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Insiemi numerici: guida ai numeri naturali, interi e razionali

 

L’insieme numerico che sentiamo più vicini alla nostra esperienza è quello dei naturali, che abbiamo incontrato da piccoli imparando a contare gli oggetti.
Abbiamo poi fatto la conoscenza dei numeri interi relativi, che ci permettono di esprimere anche quantità negative. La necessità di effettuare divisioni in parti non intere ci ha poi condotto alle frazioni e ai numeri razionali.

Questa dispensa, arricchita da esempi concreti ed esercizi svolti, è una risorsa indispensabile sia per chi si avvicina a queste domande, sia per chi desidera approfondirne la sua conoscenza. La struttura del testo favorisce un apprendimento graduale ma profondo, ideale per studenti e appassionati che vogliono esplorare la bellezza e la complessità della matematica.

Se desideri fare la conoscenza dei principali insiemi numerici della Matematica, questo articolo è quello che cercavi!

Segnaliamo i seguenti articoli di teoria correlata, tratti dalla lista completa reperibile alla fine della dispensa:

 

Autori e revisori

Leggi...

Autore: Martina Moro  

Revisore: Valerio Brunetti.

 

I numeri naturali

Gli assiomi di Peano.

L’insieme numerico basilare è quello dei numeri naturali, ossia quei numeri che possono essere osservati in natura. Tale insieme nasce dalla necessità fondamentale di contare gli oggetti esistenti.

    \begin{equation*} 		\mathbb{N}=\{0,1,2,...,n,...\} 	\end{equation*}

È possibile definire l’insieme \mathbb{N} a prescindere dagli elementi grazie a degli assiomi, detti postulati di Peano.  

Definizione 1. L’insieme dei numeri naturali è costituito da una terna (\mathbb{N},0,\sigma) dove \mathbb{N} è un insieme, 0\in\mathbb{N} e \sigma:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N} è una funzione che definisce il “successivo” di un numero naturale. Formalmente abbiamo tre postulati:

 

\mathbb{P}_1 ) \sigma è iniettiva;

\mathbb{P}_2 ) 0\notin\,Im(\sigma) ovvero \nexists\,n\in\mathbb{N}\,:\,\sigma(n)=0;

\mathbb{P}_3 ) Principio di induzione debole: se U\subseteq\mathbb{N} è tale che

 

  • 0\in U
  • n\in U\Rightarrow\sigma(n)\in U
  • allora U=\mathbb{N}.

 

Analizziamo più nel dettaglio il significato dei postulati. Se vogliamo definire il concetto di numero naturale abbiamo bisogno di un “ punto di partenza “, ovvero di un numero naturale minimale. In questa esposizione abbiamo scelto lo 0 come numero naturale di partenza (anche se questa convenzione non è universalmente accettata e talvolta si sceglie di partire dal numero naturale 1). Una volta postulato l’esistenza del numero 0 (o 1 a seconda delle convenzione), gli assiomi di Peano richiedono l’esistenza della funzione \sigma che, preso un qualunque numero naturale n in input, restituisce il numero successivo n+1 in output. Se avessimo già un’idea di cosa sono i numeri naturali, potremmo scrivere

    \[\sigma(n)=n+1.\]

Alla luce di quanto appena detto, possiamo interpretare i postulati nel seguente modo:

\mathbb{P}_1 ) Due numeri diversi hanno due diversi successivi;

\mathbb{P}_2 ) Il numero 0 non è il successivo di un numero naturale;

\mathbb{P}_3 ) Principio di induzione debole: se U è un sottoinsieme dei numeri naturali che contiene 0 e che contiene il successivo di ogni suo elemento, si ha necessariamente U=\mathbb{N}. In altri termini, non esistono sottoinsiemi propri di \mathbb{N} che contengono sia 0, sia il successivo di ogni suo elemento.

 

Osservazione 1. I primi due postulati possono essere interpretati come

\mathbb{P}_1 ) n+1=m+1 se e solo se n=m;

\mathbb{P}_2 ) L’equazione n+1=0 non ha soluzione in \mathbb{N}.

 

Il terzo postulato, detto Principio di induzione è quello più importante perchè fornisce un vero e proprio metodo dimostrativo, detto dimostrazione per induzione. Supponiamo di voler dimostrare una certa proprietà P(n) per ogni numero naturale. Sia

    \begin{equation*} 	U=\{n\in\mathbb{N}\,:\, P(n)\text{ è verificata}\} \end{equation*}

allora possiamo schematizzare il metodo di dimostrazione per induzione in due passi:

  • Passo base: si dimostra che 0\in U, cioè che P(0) è verificata;
  • Passo induttivo: supponiamo vera la proposizione P(n) per un generico valore n e dimostriamo a partire da questa ipotesi, detta ipotesi induttiva, che la proposizione P(n+1) è vera.

Il Postulato \mathbb{P}_3 permette di concludere che U=\mathbb{N}, ovvero che la proprietà P è valida per ogni numero naturale. Infatti, il passo induttivo corrisponde esattamente a verificare che n \in U \Rightarrow\sigma(n)\in U.

Possiamo riassumere in modo formale il Principio di Induzione come segue:

    \[P(0) \wedge \{ P(n) \Rightarrow P(n+1) \; \forall n \in \mathbb{N} \} \Rightarrow (P(n)\; \forall n \in \mathbb{N}).\]

Nella formalizzazione di Peano dei numeri naturali il principio di induzione è dato come assioma, pertanto è assunto come vero e non viene dimostrato. In alternativa viene assunto come assioma il principio del buon ordinamento che invece nella formalizzazione di Peano viene dimostrato. In questo caso il principio di induzione è conseguenza del principio del buon ordinamento. Quindi le due teorie dei numeri naturali sono perfettamente equivalenti.

 

Teorema 1. I due principi sono equivalenti \mathbb{P}_3

Principio di induzione: sia U\subseteq\mathbb{N} tale che

  • 0\in U;
  • n\in U\Rightarrow n+1 \in U;

allora U=\mathbb{N}.

\mathbb{M} Principio del buon ordinamento:  Sia U\subseteq\mathbb{N} non vuoto. Allora U contiene un elemento minimo, ovvero

    \begin{equation*} \exists\,u\in U\,:\,u\leq x\,\qquad\forall\,x\in U. \end{equation*}

 

Dimostrazione. (\mathbb{P}_3\Rightarrow\mathbb{M}) Sia U\subseteq\mathbb{N} un sottoinsieme non vuoto. Se 0\in U allora \min U=0.

Se 0\notin U allora possiamo considerare l’insieme

    \[T=\{n\in\mathbb{N}\,:\, n<u\,\,\forall\,u\in U\}.\]

Osserviamo che 0\in T. Se per ogni n\in T si avesse n+1\in T allora per il principio di induzione T=\mathbb{N} e U sarebbe vuoto. Deve esistere un elemento n_0\in T tale che n_0+1\notin T e allora \min U=n_0+1.

(\mathbb{M}\Rightarrow\mathbb{P}_3) Sia U un sottoinsieme non vuoto di numeri naturali tale che 0\in U e se n\in U allora n+1\in U. Supponiamo per assurdo che U\neq \mathbb{N} e consideriamo T:=\mathbb{N}\setminus U\neq\emptyset allora per il principio del minimo esiste un m\in T elemento minimo, ovvero tale che m\leq t per ogni t\in T. Osserviamo che 0\in U quindi 1\in U: da questo deduciamo che m>1 e che m-1\notin T per la minimalità di m. Quindi m-1\in U; questo porta a un assurdo perché m=(m-1)+1\in U= \mathbb{N} \setminus T.

 

Il principio del minimo permette di dimostrare il seguente teorema alla base della definizione dell’operazione divisione euclidea

 

Teorema 2. Siano a,\,b\,\in\mathbb{N} con b\neq 0 allora esistono e sono unici q,\,r\,\in\mathbb{N} tale che

    \begin{equation*} a=b\cdot q+r\qquad 0\leq r<b, \end{equation*}

dove q è detto quoziente e resto della divisione euclidea.

 

Dimostrazione. Studiamo il caso a\geq b e consideriamo l’insieme

    \begin{equation*} M=\{n\in\mathbb{N}\,:\,\exists\,k\in\mathbb{N},\,n=a-b\cdot k\}. \end{equation*}

Scegliendo k=0 otteniamo

    \begin{equation*} a=a-b\cdot k, \end{equation*}

quindi M\neq\emptyset perché contiene sicuramente l’elemento a. Per il principio del minimo esiste r\geq 0 tale che r\leq m per ogni m\in M. Quindi \exists \,q\in\mathbb{N} tale che

(1)   \begin{equation*} r=a-b\cdot q. \end{equation*}

Dimostriamo che r<b; se per assurdo r\geq b allora l’elemento t=r-b=a-(q+1)b\in M e t<r e questo contraddice la minimalità di r.

Dimostriamo l’unicità per assurdo: supponiamo esistano q,\,q'\in\mathbb{N} e r,\,r'\in\mathbb{N} tale che

    \begin{equation*} a=q\cdot b+r\qquad 0\leq q<r, \end{equation*}

    \begin{equation*} a=q'\cdot b+r'\qquad 0\leq q'<r'. \end{equation*}

Allora

    \begin{equation*} q\cdot b+r=q'\cdot b+r' \end{equation*}

 

  • Se r'=r allora bq=bq'\Rightarrow q=q'
  • Se r<r' allora

        \begin{equation*} r'-r=b(q-q')\geq b \end{equation*}

    poiché r'-r\in\mathbb{N}. Allora siccome r'-r\leq r'<b otteniamo una contraddizione. Nel caso r>r' si ragiona analogamente.

Principio di induzione.

La prima attestazione specifica del principio di induzione è del 1861, a opera di Robert Grassmann. Il suo primo utilizzo in una dimostrazione, invece, risale al 1575 da parte dell’italiano Francesco Maurolico. Nel XVII secolo, Pierre de Fermat ne raffinò l’utilizzo formulandolo come principio della discesa infinita, e la nozione compare anche chiaramente nei lavori più tardi di Blaise Pascal (1653). L’espressione “induzione matematica” apparentemente sembra essere stata coniata dal logico e matematico A. De Morgan nei primi anni del XIX secolo. La sua formulazione completa, usata ancora oggi, è essenzialmente quella data da Giuseppe Peano nei suoi Arithmetices Principia, pubblicati nel 1889. Il principio d’induzione deriva direttamente dal quinto assioma di Peano, ed è ad esso equivalente. Assumendolo dunque come assioma, ne deriva il quinto assioma di Peano. 1.

Nella pratica, come vedremo, il principio di induzione è una tecnica di dimostrazione di proposizioni che dipendono dai numeri naturali, formalmente possiamo riscriverlo nella maniera seguente:

 

Principio 1 (Induzione). Sia P(n) una proposizione sui numeri naturali, se  

  • P(0) è verificata, (passo base)
  • \forall n\in \mathbb{N}, \; P(n) \Rightarrow P(n+1) (passo induttivo)

allora P(n) è vera \forall n \in \mathbb{N}.

 

In altri termini, per dimostrare che una certa proposizione sui numeri naturali sempre è vera (P(n) è vera \forall n \in \mathbb{N}) è sufficiente dimostrare che  

  • a proposizione è vera se poniamo n = 0 (il passo base),
  • data per vera P(n) (ipotesi induttiva), riusciamo a dimostrare che la proposizione è vera anche per n+1.

Per ricordare questo principio è utile pensare alla metafora di una infinità di tessere del domino disposte lungo una fila. La proposizione P(n) in questo caso può essere formulata come “l’ennesima tessere del domino cade”. Invece di controllare ad una ad una se le tessere del domino cascano o meno (cosa che non possiamo fare perché sono infinite) ci basta osservare  

  • se la prima tessera del domino è caduta (passo base)
  • e se (per ogni n) l’ n-esima tessera cade (ipotesi induttiva), questa fa cadere l’ (n+1)-esima tessera del domino.

Se queste due condizioni sono verificate, possiamo star certi che cadranno tutte le tessere del domino e possiamo dormire sereni senza doverle controllare tutte. Infatti, osservando che la prima cade (passo base), per ipotesi induttiva, sappiamo che la seconda cade (sappiamo che P(n) \Rightarrow P(n+1)), ma se la seconda cade allora…

Ma cosa succede se la prima tessera del domino non cade (non vale il passo base per n=0)? Magari è incollata al pavimento, o magari le prime 5 tessere sono troppo distanziate tra di loro e non è vero che far cadere la terza tessera fa cadere la quarta tessera. D’altro canto dalla quinta tessera in poi tutto funziona liscio come l’olio. Per questo motivo possiamo generalizzare il nostro principio facendo partire il nostro passo base da qualche n_0 che non sia necessariamente 1. Formalmente  

Principio 2 (Induzione Generalizzato). Sia P(n) una proposizione sui numeri naturali, se  

  • \exists n_0 tale che P(n_0) verificata (passo base);
  • \forall n\in \mathbb{N}\;  n\geq n_0  \; P(n) \Rightarrow P(n+1) (passo induttivo)

allora P(n) è vera \forall n \in \mathbb{N}, \;  n\geq n_0.

 

In sostanza stiamo dicendo che non è necessario partire proprio dalla prima tessera del domino, ma se riusciamo a dimostrare che  

  • se la n_0-esima tessera del domino è caduta (passo base)
  • e se (per ogni n \geq n_0) l’ n-esima tessera cade (ipotesi induttiva), questa fa cadere l’ (n+1)-esima tessera del domino .

allora possiamo star certi che cadono tutte le tessere dalla n_0-esima in poi. Sensato, vero?

Passiamo a qualche esempio più pratico, dando per un attimo per buone le operazioni tra numeri naturali che ci sono familiari da sempre e che andremo a formalizzare nella prossima sezione. Partiamo da un esempio classico, la dimostrazione per induzione della formula della somma dei primi n numeri naturali. La leggenda vuole che il primo a trovare questa formula sia stato il principe dei matematici, Gauss. Durante i suoi anni di scuola, si racconta, si trovò alle prese con un maestro sfaticato, che non avendo voglia di insegnare, chiese ai suoi alunni di calcolare la somma dei primi cento numeri naturali

    \[\sum_{i=1}^{100} i = 1 + 2 + 3 + \dots + 100\]

Si dice che Gauss non solo riuscì a risolvere il problema in brevissimo tempo, ma riuscì a generalizzarlo per la somma dei primi n numeri naturali, qualunque sia n, e dunque non solo per n=100. L’idea è estremamente semplice ed elegante: basta notare che la somma del primo e dell’ultimo numero è 1 +100 =101 (in generale n+1), ma anche sommando il secondo con il penultimo si ha 2 + 99 = 101 (in generale n+1), e che accoppiando in questo modo, abbiamo esattamente 50 (n/2) somme, tutte pari a 101. Allora

    \[1 + 2 + 3 + \dots + 100 = \underbrace{101 + \dots + 101}_{\text{50 termini}} = 50(101).\]

Assumendo per il momento che n sia pari

    \[1 + 2 + 3 + \dots + n = \underbrace{(n+1) + \dots + (n+1) }_{\text{$n/2$ termini}}= \frac{n}{2}(n+1)= \frac{n(n+1) }{2}.\]

Se n è dispari, la dimostrazione delineata sopra si può facilmente adattare. Il procedimento presentato serve solo per prendere familiarità con il problema, ma non ha niente a che vedere con il principio di induzione, proviamo ora a ridimostrare questa proposizione utilizzando il principio di induzione.

 

Esercizio 1  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dimostrare che la somma dei primi n numeri naturali è \dfrac{n(n+1)}{2}.

 

Dimostrazione. In questo esempio la proposizione P(n) è

    \[\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1) }{2}.\]

come prima cosa possiamo provare a caso dei valori di n per familiarizzarci con la proposizione e verificare che la formula è vera almeno per questi n; per esempio per n=3 abbiamo:

    \[1 +2 + 3 = \frac{3(3+1) }{2}.\]

che è vero (6 = 6).  

  • Passo base: a questo punto mostriamo che la proposizione è vera per n_0=1 (la prima tessera del domino cade):

        \[P(1):  \sum_{k=1}^1 k = \frac{1(1+1) }{2}\]

    che è come dire che 1 = \frac{1(1+1) }{2} = 1 è ovviamente verificata.

  • Passo Induttivo: assumiamo (ipotesi induttiva) che P(n) sia vera cioè che

        \[\sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1) }{2}.\]

    e vogliamo dimostrare che P(n + 1) è vera (cioè sostituendo n+1 al posto di n)

        \[\sum_{k=1}^{n+1} k = 1 + 2 + \dots + n + (n+1) = \frac{(n + 1)(n+2) }{2}.\]

    D’altro canto 1 + 2 + \dots + n + (n+ 1) = (1 + 2 + \dots + n) + (n+1) e per ipotesi induttiva 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1) }{2}, allora:

        \[\begin{aligned}  \sum_{k=1}^{n+1} k & = 1 + 2 + \dots + n + (n+1) =  (1 + 2 + \dots + n) + (n+1) = \\ &=  \frac{n(n+1) }{2} + n+1 = \frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2} = \frac{(n + 1)(n+2) }{2}  \end{aligned}\]

    dove nell’ultimo passaggio abbiamo raccolto (n+1), concludendo la dimostrazione.

 

Come abbiamo visto l’idea fondamentale è  

  • verificare il caso base
  • partendo dal caso n+1 (quello che dobbiamo dimostrare), cercare di riscrivere P(n+1) in termini di P(n), usare l’ipotesi induttiva, cioè la conoscenza di P(n)
  • concludere con dei calcoli.

Un altro esercizio interessante riguarda il rompicapo della torre di Hanoi che consiste nello spostare un certo numero di dischi di grandezza crescente su tre pioli. Il gioco inizia con tutti i dischi incolonnati su un paletto in ordine decrescente, in modo da formare un cono. Lo scopo del gioco è portare tutti i dischi su un paletto diverso, potendo spostare solo un disco alla volta e potendo mettere un disco solo su un altro disco più grande, mai su uno più piccolo.

   

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Il gioco fu inventato nel 1883 dal matematico francese Édouard Lucas che diffuse il gioco sotto lo pseudonimo di N. Claus de Siam, mandarino del collegio di Li-Sou-Stian. La leggenda secondo la quale in un tempio indù alcuni monaci sono costantemente impegnati a spostare su tre colonne di diamante 64 dischi d’oro secondo le regole della Torre di Hanoi (a volte chiamata Torre di Brahmā) è stata inventata dalla ditta che per prima ha messo in commercio il rompicapo. La leggenda narra che quando i monaci completeranno il lavoro, il mondo finirà 2.

Per prendere confidenza con il gioco, nella Figura 1 possiamo vedere il gioco risolto per due dischi. Notiamo che il numero di mosse necessario è 3. Nel prossimo esercizio dimostriamo che se la torre di Hanoi ha n dischi il numero di mosse necessario per risolverlo è 2^n -1 e che in qualche senso i leggendari monaci del tempio indù non avevano tutti i torti, la legge che descrive il numero di mosse necessarie a risolvere il rompicapo è esponenziale nel numero di dischi. Supponendo che siano monaci estremamente forzuti e che siano inverosimilmente in grado di spostare il massiccio disco d’oro da un paletto ad un altro in un secondo, per finire il gioco hanno bisogno (2^{64} - 1) \text{ s} \sim 2^{64} \text{ s} = \text{1,8446744} \cdot 10^{19}  \text{ s} = 58494241501775744 secoli.

 

Esercizio 2  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Il numero minimo di mosse per per risolvere la torre di Hanoi con n dischi è

    \[2^n -1.\]

 

Dimostrazione. La dimostrazione è veramente semplice. Abbiamo gia verificato che per n = 2 ci vogliono veramente 2^2 -1 = 3 mosse, prendendo confidenza con la formula.

 

  • Passo base: anche in questo caso possiamo partire da n_0 = 1; per risolvere questo caso banale, basta spostare (con un unica mossa) l’unico disco a nostra disposizione in una qualunque altro paletto. Infatti per n=1 abbiamo 2^1 - 1 = 1.
  • Passo Induttivo: supponiamo ci vogliano almeno 2^n -1 mosse per risolvere il problema con n dischi e dimostriamo (sostituendo n+1) che ci vogliano 2^{n+1} -1 mosse per risolvere il rompicapo con n+1 dischi.

    In effetti per risolvere il problema con n+1 dischi dobbiamo prima spostare n dischi lasciando solo il disco più grande al suo posto. Una volta fatto questo basterà spostare il disco più grande su un nuovo paletto e finire rispostando i primi n dischi più piccoli sopra di lui.

    In totale 2^n - 1 mosse per spostare gli n dischi tranne quello grande, 1 mossa per spostare quello grande su un nuovo paletto, e altre 2^n - 1 mosse per spostare tutti i dischi sopra al disco grande.

        \[2^n - 1 + 1 + 2^n -1 = 2(2^n) - 1 = 2^{n+1} -1\]

    come volevasi dimostrare.

 

In alcuni casi non basta P(n) per dimostrare P(n+1), ma abbiamo bisogno di dare per vera (ipotesi induttiva forte) che P(h) sia vera per tutti gli h più piccoli di n. In altre parole, usando la metafora del domino, in alcuni casi non mi basta sapere che la precedente è caduta per poter dimostrare che l’ennesima tessera sia caduta, ma ho bisogno di sapere che tutte le precedenti siano cadute. In questo caso ci viene in aiuto il principio di induzione forte:

 

Principio 3 (Induzione Forte Generalizzato). Sia P(n) una proposizione sui numeri naturali, se  

  • \exists n_0 tale che P(n_0) verificata (passo base);
  • \forall h\in \mathbb{N},\;  n_0 \leq h \leq n, \; \{P(h)\}_h \Rightarrow P(n+1) (passo induttivo)

allora P(n) è vera \forall n \in \mathbb{N}, \;  n\geq n_0.

 

Come applicazione del principio di induzione forte diamo una dimostrazione del teorema fondamentale dell’aritmetica che tutti diamo per buono: ogni numero naturale maggiore di 2 può essere scritto come prodotto di numeri primi in maniera unica a meno dell’ordine dei fattori. Qui non dimostreremo l’unicità.

 

Esercizio 3  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) (teorema fondamentale dell’aritmetica (esistenza)). Per ogni numero naturale n\geq 2, esistono p_1, p_2, \dots, p_{d_n} numeri primi tali che

    \[n = p_1 \cdot p_2 \cdots p_{d_n}\]

 

Dimostrazione. Facciamo questa dimostrazione per induzione.  

  • Passo base: il caso base è ovvio perché 2 stesso è un numero primo 2 = 2.
  • Passo Induttivo: assumiamo che tutti i numeri h con 2 \leq h \leq n si scrivano come prodotto di numeri primi. Vogliamo dimostrare che n+1 si scrive come prodotto di numeri primi. Se n+1 è un numero primo, così come nel passo base, non c’è nulla da dimostrare: n+1= n+1 è la fattorizzazione di n+1 in numeri primi. Nel caso n+1 non sia primo allora deve esistere un numero primo p che lo divide: sia h = {n+1}/	{p}. Ovviamente 2\leq h \leq n per cui per h vale l’ipotesi induttiva e dunque si scriverà come prodotto di numeri primi

        \[h = p_1 \cdot p_2 \cdots p_{d_h}\]

    a questo punto abbiamo concluso. Infatti

        \[n + 1 = p \cdot h = p \cdot  p_1 \cdot p_2 \cdots p_{d_h}\]

    in altri termini grazie ad h siamo riusciti a scrivere n come prodotto di numeri primi.

 

Di seguito una serie di esercizi per prendere manualità nella tecnica di dimostrazione tramite principio di induzione.

 

Esercizio 4  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (Disuguaglianza di Bernoulli). Dimostrare che

    \begin{equation*} 	(1+x)^n\geq 1+nx\qquad\forall\,n\geq 0,\,x>-1. 	\end{equation*}

 

Dimostrazione.

  • Passo base: per n=0

        \[(1+x)^0=1\geq 1+0\cdot x\]

  • Passo Induttivo: riscriviamo per semplicità l’ipotesi induttiva

    (2)   \begin{equation*} 		(1+x)^n\geq 1+nx	 		\end{equation*}

    Allora

        \begin{equation*} 		\begin{split} 		(1+x)^{n+1}&=(1+x)^n\cdot (1+x)\geq(1+nx)\cdot(1+x)=\\&=1+x+nx+nx^2\geq\\&\geq 1+x+nx=1+(n+1)x 		\end{split} 		\end{equation*}

    dove, nella prima disuguaglianza, abbiamo usato (2) e l’ultima disuguaglianza è verificata perché nx^2\geq 0.

 

Definizione 2. Si chiama fattoriale di un numero naturale n la quantità

    \begin{equation*} 				n!= 				\begin{cases} 				1&\text{ se } n=0;\\ 				n(n-1)!&\text{ se } n\neq 0. 				\end{cases} 				\end{equation*}

 

Osservazione 2. Dalla definizione ricorsiva di fattoriale

    \begin{equation*} 	n!=n\cdot (n-1)\cdot...\cdot 2\cdot 1 	\end{equation*}

ovvero è il prodotto del numero per tutti i suoi antecedenti.

 

Esercizio 5  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dimostrare che

    \begin{equation*} 	2^{n-1}\leq n!\qquad\forall\,n\geq 1 	\end{equation*}

 

Dimostrazione.  

  • Passo base: per n=1

        \begin{equation*} 		2^{1-1}=1= 1!. 		\end{equation*}

  • Passo Induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per n

    (3)   \begin{equation*} 		2^{n-1}\leq n! 		\end{equation*}

    e dimostriamo l’asserto per n+1.

        \begin{equation*} 		2^{n}=2^{n-1}\cdot 2\leq n!\cdot2\leq n!\cdot (n+1)=(n+1)! 		\end{equation*}

    dove,nella prima disuguaglianza, abbiamo usato (3) e l’ultima disuguaglianza è verificata per n\geq 1.

 

Definizione 3. Siano n e k due numeri naturali tale che k\leq n.

Il coefficiente binomiale di n su k è

    \begin{equation*} 				\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}. 				\end{equation*}

 

Con queste definizioni concludiamo lo studio delle operazioni possibili in \mathbb{N}.

L’esercizio seguente è un risultato centrale nella teoria combinatorica.

 

Esercizio 6  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)(Binomio di Newton). Dimostrare

    \begin{equation*} 	(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^n 	\end{equation*}

 

Dimostrazione.

  • Passo base: per n=0

        \begin{equation*} 		(a+b)^0=1=\binom{0}{0}a^0b^0=1. 		\end{equation*}

  • Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per n

    (4)   \begin{equation*} 		(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k 		\end{equation*}

    e dimostriamo l’asserto per n+1:

        \begin{equation*} 		\begin{split} 		(a+b)^{n+1}&=(a+b)^n\cdot(a+b)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k(a+b)=\\&=a\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k+b\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k=\\&=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1} 		\end{split} 		\end{equation*}

    dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (4). Osservazione 3. Dalla prima sommatoria è possibile isolare il primo termine (per k=0)

        \begin{equation*} \begin{split} 			\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k&=\binom{n}{0}a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^=\\&=a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k. \end{split} \end{equation*}

    Mentre la seconda può essere riscritta come

        \begin{equation*} 			\begin{split} 			\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}&=\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k}=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k}+\binom{n}{n}b^{n+1}=\\&=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}. 			\end{split} 			\end{equation*}

     

    Osservazione 4. Vale la seguente relazione

    (5)   \begin{equation*} 			\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k} 			\end{equation*}

    per 1\leq k\leq n. Infatti, dopo una diretta applicazione della definizione questo equivale a verificare che

        \begin{equation*} 			\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}. 			\end{equation*}

    Sviluppiamo la somma a sinistra sfruttando le fattorizzazioni k!=k(k-1)! e (n-k+1)!=(n-k+1)(n-k)!. Otteniamo

        \begin{equation*} 		\begin{split} 			\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}&=\frac{(n-k+1)n!+kn!}{k!(n-k+1)!}=\\&=\frac{(n-\cancel{k}+1+\cancel{k})n!}{k!(n-k+1)!}=\\&=\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}. \end{split} 		\end{equation*}

    In conclusione

        \begin{equation*} 		\begin{split} 		(a+b)^{n+1}&=a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k+\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}=\\&=a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\left(\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right)a^{n-k+1}b^{k}+b^{n+1}=\\&=a^{n+1}\sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^{k}+b^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^k 		\end{split} 		\end{equation*}

    che è esattamente la tesi per n+1.

 

Esercizio 7. Dimostrare che un insieme X di n elementi possiede 2^n sottoinsiemi.

 

Dimostrazione.

  • Passo base: per n=1 abbiamo X=\{x\}

        \begin{equation*} 	\mathcal{P}(X)=\{\emptyset,\{x\}\}\Rightarrow |\mathcal{P}(X)|=2. 	\end{equation*}

  • Passo induttivo: supponiamo P(x) vera per ogni k\leq n ovvero che ogni insieme di k elementi abbia 2^k sottoinsiemi. Sia Y un insieme di k+1 elementi e y\in Y, allora X:=Y\setminus\{y\} è un insieme con k elementi. Pertanto i sottoinsiemi di Y che non contengono y sono 2^k. I sottoinsiemi di Y che contengono l’elemento su cui abbiamo fissato l’attenzione sono della forma \{y\}\cup A al variare di A\subseteq X. In totale ci sono

        \begin{equation*} 	2^k+2^k=2^k(1+1)=2^{k+1} 	\end{equation*}

    sottoinsiemi.

    Il principio di induzione ci permette di concludere che la proposizione è vera per ogni n\geq 1.

 

Quando si applica il principio di induzione bisogna stare particolarmente attenti. Di seguito mostriamo un’applicazione sbagliata del principio di induzione, che porta chiaramente a dimostrare un enunciato falso.

 

Esercizio 8. Dimostrare che \forall n \in \mathbb{N} in un insieme di n cavalli tutti hanno lo stesso colore.

 

Dimostrazione. Partiamo subito dal caso base.  

  • Passo base: per n=1 abbiamo un insieme composto da un unico cavallo. È ovvio che tutti i cavalli dell’insieme abbiano lo stesso colore.
  • Passo induttivo: assumiamo come ipotesi induttiva P(n), cioè assumiamo vero che se ho un insieme di n cavalli questi devono avere tutti lo stesso colore. Cerchiamo di dimostrare che vale P(n+1) cioè che anche per gli insiemi di n+1 cavalli, questi devono avere tutti lo stesso colore.

    Infatti dato un insieme di n+1 cavalli escludiamone uno a caso. Il sottoinsieme A così generato è composto da n cavalli e devono avere tutti lo stesso colore (per esempio sono tutti neri). Quindi sappiamo che tutti i cavalli tranne uno sono neri. Adesso partendo dal nostro sottoinsieme A di cavalli (tutti dello stesso colore), creiamo un altro sottoinsieme B togliendo un cavallo a caso da A e rimettendo l’unico scartato in precedenza. Anche B è un insieme di n elementi con la maggior parte dei cavalli (quelli che erano sia in A che in B) neri.

  Quindi tutti i cavalli devono essere neri in particolare anche quello che avevamo scartato in precedenza. Questo dimostra che tutti gli n+1 cavalli hanno lo stesso colore.   L’errore nella dimostrazione precedente è credere che esista sempre almeno un cavallo in A \cap B infatti se (n+1)=2 i due insiemi sono creati sono formati da un solo cavallo e non hanno intersezione. Quindi non possiamo “trasferire” il colore di A anche all’insieme B. Infatti per il principio di induzione, nel passo induttivo, dobbiamo dimostrare che P(n) \Rightarrow P(n+1) a prescindere dal valore di n. Qui invece la dimostrazione perde di significato per P(1) \Rightarrow P(2)

   


    \[\]

  1. Fonte Wikipedia
  1. Fonte Wikipedia

Le operazioni nell'insieme dei numeri naturali.

Dopo aver introdotto formalmente l’insieme dei numeri naturali e aver fatto confidenza con il principio di induzione, abbiamo informalmente dato per buono le operazioni fondamentali tra numeri naturali. In questa sezione definiremo formalmente tali operazioni non solo per dimostrarne le proprietà ma anche per precisare il significato della funzione \sigma introdotta con gli assiomi di Peano.

Ricordiamo la definizione di operazione binaria su un insieme generico.  

Definizione 4. Una operazione binaria in un insieme A è un’applicazione

    \begin{equation*} 					A\times A\longrightarrow A. 				\end{equation*}

In altre parole è una legge che associa ad ogni coppia di elementi di A un ben determinato elemento di A.

 

Definizione 5. La somma è un operazione binaria

    \[+:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\]

tale che per ogni n,\,m\in\,\mathbb{N}  

  • n+0=n;
  • n+\sigma(m)=\sigma(n+m).

 

Osservazione 5. Poniamo \sigma (0)=1 allora \forall n\in\mathbb{N}

    \[\sigma(n)=\sigma(n+0)=n+\sigma (0)=n+1\Rightarrow \sigma(n)=n+1\]

. Quindi chiameremo \sigma (n) il successivo di n.   Da questa osservazione possiamo riscrivere la definizione di somma di numeri naturali senza utilizzare la funzione \sigma

  • n+0=n,
  • n+(m+1)=(n+m)+1

e dimostrarne le prime proprietà grazie al principio di induzione.

 

Teorema 3. La somma gode delle seguenti proprietà

 

  1. Proprietà associativa (a+b)+c=a+(b+c)\qquad\forall\,a,\,b,\,c\,\in\mathbb{N}
  2. Esistenza dell’elemento neutro a+0=0+a=a\qquad\forall\,a\,\in\mathbb{N}
  3. Proprietà commutativa a+b=b+a\qquad\forall\,a,\,b\in\mathbb{N}

 

Dimostrazione. 1) Dimostriamo per induzione la tesi: sia

    \[U=\{n\in\mathbb{N}\,:\,(a+b)+n=a+(b+n)\}\]

 

  • Passo base: (a+b)+0=a+b=a+(b+0) per ogni a,\,b\in\mathbb{N} quindi 0\in U.
  • Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per n

    (6)   \begin{equation*} 			(a+b)+n=a+(b+n)\qquad\text{Hp induttiva} 		\end{equation*}

    e dimostriamo l’asserto per \sigma(n)

        \begin{equation*} 		(a+b)+\sigma(n)=\sigma((a+b)+n)=\sigma(a+(b+n))=a+\sigma(b+n)=a+(b+\sigma(n))  	\end{equation*}

    dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (6).

    Quindi se n\in U allora \sigma(n)\in U. Per il postulato \mathbb{P}_3 abbiamo che U=\mathbb{N}.

2) Dalla definizione di somma

    \[a+0=a\]

per ogni a\in\mathbb{N}. Consideriamo

    \begin{equation*} 	U=\{n\in\mathbb{N}\,:\,0+n=n\} \end{equation*}

 

  • Passo base: 0+0=0 quindi 0\in U
  • Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per n

    (7)   \begin{equation*} 		0+n=n\qquad\text{Hp induttiva} 	\end{equation*}

    e dimostriamo l’asserto per \sigma(n)

        \begin{equation*} 		0+\sigma(n)=\sigma(0+n)=\sigma(n) 	\end{equation*}

    dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (7). \Rightarrow \sigma(n)\in U quindi per \mathbb{P}_3, U=\mathbb{N}.

3) Dimostriamo l’asserto per induzione su a e b

 

  • Passo base: per a=0 dalla proprietà (2)  

        \begin{equation*} 		0+b=b=b+0 	\end{equation*}

  • Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per a

    (8)   \begin{equation*} 		a+b=b+a 	\end{equation*}

    e dimostriamo l’asserto per \sigma(a) di nuovo per induzione però su b. Ovviamente il nuovo passo base

        \begin{equation*} 		\sigma(a)+0=\sigma(a)=0+\sigma(a) 	\end{equation*}

    segue immediatamente dalla proprietà (2). Adesso supponiamo vera l’ipotesi per b

    (9)   \begin{equation*} 	\sigma(a)+b=b+\sigma(a) \end{equation*}

    e dimostriamo l’asserto per \sigma(b).

        \begin{equation*} 	\begin{split} 	\sigma(a)+\sigma(b)&=\sigma(\sigma(a)+b)=\sigma(b+\sigma(a))=\\&=\sigma(\sigma(b+a))=\sigma(\sigma(a+b))=\\&=\sigma(a+\sigma(b))=\sigma(\sigma(b)+a)=\\&=\sigma(b)+\sigma(a) 	\end{split} \end{equation*}

    dove , nella seconda e nella sesta uguaglianza, abbiamo usato (9) mentre nella quarta uguaglianza abbiamo usato (8). Possiamo quindi concludere che U=\mathbb{N} ovvero che la proprietà è valida per ogni numero naturale.

Mediante il principio di induzione, la definizione di somma e le proprietà di somma del teorema precedente, è possibile dimostrare anche altre proprietà:  

1) \forall\,a,b\in\mathbb{N}\,:\,a+b=0\Rightarrow a=b=0

2) \forall\,a,b,c\in\mathbb{N}\,:\,a+b=a+c\Rightarrow b=c\qquad\qquad \text{Legge di cancellazione}

L’ordinamento naturale in \mathbb{N} è definito a partire dalla somma

 

Definizione 6. Siano n,\,m\in\mathbb{N} allora

    \begin{equation*} 					m\leq n\Leftrightarrow\,\exists \,d\,\in\mathbb{N}\,:\, m+d=n . 				\end{equation*}

 

È possibile dimostrare che la relazione \leq è una relazione d’ordine totale perché gode delle proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva.  

  • Proprietà riflessiva: n\leq n infatti n+0=n
  • Proprietà simmetrica: se n\leq m e m\leq n allora esistono d_1 e d_2 tale che  

        \begin{equation*} 		n+d_1=m\qquad\text{e}\qquad m+d_2=n 	\end{equation*}

        \begin{equation*} 	n=m+d_2=n+d_1+d_2\Rightarrow n=n+d_1+d_2\Rightarrow d_1+d_2=0\Rightarrow d_1=d_2=0 \end{equation*}

    Quindi n=m.

  • Proprietà transitiva: siano n,\,m e p tre numeri naturali tale che n\leq m e m\leq p allora esistono due numeri naturali d_1 e d_2 tale che  

        \begin{equation*} 	n+d_1=m\qquad\text{e}\qquad m+d_2=p. \end{equation*}

    Allora

        \begin{equation*} 	p=m+d_2=n+d_1+d_2. \end{equation*}

    Per d:=d_1+d_2\in\mathbb{N} otteniamo p=n+d\Rightarrow n\leq p.

 

Definizione 7. Se a+b=c, si pone c-a:=b. Allora b è la differenza di c e a.

 

Osservazione 6. Per l’esistenza dell’elemento neutro

    \begin{equation*} 		a+0=a\qquad\forall\,a\in\mathbb{N}\Rightarrow a-a=0\qquad\forall\,a\in\mathbb{N} 	\end{equation*}

 

Osservazione 7. L’addizione è un’operazione interna all’insieme \mathbb{N} ovvero la somma tra due numeri naturali è ancora un numero naturale; la sottrazione non gode ovviamente di questa proprietà: nel caso in cui a\leq b allora a-b\notin\mathbb{N} infatti \nexists\,d\in\mathbb{N} tale che a=b+d.

 

 

Definizione 8. Il prodotto è un operazione binaria

    \[\cdot:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\]

tale che per ogni n,\,m\in\,\mathbb{N}

 

  • n\cdot 0=0
  • n\cdot\sigma(m)=n\cdot m+n

 

Osservazione 8. La seconda proprietà può essere riscritta alla luce della definizione di successivo di un numero naturale. Poiché \sigma(m)=m+1 allora  

  • n\cdot(m+1)=n\cdot m+n\qquad\forall\,n,m\in\mathbb{N}.

 

Teorema 4. L’operazione binaria prodotto gode delle seguenti proprietà

 

  • Esistenza dell’elemento assorbente: a\cdot 0=0\cdot a=0\qquad\forall\,a\in\mathbb{N}
  • Proprietà associativa. (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\qquad\forall\,a,\,b,\,c\,\in\mathbb{N};
  •  

  • Esistenza dell’elemento neutro: a\cdot 1=1\cdot a=a\qquad\forall\,a\in\mathbb{N};
  •  

  • Proprietà distributiva: a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot b, \qquad \forall a,\,b,\,c\,\in\mathbb{N};
  •  

  • Proprietà commutativa: a\cdot b=b\cdot a\qquad\forall\,a,\,b\,\in\mathbb{N}.

 

Dimostrazione. 1) Basta dimostrare 0\cdot a=0 per ogni a\in\mathbb{N}. Procediamo sempre per induzione su a; per a=0 l’asserto è verificato per definizione di prodotto; supponiamo vera l’potesi per a

(10)   \begin{equation*} 		0\cdot a=0\qquad\text{Hp induttiva} 	\end{equation*}

e dimostriamo per \sigma (a)

    \begin{equation*} 	0\cdot \sigma (a)=0\cdot a+0=0 de \end{equation*}

dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (10).

2) Dimostriamo sempre per induzione la tesi: sia

    \begin{equation*} 	U=\{n\in\mathbb{N}\,:\,(a\cdot b)\cdot n=a\cdot(b\cdot n)\,\,\,\forall\,a,\,b\in\mathbb{N}\}. \end{equation*}

 

  • Passo base:

        \[(a\cdot b)\cdot 0=0 .\]

    Analogamente

        \[a\cdot (b\cdot 0)=a\cdot 0=0\Rightarrow (a\cdot b)\cdot 0=a\cdot (b\cdot 0).\]

  • Passo induttivo: Se n\in U

    (11)   \begin{equation*} 		(a\cdot b)\cdot n=a\cdot (b\cdot n)\qquad\text{Hp induttiva} 	\end{equation*}

    allora

        \begin{equation*} 	(a\cdot b)\cdot\sigma(n)=(a\cdot b)\cdot n+a\cdot b=a\cdot (b\cdot n)+a\cdot b=a\cdot (b\cdot n+ b)=a\cdot (b\cdot \sigma(n)). \end{equation*}

    dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (11).

Quindi \sigma(n)\in\mathbb{N}. Allora per il postulato \mathbb{P}_3, U=\mathbb{N}.

3) Per induzione  

  • Passo base: 0\cdot 1=1\cdot 0=0 per la proprietà (1);
  • Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per n

    (12)   \begin{equation*} 		n\cdot 1=1\cdot n=n. 	\end{equation*}

    dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (12). Allora

        \begin{equation*} 	1\cdot\sigma(a)=1\cdot a+1=a+1=\sigma(a). \end{equation*}

    Analogamente

        \begin{equation*} 	\sigma(a)\cdot 1=\sigma(a)\cdot\sigma(0)=\sigma(a)\cdot 0+\sigma(a)=\sigma(a). \end{equation*}

    Allora \sigma(n)\in\mathbb{N} e quindi U=\mathbb{N}.

4) Per induzione  

  • Passo base:

        \[a\cdot (b+0)=a\cdot b.\]

    Analogamente

        \[a\cdot b+a\cdot0=a\cdot b.\]

  • Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per n

        \begin{equation*}\label{hp_8} 	a\cdot (b+n)=a\cdot b+a\cdot n \end{equation*}

    e dimostriamo l’asserto per \sigma(n).

        \begin{equation*} 	a\cdot b+a\cdot \sigma(n)=a\cdot b+a\cdot n+a=a\cdot (b+n)+a=a\cdot\sigma(b+n)=a\cdot(b+\sigma(n)). \end{equation*}

    dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (12).

5) Come nel teorema 1 anche qui dobbiamo dimostrare l’asserto per induzione su entrambi i numeri a e b.

  • Passo base: per a=0 per la proprietà (1)

        \begin{equation*} 		0\cdot b=0=b\cdot 0. 	\end{equation*}

  • Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per a

    (13)   \begin{equation*} 	a\cdot b=b\cdot a \end{equation*}

    e dimostriamo l’asserto per \sigma(a) di nuovo per induzione su b. Il passo base segue dalla proprietà (1)

        \begin{equation*} 	\sigma(a)\cdot 0=0=0\cdot \sigma(a). \end{equation*}

    La nuova ipotesi induttiva è

    (14)   \begin{equation*} 	\sigma(a)\cdot b=b\cdot\sigma(a) \end{equation*}

        \begin{equation*} 	\begin{split} 		\sigma(a)\cdot\sigma(b)=\sigma(a)\cdot b+\sigma(a)=b\cdot \sigma(a)+\sigma(a)=(b+1)\cdot \sigma(a)=\sigma(b)\cdot\sigma(a) 	\end{split} \end{equation*}

    dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (14). Concludiamo per il principio di induzione.

Osservazione 9. A partire dalle proprietà appena dimostrate sulle operazioni di somma e prodotto si può verificare che esse sono compatibili con la relazione d’ordine su \mathbb{N} nel senso che  

  • per ogni a,b,c\in \mathbb{N} tale per cui a\le b, allora vale a+c\le b+c;
  • per ogni a,b,c\in\mathbb{N}, se a\le b allora a\cdot c\le b\cdot c.

 

Definizione 9. La potenza di un numero naturale è un’operazione tra numeri naturali tale che  

  • a^0=1
  • a^{n+1}=a^{n}\cdot a

per ogni a\in\mathbb{N}\setminus\{0\}

 

Valgono le note proprietà delle potenze dimostrabili per induzione  

Proposizione 1. Per ogni numero naturale a,b\in\mathbb{N}\setminus\{0\}  

  • a^m\cdot a^n=a^{m+n}
  • (a^{m})^n=a^{nm}
  • (ab)^n=a^nb^n

per ogni a\in\mathbb{N}\setminus\{0\}.

 

Dimostrazione. 1) Dimostriamo la tesi per induzione su n

  • Passo base: per n=0

        \begin{equation*} 			a^{m+0}=a^m=a^m\cdot a^0. 		\end{equation*}

  • Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per n e dimostriamo l’asserto per n+1

        \begin{equation*} 		a^{m}\cdot a^{n+1}=a^m\cdot a^n\cdot a=a^{m+n}\cdot a= a^{m+n+1} 	\end{equation*}

    quindi la proprietà è verificata per ogni numero naturale.

2)

  • Passo base: per n=0 la proprietà è ovvia per definizione di potenza e per le proprietà della moltiplicazione tra naturali; infatti

        \begin{equation*} 		(a^m)^0=1=a^{m\cdot 0}. 	\end{equation*}

  • Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per n allora

        \begin{equation*} 	(a^m)^{n+1}=(a^{m})^n\cdot a^m=a^{mn}\cdot a^m=a^{mn+m}=a^{m(n+1)}. \end{equation*}

3)

  • Passo base: sia n=0 allora

        \begin{equation*} 		(ab)^0=1=a^0b^0. 	\end{equation*}

  • Passo induttivo: supponiamo vera

        \begin{equation*} 	(ab)^n=a^nb^n\qquad\qquad \text{Hp induttiva} \end{equation*}

    allora per n+1

        \begin{equation*} 	(ab)^{n+1}=(ab)^n\cdot(ab)=a^n\cdot b^n\cdot a\cdot b = a^n\cdot a\cdot b^n\cdot b=a^{n+1}\cdot b^{n+1} \end{equation*}

    dove, nella terza uguaglianza, abbiamo usato (13). La proprietà è dimostrata per ogni numero naturale.

 

I numeri interi

Introduzione.

Nella formulazione dei numeri naturali si è parlato dell’operazione differenza o sottrazione in modo molto sommario, in quanto essa non è un’operazione interna all’insieme \N. Infatti dati due numeri naturali, il risultato dell’operazione sottrazione non è sempre un numero naturale. Pertanto si può ampliare l’insieme con l’intento di individuarne un secondo nel quale l’operazione di sottrazione possa essere definita come operazione interna. Si giunge quindi all’insieme

    \begin{equation*} 	\mathbb{Z}=\{...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...\} \end{equation*}

Per l’introduzione formale, consideriamo il prodotto cartesiano

    \begin{equation*} 	\mathbb{N}\times\mathbb{N}=\{(n,m)\,:\,n,m\in\mathbb{N}\} \end{equation*}

e la relazione \sim definita su \mathbb{N}\times\mathbb{N}

    \begin{equation*} 	(n,m)\sim (n',m')\Leftrightarrow n+m'=m+n'. \end{equation*}

È una relazione di equivalenza, infatti gode delle seguenti proprietà

  • Proprietà riflessiva: Per ogni coppia (n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}  

        \begin{equation*} 		(n,m)\sim (n,m) 	\end{equation*}

    infatti n+m=m+n per la proprietà commutativa.

  • Proprietà simmetrica: Siano (n,m)\sim (n',m') allora  

        \begin{equation*} 		n+m'= m+n'\Rightarrow n'+m=m'+n  	\end{equation*}

    ovvero (n',m')\sim (n,m)

  • Proprietà transitiva: Siano (a,b)\sim (c,d), (c,d)\sim (e,f) allora per definizione  

        \begin{equation*} 		a+d=c+b\text{ e } c+f=e+d. 	\end{equation*}

    Allora

        \begin{equation*} 	(a+d)+(c+f)=(c+b)+(e+d)\Rightarrow a+f=e+b \end{equation*}

    ovvero (a,b)\sim (e,f).

Data la relazione di equivalenza \sim è possibile definire l’insieme quoziente delle classi di equivalenza

    \begin{equation*} 	\mathbb{Z}=(\mathbb{N}\times\mathbb{N})\mathrel{/}\sim. \end{equation*}

Per chiarire il formalismo si nota come ad esempio le coppie (4,2) e (7,5) sono in relazione (infatti 4+5=7+2), quindi appartengono alla stessa classe di equivalenza e nell’insieme quoziente sono rappresentate dallo stesso elemento. Per rappresentarle possiamo utilizzare l’elemento (2,0) infatti (2,0)\sim (4,2) e (2,0)\sim (7,5); in pratica esse rappresentano il numero intero +2.

    \begin{equation*} 	\mathbb{Z}^+ =\{\overline{(n,0)}\,:\,n\in\mathbb{N}\setminus \{ 0 \}\}. \end{equation*}

Analogamente (2,4) e (5,7) appartengono alla stessa classe di equivalenza con rappresentante (0,2) e rappresentano il numero intero -2

    \begin{equation*} 	\mathbb{Z}^- =\{\overline{(0,n)}\,:\,n\in\mathbb{N}\setminus \{ 0 \}\}. \end{equation*}

Se definiamo

    \begin{equation*} 	0=\overline{(0,0)} \end{equation*}

allora \mathbb{Z}=\mathbb{Z}^+\cup\{0\}\cup\mathbb{Z}^-. In questo modo è evidente come l’insieme \mathbb{Z} risulti un’estensione di \mathbb{N} nel senso che contiene al suo interno il sottoinsieme \mathbb{Z}^+\cup\{0\} identificabile con \mathbb{N}.

Nell’insieme \mathbb{Z} si possono definire le operazioni di somma e prodotto

    \begin{equation*} 	\begin{split} 		&\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}=\overline{(a+c,b+d)}\\ 		&\overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}=\overline{(a\cdot c+b\cdot d,c\cdot b+a\cdot d)}\\. 	\end{split} \end{equation*}

Da adesso in poi per semplificare la notazione indicheremo gli elementi interi \overline{(n,0)}=n, \overline{(0,0)}=0 e \overline{(0,n)}=-n.

\mathbb{Z} rispetto alle due operazioni definite gode delle seguenti proprietà

  • Proprietà commutativa dell’addizione:

        \begin{equation*} 		a+b=b+a\qquad\forall\,a,\,b\in\mathbb{Z} 	\end{equation*}

  •  

  • Proprietà associativa dell’addizione.  

        \begin{equation*} 	(a+b)+c=a+(b+c)\qquad\forall\,a,\,b,\,c\in\mathbb{Z} \end{equation*}

  •  

  • Esistenza dell’elemento neutro rispetto all’addizione:  

        \begin{equation*} 	a+0=0+a=a\qquad\forall\,a\in\mathbb{Z} \end{equation*}

  •  

  • Esistenza dell’opposto:  

        \begin{equation*} 	a+(-a)=(-a)+a=0\qquad\forall\,a\in\mathbb{Z} \end{equation*}

  •  

  • Proprietà commutativa della moltiplicazione:  

        \begin{equation*} 	a\cdot b=b\cdot a\qquad\forall\,a,\,b\in\mathbb{Z} \end{equation*}

  •  

  • Proprietà associativa della moltiplicazione.  

        \begin{equation*} 	(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\qquad\forall\,a,\,b,\,c\in\mathbb{Z} \end{equation*}

  •  

  • Esistenza dell’elemento neutro rispetto alla moltiplicazione:  

        \begin{equation*} 	a\cdot 1=1\cdot a\qquad\forall\,a\in\mathbb{Z} \end{equation*}

  •  

  • Distributività della moltiplicazione rispetto all’addizione  

        \begin{equation*} 	(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c\quad\text{ e } \quad a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\qquad\forall\,a,\,b,\,c\in\mathbb{Z} \end{equation*}

 

Come le operazioni, anche la relazione d’ordine si definisce a partire da quella presente in \mathbb{N}.

    \begin{equation*} 	\overline{(a,b)}\leq \overline{(c,d)}\Rightarrow a+d\leq c+b. \end{equation*}

Quindi in \mathbb{Z}^+

    \begin{equation*} 	\overline{(n,0)}\leq \overline{(m,0)}\Leftrightarrow n+0\leq m+0 \end{equation*}

ovvero

    \begin{equation*} 	\overline{(n,0)}\leq \overline{(m,0)}\Leftrightarrow n\leq m \qquad\forall\,n,\,m\in\mathbb{Z}^+ \end{equation*}

Analogamente in \mathbb{Z}^-

    \begin{equation*} 	\overline{(0,n)}\leq \overline{(0,m)}\Leftrightarrow 0+m\leq 0+n \end{equation*}

ovvero

    \begin{equation*} 	-n\leq -m\Leftrightarrow m\leq n . \end{equation*}

 

Osservazione 10. Le operazioni di somma e prodotto su \mathbb{Z} sono compatibili con la relazione d’ordine su \mathbb{Z}, ovvero

  • per ogni a,b,c\in \mathbb{Z} tale per cui a\le b, allora vale a+c\le b+c;
  • per ogni a,b,c\in\mathbb{Z} tale che c\geq 0, se a\le b allora a\cdot c\le b\cdot c.

 

Proposizione 2. Siano n,m\in\mathbb{Z} allora

 

  1. 0\cdot n=n\cdot 0=0;
  2. (-n)\cdot m=(-n\cdot m);
  3. (-n)\cdot(-m)=n\cdot m.

 

Dimostrazione. 1) Per le proprietà delle operazioni in \mathbb{Z}

    \begin{equation*} 					0+(0\cdot n)=0\cdot n=(0+0)\cdot n=0\cdot n+0\cdot n. 				\end{equation*}

Quindi 0\cdot n=0; in modo analogo si dimostra che n\cdot 0=0

2)

    \begin{equation*} 				0=0\cdot m=[n+(-n)]\cdot m=n\cdot m+(-n)\cdot m\Rightarrow (-n)\cdot m=-(n\cdot m). 			\end{equation*}

3)

    \begin{equation*} 			(-n)\cdot(-m)=-(n\cdot(-m))=-(-(n\cdot m))=n\cdot m. 		\end{equation*}

 

 

Definizione 10. Sia n\in\mathbb{Z}. Il valore assoluto di n è il numero intero positivo

    \begin{equation*} 						|n|=\begin{cases} 							n&\text{ se }n\geq 0\\ 							-n&\text{ se } n<0 						\end{cases} 					\end{equation*}

o equivalentemente

    \begin{equation*} 					|n|=\max\{ n, -n \}. 				\end{equation*}

 

Esempio 1. |-7|=+7, |+3|=+3, |0|=0.

 

Osservazione 11. Dati n,\,m\in\mathbb{Z}

    \begin{equation*} 		\begin{split} 		&|n|\leq m\Leftrightarrow -m\leq n\leq m \\ 		&|n|\geq m\Leftrightarrow n\leq -m\text{ o } n\geq m. 		\end{split}  	\end{equation*}

 

Osservazione 12. Per ogni n\in\mathbb{Z} dalla definizione di valore assoluto

    \begin{equation*} 		-|n|\leq n\leq |n|. 	\end{equation*}

 

Dati due numeri interi n e m, il valore assoluto gode delle seguenti proprietà

 

  • Il valore assoluto del prodotto è uguale al prodotto dei valori assoluti, ovvero  

        \begin{equation*} 		|n\cdot m|=|n|\cdot |m|. 	\end{equation*}

  • Disuguaglianza triangolare. Siano n,\,m\in\mathbb{Z}

        \begin{equation*} 		|n+m|\leq |n|+|m|. 	\end{equation*}

    Infatti dall’osservazione 10 sappiamo che

        \begin{equation*} 		-|n|\leq n\leq |n|\text{ e } -|m|\leq m\leq |m|. 	\end{equation*}

    Allora

        \begin{equation*} 	-(|n|+|m|)\leq n+m\leq (|n|+|m|) . \end{equation*}

    Per l’osservazione 9 possiamo concludere |n+m|\leq |n|+|m|.

La divisibilità nell'insieme dei numeri interi.

Teorema 5. Siano a,\,b\,\in\mathbb{Z} con b\neq 0 allora esistono e sono unici q,\,r\,\in\mathbb{N} tale che

    \begin{equation*} 					a=b\cdot q+r\qquad 0\leq r<|b| 				\end{equation*}

dove q è detto quoziente e r resto della divisione euclidea.

 

Dimostrazione. Dimostriamo l’esistenza del quoziente e del resto per la divisione euclidea in \mathbb{Z} e trattiamo i casi a\geq 0 e a<0 separatamente.

Supponiamo a\geq 0 e applichiamo il principio di induzione forte rispetto ad a.

  • Se a=0 allora basta porre q=r=0 quindi P(0) è verificata
  • Supponiamo vera l’ipotesi P per ogni 0\leq k\leq a e dimostriamo l’asserto per a.
    • Se |b|>a poniamo q=0 e r=a
    • Se |b|\leq a consideriamo k=a-|b| allora per l’ipotesi induttiva esistono due numeri interi q' e r' tale che  

          \begin{equation*} 				a-|b|=q'b+r'\qquad 0\leq r'<|b|. 			\end{equation*}

      Allora

          \begin{equation*} 			a=|b|+q'b+r'\qquad 0\leq r'<|b|. 		\end{equation*}

      Se b>0 basterà scegliere q=q'+1 e se b<0 q=q'-1; in entrambi i casi P(a) è verificata. Per il principio di induzione la proprietà è vera per ogni a.

Per a<0 basterà sfruttare il risultato appena ottenuto per -a e scegliere opportunamente q e r in \mathbb{Z}.

Per l’unicità supponiamo per assurdo che esistano q,\,r\in\mathbb{Z} e q',\,r'\in\mathbb{Z} tale che

    \begin{equation*} 	\begin{split} 		&a=b\cdot q+r\qquad 0\leq r<|b|\\ 		&a=b\cdot q'+r'\qquad 0\leq r'<|b|. 	\end{split} \end{equation*}

Supponiamo r'\leq r allora (ripercorrendo l’analogo ragionamento per la divisione euclidea in \mathbb{N})

    \begin{equation*} 	0\leq r-r'=b(q'-q). \end{equation*}

Passando ai valori assoluti

    \begin{equation*} 	|b(q'-q)|=|b||q'-q|=r-r'\leq r<|b|. \end{equation*}

Quindi |q'-q|=0\Rightarrow q'=q e r'=r.

 

Definizione 11. Dati a,\,b\,\in\mathbb{Z} diremo che b divide a e scrivereme b|a se esiste un elemento q\in\mathbb{Z} tale che a=bq

 

Osservazione 13. Possiamo affermare equivalentemente che b|a se il resto della divisione euclidea è nullo.

 

Definizione 12. Siano a,\,b\in\mathbb{Z}. Un elemento d\in\mathbb{Z} si dice massimo comune divisore tra a e b se

 

  1. d|a e d|b
  2. Per ogni intero d' tale che d'|a e d'|b, si ha che d'|d.

Come è noto, scriveremo d=MCD(a,b).

 

L’esistenza del massimo comune divisore è garantita dal teorema 5, mentre l’unicità è garantita solo nel caso in cui venga scelto un segno privilegiato; infatti se d=MCD(a,b) anche -d soddisferà le ipotesi di massimo comune divisore. Il generale quando si parla di massimo comune divisore in \mathbb{Z}, si intende il massimo comune divisore positivo.

 

Definizione 13. Siano a,\,b\in\mathbb{Z}. Due elementi a,\,b\in\mathbb{Z} tale che d=MCD(a,b)=1 si dicono coprimi.

 

I numeri razionali

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L’operazione di divisione non è interna all’insieme dei numeri naturali, né a quello dei numeri interi. È naturale dunque pensare a un ampliamento dei numeri interi. Per rendere possibile l’operazione di divisione per ogni coppia di numeri interi si definisce l’insieme dei numeri razionali

    \begin{equation*} 	\mathbb{Q}=\left\{\frac{n}{m}\,:\,n,\,m\in\mathbb{Z},\,m\neq 0\right\} \end{equation*}

ovvero l’insieme delle frazioni \frac{n}{m} dove n è detto numeratore e m denominatore della frazione.

Per la costruzione formale di questo insieme di numeri si considera il prodotto cartesiano

    \begin{equation*} 	\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\{0\})=\{(n,m)\,:\,n,\,m\in\mathbb{Z},\,m\neq 0\}. \end{equation*}

Su questo insieme definiamo la relazione

    \begin{equation*} 	(n,m)\sim (n',m')\Leftrightarrow n\cdot m'=n'\cdot m  \end{equation*}

che risulta essere di equivalenza:

  • Proprietà riflessiva: Per ogni coppia (n,m)\in\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\{0\})  

        \begin{equation*} 		(n,m)\sim (n,m) 	\end{equation*}

    infatti n\cdot m=m\cdot n per la proprietà commutativa del prodotto tra numeri interi.

  • Proprietà antisimmetrica: Siano (n,m)\sim (n',m') allora  

        \begin{equation*} 		n\cdot m'= n'\cdot m\Rightarrow n'\cdot m=n\cdot m'  	\end{equation*}

    ovvero (n',m')\sim (n,m).

  • Proprietà transitiva: Siano (a,b)\sim (c,d), (c,d)\sim (e,f) allora per definizione  

        \begin{equation*} 		a\cdot d=c\cdot b\qquad c\cdot f=e\cdot d 	\end{equation*}

    Allora

        \begin{equation*} 		(a\cdot d)\cdot (c\cdot f)=(c\cdot b)\cdot (e\cdot d)\Rightarrow a\cdot f=e\cdot b 	\end{equation*}

    ovvero (a,b)\sim (e,f).

Data la relazione di equivalenza \sim è possibile considerare l’insieme quoziente e definire formalmente l’insieme dei numeri razionali

    \begin{equation*} 	\mathbb{Q}= (\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}))\mathrel{/}\sim. \end{equation*}

Per chiarire le classi di equivalenza di questo particolare insieme quoziente partiamo da un esempio: le coppie (3,6) e (4,8) sono ovviamente in relazione, infatti 3\cdot 8=4\cdot 6 e quindi appartengono alla stessa classe di equivalenza. Dunque le classi di equivalenza coincidono, ovvero

    \[\overline{(3,6)}=\overline{(4,8)}.\]

Questa classe può essere rappresentata dall’elemento (1,2) che è ovviamente in relazione con entrambe le coppie precedenti, in simboli

    \[\overline{(1,2)}=\overline{(3,6)}=\overline{(4,8)}.\]

In pratica tali coppie rappresentano tutte la frazione \frac{1}{2} o le frazioni ad essa equivalenti \frac{3}{6} o \frac{4}{8}, e per questo motivo siamo soliti scrivere

    \[\frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}.\]

Introduciamo ora in \mathbb{Q} le operazioni di somma e prodotto

    \begin{equation*} 	\begin{split} 		&\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}=\overline{(a\cdot d+b\cdot c,b\cdot d)}\\ 		&\overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}=\overline{(a\cdot c,b\cdot d)} 	\end{split} \end{equation*}

Inoltre le classi

    \begin{equation*} 	\begin{split} 		&0=\overline{(0,1)}=\overline{(0,n)}\\ 		&1=\overline{(1,1)}=\overline{(n,n)} 	\end{split} \end{equation*}

con n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\} sono gli elementi neutri rispettivamente per la somma e il prodotto. Ovviamente valgono tutte le proprietà delle operazioni enunciate nel paragrafo precedente.

La sottrazione in \mathbb{Q} viene definita in modo analogo all’addizione

    \begin{equation*} 	\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}=\overline{(a\cdot d-b\cdot c,b\cdot d)} \end{equation*}

Infine si giunge alla divisione, che viene definita in modo da essere una operazione interna all’insieme \mathbb{Q} nel modo seguente

    \begin{equation*} 	\overline{(a,b)}:\overline{(c,d)}=\overline{(a\cdot d,b\cdot c)}. \end{equation*}

Osserviamo che la definizione precedente ha senso se e solo se c\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}, così da garantire che b\cdot c \neq 0 (si noti che b\neq 0 per definizione). Nell’insieme dei numeri razionali è valida una proprietà ulteriore: per ogni elemento q=\overline{(a,b)}\in \mathbb{Q} con a \neq 0 esiste inverso moltiplicativo \dfrac{1}{q}=\overline{(b,a)}, tale che

    \begin{equation*} 	q\cdot \dfrac{1}{q}=\overline{(a,b)}\cdot\overline{(b,a)}=\overline{(a\cdot b,b\cdot a)}=\overline{(1,1)}=1. \end{equation*}

La relazione d’ordine in \mathbb{Q} si definisce a partire da quella presente in \mathbb{Z}. Prima di specificarla osserviamo che ogni numero razionale q\in \mathbb{Q} può essere rappresentato da una coppia (a,b)\in \mathbb{Z} \times (\mathbb{N}\setminus\{0\}). In altre parole, se q=\overline{(a,b)}, possiamo sempre supporre b>0, in quanto per definizione

    \[\overline{(a,b)}=\overline{(-a,-b)}.\]

Dati p,q\in \mathbb{Q}, con p=\overline{(a,b)}, q=	\overline{(c,d)}, e b,d>0, si stabilisce che

    \begin{equation*} p\leq q\; \Leftrightarrow\;	\overline{(a,b)}\leq 	\overline{(c,d)}\;\Leftrightarrow \;a\cdot d\leq b\cdot c \end{equation*}

ovvero

    \begin{equation*} 	\frac{a}{b}\leq \frac{c}{d} \;\Leftrightarrow\; a\cdot d\leq b\cdot c. \end{equation*}

 

Esempio 2. Supponiamo di dover confrontare le due coppie (-5,4) e (1,-3); si nota che -3<0 quindi occorre scegliere un altro elemento della classe di equivalenza di (1,-3) in modo che il la seconda entrata risulti positiva. Consideriamo ad esempio (-1,3), allora

    \begin{equation*} \overline{(-5,4)}	\leq \overline{ (-1,3)}\;\Leftrightarrow\; -\frac{5}{4} \leq -\frac{1}{3} \;\Leftrightarrow\; (-5)\cdot 3\leq 4\cdot (-1)	\;\Leftrightarrow\; -15 \leq -4, \end{equation*}

quindi risulta \displaystyle -\frac{5}{4}\leq -\frac{1}{3}.

 

La relazione appena definita tra numeri razionali è d’ordine totale

  • Proprietà riflessiva: Per ogni elemento q=\overline{(a,b)}  

        \begin{equation*} a\cdot b\leq b\cdot a,\;  \text{ ovvero } \;	q\leq q; 	\end{equation*}

  •  

  • Proprietà simmetrica: Siano p=\overline{(a,b)}, q =\overline{(c,d)}\in\mathbb{Q} tale che p\leq q e q\leq p, allora  

        \begin{equation*} 	a\cdot d\leq b\cdot c,\quad c\cdot b\leq a\cdot d\;\Rightarrow a\cdot d=b\cdot c, \end{equation*}

    ovvero (a,b) e (c,d) appartengono alla stessa classe di equivalenza e p=q.

  •  

  • Proprietà transitiva: Siano p=\overline{(a,b)}, q =\overline{(c,d)}, r=\overline{(e,f)}\in\mathbb{Q} tale che p\leq q e q\leq r allora  

        \begin{equation*} 	a\cdot d\leq b\cdot c\qquad\qquad c\cdot f\leq d\cdot e \end{equation*}

    supponiamo b,\,d,\,f>0 a meno di scegliere un rappresentante diverso, allora

        \begin{equation*} 	a\cdot d\cdot f=(a\cdot d)\cdot f\leq (b\cdot c)\cdot f=b\cdot (c\cdot f)\leq b\cdot(d\cdot e)=b\cdot d\cdot e\Rightarrow a\cdot f\leq b\cdot e   \end{equation*}

    ovvero p\leq r.

 

Osservazione 14. Come già per \mathbb{N} e per \mathbb{Z}, le operazioni di somma e prodotto su \mathbb{Q} sono compatibili con la relazione d’ordine su \mathbb{Q}, ovvero

  • per ogni a,b,c\in \mathbb{Q} tale per cui a\le b, allora vale a+c\le b+c;
  • per ogni a,b,c\in\mathbb{Q} tale che c\geq 0, se a\le b allora a\cdot c\le b\cdot c.

 

Quindi il campo \mathbb{Q} dotato della relazione d’ordine \leq è ordinato; inoltre vale la proprietà di densità ovvero  

 

Teorema 6. Siano x,\,y\in\mathbb{Q} due numeri razionali tali che x<y. Allora esiste q\in\mathbb{Q} tale che

    \begin{equation*} 					x< q< y. 				\end{equation*}

 

Dimostrazione. Siano x,\,y\in\mathbb{Q} con x<y e supponiamo

    \begin{equation*} 		\begin{split} 		&x=\overline{(a,b)}\qquad a\in\mathbb{Z},\,b\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\\ 		&y=\overline{(c,d)}\qquad c\in\mathbb{Z},\,d\in\mathbb{N}\setminus\{0\} 		\end{split} 	\end{equation*}

allora q:=\dfrac{x+y}{2}\in\mathbb{Q} è un elemento tale che x< q< y. Infatti si ha

    \begin{equation*} 2x=x+x<x+y \quad \Leftrightarrow \quad x<q	 \qquad\text{e}\qquad x+y<y+y=2y \quad \Leftrightarrow \quad q<y. \end{equation*}

 
 

Tutta la teoria di analisi matematica

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  73. Diverse formulazioni dell’assioma di completezza
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Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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    1. Teoria Serie di Fourier
    2. Esercizi Serie di Fourier
  17. Trasformata di Fourier
    1. Teoria Trasformata di Fourier
    2. Esercizi Trasformata di Fourier
  18. Funzioni di più variabili
    1. Teoria Funzioni di più variabili
    2. Massimi e minimi liberi e vincolati
    3. Limiti in due variabili
    4. Integrali doppi
    5. Integrali tripli
    6. Integrali di linea di prima specie
    7. Integrali di linea di seconda specie
    8. Forme differenziali e campi vettoriali
    9. Teorema di Gauss-Green
    10. Integrali di superficie
    11. Flusso di un campo vettoriale
    12. Teorema di Stokes
    13. Teorema della divergenza
    14. Campi solenoidali
    15. Teorema del Dini
  19. Equazioni differenziali lineari e non lineari
    1. Teoria equazioni differenziali lineari e non lineari
    2. Equazioni differenziali lineari e non lineari del primo ordine omogenee
  20. Equazioni differenziali lineari
    1. Del primo ordine non omogenee
    2. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,omogenee
    3. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,non omogenee
    4. Di Eulero,di Bernoulli,di Clairaut,di Lagrange e di Abel
    5. Non omogenee avente per omogenea associata un’equazione di Eulero
    6. Sistemi di EDO
  21. Equazioni differenziali non lineari
    1. A variabili separabiliO
    2. A secondo membro omogeneo
    3. Del tipo y’=y(ax+by+c)
    4. Del tipo y’=y(ax+by+c)/(a’x+b’y+c’)
    5. Equazioni differenziali esatte
    6. Mancanti delle variabili x e y
    7. Cenni sullo studio di un’assegnata equazione differenziale non lineare
    8. Di Riccati
    9. Cambi di variabile: simmetrie di Lie
  22. Analisi complessa
    1. Fondamenti
    2. Funzioni olomorfe
    3. Integrale di Cauchy e applicazioni
    4. Teorema della curva di Jordan e teorema fondamentale dell’Algebra
    5. Teorema di inversione di Lagrange
    6. Teorema dei Residui
    7. Funzioni meromorfe
    8. Prodotti infiniti e prodotti di Weierstrass
    9. Continuazione analitica e topologia
    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
    11. Trasformata di Mellin
  23. Equazioni alle derivate parziali
    1. Equazioni del primo ordine
    2. Equazioni del secondo ordine lineari
    3. Equazioni non-lineari
    4. Sistemi di PDE
  24. Funzioni speciali
    1. Funzione Gamma di Eulero
    2. Funzioni Beta,Digamma,Trigamma
    3. Integrali ellittici
    4. Funzioni di Bessel
    5. Funzione zeta di Riemann e funzioni L di Dirichlet
    6. Funzione polilogaritmo
    7. Funzioni ipergeometriche
  25. Analisi funzionale
    1. Misura e integrale di Lebesgue
    2. Spazi Lp,teoremi di completezza e compattezza
    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
    4. Teoria e pratica dei polinomi ortogonali
    5. Spazi di Sobolev
  26. Complementi
    1. Curiosità e approfondimenti
    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
  27. Funzioni Convesse

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.





 
 

Tutta la teoria di analisi matematica

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  1. Teoria Insiemi
  2. Il metodo della diagonale di Cantor
  3. Logica elementare
  4. Densità dei numeri razionali nei numeri reali
  5. Insiemi Numerici \left(\mathbb{N},\, \mathbb{Z},\, \mathbb{Q}\right)
  6. Il principio di induzione
  7. Gli assiomi di Peano
  8. L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni
  9. Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica
  10. Costruzioni alternative di \mathbb{R}
  11. Binomio di Newton
  12. Spazi metrici, un’introduzione
  13. Disuguaglianza di Bernoulli
  14. Disuguaglianza triangolare
  15. Teoria sulle funzioni
  16. Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche
  17. Funzioni elementari: trigonometriche e iperboliche
  18. Funzioni goniometriche: la guida essenziale
  19. Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni
  20. Criterio del rapporto per le successioni
  21. Definizione e proprietà del numero di Nepero
  22. Limite di una successione monotona
  23. Successioni di Cauchy
  24. Il teorema ponte
  25. Teoria sui limiti
  26. Simboli di Landau
  27. Funzioni continue – Teoria
  28. Il teorema di Weierstrass
  29. Il teorema dei valori intermedi
  30. Il teorema della permanenza del segno
  31. Il teorema di Heine-Cantor
  32. Il teorema di esistenza degli zeri
  33. Il metodo di bisezione
  34. Teorema ponte versione per le funzioni continue
  35. Discontinuità di funzioni monotone
  36. Continuità della funzione inversa
  37. Teorema delle contrazioni o Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli
  38. Teoria sulle derivate
  39. Calcolo delle derivate: la guida pratica
  40. Teoria sulle funzioni convesse
  41. Il teorema di Darboux
  42. I teoremi di de l’Hôpital
  43. Teorema di Fermat
  44. Teoremi di Rolle e Lagrange
  45. Il teorema di Cauchy
  46. Espansione di Taylor: teoria, esempi e applicazioni pratiche
  47. Polinomi di Taylor nei limiti: istruzioni per l’uso
  48. Integrali definiti e indefiniti
  49. Teorema fondamentale del calcolo integrale (approfondimento)
  50. Integrali ricorsivi
  51. Formule del trapezio, rettangolo e Cavalieri-Simpson
  52. Teoria sugli integrali impropri
  53. Funzioni integrali – Teoria
  54. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di ingegneria — versione semplificata)
  55. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica)
  56. Serie numeriche: la guida completa
  57. Successioni di funzioni – Teoria
  58. Teoremi sulle successioni di funzioni
    1. 58a. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme
    2. 58b. Limite uniforme di funzioni continue
    3. 58c. Passaggio al limite sotto il segno di integrale
    4. 58d. Limite uniforme di funzioni derivabili
    5. 58e. Piccolo teorema del Dini
    6. 58f. Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzela
  59. Serie di funzioni – Teoria
  60. Serie di potenze – Teoria
  61. Serie di Fourier – Teoria e applicazioni
  62. Integrali multipli — Parte 1 (teoria)
  63. Integrali multipli — Parte 2 (teoria e esercizi misti)
  64. Regola della Catena — Teoria ed esempi.
  65. Jacobiano associato al cambiamento di coordinate sferiche
  66. Guida ai Massimi e Minimi: Tecniche e Teoria nelle Funzioni Multivariabili
  67. Operatore di Laplace o Laplaciano
  68. Teoria equazioni differenziali
  69. Equazione di Eulero
  70. Teoria ed esercizi sulla funzione Gamma di Eulero
  71. Teoria ed esercizi sulla funzione Beta
  72. Approfondimento numeri complessi
  73. Diverse formulazioni dell’assioma di completezza
  74. Numeri di Delannoy centrali
  75. Esercizi avanzati analisi

 
 

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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  1. Prerequisiti di Analisi
    1. Ripasso algebra biennio liceo
    2. Ripasso geometria analitica
    3. Ripasso goniometria e trigonometria
    4. Errori tipici da evitare
    5. Insiemi numerici N,Z,Q,R
    6. Funzioni elementari
    7. Logica elementare
    8. Insiemi
  2. Successioni
    1. Teoria sulle Successioni
    2. Estremo superiore e inferiore
    3. Limiti base
    4. Forme indeterminate
    5. Limiti notevoli
    6. Esercizi misti Successioni
    7. Successioni per ricorrenza
  3. Funzioni
    1. Teoria sulle funzioni
    2. Verifica del limite in funzioni
    3. Limite base in funzioni
    4. Forme indeterminate in funzioni
    5. Limiti notevoli in funzioni
    6. Calcolo asintoti
    7. Studio di funzione senza derivate
    8. Dominio di una funzione
    9. Esercizi misti Funzioni
    10. Esercizi misti sui Limiti
  4. Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
    1. Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
    2. Continuità delle funzioni
    3. Continuità uniforme
    4. Teorema degli zeri
    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate
  5. Calcolo differenziale
    1. Derivate
    2. Calcolo delle derivate
    3. Retta tangente nel calcolo differenziale
    4. Punti di non derivabilità nel calcolo differenziale
    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate
    6. Studio di funzione completo nel calcolo differenziale
    7. Esercizi teorici nel calcolo differenziale
    8. Metodo di bisezione
    9. Metodo di Newton
  6. Teoremi del calcolo differenziale
    1. Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale
    2. Teorema di Rolle
    3. Teorema di Lagrange
    4. Teorema di Cauchy
    5. Teorema di De L’Hôpital
  7. Calcolo integrale
    1. Integrale di Riemann
    2. Integrali immediati
    3. Integrale di funzione composta
    4. Integrali per sostituzione
    5. Integrali per parti
    6. Integrali di funzione razionale
    7. Calcolo delle aree
    8. Metodo dei rettangoli e dei trapezi
    9. Esercizi Misti Integrali Indefiniti
    10. Esercizi Misti Integrali Definiti
  8. Integrali impropri
    1. Teoria Integrali impropri
    2. Carattere di un integrale improprio
    3. Calcolo di un integrale improprio
  9. Espansione di Taylor
    1. Teoria Espansione di Taylor
    2. Limiti di funzione con Taylor
    3. Limiti di successione con Taylor
    4. Stime del resto
  10. Funzioni integrali (Approfondimento)
    1. Teoria Funzioni integrali (Approfondimento)
    2. Studio di funzione integrale
    3. Limiti con Taylor e De L’Hôpital
    4. Derivazione di integrali parametrici (Tecnica di Feynmann)
  11. Numeri Complessi
    1. Teoria Numeri complessi
    2. Espressioni con i numeri complessi
    3. Radice di un numero complesso
    4. Equazioni con i numeri complessi
    5. Disequazioni con i numeri complessi
    6. Esercizi misti Numeri complessi
  12. Serie numeriche
    1. Teoria Serie numeriche
    2. Esercizi Serie a termini positivi
    3. Esercizi Serie a termini di segno variabile
    4. Esercizi Serie geometriche e telescopiche
  13. Successioni di funzioni
    1. Teoria Successioni di funzioni
    2. Esercizi Successioni di funzioni
  14. Serie di funzioni
    1. Teoria Serie di funzioni
    2. Esercizi Serie di funzioni
  15. Serie di potenze
    1. Teoria Serie di potenze
    2. Esercizi Serie di potenze
  16. Serie di Fourier
    1. Teoria Serie di Fourier
    2. Esercizi Serie di Fourier
  17. Trasformata di Fourier
    1. Teoria Trasformata di Fourier
    2. Esercizi Trasformata di Fourier
  18. Funzioni di più variabili
    1. Teoria Funzioni di più variabili
    2. Massimi e minimi liberi e vincolati
    3. Limiti in due variabili
    4. Integrali doppi
    5. Integrali tripli
    6. Integrali di linea di prima specie
    7. Integrali di linea di seconda specie
    8. Forme differenziali e campi vettoriali
    9. Teorema di Gauss-Green
    10. Integrali di superficie
    11. Flusso di un campo vettoriale
    12. Teorema di Stokes
    13. Teorema della divergenza
    14. Campi solenoidali
    15. Teorema del Dini
  19. Equazioni differenziali lineari e non lineari
    1. Teoria equazioni differenziali lineari e non lineari
    2. Equazioni differenziali lineari e non lineari del primo ordine omogenee
  20. Equazioni differenziali lineari
    1. Del primo ordine non omogenee
    2. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,omogenee
    3. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,non omogenee
    4. Di Eulero,di Bernoulli,di Clairaut,di Lagrange e di Abel
    5. Non omogenee avente per omogenea associata un’equazione di Eulero
    6. Sistemi di EDO
  21. Equazioni differenziali non lineari
    1. A variabili separabiliO
    2. A secondo membro omogeneo
    3. Del tipo y’=y(ax+by+c)
    4. Del tipo y’=y(ax+by+c)/(a’x+b’y+c’)
    5. Equazioni differenziali esatte
    6. Mancanti delle variabili x e y
    7. Cenni sullo studio di un’assegnata equazione differenziale non lineare
    8. Di Riccati
    9. Cambi di variabile: simmetrie di Lie
  22. Analisi complessa
    1. Fondamenti
    2. Funzioni olomorfe
    3. Integrale di Cauchy e applicazioni
    4. Teorema della curva di Jordan e teorema fondamentale dell’Algebra
    5. Teorema di inversione di Lagrange
    6. Teorema dei Residui
    7. Funzioni meromorfe
    8. Prodotti infiniti e prodotti di Weierstrass
    9. Continuazione analitica e topologia
    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
    11. Trasformata di Mellin
  23. Equazioni alle derivate parziali
    1. Equazioni del primo ordine
    2. Equazioni del secondo ordine lineari
    3. Equazioni non-lineari
    4. Sistemi di PDE
  24. Funzioni speciali
    1. Funzione Gamma di Eulero
    2. Funzioni Beta,Digamma,Trigamma
    3. Integrali ellittici
    4. Funzioni di Bessel
    5. Funzione zeta di Riemann e funzioni L di Dirichlet
    6. Funzione polilogaritmo
    7. Funzioni ipergeometriche
  25. Analisi funzionale
    1. Misura e integrale di Lebesgue
    2. Spazi Lp,teoremi di completezza e compattezza
    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
    4. Teoria e pratica dei polinomi ortogonali
    5. Spazi di Sobolev
  26. Complementi
    1. Curiosità e approfondimenti
    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
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Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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