Il teorema di Heine-Cantor

Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane

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Il teorema di Heine-Cantor

La continuità di una funzione $f$ è una proprietà qualitativa: essa esprime l’idea che i valori $f(x_1)$ e $f(x_2)$ sono “vicini” se $x_1$ e $x_2$ sono sufficientemente vicini; la nozione di continuità uniforme può essere vista come una versione quantitativa di tale proprietà: quanto devono essere vicini $x_1$ e $x_2$ se si desidera che $f(x_1)$ e $f(x_2)$ siano distanti al più $\varepsilon$ ? Se la risposta a tale domanda non dipende dai particolari punti $x_1$ e $x_2$ , la funzione si dice uniformemente continua.

La continuità uniforme è importante in tutte le applicazioni in cui è necessario quantificare la vicinanza di valori. Pertanto risulta naturale ricercare dei criteri che permettano di stabilire la continuità uniforme a partire dalla semplice continuità.

Il teorema di Heine-Cantor è uno di questi: se il dominio di una funzione continua è chiuso e limitato, allora essa è anche uniformemente continua.

Questo articolo esplora in modo approfondito il teorema, fornendone sia una versione più pratica sia una di carattere topologico e trattando inoltre i casi in cui le ipotesi non sono verificate. Il tutto è spiegato con chiarezza e illustrato con numerosi grafici esplicativi, che mostrano come concetti apparentemente astratti si traducano in potenti strumenti per l’analisi delle funzioni.

Oltre agli esercizi sulla continuità uniforme – volume 1 e gli esercizi sulla continuità uniforme – volume 2, consigliamo il seguente materiale di teoria, di cui è reperibile una lista completa alla fine dell’articolo:

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Autori e revisori

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Autori: Daniele Fakhoury, Luigi De Masi, Silvia Lombardi, Giuseppe Palaia.

Revisori: Sara Sottile, Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.

Introduzione

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Il concetto di continuità di una funzione è una proprietà locale: difatti, quando viene definita la continuità di una funzione in tutto il suo dominio si intende che tale funzione è continua in ogni suo punto.

Considerata una funzione $f\colon A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , ricordiamo dalla definizione che essa è detta continua in $A$ se e solo se, per ogni $x_0 \in A$ e per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $\delta>0$ tale che

(1) $\begin{equation*} |f(x)-f(x_0)| \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \cap A. \end{equation*}$

Segue che la scelta di $\delta$ dipende sia da $\varepsilon$ che dal particolare punto $x_0$ in cui si vuole provare la continuità di $f$ . In altre parole, affinché $f(x)$ sia vicino a $f(x_0)$ , il punto $x$ deve essere vicino a $x_0$ in una misura $\delta$ che dipende anche dal punto $x_0$ fissato.

Per molte applicazioni, risulta necessario sapere che la vicinanza di $f(x)$ e $f(x_0)$ dipenda dalla distanza tra $x$ e $x_0$ in maniera uniforme rispetto al punto $x_0$ considerato.

Quindi, si vuole che il numero $\delta$ di sopra sia indipendente da $x_0$ . In altre parole, si desidera che la misura della variazione dei valori di $f(x)$ sia controllata solo dalla variazione della variabile $x$ e non dal particolare punto che si sta considerando.

Questa proprietà viene appunto detta continuità uniforme. Come anticipato, essa è molto importante per le applicazioni, in quanto consente di stimare l’errore ottenuto sui valori $f(x)$ assunti dalla funzione $f$ in base al solo errore commesso su $x$ e non al particolare punto $x$ fissato.

Risulta quindi evidente che un criterio che permetta di stabilire se una funzione sia uniformemente continua è di notevole utilità. Il teorema di Heine-Cantor, che costituisce il risultato principale di questa dispensa, fornisce un tale criterio. Esso afferma che, se il dominio di una funzione $f$ continua possiede delle proprietà topologiche, allora $f$ è uniformemente continua. Enunciamo quindi il teorema, rimandando alla sezione 1 per le definizioni precise dei concetti.

Teorema 1 (Heine-Cantor). Sia $A \subset \mathbb{R}$ un insieme chiuso e limitato e sia $f\colon A \to \mathbb{R}$ una funzione continua. Allora $f$ è uniformemente continua. In particolare, la conclusione vale se $A=[a,b]$ con $a,b \in \mathbb{R}$ .

Nella sezione 1 presentiamo le definizioni e i risultati preliminari necessari. Nella sezione 2 dimostriamo il teorema 1, mentre nella sezione 3 mostriamo con dei controesempi che le ipotesi del teorema sono necessarie per la validità della tesi. Nella sezione 4 presentiamo una dimostrazione alternativa del teorema di Heine-Cantor utilizzando la nozione topologica di compattezza, dopo averla adeguatamente introdotta e motivata.

Risultati preliminari

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In questa sezione richiamiamo le definizioni e i risultati che utilizzeremo nel seguito. Partiamo dalla definizione di continuità.

Definizione 2 (funzione continua). Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ . Una funzione $f\colon A\to \mathbb{R}$ è detta continua in $A$ se e solo se, per ogni $x \in A$ e per ogni $\varepsilon>0$ , esiste $\delta>0$ tale che

(2) $\begin{equation*} y \in A, \;|x-y| < \delta \quad \Longrightarrow \quad|f(x)-f(y)|<\varepsilon. \end{equation*}$

Diamo poi la definizione di continuità uniforme, rimandando a [3, sezione 6.1] per una discussione approfondita sul tema.

Definizione 3 (continuità uniforme). Sia $A\subseteq\mathbb{R}$ . Una funzione $f\colon A\rightarrow \mathbb{R}$ si dice uniformemente continua in $A$ se se per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che

(3) $\begin{equation*} x,y \in A, \;|x-y| < \delta \quad \Longrightarrow \quad|f(x)-f(y)|<\varepsilon. \end{equation*}$

Osserviamo che, il $\delta$ fornito dalla definizione 2 dipende quindi da $\varepsilon$ ma anche dal particolare punto $x$ scelto, e potrebbe quindi variare con esso. Invece, nella definizione 3, $\delta$ è uniforme: dipende cioè solo da $\varepsilon$ ed è invece indipendente dai punti considerati.

Una funzione $f\colon A \to \mathbb{R}$ è quindi uniformemente continua se la distanza $|f(x)-f(y)|$ si controlla solo con la distanza $|x-y|$ tra $x,y$ indipendentemente dai punti $x,y$ scelti ed è infinitesima per $|x-y|\to 0$ .

Dalle definizioni risulta evidente la seguente implicazione:

$f \colon A \to \mathbb{R}$

$f \text{ uniformemente continua} \quad \Longrightarrow \quad f \text{ continua.}$

Il teorema 1 fornisce appunto delle condizione sufficienti affinché valga anche l’implicazione inversa.

Presentiamo il teorema di Bolzano-Weierstrass che sarà utilizzato nella dimostrazione del teorema 1. Rimandiamo a [4] per una dimostrazione.

Teorema 4 (Bolzano-Weierstrass). Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ un insieme chiuso e limitato e sia $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ una successione a valori in $A$ . Allora esiste una sua sottosuccessione convergente a un elemento di $A$ .

Utilizzeremo anche la seguente caratterizzazione della continuità per successioni, rimandando a [3, Funzioni continue, sezione 3] per una dimostrazione.

Teorema 5 (caratterizzazione della continuità per successioni). Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in A$ . Allora le due affermazioni seguenti sono equivalenti:

$f$ è continua in $x_0$ ;
per ogni successione $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ a valori in $A$ tale che $x_n \to x_0$ , si ha
(4) $\begin{equation*} \displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=f(x_0). \end{equation*}$

Dimostrazione del teorema di Heine-Cantor

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In questa sezione presentiamo una prima dimostrazione del teorema 1.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che $f$ non sia uniformemente continua, cioè che esista $\varepsilon>0$ tale che

$\forall n \in \mathbb{N}\quad \exists x_n,y_n \in A \colon \qquad |x_n-y_n|<\frac{1}{n} \quad \text{e} \quad |f(x_n)-f(y_n)|\geq \varepsilon.$

Dato che la successione $x_n$ è limitata, per il teorema di Bolzano-Weiestrass esiste una sottosuccessione $x_{n_k}$ convergente a un numero reale $\xi$ , che appartiene ad $[a,b]$ in quanto tale insieme è chiuso. Poiché $|x_n-y_n|< \frac{1}{n}$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ , si ha

(5) $\begin{equation*} x_{n_k} - \dfrac{1}{n_k} < y_{n_k} < x_{n_k} + \dfrac{1}{n_k} \qquad \forall k \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Da ciò deriva, per il teorema del confronto, che anche $y_{n_k}$ converge a $\xi$ . Poiché per ipotesi $f$ è continua, per il teorema 5 si ha che

$\lim_{k \to +\infty} f(x_{n_k})=\lim_{k \to +\infty}f(y_{n_k})=f(\xi).$

Questo contraddice l’assunzione

$|f(x_{n_k})-f(y_{n_k})|\geq\varepsilon \qquad \forall k\in \mathbb{N},$

dimostrando il teorema.

Necessità delle ipotesi del teorema di Heine-Cantor

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In questa sezione mostriamo, con alcuni controesempi, che la conclusione del teorema 1 non è valida se qualcuna delle ipotesi non è verificata. In sostanza mostriamo che, senza ipotesi sulla geometria del dominio, una funzione continua non è necessariamente uniformemente continua.

Esempio 6. Consideriamo la funzione $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tale che $f(x)=x^2$ per ogni $x\in \mathbb{R}$ , rappresentata in figura 1.

Figura 1: la funzione $f$ dell’esempio 6. Poiché la pendenza del grafico $f$ aumenta al crescere di $x$ , per $x$ molto grandi si riesce a trovare $x_0$ e $y_0$ a distanza $\delta/2$ (con $\delta$ arbitrariamente piccolo), ma tali che $f(x_0)$ e $f(y_0)$ hanno distanza $1$ . Ciò mostra che $f$ non è uniformemente continua.

Tale funzione è continua per [3, Funzioni continue, proposizione 2.7]. Proviamo che essa non è uniformemente continua. Negando la definizione di uniforme continuità, ciò si traduce nel dimostrare che esiste $\varepsilon>0$ tale che, per ogni $\delta>0$

(6) $\begin{equation*} \exists x,y\in A\colon \quad |x-y| < \delta \quad \text{e} \quad|f(x)-f(y)|\geq \varepsilon. \end{equation*}$

Mostriamo che ciò è vero per $\varepsilon=1$ . A tal fine sia $\delta>0$ arbitrario e consideriamo $x=\dfrac{1}{\delta}\text{ e } y=\dfrac{\delta}{2}+\dfrac{1}{\delta}$ . Chiaramente $|x-y|=\dfrac{\delta}{2}<\delta$ , ma

$|f(x)-f(y)|=\left|\dfrac{1}{\delta^2}-\left(\dfrac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta}\right)^2\right|=\left \vert \dfrac{\delta^2}{4}+1\right \vert>1.$

Dunque, abbiamo dimostrato che vale (6) per $\varepsilon = 1$ .

Anche se il dominio di una funzione continua $f$ è limitato, essa può non essere uniformemente continua, come mostra il prossimo esempio.

Esempio 7. La funzione $f \colon (0,1] \to \mathbb{R}$ definita da

(7) $\begin{equation*} f(x) = \dfrac{1}{x} \qquad \forall x \in (0,1] \end{equation*}$

e rappresentata nella figura 2 è continua per la proposizione [3, Funzioni continue, proposizione 2.8], ma non è uniformemente continua.

Figura 2: la funzione $f$ dell’esempio 7. Poiché $\lim_{x \to 0^+}f(x)=+\infty$ , per ogni $n \in \mathbb{N}$ esistono punti a distanza $\frac{1}{n}$ le cui immagini hanno distanza $n$ ; quindi $f$ non è uniformemente continua.

Mostriamo infatti che essa non soddisfa la definizione 3 per $\varepsilon=1$ , ovvero che non esiste alcun $\delta>0$ tale che

(8) $\begin{equation*} |x-y| < \delta \quad \Longrightarrow \quad |f(x)-f(y)|<1. \end{equation*}$

Sia quindi $\delta >0$ e sia $n \in \mathbb{N}$ tale che $\frac{1}{2n}< \delta$ . Scegliendo $x=\frac{1}{n}$ e $y= \frac{1}{2n}$ si ha

(9) $\begin{equation*} |x-y|= \frac{1}{2n} < \delta \qquad \text{e} \qquad |f(x)-f(y)| = 2n-n=n \geq 1. \end{equation*}$

La situazione non cambia anche se la funzione $f$ è limitata.

Esempio 8. Si consideri la funzione $f \colon (0,1] \to \mathbb{R}$ definita da

(10) $\begin{equation*} f(x) = \sin \left( \dfrac{1}{x} \right) \qquad \forall x \in (0,1], \end{equation*}$

rappresentata in figura 3..

Figura 3: la funzione $f$ dell’esempio 8. Poiché i punti in cui $f$ assume valori $-1$ e $1$ si accumulano verso l’origine, si possono esibire $x_0$ e $y_0$ arbitrariamente vicini tali che $f(x_0)=-1$ e $f(y_0)=1$ . Quindi $f$ non è uniformemente continua.

Essa è continua perché composizione e rapporto di funzioni continue il cui denominatore non si annulla. Ciononostante, anche se il suo dominio è limitato, essa non è uniformemente continua. Infatti, $f$ assume infinite volte i valori $-1$ e $1$ in un intorno dell’origine. Ciò implica che, qualunque sia $\delta>0$ , esistono $x_0,y_0 \in [0,1]$ tali che

(11) $\begin{equation*} |x_0-y_0| < \delta, \qquad |f(x_0)-f(y_0)|=2. \end{equation*}$

Ciò prova che $f$ non è uniformemente continua.

Il punto di vista topologico

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In questa sezione forniamo una dimostrazione alternativa del teorema di Heine-Cantor di carattere topologico, che non fa uso delle successioni e del teorema di Bolzano-Weierstrass. A tal fine cominciamo con l’introdurre alcuni concetti topologici.

Richiami di topologia.

Cominciamo con la definizione di insieme aperto.

Definizione 9 (insieme aperto). Sia dato un sottoinsieme $A\subseteq \mathbb{R}$ . Si dice che $A$ è aperto se per ogni $x \in A$ esiste $r>0$ tale che

$(x-r,x+r) \subseteq A.$

Diamo ora la definizione di insieme compatto, a partire da quella di ricoprimenti aperti.

Definizione 10 (ricoprimento aperto). Sia dato un sottoinsieme $A\subseteq \mathbb{R}$ . Si dice ricoprimento aperto di $A$ una qualunque famiglia di sottoinsiemi aperti $\{U_i\}_{i\in I}$ di $\mathbb{R}$ con la proprietà che

$A\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i.$

Definizione 11 (compattezza). Un sottoinsieme $A\subset \mathbb{R}$ si dice compatto se per ogni ricoprimento aperto $\{U_i\}_{i\in I}$ di $A$ esiste un sottoricoprimento finito, ovvero un sottoinsieme di indici $J\subseteq I$ , con $J$ finito, tale che

$A\subseteq\bigcup_{i\in J}U_i.$

Vediamo un esempio di insieme non compatto e poi enunciamo un teorema che caratterizza tali insiemi.

Esempio 12. Sia $A=(0,1]$ . Per ogni $n\in\mathbb{N}$ definiamo $U_n=\big(\frac{1}{n},2\big)$ . La famiglia di insiemi $\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ è un ricoprimento aperto di $A$ che non ammette un sottoricoprimento finito, ovvero per cui non esiste un sottoinsieme finito di indici $J\subseteq I$ tale che

$A\subseteq\bigcup_{i\in J}U_i.$

Infatti, se un tale $J$ esistesse, allora preso $n_0\coloneqq \max{J}$ , si avrebbe che

$A=(0,1]\subset\bigcup_{i\in J}U_i = \Big(\frac{1}{n_0},2\Big).$

Questo è evidentemente un assurdo.

La compattezza in $\mathbb{R}$ si caratterizza con la chiusura e la limitatezza, come mostra il prossimo risultato di cui omettiamo la dimostrazione (si veda [1, teorema 2.41] in cui si trova un enunciato più generale in $\mathbb{R}^N$ ).

Teorema 13 (Heine-Borel). Un sottoinsieme $A\subset \mathbb{R}$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Dimostrazione del teorema di Heine-Cantor.

Diamo adesso una dimostrazione del teorema 1 che fa uso della definizione di compattezza.

Dimostrazione. Fissiamo $\varepsilon>0$ . Poiché $f$ è continua, sappiamo che per ogni $x \in A$ esiste $\delta_x>0$ tale che

(12) $\begin{equation*} y\in(x-2\delta_x,x+2\delta_x)\cap A \quad \Longrightarrow \quad |f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2}. \end{equation*}$

Osserviamo che la famiglia $\{(x-\delta_x,x+\delta_x)\}_{x\in A}$ è un ricoprimento aperto di $A$ , in quanto ogni $x \in A$ è contenuto in qualcuno degli intervalli della famiglia. Pertanto, essendo $A$ compatto, per la definizione 11 esiste un sottoinsieme finito $\{x_1,\dots,x_n\}\subseteq A$ tale che

(13) $\begin{equation*} A\subseteq\bigcup_{i=1}^{n}{(x-\delta_{x_i},x+\delta_{x_i})}. \end{equation*}$

Vogliamo trovare un $\delta>0$ tale che, presi $x,y \in A$ tali che $|x-y|<\delta$ , risulti $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ . A tal fine poniamo

(14) $\begin{equation*} \delta\coloneqq \min_{1\leq i\leq n}\delta_{x_i}>0 \end{equation*}$

e fissiamo $x,y\in A$ tali che $|x-y|<\delta$ . Notiamo che, grazie alla (13), sicuramente esiste un $i\in \{1, \dots,n\}$ tale che

(15) $\begin{equation*} |x-x_i|<\delta_{x_i}. \end{equation*}$

Inoltre si ha che

(16) $\begin{equation*} |y-x_i|\leq |x-x_i|+|x-y|<\delta_{x_i}+ \delta\leq 2\delta_{x_i}, \end{equation*}$

dove la prima disuguaglianza segue dalla disuguaglianza triangolare, mentre la seconda da (14). Per la (12) e la (15) abbiamo che

$|f(x)-f(x_i)|<\frac{\varepsilon}{2},$

mentre da (12) e (16) segue che

$|f(y)-f(x_i)|<\frac{\varepsilon}{2}.$

Per concludere ci basta notare che, applicando nuovamente la disuguaglianza triangolare, si ha:

$|f(x)-f(y)|\leq |f(y)-f(x_i)|+|f(x)-f(x_i)|<\varepsilon.$

Ciò prova l’uniforme continuità di $f$ su $A$ .

Riferimenti bibliografici

[1] Rudin, W. Principi di Analisi Matematica, McGraw-Hill (1991).

[2] Qui Si Risolve, Funzioni elementari — Volume 1.

[3] Qui Si Risolve, Funzioni continue.

[4] Qui Si Risolve, Teorema di Bolzano-Weierstrass per successioni.

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