Verifica del limite – Richiami di teoria

Verifica del limite in funzioni

Home » Verifica del limite – Richiami di teoria

 

Verifica del limite – Richiami di teoria

Il nostro ambiente di lavoro è la cosiddetta retta reale estesa, ossia l’insieme \overline{\mathbb{R}}= \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}. Essa consiste appunto dell’insieme \mathbb{R} dei numeri reali con l’aggiunta dei simboli -\infty e +\infty, che vengono detti rispettivamente meno infinito e più infinito e rappresentano l’idea intuitiva di numeri infinitamente grandi in modulo, rispettivamente minori e maggiori di ogni numero reale; infatti l’usuale relazione d’ordine su \mathbb{R} si estende per definizione a

(1)   \begin{equation*} -\infty < x < +\infty \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Poiché per lo studio dei limiti dobbiamo formalizzare l’idea intuitiva di “avvicinarsi a un elemento di \overline{\mathbb{R}}“, bisogna definire la nozione di intorno di un elemento x_0 \in \overline{\mathbb{R}}, cioè un insieme di numeri reali che “circonda” x_0.

Definizione 1 (intorno) 
Dato x_0 \in \overline{\mathbb{R}}, si dice intorno di x_0 un insieme contenente un intervallo aperto delle seguenti forme:
1. se x_0 \in \mathbb{R}, (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) con \varepsilon>0;
2. se x_0=-\infty, (-\infty,M) con M \in \mathbb{R};
3. se x_0=+\infty, (M,+\infty) con M \in \mathbb{R}.

Osservazione 1. Dato che un intorno è dunque un qualsiasi insieme contenente un intervallo aperto delle forme specificate nella definizione 1, vedremo che nella pratica è sufficiente lavorare con gli intervalli aperti della forma (x_0-\delta,x_0+\delta), (-\infty,M) e (M,+\infty). Segnaliamo infatti che alcuni testi definiscono intorni esclusivamente tali intervalli, proprio in virtù del fatto che la topologia di \mathbb{R} e la teoria dei limiti che ne deriva rimane invariata.

Vogliamo ora definire il concetto di limite di una funzione. Come anticipato nell’introduzione, tale nozione è una formalizzazione della seguente idea intuitiva: se f \colon A \to B è una funzione e x_0 \in \overline{\mathbb{R}}, a quale valore si avvicina f(x) se x si avvicina a x_0?
Per dare significato a questa idea, però, occorre che il punto x_0 sia “avvicinabile” da punti x del dominio A di f, altrimenti f(x) non è definita “nei dintorni” di x_0. Questa nozione si formalizza mediante il concetto di punto di accumulazione.

Definizione 2 (punto di accumulazione) 
Dato A \subseteq \mathbb{R} e x_0 \in \overline{\mathbb{R}}, esso si dice punto di accumulazione per A se ogni intorno U di x_0 contiene punti di A distinti da x_0; in formule, se

(2)   \begin{equation*} U \cap A \setminus \{x_0\} \neq \emptyset \qquad \forall \,U \,\text{ intorno di $x_0$}. \end{equation*}

Intuitivamente parlando, x_0 è di accumulazione per A se i punti di A si “addensano” intorno a x_0. Osserviamo che x_0 non deve necessariamente appartenere all’insieme A affinché esso sia un punto di accumulazione per esso: si verifica facilmente ad esempio che 1 è un punto di accumulazione per l’insieme (1,3), pur non appartenendo a esso.

Notiamo inoltre che x_0 può anche non essere un numero reale, può cioè essere pari a -\infty o +\infty. Si vede facilmente che -\infty è un punto di accumulazione per l’insieme A se e solo se A è illimitato inferiormente, mentre +\infty è un punto di accumulazione per l’insieme A se e solo se A è illimitato superiormente.

Possiamo ora enunciare la definizione di limite.

Definizione 3 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(3)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(4)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

 

La definizione di limite, per quanto possa sembrare oscura, formalizza effettivamente l’idea intuitiva presentata prima: f ha limite \ell in x_0 se f(x) può essere reso arbitrariamente vicino a \ell se x è sufficientemente vicino a x_0. Infatti, analizziamo nel dettaglio le varie parti della definizione.

  •  Si richiede che x_0 sia un punto di accumulazione per A perché vogliamo studiare il comportamento di f nei punti di A vicini a x_0, escludendo però x_0, come si vedrà analizzando \eqref{eq:def_limite}. x_0 può essere un numero reale o anche - \infty o +\infty; in questi ultimi due casi, vogliamo studiare il comportamento di f(x) quando x diventa rispettivamente arbitrariamente piccolo o arbitrariamente grande. Ovviamente, affinché ciò sia possibile, occorre che il dominio A di f sia illimitato rispettivamente inferiormente o superiormente, cioè che -\infty o +\infty siano dei punti di accumulazione per A.
  • La parte nella definizione 3 “per ogni intorno V di \ellf(x) \in V” formalizza proprio l’idea intuitiva “f(x) può essere reso arbitrariamente vicino a \ell“. Infatti, “per ogni intorno V di \ell” significa proprio “per qualsiasi grado di vicinanza tra f(x) e \ell“.
  •  La parte nella definizione “esiste un intorno U di x_0 tale che … \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}” significa “per x abbastanza vicino a x_0 …”.
  • La parte “f(x) \in V” significa che f(x) è vicino a \ell quanto desiderato.
  • La parte “\forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}” significa che la condizione f(x) \in V è vera per ogni x sufficientemente vicino a x_0 (cioè x \in U) su cui si possa calcolare f(x) (cioè x \in A), diverso però da x_0 stesso (cioè x \notin \{x_0\}).

La definizione 3 è una delle più importanti della Matematica, dunque invitiamo il lettore a riflettere su di essa e a prendersi il tempo necessario a comprenderla. Lo scopo di questa dispensa consiste proprio nell’applicazione di tale definizione in numerosi casi particolari che coprano una varietà abbastanza ampia di situazioni, proprio al fine di comprenderla meglio e verificarne l’utilità.

Come si evince dalla definizione 3, il punto x_0 in cui si calcola il limite di f può non appartenere al dominio di f, dunque il valore f(x_0) potrebbe non esistere (ad esempio quando x_0=\pm \infty). Ciò fa intuire l’importanza della nozione di limite, che consente di studiare i valori di f intorno a x_0, anche nei casi in cui f(x_0) non è definita. Vedremo numerosi esempi di tali circostanze nel corso della dispensa.

Sottolineiamo inoltre che, anche quando x_0 appartiene al dominio di f, il valore f(x_0) in generale non ha alcuna relazione con l’eventuale limite \ell di f in x_0. Infatti, dall’equazione (3) si vede che f(x) deve appartenere all’intorno V di \ell scelto, per ogni x \in U \cap A escluso x_0. Cioè, in accordo con (3), il valore f(x_0) non ha alcuna influenza sul valore del limite e anzi si può vedere che, se si modifica f assegnandole qualunque valore in x_0, essa continua ad avere lo stesso limite.

In altre parole, nella definizione di limite, siamo interessati soltanto ai valori che f assume nei punti “vicini” a x_0, trascurando completamente l’eventuale valore assunto in x_0, che non ha alcuna rilevanza. Anche di tali situazioni vedremo numerosi esempi nel corso della dispensa.

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 3 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty. Infatti, in ognuno di questi casi, gli intorni di x_0 e \ell assumono forme diverse, come si evince dalla definizione 2. Li mostriamo nella tabella 1 fornendo per ognuno di essi più modi equivalenti per esplicitare la definizione 3. Sottolineiamo che, in virtù dell’osservazione 1, utilizziamo direttamente gli intervalli aperti contenuti negli intorni; infatti, poiché ogni intorno contiene un intervallo aperto della forma stabilita dalla definizione 2, tale posizione non è restrittiva.

Osservazione 2. Poiché la nozione di limite serve per caratterizzare il comportamento di f nelle vicinanze di x_0, per studiare la validità della definizione 3 è sufficiente verificarla solo per intorni “sufficientemente piccoli” di \ell, cioè contenuti in un fissato intorno V_0 di \ell. Infatti, supponiamo di sapere che per ogni intorno V \subseteq V_0 di \ell esiste un intorno U di x_0 tale che

(5)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

Consideriamo ora un qualunque intorno V di \ell. Se V \subseteq V_0, allora appunto sappiamo esibire un intorno U di x_0 per cui valga (5). Se invece V \not \subseteq V_0, per definizione di intorno si ha V_0 \subseteq V. Poiché per V_0 sappiamo che esiste un intorno U di x_0 soddisfacente (5), si ha

(6)   \begin{equation*} f(x) \in V_0 \subseteq V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

Dunque, i casi esplicitati dalla tabella 1 si possono modificare nelle seguenti forme.

  • \ell \in \mathbb{R}: “Per ogni \varepsilon \in (0,\varepsilon_0)…”, dove \varepsilon_0>0;
  • \ell=-\infty: “Per ogni M < M_0…”, dove M_0 \in \mathbb{R};
  • \ell=+\infty: “Per ogni M > M_0…”, dove M_0 \in \mathbb{R}.

Utilizzeremo molte volte questa semplice osservazione nelle soluzioni degli esercizi.

Un risultato che riteniamo opportuno riportare e che consente appunto di parlare del limite di una funzione in un punto, è il seguente teorema di unicità, basato sull’osservazione che elementi distinti di \overline{\mathbb{R}} possiedono intorni disgiunti.

Teorema 1 (di unicità del limite) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia f \colon A \to \mathbb{R} e sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A. Se il limite \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) esiste, allora esso è unico.

Dato x_0 \in {\mathbb{R}}, può essere necessario studiare il comportamento di una funzione f quando la variabile si avvicini a x_0 “da sinistra” o “da destra”, ossia quando x si avvicini a x_0 assumendo però solo valori rispettivamente minori o maggiori di x_0. Tale studio conduce alle nozioni di limiti sinistro e destro e, per presentarla, anteponiamo la seguente definizione di punti di accumulazione sinistri e destri di un sottoinsieme di numeri reali.

Definizione 4 (punti di accumulazione destri e sinistri)
Dato A \subseteq \mathbb{R} e x_0 \in {\mathbb{R}}, esso si dice punto di accumulazione sinistro per A se esso è un punto di accumulazione dell’insieme A \cap (-\infty,x_0), ossia se e solo se per ogni \delta>0 si ha

(7)   \begin{equation*} (x_0 - \delta,x_0) \cap A \neq \emptyset. \end{equation*}

Analogamente x_0 si dice punto di accumulazione destro se esso è un punto di accumulazione dell’insieme A \cap (x_0,+\infty), ovvero se e solo se per ogni \delta>0 si ha

(8)   \begin{equation*} (x_0, x_0 + \delta) \cap A \neq \emptyset. \end{equation*}

 

Segue subito dalla definizione che, se x_0 è un punto di accumulazione sinistro o destro per A, allora esso è un punto di accumulazione per A nel senso della definizione 1. Viceversa, se x_0 è di accumulazione per A non è detto che esso sia di accumulazione sia destro che sinistro per A, ma si può mostrare che esso è di accumulazione destro o sinistro per A.

Osservazione 3. Si noti inoltre che la nozione di punto di accumulazione sinistro e destro non sarebbe particolarmente significativa se x_0=\pm \infty: +\infty sarebbe di accumulazione destro per A se e solo se è di accumulazione per A, mentre -\infty sarebbe di accumulazione sinistro per A se e solo se è di accumulazione per A. Ciò giustifica, nella definizione 4, aver assunto x_0 \in \mathbb{R}.

Utilizzando questi strumenti, possiamo definire i limiti sinistro e destro di una funzione in un punto.

Definzione 5 (limiti destri e sinistri) ;
Siano A\subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in {\mathbb{R}} un punto di accumulazione sinistro per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}.
Si dice che \ell è il limite sinistro di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste \delta>0 tale che

(9)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0) \cap A . \end{equation*}

In tal caso si scrive

(10)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell. \end{equation*}

Analogamente si definisce il limite destro di f per x \to x_0 ed esso si indica con \displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x).

 

Osservazione 4. Non vengono definiti i limiti sinistri e destri nei casi in cui x_0=-\infty o x_0=+\infty in quanto, per l’osservazione 3, i limiti in tali punti sono soltanto destri (per x_0=-\infty) e sinistri (per x_0=+\infty).

Per i limiti sinistri e destri valgono tutte le osservazioni precedentemente effettuate per i limiti, con le dovute modifiche. Riportiamo poi il seguente risultato, utile nella soluzione di alcuni esercizi, che afferma che una funzione ha limite \ell in un punto se e solo se i due limiti destro e sinistro in tale punto esistono e coincidono con \ell.

Proposizione 1
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 un punto di accumulazione sinistro e destro per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
\bullet \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)= \ell;
\bullet \displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x)= \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell.