Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizi sull’uniforme continuità – volume 1

Continuità uniforme

Home » Esercizi sull’uniforme continuità – volume 1

In questo articolo vengono presentati sette esercizi svolti in modo dettagliato sulla continuità uniforme delle funzioni reali di variabile reale.
Gli esercizi sono dedicati alla preparazione degli esami di Analisi Matematica 1, coniugando teoria e pratica del problem solving.

Oltre agli esercizi sull’uniforme continuità – volume 2, consigliamo la consultazione delle seguenti raccolte di problemi:

Segnaliamo il seguente materiale teorico di riferimento:

Autori e revisori

Mostra autori e revisori.

Autori: Daniele Fakhoury,Luigi De Masi, Sara Sottile, Silvia Lombardi.

Revisori: Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.

\[\,\]

\[\,\]

Testi degli esercizi

\[\,\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Siano f,g\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} due funzioni uniformemente continue. Allora f+g è necessariamente uniformemente continua?

\[\,\]

Svolgimento.

La risposta è affermativa. Infatti, fissato \varepsilon>0, cerchiamo \delta>0 tale che per ogni x,y\in\mathbb{R}, con |x-y|<\delta, si abbia

\[|f(x)+g(x)-f(y)-g(y)|<\varepsilon.\]

Essendo per ipotesi sia f che g uniformemente continue, esistono rispettivamente \delta_{1}>0 e \delta_{2}>0 tali che

\[|f(x)-f(y)|<\dfrac{\varepsilon}{2}\quad\text{se }|x-y|<\delta_{1}\]

e

\[|g(x)-g(y)|<\dfrac{\varepsilon}{2}\quad\text{se }|x-y|<\delta_{2}.\]

Scegliendo

\[\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\},\]

si ottiene, per la disuguaglianza triangolare, che se |x-y|<\delta

\[|f(x)+g(x)-f(y)-g(y)|\leq|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|<\dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.\]

Possiamo quindi concludere che f+g è uniformemente continua.

\[\,\]

\[\,\]

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Siano f,g\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} due funzioni uniformemente continue. Allora fg è necessariamente uniformemente continua?

\[\,\]

Svolgimento.

La risposta è negativa. Vediamo un controesempio. Consideriamo le funzioni f, g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definite da

\[f(x)=g(x)=x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.\]

Osserviamo che f,g sono uniformemente continue su \mathbb{R}, ma f\cdot g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

\[(f\cdot g)(x)=x^2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}\]

non è uniformemente continua su \mathbb{R}. Infatti, negando la definizione di uniforme continuità, ciò si traduce nel dimostrare la seguente proprietà:

(1) \begin{equation*} \exists \varepsilon>0\colon \;\,\forall \delta>0\;\;\exists x,y\in A \colon \quad |x-y| < \delta \quad \text{ e }\quad |f(x)-f(y)|\geq \varepsilon. \end{equation*}

Fissiamo \varepsilon=1 e sia \delta>0, consideriamo x=\dfrac{1}{\delta}\text{ e } y=\dfrac{\delta}{2}+\dfrac{1}{\delta}. Chiaramente |x-y|=\dfrac{\delta}{2}<\delta ma

\[|f(x)-f(y)|=\left|\dfrac{1}{\delta^2}-\left(\dfrac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta}\right)^2\right|=\left \vert \dfrac{\delta^2}{4}+1\right \vert>1.\]

Dunque, abbiamo dimostrato che vale (1) in corrispondenza di \varepsilon = 1.

\[\,\]

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} continua e dotata di asintoti orizzontali per x\rightarrow \pm\infty. Si può dire che f è uniformemente continua?

\[\,\]

Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi