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Il teorema di Fermat

Il teorema di Fermat è un importante risultato dell’Analisi Matematica che stabilisce un collegamento tra la presenza di punti di massimo e minimo di una funzione e i valori assunti dalla sua derivata. Poiché la derivata rappresenta il “tasso di variazione infinitesimale” di una funzione in un punto, il teorema afferma che tale variazione deve essere nulla in un punto di massimo o minimo interno al dominio. Poiché quindi i punti di estremo di una funzione f \colon (a,b) \to \mathbb{R} derivabile devono essere cercati tra le soluzioni dell’equazione f'(x)=0, ciò fornisce un importante strumento nella soluzione di problemi di ottimizzazione.

Questo breve e dettagliato articolo esplora il teorema e i seguenti argomenti a esso collegati:

  • Il teorema di Fermat per punti interni al dominio e la sua dimostrazione;
  • La generalizzazione del teorema di Fermat per punti estremi del dominio e sua interpretazione, includendo il caso di una funzione non derivabile, mediante le cosiddette derivate di Dini;
  • Alcuni controesempi sulla sufficienza della condizione affinché il punto sia di estremo;
  • Una condizione sufficiente sul segno della derivata per punti al bordo, affinché essi siano di massimo o minimo relativo.

Ogni risultato ed esempio è chiarito da spiegazioni intuitive e illustrazioni grafiche. Se cerchi una risorsa sul teorema di Fermat che ti consenta sia di soffermarti sull’essenziale, sia di avere a disposizione materiale aggiuntivo difficilmente reperibile altrove, sei nel posto giusto!

 

Teorema di Fermat