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Polinomi di Taylor nei limiti: istruzioni per l’uso

Limiti di funzione con Taylor, Teoria Espansione di Taylor

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Benvenuto nella nostra guida all’utilizzo dei polinomi di Taylor nel calcolo dei limiti!
Se ti è capitato di calcolare dei limiti mediante gli sviluppi di Taylor e avere dei dubbi, sei nel posto giusto.
Questa breve guida è stata infatti pensata proprio per rispondere in maniera chiara ed essenziale alle domande più comuni su questo argomento:

  • Come si usano i polinomi di Taylor nel calcolo dei limiti?
  • Cosa sono gli o-piccoli e come si utilizzano?
  • Come si sceglie l’ordine a cui sviluppare mediante i polinomi di Taylor nel calcolo dei limiti? E cosa succede se “si sbaglia” questa scelta?
  • Quando è corretto usare il principio di sostituzione e cosa succede quando il suo utilizzo non è lecito?
  • Cosa succede se si trascurano i resti nell’uso dei polinomi di Taylor?
  • Come si calcolano gli sviluppi di Taylor di funzioni composte?

Sarai guidato all’esplorazione di queste domande attraverso esempi pratici, strategie di successo e soprattutto “sporcandosi le mani” con le altre strade possibili, analizzando anche quelle “scorrette” o non ottimali.
Dopo aver acquisito il contenuto di questo articolo, calcolare i limiti mediante la formula di Taylor non sarà più un problema!

Oltre al materiale teorico presente in

segnaliamo i seguenti articoli di esercizi relativi agli sviluppi di Taylor:

 

Autori e revisori dell’articolo

Leggi...

Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

Revisori: Daniele Malesani, Sara Sottile, Matteo Talluri.

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Notazioni

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Leggi...

\mathbb{N} insieme dei numeri naturali;
\mathbb{Z} insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb{R} insieme dei numeri reali;
\overline{\mathbb{R}} insieme dei numeri reali estesi: \mathbb{R} \cup\{-\infty,+\infty\};
\log logaritmo in base e, dove e = 2.71\dots è il numero di Nepero;
n! fattoriale del numero naturale n: n!\coloneqq 1 \cdot 2 \cdots n; per definizione si pone 0! = 1;
f \sim g le funzioni f e g sono asintotiche per x \to x_0 \in \overline{\mathbb{R}}, cioè \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1.

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Introduzione

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Leggi...

I teoremi di Taylor costituiscono un importante strumento nell’Analisi Matematica. L’esigenza che ne ha motivato lo sviluppo è il fatto che i polinomi sono le funzioni con cui è più semplice effettuare operazioni; ci si pone quindi la domanda se ogni altra funzione sia approssimabile, in qualche senso, da un polinomio, possibilmente ottenendo anche una stima dell’errore commesso con tale approssimazione.

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Tra i sensi in cui questa approssimazione può essere intesa, uno è di tipo asintotico per x \to x_0, dove x_0 è un punto nel dominio di una funzione f. Si vuole determinare un polinomio P_n(x) di grado n tale che la differenza f(x)-P_n(x) sia “asintoticamente trascurabile” rispetto a (x-x_0)^n per x \to x_0; precisamente si richiede che

(1) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - P_n(x)}{(x-x_0)^n} =0. \end{equation*}

Il teorema di Taylor 1.5 prova che, se f è derivabile n volte in x_0, allora un tale polinomio P_n(x) esiste ed è unico.

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Questa approssimazione possiede numerose applicazioni, una delle quali risiede nel calcolo dei limiti. Infatti 1 suggerisce l’idea che, nel calcolo di un limite per x \to x_0, si possa sostituire P_n(x) a f(x), commettendo un errore trascurabile rispetto a (x-x_0)^n. Effettuando tale sostituzione e tenendo conto delle stime sui resti, è spesso più semplice giungere alla soluzione del limite, grazie alla maggior semplicità dei calcoli con polinomi.

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Questa dispensa è una guida in cui si analizzano le domande che naturalmente sorgono riguardo a tale procedura:

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  • Come si usa l’espansione di Taylor nel calcolo di un limite?
  • In che modo si stima e si tiene conto del resto?
  • Come si sceglie il grado dei polinomi con cui approssimare le funzioni?
  • A quali conclusioni si giunge invece effettuando scelte diverse?
  • Che relazione esiste tra l’approssimazione di Taylor e il principio di sostituzione degli infinitesimi e cosa accade usando quest’ultimo quando le ipotesi non sono verificate?

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    In questa dispensa, dopo un breve sunto della teoria, analizziamo le domande precedenti fornendo delle risposte e strategie generali illustrandole mediante esempi pratici. Lo scopo principale consiste nel fornire al lettore gli strumenti essenziali per l’applicazione dell’approssimazione di Taylor nel calcolo dei limiti.

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    Polinomi di Taylor: richiami teorici

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