Spazio metrico

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Definizione 1.  Sia A un insieme. Si dice metrica su A una funzione

    \begin{equation*} d:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}

che soddisfa le seguenti condizioni

1)Principio degli indiscernibili: :  d(x,y)=0\quad \Leftrightarrow\quad x=y;

2) Simmetria: d(x,y)=d(y,x);

3)Disuguaglianza triangolare: d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z) per ogni x,y,z\in A.

Un insieme A dotato di una metrica d è detto spazio metrico.

 

Segue dalla definizione che una metrica è positiva, ovvero

    \[d(x,y) \geq 0, \quad \forall x,y \in A.\]

Infatti, abbiamo

    \begin{equation*} 0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y) \quad \Rightarrow \quad d(x,y)\geq 0. \end{equation*}

 

Esempio. Sia A=\mathbb{R} e definiamo d(x,y)=|x-y|. Si verifica facilmente che questa funzione è una metrica su \mathbb{R}:

\bullet |x-y|=0\quad \Leftrightarrow\quad x=y;

\bullet |x-y|=|-(x-y)|=|y-x|;

La terza proprietà può essere riscritta come segue:

(1)   \begin{equation*} |x-z|\leq |x-y| + |y-z| \quad \forall x,y,z\in \mathbb{R}. \end{equation*}

Essa è equivalente alla seguente versione della disuguaglianza triangolare:

(2)   \begin{equation*} |a+b|\leq |a|+|b| \quad \forall a,b \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Si dimostra facilmente l’equivalenza tra (1) e (2), ponendo a=x-y e b=y-z.
La (2) può essere dimostrata notando che, per definizione, |x|=\max\{ x,-x \}. Abbiamo dunque a \leq |a| e -a \leq |a|, per ogni a \in \mathbb{R}, da cui

\bullet a+b\leq |a|+|b|;
\bullet -(a+b)=-a-b \leq |a|+ |b|;

ovvero, |a+b|=\max\{ a+b,-(a+b) \}\leq |a|+|b|.

 

Definizione 2.  Dato uno spazio metrico A, un suo sottospazio B\subset A si dice denso in A se per ogni a\in A e per ogni intorno I(a) di a si ha (I(a)\setminus a)\cap B\neq\emptyset.