L’assioma di completezza e sue applicazioni
La proprietà di completezza dei numeri reali è forse la loro più importante caratteristica ed è certamente tra i motivi che rendono essenziale il loro utilizzo nell’Analisi Matematica. Essa esprime in maniera rigorosa il concetto intuitivo che la retta dei numeri reali non presenta “buchi”.
Un aspetto di estrema importanza consiste appunto nella formulazione di questa idea. In questa dispensa ne presentiamo varie versioni:
- Quelle più “fondamentali” legate alle costruzioni dei numeri reali (assioma di taglio, proprietà dell’estremo superiore);
- Le relazioni della completezza con la connessione e la completezza metrica di
; - L’equivalenza tra la completezza di e i teoremi fondamentali sulle funzioni reali di variabile reale: la proprietà dei valori intermedi, il teorema di Weierstrass e il teorema di Lagrange;
- La generalizzazione della completezza a campi ordinati e sue versioni equivalenti;
- Le relazioni tra la completezza di e le proprietà di integrabilità delle funzioni.
Il testo connette dunque le questioni fondazionali con le applicazioni, fondendo teoria e pratica e presentando una visione di difficile reperibilità. Cosa aspetti dunque? Preparati a una lettura stimolante su questo affascinante tema della Matematica.