Insiemi numerici: guida ai numeri naturali, interi e razionali
L’insieme numerico che sentiamo più vicini alla nostra esperienza è quello dei naturali, che abbiamo incontrato da piccoli imparando a contare gli oggetti.
Abbiamo poi fatto la conoscenza dei numeri interi relativi, che ci permettono di esprimere anche quantità negative. La necessità di effettuare divisioni in parti non intere ci ha poi condotto alle frazioni e ai numeri razionali.
- Cosa sono questi insiemi numerici e quali proprietà possiedono?
- Cos’è il principio di induzione e come si usa?
- Cosa sono gli assiomi di Peano?
Questa dispensa, arricchita da esempi concreti ed esercizi svolti, è una risorsa indispensabile sia per chi si avvicina a queste domande, sia per chi desidera approfondirne la sua conoscenza. La struttura del testo favorisce un apprendimento graduale ma profondo, ideale per studenti e appassionati che vogliono esplorare la bellezza e la complessità della matematica.
Se desideri fare la conoscenza dei principali insiemi numerici della Matematica, questo articolo è quello che cercavi!
Segnaliamo i seguenti articoli di teoria correlata, tratti dalla lista completa reperibile alla fine della dispensa:
- Teoria degli insiemi;
- Il principio di induzione;
- Gli assiomi di Peano;
- Il metodo della diagonale di Cantor;
- Gli assiomi di Peano;
- L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni;
- Teoria sulle funzioni.
Autori e revisori
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Revisore: Valerio Brunetti.
I numeri naturali
Gli assiomi di Peano.
È possibile definire l’insieme a prescindere dagli elementi grazie a degli assiomi, detti postulati di Peano.
) è iniettiva;
) Im() ovvero ;
) Principio di induzione debole: se è tale che
allora .
Analizziamo più nel dettaglio il significato dei postulati. Se vogliamo definire il concetto di numero naturale abbiamo bisogno di un “ punto di partenza “, ovvero di un numero naturale minimale. In questa esposizione abbiamo scelto lo come numero naturale di partenza (anche se questa convenzione non è universalmente accettata e talvolta si sceglie di partire dal numero naturale ). Una volta postulato l’esistenza del numero (o a seconda delle convenzione), gli assiomi di Peano richiedono l’esistenza della funzione che, preso un qualunque numero naturale in input, restituisce il numero successivo in output. Se avessimo già un’idea di cosa sono i numeri naturali, potremmo scrivere
Alla luce di quanto appena detto, possiamo interpretare i postulati nel seguente modo:
) Due numeri diversi hanno due diversi successivi;
) Il numero non è il successivo di un numero naturale;
) Principio di induzione debole: se è un sottoinsieme dei numeri naturali che contiene e che contiene il successivo di ogni suo elemento, si ha necessariamente . In altri termini, non esistono sottoinsiemi propri di che contengono sia , sia il successivo di ogni suo elemento.
Osservazione 1. I primi due postulati possono essere interpretati come
) se e solo se ;
) L’equazione non ha soluzione in .
Il terzo postulato, detto Principio di induzione è quello più importante perchè fornisce un vero e proprio metodo dimostrativo, detto dimostrazione per induzione. Supponiamo di voler dimostrare una certa proprietà per ogni numero naturale. Sia
allora possiamo schematizzare il metodo di dimostrazione per induzione in due passi:
- Passo base: si dimostra che , cioè che è verificata;
- Passo induttivo: supponiamo vera la proposizione per un generico valore e dimostriamo a partire da questa ipotesi, detta ipotesi induttiva, che la proposizione è vera.
Il Postulato permette di concludere che , ovvero che la proprietà è valida per ogni numero naturale. Infatti, il passo induttivo corrisponde esattamente a verificare che .
Possiamo riassumere in modo formale il Principio di Induzione come segue:
Nella formalizzazione di Peano dei numeri naturali il principio di induzione è dato come assioma, pertanto è assunto come vero e non viene dimostrato. In alternativa viene assunto come assioma il principio del buon ordinamento che invece nella formalizzazione di Peano viene dimostrato. In questo caso il principio di induzione è conseguenza del principio del buon ordinamento. Quindi le due teorie dei numeri naturali sono perfettamente equivalenti.
Teorema 1. I due principi sono equivalenti
Principio di induzione: sia tale che
- ;
- ;
allora .
Principio del buon ordinamento: Sia non vuoto. Allora contiene un elemento minimo, ovvero
Dimostrazione. Sia un sottoinsieme non vuoto. Se allora .
Se allora possiamo considerare l’insieme
Osserviamo che . Se per ogni si avesse allora per il principio di induzione e sarebbe vuoto. Deve esistere un elemento tale che e allora .
( Sia un sottoinsieme non vuoto di numeri naturali tale che e se allora . Supponiamo per assurdo che e consideriamo allora per il principio del minimo esiste un elemento minimo, ovvero tale che per ogni . Osserviamo che quindi : da questo deduciamo che e che per la minimalità di . Quindi ; questo porta a un assurdo perché .
Il principio del minimo permette di dimostrare il seguente teorema alla base della definizione dell’operazione divisione euclidea
dove è detto quoziente e resto della divisione euclidea.
Dimostrazione. Studiamo il caso e consideriamo l’insieme
Scegliendo otteniamo
quindi perché contiene sicuramente l’elemento . Per il principio del minimo esiste tale che per ogni . Quindi tale che
(1)
Dimostriamo che ; se per assurdo allora l’elemento e e questo contraddice la minimalità di .
Dimostriamo l’unicità per assurdo: supponiamo esistano e tale che
Allora
- Se allora
- Se allora
poiché . Allora siccome otteniamo una contraddizione. Nel caso si ragiona analogamente.
Principio di induzione.
La prima attestazione specifica del principio di induzione è del 1861, a opera di Robert Grassmann. Il suo primo utilizzo in una dimostrazione, invece, risale al 1575 da parte dell’italiano Francesco Maurolico. Nel XVII secolo, Pierre de Fermat ne raffinò l’utilizzo formulandolo come principio della discesa infinita, e la nozione compare anche chiaramente nei lavori più tardi di Blaise Pascal (1653). L’espressione “induzione matematica” apparentemente sembra essere stata coniata dal logico e matematico A. De Morgan nei primi anni del XIX secolo. La sua formulazione completa, usata ancora oggi, è essenzialmente quella data da Giuseppe Peano nei suoi Arithmetices Principia, pubblicati nel 1889. Il principio d’induzione deriva direttamente dal quinto assioma di Peano, ed è ad esso equivalente. Assumendolo dunque come assioma, ne deriva il quinto assioma di Peano. 1.
Nella pratica, come vedremo, il principio di induzione è una tecnica di dimostrazione di proposizioni che dipendono dai numeri naturali, formalmente possiamo riscriverlo nella maniera seguente:
- è verificata, (passo base)
- (passo induttivo)
allora è vera .
In altri termini, per dimostrare che una certa proposizione sui numeri naturali sempre è vera ( è vera ) è sufficiente dimostrare che
- a proposizione è vera se poniamo (il passo base),
- data per vera (ipotesi induttiva), riusciamo a dimostrare che la proposizione è vera anche per .
Per ricordare questo principio è utile pensare alla metafora di una infinità di tessere del domino disposte lungo una fila. La proposizione in questo caso può essere formulata come “l’ennesima tessere del domino cade”. Invece di controllare ad una ad una se le tessere del domino cascano o meno (cosa che non possiamo fare perché sono infinite) ci basta osservare
- se la prima tessera del domino è caduta (passo base)
- e se (per ogni ) l’ -esima tessera cade (ipotesi induttiva), questa fa cadere l’ -esima tessera del domino.
Se queste due condizioni sono verificate, possiamo star certi che cadranno tutte le tessere del domino e possiamo dormire sereni senza doverle controllare tutte. Infatti, osservando che la prima cade (passo base), per ipotesi induttiva, sappiamo che la seconda cade (sappiamo che ), ma se la seconda cade allora…
Ma cosa succede se la prima tessera del domino non cade (non vale il passo base per )? Magari è incollata al pavimento, o magari le prime tessere sono troppo distanziate tra di loro e non è vero che far cadere la terza tessera fa cadere la quarta tessera. D’altro canto dalla quinta tessera in poi tutto funziona liscio come l’olio. Per questo motivo possiamo generalizzare il nostro principio facendo partire il nostro passo base da qualche che non sia necessariamente . Formalmente
- tale che verificata (passo base);
- (passo induttivo)
allora è vera .
In sostanza stiamo dicendo che non è necessario partire proprio dalla prima tessera del domino, ma se riusciamo a dimostrare che
- se la esima tessera del domino è caduta (passo base)
- e se (per ogni ) l’ -esima tessera cade (ipotesi induttiva), questa fa cadere l’ -esima tessera del domino .
allora possiamo star certi che cadono tutte le tessere dalla -esima in poi. Sensato, vero?
Passiamo a qualche esempio più pratico, dando per un attimo per buone le operazioni tra numeri naturali che ci sono familiari da sempre e che andremo a formalizzare nella prossima sezione. Partiamo da un esempio classico, la dimostrazione per induzione della formula della somma dei primi numeri naturali. La leggenda vuole che il primo a trovare questa formula sia stato il principe dei matematici, Gauss. Durante i suoi anni di scuola, si racconta, si trovò alle prese con un maestro sfaticato, che non avendo voglia di insegnare, chiese ai suoi alunni di calcolare la somma dei primi cento numeri naturali
Si dice che Gauss non solo riuscì a risolvere il problema in brevissimo tempo, ma riuscì a generalizzarlo per la somma dei primi numeri naturali, qualunque sia , e dunque non solo per . L’idea è estremamente semplice ed elegante: basta notare che la somma del primo e dell’ultimo numero è (in generale ), ma anche sommando il secondo con il penultimo si ha (in generale n+1), e che accoppiando in questo modo, abbiamo esattamente 50 (n/2) somme, tutte pari a . Allora
Assumendo per il momento che sia pari
Se è dispari, la dimostrazione delineata sopra si può facilmente adattare. Il procedimento presentato serve solo per prendere familiarità con il problema, ma non ha niente a che vedere con il principio di induzione, proviamo ora a ridimostrare questa proposizione utilizzando il principio di induzione.
Dimostrazione. In questo esempio la proposizione è
come prima cosa possiamo provare a caso dei valori di per familiarizzarci con la proposizione e verificare che la formula è vera almeno per questi ; per esempio per abbiamo:
che è vero (6 = 6).
- Passo base: a questo punto mostriamo che la proposizione è vera per (la prima tessera del domino cade):
che è come dire che è ovviamente verificata.
- Passo Induttivo: assumiamo (ipotesi induttiva) che sia vera
cioè che
e vogliamo dimostrare che è vera (cioè sostituendo al posto di )
D’altro canto e per ipotesi induttiva , allora:
dove nell’ultimo passaggio abbiamo raccolto , concludendo la dimostrazione.
Come abbiamo visto l’idea fondamentale è
- verificare il caso base
- partendo dal caso (quello che dobbiamo dimostrare), cercare di riscrivere in termini di , usare l’ipotesi induttiva, cioè la conoscenza di
- concludere con dei calcoli.
Un altro esercizio interessante riguarda il rompicapo della torre di Hanoi che consiste nello spostare un certo numero di dischi di grandezza crescente su tre pioli. Il gioco inizia con tutti i dischi incolonnati su un paletto in ordine decrescente, in modo da formare un cono. Lo scopo del gioco è portare tutti i dischi su un paletto diverso, potendo spostare solo un disco alla volta e potendo mettere un disco solo su un altro disco più grande, mai su uno più piccolo.
Il gioco fu inventato nel 1883 dal matematico francese Édouard Lucas che diffuse il gioco sotto lo pseudonimo di N. Claus de Siam, mandarino del collegio di Li-Sou-Stian. La leggenda secondo la quale in un tempio indù alcuni monaci sono costantemente impegnati a spostare su tre colonne di diamante 64 dischi d’oro secondo le regole della Torre di Hanoi (a volte chiamata Torre di Brahmā) è stata inventata dalla ditta che per prima ha messo in commercio il rompicapo. La leggenda narra che quando i monaci completeranno il lavoro, il mondo finirà 2.
Per prendere confidenza con il gioco, nella Figura 1 possiamo vedere il gioco risolto per due dischi. Notiamo che il numero di mosse necessario è 3. Nel prossimo esercizio dimostriamo che se la torre di Hanoi ha dischi il numero di mosse necessario per risolverlo è e che in qualche senso i leggendari monaci del tempio indù non avevano tutti i torti, la legge che descrive il numero di mosse necessarie a risolvere il rompicapo è esponenziale nel numero di dischi. Supponendo che siano monaci estremamente forzuti e che siano inverosimilmente in grado di spostare il massiccio disco d’oro da un paletto ad un altro in un secondo, per finire il gioco hanno bisogno secoli.
Dimostrazione. La dimostrazione è veramente semplice. Abbiamo gia verificato che per ci vogliono veramente mosse, prendendo confidenza con la formula.
- Passo base: anche in questo caso possiamo partire da ; per risolvere questo caso banale, basta spostare (con un unica mossa) l’unico disco a nostra disposizione in una qualunque altro paletto. Infatti per abbiamo .
- Passo Induttivo: supponiamo ci vogliano almeno mosse per risolvere il problema con dischi e dimostriamo (sostituendo ) che ci vogliano mosse per risolvere il rompicapo con dischi.
In effetti per risolvere il problema con dischi dobbiamo prima spostare dischi lasciando solo il disco più grande al suo posto. Una volta fatto questo basterà spostare il disco più grande su un nuovo paletto e finire rispostando i primi dischi più piccoli sopra di lui.
In totale mosse per spostare gli dischi tranne quello grande, 1 mossa per spostare quello grande su un nuovo paletto, e altre mosse per spostare tutti i dischi sopra al disco grande.
come volevasi dimostrare.
In alcuni casi non basta per dimostrare , ma abbiamo bisogno di dare per vera (ipotesi induttiva forte) che sia vera per tutti gli più piccoli di . In altre parole, usando la metafora del domino, in alcuni casi non mi basta sapere che la precedente è caduta per poter dimostrare che l’ennesima tessera sia caduta, ma ho bisogno di sapere che tutte le precedenti siano cadute. In questo caso ci viene in aiuto il principio di induzione forte:
- tale che verificata (passo base);
- (passo induttivo)
allora è vera .
Come applicazione del principio di induzione forte diamo una dimostrazione del teorema fondamentale dell’aritmetica che tutti diamo per buono: ogni numero naturale maggiore di 2 può essere scritto come prodotto di numeri primi in maniera unica a meno dell’ordine dei fattori. Qui non dimostreremo l’unicità.
Dimostrazione. Facciamo questa dimostrazione per induzione.
- Passo base: il caso base è ovvio perché 2 stesso è un numero primo 2 = 2.
- Passo Induttivo: assumiamo che tutti i numeri con si scrivano come prodotto di numeri primi. Vogliamo dimostrare che si scrive come prodotto di numeri primi. Se è un numero primo, così come nel passo base, non c’è nulla da dimostrare: è la fattorizzazione di in numeri primi. Nel caso non sia primo allora deve esistere un numero primo che lo divide: sia . Ovviamente
per cui per vale l’ipotesi induttiva e dunque si scriverà come prodotto di numeri primi
a questo punto abbiamo concluso. Infatti
in altri termini grazie ad siamo riusciti a scrivere come prodotto di numeri primi.
Di seguito una serie di esercizi per prendere manualità nella tecnica di dimostrazione tramite principio di induzione.
Dimostrazione.
- Passo base: per
- Passo Induttivo: riscriviamo per semplicità l’ipotesi induttiva
(2)
Allora
dove, nella prima disuguaglianza, abbiamo usato (2) e l’ultima disuguaglianza è verificata perché .
Osservazione 2. Dalla definizione ricorsiva di fattoriale
ovvero è il prodotto del numero per tutti i suoi antecedenti.
Dimostrazione.
- Passo base: per
- Passo Induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per
(3)
e dimostriamo l’asserto per .
dove,nella prima disuguaglianza, abbiamo usato (3) e l’ultima disuguaglianza è verificata per .
Il coefficiente binomiale di su è
Con queste definizioni concludiamo lo studio delle operazioni possibili in .
L’esercizio seguente è un risultato centrale nella teoria combinatorica.
Dimostrazione.
- Passo base: per
- Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per
(4)
e dimostriamo l’asserto per :
dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (4). Osservazione 3. Dalla prima sommatoria è possibile isolare il primo termine (per )
Mentre la seconda può essere riscritta come
Osservazione 4. Vale la seguente relazione
(5)
per . Infatti, dopo una diretta applicazione della definizione questo equivale a verificare che
Sviluppiamo la somma a sinistra sfruttando le fattorizzazioni e . Otteniamo
In conclusione
che è esattamente la tesi per .
Dimostrazione.
- Passo base: per abbiamo
- Passo induttivo: supponiamo vera per ogni ovvero che ogni insieme di elementi abbia sottoinsiemi. Sia Y un insieme di elementi e , allora è un insieme con elementi. Pertanto i sottoinsiemi di che non contengono sono . I sottoinsiemi di che contengono l’elemento su cui abbiamo fissato l’attenzione sono della forma al variare di . In totale ci sono
sottoinsiemi.
Il principio di induzione ci permette di concludere che la proposizione è vera per ogni .
Quando si applica il principio di induzione bisogna stare particolarmente attenti. Di seguito mostriamo un’applicazione sbagliata del principio di induzione, che porta chiaramente a dimostrare un enunciato falso.
Dimostrazione. Partiamo subito dal caso base.
- Passo base: per abbiamo un insieme composto da un unico cavallo. È ovvio che tutti i cavalli dell’insieme abbiano lo stesso colore.
- Passo induttivo:
assumiamo come ipotesi induttiva , cioè assumiamo vero che se ho un insieme di cavalli questi devono avere tutti lo stesso colore. Cerchiamo di dimostrare che vale cioè che anche per gli insiemi di cavalli, questi devono avere tutti lo stesso colore.
Infatti dato un insieme di cavalli escludiamone uno a caso. Il sottoinsieme così generato è composto da cavalli e devono avere tutti lo stesso colore (per esempio sono tutti neri). Quindi sappiamo che tutti i cavalli tranne uno sono neri. Adesso partendo dal nostro sottoinsieme di cavalli (tutti dello stesso colore), creiamo un altro sottoinsieme togliendo un cavallo a caso da e rimettendo l’unico scartato in precedenza. Anche è un insieme di elementi con la maggior parte dei cavalli (quelli che erano sia in A che in B) neri.
Quindi tutti i cavalli devono essere neri in particolare anche quello che avevamo scartato in precedenza. Questo dimostra che tutti gli cavalli hanno lo stesso colore. L’errore nella dimostrazione precedente è credere che esista sempre almeno un cavallo in infatti se i due insiemi sono creati sono formati da un solo cavallo e non hanno intersezione. Quindi non possiamo “trasferire” il colore di anche all’insieme . Infatti per il principio di induzione, nel passo induttivo, dobbiamo dimostrare che a prescindere dal valore di . Qui invece la dimostrazione perde di significato per
- Fonte Wikipedia ↩
- Fonte Wikipedia ↩
Le operazioni nell'insieme dei numeri naturali.
Dopo aver introdotto formalmente l’insieme dei numeri naturali e aver fatto confidenza con il principio di induzione, abbiamo informalmente dato per buono le operazioni fondamentali tra numeri naturali. In questa sezione definiremo formalmente tali operazioni non solo per dimostrarne le proprietà ma anche per precisare il significato della funzione introdotta con gli assiomi di Peano.
Ricordiamo la definizione di operazione binaria su un insieme generico.
In altre parole è una legge che associa ad ogni coppia di elementi di un ben determinato elemento di .
tale che per ogni
- ;
- .
Osservazione 5. Poniamo allora
. Quindi chiameremo il successivo di . Da questa osservazione possiamo riscrivere la definizione di somma di numeri naturali senza utilizzare la funzione
- ,
e dimostrarne le prime proprietà grazie al principio di induzione.
- Proprietà associativa
- Esistenza dell’elemento neutro
- Proprietà commutativa
Dimostrazione. 1) Dimostriamo per induzione la tesi: sia
- Passo base: per ogni quindi .
- Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per
(6)
e dimostriamo l’asserto per
dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (6).
Quindi se allora . Per il postulato abbiamo che .
2) Dalla definizione di somma
per ogni . Consideriamo
- Passo base: quindi
- Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per
(7)
e dimostriamo l’asserto per
dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (7). quindi per , .
3) Dimostriamo l’asserto per induzione su e
- Passo base: per dalla proprietà (2)
- Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per
(8)
e dimostriamo l’asserto per di nuovo per induzione però su . Ovviamente il nuovo passo base
segue immediatamente dalla proprietà (2). Adesso supponiamo vera l’ipotesi per
(9)
e dimostriamo l’asserto per .
dove , nella seconda e nella sesta uguaglianza, abbiamo usato (9) mentre nella quarta uguaglianza abbiamo usato (8). Possiamo quindi concludere che ovvero che la proprietà è valida per ogni numero naturale.
Mediante il principio di induzione, la definizione di somma e le proprietà di somma del teorema precedente, è possibile dimostrare anche altre proprietà:
1)
2)
L’ordinamento naturale in è definito a partire dalla somma
È possibile dimostrare che la relazione è una relazione d’ordine totale perché gode delle proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva.
- Proprietà riflessiva: infatti
- Proprietà simmetrica: se e allora esistono e tale che
Quindi .
- Proprietà transitiva: siano e tre numeri naturali tale che e allora esistono due numeri naturali e tale che
Allora
Per otteniamo .
Osservazione 6. Per l’esistenza dell’elemento neutro
Osservazione 7. L’addizione è un’operazione interna all’insieme ovvero la somma tra due numeri naturali è ancora un numero naturale; la sottrazione non gode ovviamente di questa proprietà: nel caso in cui allora infatti tale che .
tale che per ogni
Osservazione 8. La seconda proprietà può essere riscritta alla luce della definizione di successivo di un numero naturale. Poiché allora
- Esistenza dell’elemento assorbente:
- Proprietà associativa. ;
- Esistenza dell’elemento neutro: ;
- Proprietà distributiva: ;
- Proprietà commutativa: .
Dimostrazione. 1) Basta dimostrare per ogni . Procediamo sempre per induzione su ; per l’asserto è verificato per definizione di prodotto; supponiamo vera l’potesi per
(10)
e dimostriamo per
dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (10).
2) Dimostriamo sempre per induzione la tesi: sia
- Passo base:
Analogamente
- Passo induttivo: Se
(11)
allora
dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (11).
Quindi . Allora per il postulato , .
3) Per induzione
- Passo base: per la proprietà (1);
- Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per
(12)
dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (12). Allora
Analogamente
Allora e quindi
4) Per induzione
- Passo base:
Analogamente
- Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per
e dimostriamo l’asserto per .
dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (12).
5) Come nel teorema 1 anche qui dobbiamo dimostrare l’asserto per induzione su entrambi i numeri e .
- Passo base: per per la proprietà (1)
- Passo induttivo:
supponiamo vera l’ipotesi per
(13)
e dimostriamo l’asserto per di nuovo per induzione su . Il passo base segue dalla proprietà (1)
(14)
dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (14). Concludiamo per il principio di induzione.
Osservazione 9. A partire dalle proprietà appena dimostrate sulle operazioni di somma e prodotto si può verificare che esse sono compatibili con la relazione d’ordine su nel senso che
- per ogni tale per cui allora vale
- per ogni , se allora
per ogni
Valgono le note proprietà delle potenze dimostrabili per induzione
per ogni
Dimostrazione. 1) Dimostriamo la tesi per induzione su
- Passo base: per
- Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per e dimostriamo l’asserto per
quindi la proprietà è verificata per ogni numero naturale.
2)
- Passo base: per la proprietà è ovvia per definizione di potenza e per le proprietà della moltiplicazione tra naturali; infatti
- Passo induttivo: supponiamo vera l’ipotesi per allora
3)
- Passo base: sia allora
- Passo induttivo: supponiamo vera
allora per
dove, nella terza uguaglianza, abbiamo usato (13). La proprietà è dimostrata per ogni numero naturale.
I numeri interi
Introduzione.
Nella formulazione dei numeri naturali si è parlato dell’operazione differenza o sottrazione in modo molto sommario, in quanto essa non è un’operazione interna all’insieme . Infatti dati due numeri naturali, il risultato dell’operazione sottrazione non è sempre un numero naturale. Pertanto si può ampliare l’insieme con l’intento di individuarne un secondo nel quale l’operazione di sottrazione possa essere definita come operazione interna. Si giunge quindi all’insieme
Per l’introduzione formale, consideriamo il prodotto cartesiano
e la relazione definita su
È una relazione di equivalenza, infatti gode delle seguenti proprietà
- Proprietà riflessiva: Per ogni coppia
infatti per la proprietà commutativa.
- Proprietà simmetrica: Siano allora
ovvero
- Proprietà transitiva: Siano , allora per definizione
Allora
ovvero .
Data la relazione di equivalenza è possibile definire l’insieme quoziente delle classi di equivalenza
Per chiarire il formalismo si nota come ad esempio le coppie e sono in relazione (infatti ), quindi appartengono alla stessa classe di equivalenza e nell’insieme quoziente sono rappresentate dallo stesso elemento. Per rappresentarle possiamo utilizzare l’elemento infatti e ; in pratica esse rappresentano il numero intero .
Analogamente e appartengono alla stessa classe di equivalenza con rappresentante e rappresentano il numero intero
Se definiamo
allora . In questo modo è evidente come l’insieme risulti un’estensione di nel senso che contiene al suo interno il sottoinsieme identificabile con .
Nell’insieme si possono definire le operazioni di somma e prodotto
Da adesso in poi per semplificare la notazione indicheremo gli elementi interi , e .
rispetto alle due operazioni definite gode delle seguenti proprietà
- Proprietà commutativa dell’addizione:
- Proprietà associativa dell’addizione.
- Esistenza dell’elemento neutro rispetto all’addizione:
- Esistenza dell’opposto:
- Proprietà commutativa della moltiplicazione:
- Proprietà associativa della moltiplicazione.
- Esistenza dell’elemento neutro rispetto alla moltiplicazione:
- Distributività della moltiplicazione rispetto all’addizione
Come le operazioni, anche la relazione d’ordine si definisce a partire da quella presente in .
Quindi in
ovvero
Analogamente in
ovvero
Osservazione 10. Le operazioni di somma e prodotto su sono compatibili con la relazione d’ordine su , ovvero
- per ogni tale per cui allora vale
- per ogni tale che , se allora
Dimostrazione. 1) Per le proprietà delle operazioni in
Quindi ; in modo analogo si dimostra che
2)
3)
o equivalentemente
Esempio 1. , ,
Osservazione 11. Dati
Osservazione 12. Per ogni dalla definizione di valore assoluto
Dati due numeri interi e , il valore assoluto gode delle seguenti proprietà
- Il valore assoluto del prodotto è uguale al prodotto dei valori assoluti, ovvero
- Disuguaglianza triangolare.
Siano
Infatti dall’osservazione 10 sappiamo che
Allora
Per l’osservazione 9 possiamo concludere .
La divisibilità nell'insieme dei numeri interi.
dove è detto quoziente e resto della divisione euclidea.
Dimostrazione. Dimostriamo l’esistenza del quoziente e del resto per la divisione euclidea in e trattiamo i casi e separatamente.
Supponiamo e applichiamo il principio di induzione forte rispetto ad .
- Se allora basta porre quindi è verificata
- Supponiamo vera l’ipotesi per ogni e dimostriamo l’asserto per .
- Se poniamo e
- Se consideriamo allora per l’ipotesi induttiva esistono due numeri interi e tale che
Allora
Se basterà scegliere e se ; in entrambi i casi è verificata. Per il principio di induzione la proprietà è vera per ogni .
Per basterà sfruttare il risultato appena ottenuto per e scegliere opportunamente e in .
Per l’unicità supponiamo per assurdo che esistano e tale che
Supponiamo allora (ripercorrendo l’analogo ragionamento per la divisione euclidea in )
Passando ai valori assoluti
Quindi e .
Osservazione 13. Possiamo affermare equivalentemente che se il resto della divisione euclidea è nullo.
- e
- Per ogni intero tale che e , si ha che .
Come è noto, scriveremo .
L’esistenza del massimo comune divisore è garantita dal teorema 5, mentre l’unicità è garantita solo nel caso in cui venga scelto un segno privilegiato; infatti se anche soddisferà le ipotesi di massimo comune divisore. Il generale quando si parla di massimo comune divisore in , si intende il massimo comune divisore positivo.
I numeri razionali
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L’operazione di divisione non è interna all’insieme dei numeri naturali, né a quello dei numeri interi. È naturale dunque pensare a un ampliamento dei numeri interi. Per rendere possibile l’operazione di divisione per ogni coppia di numeri interi si definisce l’insieme dei numeri razionali
ovvero l’insieme delle frazioni dove è detto numeratore e denominatore della frazione.
Per la costruzione formale di questo insieme di numeri si considera il prodotto cartesiano
Su questo insieme definiamo la relazione
che risulta essere di equivalenza:
- Proprietà riflessiva: Per ogni coppia
infatti per la proprietà commutativa del prodotto tra numeri interi.
- Proprietà antisimmetrica: Siano allora
ovvero .
- Proprietà transitiva: Siano , allora per definizione
Allora
ovvero .
Data la relazione di equivalenza è possibile considerare l’insieme quoziente e definire formalmente l’insieme dei numeri razionali
Per chiarire le classi di equivalenza di questo particolare insieme quoziente partiamo da un esempio: le coppie e sono ovviamente in relazione, infatti e quindi appartengono alla stessa classe di equivalenza. Dunque le classi di equivalenza coincidono, ovvero
Questa classe può essere rappresentata dall’elemento che è ovviamente in relazione con entrambe le coppie precedenti, in simboli
In pratica tali coppie rappresentano tutte la frazione o le frazioni ad essa equivalenti o , e per questo motivo siamo soliti scrivere
Introduciamo ora in le operazioni di somma e prodotto
Inoltre le classi
con sono gli elementi neutri rispettivamente per la somma e il prodotto. Ovviamente valgono tutte le proprietà delle operazioni enunciate nel paragrafo precedente.
La sottrazione in viene definita in modo analogo all’addizione
Infine si giunge alla divisione, che viene definita in modo da essere una operazione interna all’insieme nel modo seguente
Osserviamo che la definizione precedente ha senso se e solo se , così da garantire che (si noti che per definizione). Nell’insieme dei numeri razionali è valida una proprietà ulteriore: per ogni elemento con esiste inverso moltiplicativo , tale che
La relazione d’ordine in si definisce a partire da quella presente in . Prima di specificarla osserviamo che ogni numero razionale può essere rappresentato da una coppia . In altre parole, se possiamo sempre supporre , in quanto per definizione
Dati , con , , e , si stabilisce che
ovvero
Esempio 2. Supponiamo di dover confrontare le due coppie e ; si nota che quindi occorre scegliere un altro elemento della classe di equivalenza di in modo che il la seconda entrata risulti positiva. Consideriamo ad esempio , allora
quindi risulta .
La relazione appena definita tra numeri razionali è d’ordine totale
- Proprietà riflessiva: Per ogni elemento
- Proprietà simmetrica: Siano tale che e , allora
ovvero e appartengono alla stessa classe di equivalenza e .
- Proprietà transitiva: Siano tale che e allora
supponiamo a meno di scegliere un rappresentante diverso, allora
ovvero .
Osservazione 14. Come già per e per , le operazioni di somma e prodotto su sono compatibili con la relazione d’ordine su , ovvero
- per ogni tale per cui allora vale
- per ogni tale che , se allora
Quindi il campo dotato della relazione d’ordine è ordinato; inoltre vale la proprietà di densità ovvero
Dimostrazione. Siano con e supponiamo
allora è un elemento tale che . Infatti si ha
Tutta la teoria di analisi matematica
Leggi...
- Teoria Insiemi
- Il metodo della diagonale di Cantor
- Logica elementare
- Densità dei numeri razionali nei numeri reali
- Insiemi Numerici
- Il principio di induzione
- Gli assiomi di Peano
- L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni
- Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica
- Costruzioni alternative di
- Binomio di Newton
- Spazi metrici, un’introduzione
- Disuguaglianza di Bernoulli
- Disuguaglianza triangolare
- Teoria sulle funzioni
- Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche
- Funzioni elementari: trigonometriche e iperboliche
- Funzioni goniometriche: la guida essenziale
- Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni
- Criterio del rapporto per le successioni
- Definizione e proprietà del numero di Nepero
- Limite di una successione monotona
- Successioni di Cauchy
- Il teorema ponte
- Teoria sui limiti
- Simboli di Landau
- Funzioni continue – Teoria
- Il teorema di Weierstrass
- Il teorema dei valori intermedi
- Il teorema della permanenza del segno
- Il teorema di Heine-Cantor
- Il teorema di esistenza degli zeri
- Il metodo di bisezione
- Teorema ponte versione per le funzioni continue
- Discontinuità di funzioni monotone
- Continuità della funzione inversa
- Teorema delle contrazioni o Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli
- Teoria sulle derivate
- Calcolo delle derivate: la guida pratica
- Teoria sulle funzioni convesse
- Il teorema di Darboux
- I teoremi di de l’Hôpital
- Teorema di Fermat
- Teoremi di Rolle e Lagrange
- Il teorema di Cauchy
- Espansione di Taylor: teoria, esempi e applicazioni pratiche
- Polinomi di Taylor nei limiti: istruzioni per l’uso
- Integrali definiti e indefiniti
- Teorema fondamentale del calcolo integrale (approfondimento)
- Integrali ricorsivi
- Formule del trapezio, rettangolo e Cavalieri-Simpson
- Teoria sugli integrali impropri
- Funzioni integrali – Teoria
- Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di ingegneria — versione semplificata)
- Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica)
- Serie numeriche: la guida completa
- Successioni di funzioni – Teoria
- Teoremi sulle successioni di funzioni
- Serie di funzioni – Teoria
- Serie di potenze – Teoria
- Serie di Fourier – Teoria e applicazioni
- Integrali multipli — Parte 1 (teoria)
- Integrali multipli — Parte 2 (teoria e esercizi misti)
- Regola della Catena — Teoria ed esempi.
- Jacobiano associato al cambiamento di coordinate sferiche
- Guida ai Massimi e Minimi: Tecniche e Teoria nelle Funzioni Multivariabili
- Operatore di Laplace o Laplaciano
- Teoria equazioni differenziali
- Equazione di Eulero
- Teoria ed esercizi sulla funzione Gamma di Eulero
- Teoria ed esercizi sulla funzione Beta
- Approfondimento numeri complessi
- Diverse formulazioni dell’assioma di completezza
- Numeri di Delannoy centrali
- Esercizi avanzati analisi
Tutte le cartelle di Analisi Matematica
Leggi...
- Prerequisiti di Analisi
- Successioni
- Funzioni
- Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
- Calcolo differenziale
- Derivate
- Calcolo delle derivate
- Retta tangente nel calcolo differenziale
- Punti di non derivabilità nel calcolo differenziale
- Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate
- Studio di funzione completo nel calcolo differenziale
- Esercizi teorici nel calcolo differenziale
- Metodo di bisezione
- Metodo di Newton
- Teoremi del calcolo differenziale
- Calcolo integrale
- Integrali impropri
- Espansione di Taylor
- Funzioni integrali (Approfondimento)
- Numeri Complessi
- Serie numeriche
- Successioni di funzioni
- Serie di funzioni
- Serie di potenze
- Serie di Fourier
- Trasformata di Fourier
- Funzioni di più variabili
- Teoria Funzioni di più variabili
- Massimi e minimi liberi e vincolati
- Limiti in due variabili
- Integrali doppi
- Integrali tripli
- Integrali di linea di prima specie
- Integrali di linea di seconda specie
- Forme differenziali e campi vettoriali
- Teorema di Gauss-Green
- Integrali di superficie
- Flusso di un campo vettoriale
- Teorema di Stokes
- Teorema della divergenza
- Campi solenoidali
- Teorema del Dini
- Equazioni differenziali lineari e non lineari
- Equazioni differenziali lineari
- Equazioni differenziali non lineari
- Analisi complessa
- Fondamenti
- Funzioni olomorfe
- Integrale di Cauchy e applicazioni
- Teorema della curva di Jordan e teorema fondamentale dell’Algebra
- Teorema di inversione di Lagrange
- Teorema dei Residui
- Funzioni meromorfe
- Prodotti infiniti e prodotti di Weierstrass
- Continuazione analitica e topologia
- Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
- Trasformata di Mellin
- Equazioni alle derivate parziali
- Funzioni speciali
- Analisi funzionale
- Complementi
- Funzioni Convesse
Tutti gli esercizi di geometria
In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.
Algebra lineare.
Geometria analitica.
Geometria differenziale.
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- Massimi e minimi liberi e vincolati
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Geometria analitica.
Geometria differenziale.
Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica
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- Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
- Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
- MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
- PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
- Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
- The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
- Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
- Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
- Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
- Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.