Il teorema ponte

Teoria sulle funzioni, Teoria sulle Successioni

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Il teorema ponte è un importante strumento dell’Analisi Matematica che lega i concetti di limiti di funzioni e limiti di successioni. Data una funzione $f$ e un punto $\bar{x}$ in cui si vuole calcolare il limite di $f$ , esso risponde alla seguente domanda:

È possibile dedurre il comportamento di $f$ negli intorni di $\bar{x}$ “testandolo” su successioni di punti che si avvicinano a $\bar{x}$ ?

Il teorema ponte afferma che, se il limite $\lim_{n \to +\infty} f(x_n)$ esiste ed è lo stesso per ogni successione $x_n \to \bar{x}$ , allora si può concludere che anche $\lim_{x \to x_0}f(x)$ esiste e assume il medesimo valore.

Questo strumento è molto utile, in quanto permette di ridurre un problema per così dire “continuo” a molti problemi “discreti”, cioè allo studio di successioni.

Questo articolo presenta il teorema e la sua dimostrazione in maniera chiara e dettagliata, esplicitando i vari casi che possono presentarsi. Se desideri scoprire di più, continua pure la lettura!

Oltre all’esaustiva lista di materiale reperibile alla fine della pagina, consigliamo la lettura dei seguenti articoli:

Introduzione

Il “teorema ponte” è uno dei principali risultati della teoria dei limiti di funzioni, in quanto esso consente di estendere alcuni risultati sulla teoria dei limiti di successioni alle funzioni di variabile reale. Presentiamo l’enunciato del teorema, per poi dimostrarlo nella sezione 3 dopo aver richiamato alcune definizioni preliminari nella sezione 2.

Teorema 1 (teorema ponte). Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ un punto di accumulazione per $A$ . Allora le due affermazioni seguenti sono equivalenti:

(1) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}; \end{equation*}$

esiste $\ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ tale che, per ogni successione $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ a valori in $A$ tale che $x_n \to x_0$ , con $x_n \neq x_0$ definitivamente, si ha
(2) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} f(x_n)= \ell. \end{equation*}$

Un’immediata applicazione del teorema ponte riguarda lo studio di esistenza dei limiti, in particolare si può utilizzare tale strumento per provare la non esistenza di un limite come mostra il seguente esempio.

Esempio 2. Sia $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

$f(x) \coloneqq \sin x \qquad \forall x \in \mathbb{R},$

e proviamo che non esiste $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$ . Infatti, consideriamo le seguenti successioni

$x_n \coloneqq 2n \pi \quad \text{e} \quad y_n \coloneqq 2n\pi + \dfrac{\pi}{2} \qquad \forall n\in \mathbb{N}.$

Si ha che

$\lim_{n \to + \infty} x_n = +\infty \quad \text{e} \quad \lim_{n \to + \infty} y_n = + \infty,$

tuttavia

$f(x_n) = \sin( 2n \pi) = 0 \neq 1 = \sin( 2n \pi+ \dfrac{\pi}{2}) = f(y_n) \qquad \forall n\in \mathbb{N},$

da cui segue che

$\lim_{n \to + \infty} f(x_n) \neq \lim_{n \to + \infty} f(y_n).$

Poiché i due limiti sono diversi, segue dal teorema 1 che non esiste $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$ .

Un’altra applicazione immediata del teorema ponte consiste nella caratterizzazione per successioni della continuità. Difatti, tale teorema può essere riformulato nel caso di funzioni continue nel modo seguente.

Teorema 3 (caratterizzazione della continuità per successioni). Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in A$ . Allora le due affermazioni seguenti sono equivalenti:

$f$ è continua in $x_0$ ;
per ogni successione $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ a valori in $A$ tale che $x_n \to x_0$ , si ha
(3) $\begin{equation*} \displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=f(x_0). \end{equation*}$

Per ulteriori approfondimenti si fa riferimento alla dispensa sulle funzioni continue [1].

Definizioni preliminari

Prima di procedere con l’enunciato del teorema ponte richiamiamo alcune definizioni di teoria delle successioni.

Definizione 4 (proprietà valida definitivamente). Sia $\{a_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione. Una proprietà si dice valida definitivamente per la successione $\{a_n\}$ se esiste $N\in \mathbb{N}$ tale che la proprietà è valida $\forall n \geq N$ .

Diamo ora la definizione di “punto di accumulazione” per un insieme, concetto presente nell’enunciato del teorema ponte.

Definizione 5 (punto di accumulazione). Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ . $x_0 \in \mathbb{R}$ è un punto di accumulazione per l’insieme $A$ se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $x \in A$ , con $x\neq x_0$ , tale che

$x \in (x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon).$

Nell’enunciato del teorema 1 si contempla anche il caso in cui $x_0 =\pm \infty$ . Occorre quindi estendere la definizione di punto di accumulazione anche a tali casi.

Definizione 6 Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ .

Si dice che $+\infty$ è un punto di accumulazione per $A$ se $A$ è illimitato superiormente, ossia se per ogni $M \in \mathbb{R}$ esiste $x \in A \cap (M, +\infty)$ .
Si dice che $-\infty$ è un punto di accumulazione per $A$ se $A$ è illimitato inferiormente, ossia se per ogni $M \in \mathbb{R}$ esiste $x \in A \cap (-\infty,M)$ .

Inoltre, segue che $+\infty$ e $-\infty$ sono di accumulazione per $A$ se e solo se sono l’estremo superiore e l’estremo inferiore di $A$ , rispettivamente.

Teorema ponte: dimostrazione

Dimostriamo ora il teorema ponte, che enunciamo nuovamente per comodità del lettore.

(4) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}; \end{equation*}$

esiste $\ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ tale che, per ogni successione $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ a valori in $A$ tale che $x_n \to x_0$ , con $x_n \neq x_0$ definitivamente, si ha
(5) $\begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} f(x_n)= \ell. \end{equation*}$

Dimostrazione.

Dimostriamo il teorema distinguendo i diversi casi, a seconda che $x_0$ ed $\ell$ siano numeri reali o $+ \infty$ , per utilizzare le diverse definizioni di limite; il caso in cui $x_0$ o $\ell$ siano $-\infty$ è analogo a quello di $+\infty$ .

Caso I: $x_0, \ell \in \mathbb{R}$ . Assumiamo che valga 1 e proviamo 2. Sia $\varepsilon>0$ , allora per definizione di limite si ha che esiste $\delta >0$ tale che

(6) $\begin{equation*} x\in (x_0-\delta, x_0+\delta)\cap A\setminus \{x_0\} \quad \Longrightarrow\quad f(x) \in (\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon). \end{equation*}$

Sia $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione a valori in $A$ tale che $x_n \to x_0$ e $x_n \neq x_0$ definitivamente, allora

$x_n \in (x_0-\delta, x_0+\delta)\cap A \setminus \{x_0\} \quad \text{ definitivamente},$

da cui segue per (6) che

$f(x_n) \in (\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon)\quad \text{ definitivamente}.$

Ciò prova che

$\lim_{n \to + \infty} f(x_n) = \ell.$

Viceversa, assumiamo che valga 2 e supponiamo per assurdo che non valga 1. Allora, negando la definizione di limite si ha che esiste $\varepsilon>0$ tale che per ogni $n \in \mathbb{N}$ esiste

(7) $\begin{equation*} x_n \in \left(x_0- \dfrac{1}{n}, x_0 + \dfrac{1}{n}\right) \cap A\setminus \{x_0\} \quad \text{e} \quad f(x_n) \notin (\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon). \end{equation*}$

Ciò definisce una successione $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ a valori in $A$ che soddisfa (7), cioè una successione $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ tale che $x_n \to x_0$ , con $x_n\neq x_0$ definitivamente, e $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(x_n) \neq \ell$ . Ciò contraddice l’ipotesi 2, da cui l’assurdo.

Caso II: $x_0\in \mathbb{R}, \ell = + \infty$ . Assumiamo che valga 1 e proviamo 2. Sia $M>0$ , allora per definizione di limite si ha che esiste $\delta >0$ tale che

(8) $\begin{equation*} x\in (x_0-\delta, x_0+\delta)\cap A\setminus \{x_0\} \quad \Longrightarrow \quad f(x) >M. \end{equation*}$

Sia $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione a valori in $A$ tale che $x_n \to x_0$ e $x_n \neq x_0$ definitivamente, allora

$x_n \in (x_0-\delta, x_0+\delta) \cap A\setminus \{x_0\} \quad \text{ definitivamente},$

da cui segue per (8) che

$f(x_n) >M \quad \text{ definitivamente}.$

Ciò prova che

$\lim_{n \to + \infty} f(x_n) = +\infty.$

Viceversa, assumiamo che valga 2 e supponiamo per assurdo che non valga 1. Allora, negando la definizione di limite esiste $M>0$ tale che per ogni $n \in \mathbb{N}$ si ha che esiste

(9) $\begin{equation*} x_n \in \left(x_0- \dfrac{1}{n}, x_0 + \dfrac{1}{n}\right) \cap A \setminus \{x_0\}\quad \text{e} \quad f(x_n) \leq M. \end{equation*}$

Ciò definisce una successione $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ a valori in $A$ che soddisfa (9), cioè una successione $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ tale che $x_n \to x_0$ , con $x_n\neq x_0$ definitivamente, e $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(x_n) \neq + \infty$ . Ciò contraddice l’ipotesi 2, da cui l’assurdo.

Caso III: $x_0= + \infty, \ell \in \mathbb{R}$ . Assumiamo che valga 1 e proviamo 2 . Sia $\varepsilon>0$ , allora per definizione di limite si ha che esiste $M >0$ tale che

(10) $\begin{equation*} x \in (M,+\infty) \cap A \quad \Longrightarrow \quad f(x) \in (\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon). \end{equation*}$

Sia $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ una successione a valori in $A$ tale che $x_n \to +\infty$ , allora

$x_n \in (M,+\infty) \cap A \quad \text{definitivamente},$

da cui segue per (10) che

$f(x_n) \in (\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon) \quad \text{definitivamente}.$

Ciò prova che

$\lim_{n \to + \infty} f(x_n) = \ell.$

Viceversa, assumiamo che valga 2 e supponiamo per assurdo che non valga 1. Allora, negando la definizione di limite esiste $\varepsilon>0$ tale che per ogni $n \in \mathbb{N}$ si ha che esiste

(11) $\begin{equation*} x_n \in (n+\infty) \cap A \quad \text{e} \quad f(x_n) \notin (\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon). \end{equation*}$

Ciò definisce una successione $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ a valori in $A$ che soddisfa (11), cioè una successione $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ tale che $x_n \to +\infty$ e $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(x_n) \neq \ell$ . Ciò contraddice l’ipotesi 2, da cui l’assurdo.

Caso VI : $x_0 = \ell = + \infty$ . Quest’ultima parte della dimostrazione viene lasciata per esercizio, in quanto si prova combinando gli argomenti dei casi II e III .

Riferimenti bibliografici

[1] Qui Si Risolve Funzioni continue — Volume 1.

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The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
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