Spazi metrici: un’introduzione

Insiemi numerici N, Z, Q, R

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Benvenuti su “Qui Si Risolve”, dove si coniuga matematica e chiarezza. In questo articolo ci avviciniamo al mondo affascinante degli spazi metrici, affrontando le seguenti domande:

Come si può definire una distanza tra gli elementi di un insieme?
Quali sono le proprietà comuni a tutte le distanze?
Quali sono gli esempi fondamentali di tali spazi?

La risposta a tali domande risiede nella nozione di spazio metrico, fondamentale nell’Analisi Matematica e nella Topologia. Come ogni astrazione, è uno strumento potente in cui vivono nozioni importantissime come la continuità, la convergenza, e in grado di generalizzare idee semplici e comuni a molti oggetti di studio della Matematica.
Se desideri saperne di più, continua pure la lettura!

Definizione 1. Sia $A$ un insieme. Si dice metrica su $A$ una funzione

$\begin{equation*} d:A\times A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}$

che soddisfa le seguenti condizioni

1)Principio degli indiscernibili: : $d(x,y)=0\quad \Leftrightarrow\quad x=y$ ;

2) Simmetria: $d(x,y)=d(y,x)$ ;

3)Disuguaglianza triangolare: $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$ per ogni $x,y,z\in A$ .

Un insieme $A$ dotato di una metrica $d$ è detto spazio metrico.

Segue dalla definizione che una metrica è positiva, ovvero

$d(x,y) \geq 0, \quad \forall x,y \in A.$

Infatti, abbiamo

$\begin{equation*} 0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y) \quad \Rightarrow \quad d(x,y)\geq 0. \end{equation*}$

Esempio. Sia $A=\mathbb{R}$ e definiamo $d(x,y)=|x-y|$ . Si verifica facilmente che questa funzione è una metrica su $\mathbb{R}$ :

$\bullet |x-y|=0\quad \Leftrightarrow\quad x=y$ ;

$\bullet |x-y|=|-(x-y)|=|y-x|$ ;

La terza proprietà può essere riscritta come segue:

(1) $\begin{equation*} |x-z|\leq |x-y| + |y-z| \quad \forall x,y,z\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Essa è equivalente alla seguente versione della disuguaglianza triangolare:

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