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Teoremi di Rolle e Lagrange: teoria

Teorema di Lagrange, Teorema di Rolle, Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale

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I teoremi di Rolle e Lagrange sono importanti risultati dell’analisi di funzioni reali di una variabile reale. Data una funzione f \colon [a,b] \to \mathbb{R} derivabile, essi stabiliscono una relazione tra i valori f(a),f(b) e l’assunzione di un particolare valore f'(x_0) della derivata all’interno dell’intervallo. I teoremi esprimono l’idea intuitiva secondo cui, compiendo un viaggio con una certa velocità media, a un certo punto la velocità istantanea avrà necessariamente assunto il medesimo valore, evidenziando dunque un collegamento tra le proprietà globali e locali di una funzione.

Questo articolo discute dettagliatamente questi teoremi, con dimostrazioni, esempi e applicazioni. Precisamente, si focalizza sui seguenti argomenti:

  • Teorema di Rolle e sua dimostrazione, legata ai teoremi di Weierstrass e Fermat;
  • Teorema di Lagrange e sua dimostrazione basata sul teorema di Rolle;
  • Conseguenze e applicazioni: caratterizzazione delle funzioni costanti e legame tra segno della derivata e monotonia di una funzione.

Se desideri un’esposizione chiara ma accurata su questi temi, questo articolo è ciò di cui hai bisogno!

Oltre alle seguenti raccolte di esercizi

segnaliamo i seguenti articoli sulla teoria collegata:

 

Autori e revisori

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Autore: Daniele Fakhoury.  

Revisori: Matteo Talluri, Valerio Brunetti.  

 

Teorema di Rolle

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Il teorema di Rolle afferma che se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], derivabile in ogni punto dell’intervallo aperto (a,b) e assume valori uguali f(a)=f(b) negli estremi dell’intervallo, allora esiste almeno un punto c interno ad (a,b) in cui la derivata si annulla, cioè f'(c)=0.

Il significato geometrico del teorema di Rolle è il seguente: se una funzione continua su [a,b] e derivabile su (a,b) assume gli stessi valori in a e in b, allora esiste un punto c tale che la retta tangente al grafico di f in c è orizzontale. Detto in modo meno formale: se il grafico di una funzione continua f definita su un intervallo [a,b] con valori in \mathbb{R},liscia (senza punti angolosi, cuspidi o punti a tangente verticale) in (a,b), e se la funzione f assume lo stesso valore agli estremi dell’intervallo [a,b], allora esiste almeno un punto c interno ad [a,b] tale che la retta tangente al grafico di f nel punto (c,f(c)) sia parallela all’asse delle ascisse.

   

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Figura 1.

 

Vediamo l’enunciato formale e una sua dimostrazione che richiama il teorema di Weierstrass e il teorema di Fermat.  

Teorema di Rolle. Sia f:[a,b] \to \R una funzione continua su [a,b] e derivabile su (a,b). Supponiamo che f(a)=f(b). Allora esiste c\in (a,b) tale

\[f'(c)=0.\]

 

Dimostrazione. Nella dimostrazione distingueremo due casi, f costante e f non costante.  

  • Caso f costante. Se f fosse una funzione costante non ci sarebbe nulla da dimostrare: la derivata di f sarebbe zero in ogni punto interno di [a,b].
  • Caso f non costante. Più interessante il caso in cui f non è costante. Dato che per ipotesi la funzione è continua in un compatto, per il teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo assoluti in [a,b], che denotiamo, rispettivamente, con M e m.

    Dato che f non è costante in [a,b], ovvero che m \neq M e f(a)=f(b), necessariamente almeno uno tra i valori m ed M deve essere assunto da f in un punto c diverso da a o da b e quindi interno, ovvero c \in (a,b). Il punto c, essendo un punto di estremo assoluto e interno, deve essere un punto di estremo relativo. Ci troviamo nelle ipotesi del teorema di Fermat che ci assicura che f'(c)=0 come volevasi dimostrare.

 

Teorema di Lagrange

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