Esercizi sulla verifica dei limiti 3

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

Testo dell’esercizio

Esercizio 3   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Si verifichino, mediante la definizione, i seguenti limiti relativi alla funzione identità f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) =x per ogni x \in \mathbb{R}:

  1. \displaystyle \lim_{x \to x_0}x=x_0, per qualsiasi x_0 \in \mathbb{R};
  2. \displaystyle \lim_{x \to +\infty}x=+\infty;
  3. \displaystyle \lim_{x \to -\infty}x=-\infty.

 

Svolgimento.

Il grafico della funzione f è rappresentato in blu in figura 3a.

Figura 3a: la funzione f dell’esercizio 3. In rosso è evidenziato l’intorno V=(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) di x_0, in verde l’intorno U=V=(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) di x_0. Dato che f(x)=x per ogni x \in \mathbb{R}, se x \in U allora f(x) \in V.

 

  1. Fissiamo x_0 \in \mathbb{R}. Poiché sia x_0 che \ell sono numeri reali, dobbiamo rifarci al primo caso esplicitato dalla tabella 1. Fissiamo \varepsilon>0, determinando quindi un intorno V=(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) di x_0. Poiché f(x)=x per ogni x \in \mathbb{R}, abbiamo

    (3)   \begin{equation*} x \in U=(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) \implies f(x)=x \in V=(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon). \end{equation*}

    Per l’arbitrarietà di \varepsilon, la definizione 1 è verificata e dunque

    (4)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} x = x_0. \end{equation*}

  2. Sia ora x_0=+\infty e vogliamo mostrare che \displaystyle \ell= \lim_{x \to + \infty} x = +\infty. Dunque siamo nel caso 9 della tabella 1. Fissiamo dunque M \in \mathbb{R}. Di nuovo grazie al fatto che f(x)=x per ogni x \in \mathbb{R}, scegliendo H=M si ha

    (5)   \begin{equation*} x > M \implies f(x)=x > M. \end{equation*}

    Poiché M è arbitrario, si ha

    (6)   \begin{equation*} \lim_{x \to + \infty} x = +\infty. \end{equation*}

    La situazione è rappresentata in figura 3b.

    Figura 3b: illustrazione del punto 2 dell’esercizio 3. In rosso l’intorno V=(M,+\infty) di \ell=+\infty, mentre in verde è rappresentato l’intorno U=(M,+\infty) di x_0=+\infty. Dato che f(x)=x per ogni x \in \mathbb{R}, si ha che x \in U se e solo se f(x) \in V.

     

  3. Per quest’ultima parte dell’esercizio il ragionamento è del tutto analogo al precedente: poiché x_0=\ell=-\infty, siamo nel caso 5 della tabella 1. Fissiamo dunque M \in \mathbb{R}; si ha

    (7)   \begin{equation*} x < M \implies f(x) = x < M. \end{equation*}

    Per l’arbitrarietà di M \in \mathbb{R}, si ottiene quindi

    (8)   \begin{equation*} \lim_{x \to - \infty} x = - \infty. \end{equation*}