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Il teorema di Heine-Cantor

La continuità di una funzione f è una proprietà qualitativa: essa esprime l’idea che i valori f(x_1) e f(x_2) sono “vicini” se x_1 e x_2 sono sufficientemente vicini; la nozione di continuità uniforme può essere vista come una versione quantitativa di tale proprietà: quanto devono essere vicini x_1 e x_2 se si desidera che f(x_1) e f(x_2) siano distanti al più \varepsilon? Se la risposta a tale domanda non dipende dai particolari punti x_1 e x_2, la funzione si dice uniformemente continua.

La continuità uniforme è importante in tutte le applicazioni in cui è necessario quantificare la vicinanza di valori. Pertanto risulta naturale ricercare dei criteri che permettano di stabilire la continuità uniforme a partire dalla semplice continuità.

Il teorema di Heine-Cantor è uno di questi: se il dominio di una funzione continua è chiuso e limitato, allora essa è anche uniformemente continua.

Questo articolo esplora in modo approfondito il teorema, fornendone sia una versione più pratica sia una di carattere topologico e trattando inoltre i casi in cui le ipotesi non sono verificate. Il tutto è spiegato con chiarezza e illustrato con numerosi grafici esplicativi, che mostrano come concetti apparentemente astratti si traducano in potenti strumenti per l’analisi delle funzioni.