Calcolo integrale
    1. Integrale di Riemann
    2. Integrali immediati
    3. Integrale di funzione composta
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    5. Integrali per parti
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    7. Calcolo delle aree
    8. Metodo dei rettangoli e dei trapezi
    9. Esercizi Misti Integrali Indefiniti
    10. Esercizi Misti Integrali Definiti
  8. Integrali impropri
    1. Teoria Integrali impropri
    2. Carattere di un integrale improprio
    3. Calcolo di un integrale improprio
  9. Espansione di Taylor
    1. Teoria Espansione di Taylor
    2. Limiti di funzione con Taylor
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  10. Funzioni integrali (Approfondimento)
    1. Teoria Funzioni integrali (Approfondimento)
    2. Studio di funzione integrale
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  11. Numeri Complessi
    1. Teoria Numeri complessi
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    4. Equazioni con i numeri complessi
    5. Disequazioni con i numeri complessi
    6. Esercizi misti Numeri complessi
  12. Serie numeriche
    1. Teoria Serie numeriche
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    3. Esercizi Serie a termini di segno variabile
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  13. Successioni di funzioni
    1. Teoria Successioni di funzioni
    2. Esercizi Successioni di funzioni
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    1. Teoria Serie di funzioni
    2. Esercizi Serie di funzioni
  15. Serie di potenze
    1. Teoria Serie di potenze
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  16. Serie di Fourier
    1. Teoria Serie di Fourier
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  17. Trasformata di Fourier
    1. Teoria Trasformata di Fourier
    2. Esercizi Trasformata di Fourier
  18. Funzioni di più variabili
    1. Teoria Funzioni di più variabili
    2. Massimi e minimi liberi e vincolati
    3. Limiti in due variabili
    4. Integrali doppi
    5. Integrali tripli
    6. Integrali di linea di prima specie
    7. Integrali di linea di seconda specie
    8. Forme differenziali e campi vettoriali
    9. Teorema di Gauss-Green
    10. Integrali di superficie
    11. Flusso di un campo vettoriale
    12. Teorema di Stokes
    13. Teorema della divergenza
    14. Campi solenoidali
    15. Teorema del Dini
  19. Equazioni differenziali lineari e non lineari
    1. Teoria equazioni differenziali lineari e non lineari
    2. Equazioni differenziali lineari e non lineari del primo ordine omogenee
  20. Equazioni differenziali lineari
    1. Del primo ordine non omogenee
    2. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,omogenee
    3. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,non omogenee
    4. Di Eulero,di Bernoulli,di Clairaut,di Lagrange e di Abel
    5. Non omogenee avente per omogenea associata un’equazione di Eulero
    6. Sistemi di EDO
  21. Equazioni differenziali non lineari
    1. A variabili separabiliO
    2. A secondo membro omogeneo
    3. Del tipo y’=y(ax+by+c)
    4. Del tipo y’=y(ax+by+c)/(a’x+b’y+c’)
    5. Equazioni differenziali esatte
    6. Mancanti delle variabili x e y
    7. Cenni sullo studio di un’assegnata equazione differenziale non lineare
    8. Di Riccati
    9. Cambi di variabile: simmetrie di Lie
  22. Analisi complessa
    1. Fondamenti
    2. Funzioni olomorfe
    3. Integrale di Cauchy e applicazioni
    4. Teorema della curva di Jordan e teorema fondamentale dell’Algebra
    5. Teorema di inversione di Lagrange
    6. Teorema dei Residui
    7. Funzioni meromorfe
    8. Prodotti infiniti e prodotti di Weierstrass
    9. Continuazione analitica e topologia
    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
    11. Trasformata di Mellin
  23. Equazioni alle derivate parziali
    1. Equazioni del primo ordine
    2. Equazioni del secondo ordine lineari
    3. Equazioni non-lineari
    4. Sistemi di PDE
  24. Funzioni speciali
    1. Funzione Gamma di Eulero
    2. Funzioni Beta,Digamma,Trigamma
    3. Integrali ellittici
    4. Funzioni di Bessel
    5. Funzione zeta di Riemann e funzioni L di Dirichlet
    6. Funzione polilogaritmo
    7. Funzioni ipergeometriche
  25. Analisi funzionale
    1. Misura e integrale di Lebesgue
    2. Spazi Lp,teoremi di completezza e compattezza
    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
    4. Teoria e pratica dei polinomi ortogonali
    5. Spazi di Sobolev
  26. Complementi
    1. Curiosità e approfondimenti
    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
  27. Funzioni Convesse

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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