50% di sconto su tutto fino al 31/12/2024

Il mio account
Accedi ai contenuti scaricabili
a

Menu

M

Chiudi

Esercizi teorici sulla continuità

Continuità delle funzioni

Home » Esercizi teorici sulla continuità

Esercizi teorici sulla continuità

Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi teorici sulla continuità: in essi esploreremo delle condizioni equivalenti alla continuità in termini di immagini e controimmagini e vedremo nel dettaglio alcuni controesempi. Questo articolo si rivela quindi un alleato prezioso per lo studente che desidera approfondire la sua conoscenza sulla continuità delle funzioni e le sue versioni equivalenti, allo scopo di irrobustire la sua preparazione in vista dell’esame di Analisi Matematica 1.

Segnaliamo le nostre altre raccolte di esercizi sulle funzioni continue:

Oltre alla lista presente alla fine dell’articolo, ecco il materiale teorico di riferimento:

 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Chiara Bellotti.

Revisori: Valerio Brunetti, Matteo Talluri.

    \[\,\]

    \[\,\]

Testi degli esercizi

    \[\,\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} una funzione continua in \mathbb{R}. È vero che per ogni A \subset \mathbb{R}, se A è aperto allora anche f^{-1}(A) è aperto?

    \[\,\]

Svolgimento.

La risposta alla domanda è affermativa. Infatti, sia A\subseteq\mathbb{R} un aperto. Per ogni x_{0}\in f^{-1}(A) cerchiamo \delta>0 tale che

    \[(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)\subseteq f^{-1}(A) \quad \iff \quad f(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)\subseteq A .\]

Sia y_{0}=f(x_{0}). Essendo A aperto per ipotesi, esiste \epsilon>0 tale che (y_{0}-\epsilon,y_{0}+\epsilon)\subseteq A. Prendendo come \delta=\delta(\varepsilon) quello dato dalla definizione di continuità, abbiamo che f(x_0-\delta,x_0+\delta) \subset (y_0-\varepsilon,y_0+\varepsilon).

    \[\,\]

    \[\,\]

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} una funzione continua in \mathbb{R}. È vero che per ogni C\subset \mathbb{R}, se C è chiuso allora anche f^{-1}(C) è chiuso?

    \[\,\]

Svolgimento.

La risposta è affermativa. Vediamo perchè. Essendo C\subseteq \mathbb{R} chiuso per ipotesi, il complementare \mathbb{R}\backslash C è aperto in \mathbb{R}. Ma allora, per l’esercizio 1, si ha che f^{-1}(\mathbb{R}\backslash C) è aperto. Tuttavia, osserviamo che

    \[f^{-1}( C)=\mathbb{R}\backslash f^{-1}(\mathbb{R}\backslash C).\]

Segue che f^{-1}(C) è chiuso, in quanto complementare dell’aperto f^{-1}(\mathbb{R}\backslash C).

    \[\,\]

    \[\,\]

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} una funzione continua in \mathbb{R}. È vero che per ogni K\subset \mathbb{R}, se K è compatto allora anche f^{-1}(K) è compatto?

    \[\,\]

Svolgimento.

La risposta è negativa. Troviamo un controesempio. Consideriamo la funzione

    \[f(x)=\arctan(x)\]

e

    \[K=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].\]

L’intervallo \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\subset\mathbb{R} è compatto in \mathbb{R} in quanto chiuso e limitato. Tuttavia osserviamo che

    \[f^{-1}\left(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\right)=\mathbb{R}\]

non è limitato, quindi f^{-1}(K) non è compatto 1.

    \[\,\]

Un’osservazione interessante è che la limitatezza di f è proprio l’elemento che fa funzionare il controesempio. In effetti, se una funzione generica f continua manda successioni illimitate in successioni illimitate allora la controimmagine di un compatto è compatta.

    \[\,\]

    \[\,\]

  1. I compatti in \mathbb{R} sono tutti e soli i sottoinsiemi chiusi e limitati di \mathbb{R}. ↩

    \[\,\]

    \[\,\]

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} una funzione continua in \mathbb{R}. È vero che per ogni A\subset \mathbb{R}, se A è aperto allora anche f(A) è aperto?

    \[\,\]

Svolgimento.

La risposta è negativa. Troviamo un controesempio. Consideriamo la funzione

    \[f(x)=1\quad\forall x\in\mathbb{R}\]

e

    \[A=\mathbb{R}.\]

Osserviamo che A=\mathbb{R} è aperto, ma

    \[f(A)=f(\mathbb{R})=\{1\}\]

che è un chiuso in quanto è un punto e i punti sono chiusi in \mathbb{R}.

    \[\,\]

    \[\,\]

Esercizio 5 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} una funzione tale che per ogni A\subseteq \mathbb{R}, se A è aperto allora anche f^{-1}(A) è aperto. Allora necessariamente f è una funzione continua in \mathbb{R}?

    \[\,\]

Svolgimento.

La risposta è affermativa. Infatti, sia x_{0}\in\mathbb{R} e \epsilon>0. Cerchiamo \delta>0 tale che, se x\in(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta) allora

    \[|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon,\]

o, equivalentemente,

    \[f(x)\in(y_{0}-\epsilon,y_{0}+\epsilon)\]

dove y_{0}=f(x_{0}). Tuttavia, l’intervallo (y_{0}-\epsilon,y_{0}+\epsilon) è aperto, quindi anche f^{-1}(y_{0}-\epsilon,y_{0}+\epsilon) è aperto per ipotesi e si ha x_0 \in f^{-1}(y_{0}-\epsilon,y_{0}+\epsilon). Quindi, per definizione di aperto, esiste \delta>0 tale che

    \[(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)\subseteq f^{-1}(y_{0}-\epsilon,y_{0}+\epsilon)\]

da cui la tesi.

    \[\,\]

    \[\,\]

Esercizio 6 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} una funzione che abbia la proprietà dei valori intermedi, cioè tale che se I \subset \mathbb{R} è un intervallo, allora anche f(I) è un intervallo. Allora necessariamente f è una funzione continua in \mathbb{R}?

    \[\,\]

Svolgimento.

La risposta è negativa. Infatti, ricordiamo che se una funzione f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} è derivabile, allora f^{\prime} ha la proprietà dei valori intermedi. Di conseguenza, basta trovare una funzione derivabile f la cui derivata sia discontinua. Una possibile funzione è

    \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2 \sin \frac{1}{x} & \text { se } x \neq 0 \\ & \\ 0 & \text { se } x=0 \end{array}\right. .\]

Basta osservare che f è derivabile, e che la sua derivata f^{\prime } soddisfa la proprietà dei valori intermedi pur essendo discontinua in x_0=0 .

    \[\,\]

    \[\,\]

Esercizio 7 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} una funzione che manda compatti in compatti, cioè tale che se K \subset \mathbb{R} è un compatto, allora anche f(K) è un compatto. Allora necessariamente f è una funzione continua in \mathbb{R}?

    \[\,\]

Svolgimento.

La risposta è negativa. Troviamo un controesempio. Consideriamo ad esempio la funzione segno

    \[f(x)=\operatorname{sgn}(x)\coloneqq \begin{cases} \dfrac{x}{|x|}, \mbox{ se } x \neq 0; \\ 0, \mbox{ se } x = 0. \end{cases}.\]

Allora, per ogni compatto K\subseteq\mathbb{R}, f(K) può essere uno solo tra \{1\},\ \{ 0 \}, \ \{-1\},\ \{1,-1\}, \ \{ -1,0 \}, \ \{ 0,1 \}, \ \{ -1,0,1 \} che sono tutti compatti di \mathbb{R}. Quindi la funzione f manda compatti in compatti, ma non è continua.

 
 

Tutta la teoria di analisi matematica

Leggi...

  1. Teoria Insiemi
  2. Il metodo della diagonale di Cantor
  3. Logica elementare
  4. Densità dei numeri razionali nei numeri reali
  5. Insiemi Numerici \left(\mathbb{N},\, \mathbb{Z},\, \mathbb{Q}\right)
  6. Il principio di induzione
  7. Gli assiomi di Peano
  8. L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni
  9. Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica
  10. Costruzioni alternative di \mathbb{R}
  11. Binomio di Newton
  12. Spazi metrici, un’introduzione
  13. Disuguaglianza di Bernoulli
  14. Disuguaglianza triangolare
  15. Teoria sulle funzioni
  16. Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche
  17. Funzioni elementari: trigonometriche e iperboliche
  18. Funzioni goniometriche: la guida essenziale
  19. Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni
  20. Criterio del rapporto per le successioni
  21. Definizione e proprietà del numero di Nepero
  22. Limite di una successione monotona
  23. Successioni di Cauchy
  24. Il teorema ponte
  25. Teoria sui limiti
  26. Simboli di Landau
  27. Funzioni continue – Teoria
  28. Il teorema di Weierstrass
  29. Il teorema dei valori intermedi
  30. Il teorema della permanenza del segno
  31. Il teorema di Heine-Cantor
  32. Il teorema di esistenza degli zeri
  33. Il metodo di bisezione
  34. Teorema ponte versione per le funzioni continue
  35. Discontinuità di funzioni monotone
  36. Continuità della funzione inversa
  37. Teorema delle contrazioni o Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli
  38. Teoria sulle derivate
  39. Calcolo delle derivate: la guida pratica
  40. Teoria sulle funzioni convesse
  41. Il teorema di Darboux
  42. I teoremi di de l’Hôpital
  43. Teorema di Fermat
  44. Teoremi di Rolle e Lagrange
  45. Il teorema di Cauchy
  46. Espansione di Taylor: teoria, esempi e applicazioni pratiche
  47. Polinomi di Taylor nei limiti: istruzioni per l’uso
  48. Integrali definiti e indefiniti
  49. Teorema fondamentale del calcolo integrale (approfondimento)
  50. Integrali ricorsivi
  51. Formule del trapezio, rettangolo e Cavalieri-Simpson
  52. Teoria sugli integrali impropri
  53. Funzioni integrali – Teoria
  54. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di ingegneria — versione semplificata)
  55. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica)
  56. Serie numeriche: la guida completa
  57. Successioni di funzioni – Teoria
  58. Teoremi sulle successioni di funzioni
    1. 58a. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme
    2. 58b. Limite uniforme di funzioni continue
    3. 58c. Passaggio al limite sotto il segno di integrale
    4. 58d. Limite uniforme di funzioni derivabili
    5. 58e. Piccolo teorema del Dini
    6. 58f. Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzela
  59. Serie di funzioni – Teoria
  60. Serie di potenze – Teoria
  61. Serie di Fourier – Teoria e applicazioni
  62. Integrali multipli — Parte 1 (teoria)
  63. Integrali multipli — Parte 2 (teoria e esercizi misti)
  64. Regola della Catena — Teoria ed esempi.
  65. Jacobiano associato al cambiamento di coordinate sferiche
  66. Guida ai Massimi e Minimi: Tecniche e Teoria nelle Funzioni Multivariabili
  67. Operatore di Laplace o Laplaciano
  68. Teoria equazioni differenziali
  69. Equazione di Eulero
  70. Teoria ed esercizi sulla funzione Gamma di Eulero
  71. Teoria ed esercizi sulla funzione Beta
  72. Approfondimento numeri complessi
  73. Diverse formulazioni dell’assioma di completezza
  74. Numeri di Delannoy centrali
  75. Esercizi avanzati analisi

 
 

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

Leggi...

  1. Prerequisiti di Analisi
    1. Ripasso algebra biennio liceo
    2. Ripasso geometria analitica
    3. Ripasso goniometria e trigonometria
    4. Errori tipici da evitare
    5. Insiemi numerici N,Z,Q,R
    6. Funzioni elementari
    7. Logica elementare
    8. Insiemi
  2. Successioni
    1. Teoria sulle Successioni
    2. Estremo superiore e inferiore
    3. Limiti base
    4. Forme indeterminate
    5. Limiti notevoli
    6. Esercizi misti Successioni
    7. Successioni per ricorrenza
  3. Funzioni
    1. Teoria sulle funzioni
    2. Verifica del limite in funzioni
    3. Limite base in funzioni
    4. Forme indeterminate in funzioni
    5. Limiti notevoli in funzioni
    6. Calcolo asintoti
    7. Studio di funzione senza derivate
    8. Dominio di una funzione
    9. Esercizi misti Funzioni
    10. Esercizi misti sui Limiti
  4. Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
    1. Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
    2. Continuità delle funzioni
    3. Continuità uniforme
    4. Teorema degli zeri
    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate
  5. Calcolo differenziale
    1. Derivate
    2. Calcolo delle derivate
    3. Retta tangente nel calcolo differenziale
    4. Punti di non derivabilità nel calcolo differenziale
    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate
    6. Studio di funzione completo nel calcolo differenziale
    7. Esercizi teorici nel calcolo differenziale
    8. Metodo di bisezione
    9. Metodo di Newton
  6. Teoremi del calcolo differenziale
    1. Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale
    2. Teorema di Rolle
    3. Teorema di Lagrange
    4. Teorema di Cauchy
    5. Teorema di De L’Hôpital
  7. Calcolo integrale
    1. Integrale di Riemann
    2. Integrali immediati
    3. Integrale di funzione composta
    4. Integrali per sostituzione
    5. Integrali per parti
    6. Integrali di funzione razionale
    7. Calcolo delle aree
    8. Metodo dei rettangoli e dei trapezi
    9. Esercizi Misti Integrali Indefiniti
    10. Esercizi Misti Integrali Definiti
  8. Integrali impropri
    1. Teoria Integrali impropri
    2. Carattere di un integrale improprio
    3. Calcolo di un integrale improprio
  9. Espansione di Taylor
    1. Teoria Espansione di Taylor
    2. Limiti di funzione con Taylor
    3. Limiti di successione con Taylor
    4. Stime del resto
  10. Funzioni integrali (Approfondimento)
    1. Teoria Funzioni integrali (Approfondimento)
    2. Studio di funzione integrale
    3. Limiti con Taylor e De L’Hôpital
    4. Derivazione di integrali parametrici (Tecnica di Feynmann)
  11. Numeri Complessi
    1. Teoria Numeri complessi
    2. Espressioni con i numeri complessi
    3. Radice di un numero complesso
    4. Equazioni con i numeri complessi
    5. Disequazioni con i numeri complessi
    6. Esercizi misti Numeri complessi
  12. Serie numeriche
    1. Teoria Serie numeriche
    2. Esercizi Serie a termini positivi
    3. Esercizi Serie a termini di segno variabile
    4. Esercizi Serie geometriche e telescopiche
  13. Successioni di funzioni
    1. Teoria Successioni di funzioni
    2. Esercizi Successioni di funzioni
  14. Serie di funzioni
    1. Teoria Serie di funzioni
    2. Esercizi Serie di funzioni
  15. Serie di potenze
    1. Teoria Serie di potenze
    2. Esercizi Serie di potenze
  16. Serie di Fourier
    1. Teoria Serie di Fourier
    2. Esercizi Serie di Fourier
  17. Trasformata di Fourier
    1. Teoria Trasformata di Fourier
    2. Esercizi Trasformata di Fourier
  18. Funzioni di più variabili
    1. Teoria Funzioni di più variabili
    2. Massimi e minimi liberi e vincolati
    3. Limiti in due variabili
    4. Integrali doppi
    5. Integrali tripli
    6. Integrali di linea di prima specie
    7. Integrali di linea di seconda specie
    8. Forme differenziali e campi vettoriali
    9. Teorema di Gauss-Green
    10. Integrali di superficie
    11. Flusso di un campo vettoriale
    12. Teorema di Stokes
    13. Teorema della divergenza
    14. Campi solenoidali
    15. Teorema del Dini
  19. Equazioni differenziali lineari e non lineari
    1. Teoria equazioni differenziali lineari e non lineari
    2. Equazioni differenziali lineari e non lineari del primo ordine omogenee
  20. Equazioni differenziali lineari
    1. Del primo ordine non omogenee
    2. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,omogenee
    3. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,non omogenee
    4. Di Eulero,di Bernoulli,di Clairaut,di Lagrange e di Abel
    5. Non omogenee avente per omogenea associata un’equazione di Eulero
    6. Sistemi di EDO
  21. Equazioni differenziali non lineari
    1. A variabili separabiliO
    2. A secondo membro omogeneo
    3. Del tipo y’=y(ax+by+c)
    4. Del tipo y’=y(ax+by+c)/(a’x+b’y+c’)
    5. Equazioni differenziali esatte
    6. Mancanti delle variabili x e y
    7. Cenni sullo studio di un’assegnata equazione differenziale non lineare
    8. Di Riccati
    9. Cambi di variabile: simmetrie di Lie
  22. Analisi complessa
    1. Fondamenti
    2. Funzioni olomorfe
    3. Integrale di Cauchy e applicazioni
    4. Teorema della curva di Jordan e teorema fondamentale dell’Algebra
    5. Teorema di inversione di Lagrange
    6. Teorema dei Residui
    7. Funzioni meromorfe
    8. Prodotti infiniti e prodotti di Weierstrass
    9. Continuazione analitica e topologia
    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
    11. Trasformata di Mellin
  23. Equazioni alle derivate parziali
    1. Equazioni del primo ordine
    2. Equazioni del secondo ordine lineari
    3. Equazioni non-lineari
    4. Sistemi di PDE
  24. Funzioni speciali
    1. Funzione Gamma di Eulero
    2. Funzioni Beta,Digamma,Trigamma
    3. Integrali ellittici
    4. Funzioni di Bessel
    5. Funzione zeta di Riemann e funzioni L di Dirichlet
    6. Funzione polilogaritmo
    7. Funzioni ipergeometriche
  25. Analisi funzionale
    1. Misura e integrale di Lebesgue
    2. Spazi Lp,teoremi di completezza e compattezza
    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
    4. Teoria e pratica dei polinomi ortogonali
    5. Spazi di Sobolev
  26. Complementi
    1. Curiosità e approfondimenti
    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
  27. Funzioni Convesse

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






Document









Document



error: Il contenuto è protetto!!