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Discontinuità di funzioni monotone

Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane

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La proprietà di monotonia di una funzione afferma che i valori da essa assunti sono ordinati come (o in maniera opposta a) i punti in cui la funzione è calcolata. Questa caratteristica pone forti condizioni sul comportamento di una funzione e ciò si manifesta anche in relazione alla continuità. Infatti, mentre una funzione generica può possedere ogni tipo di discontinuità e in quantità arbitrarie, una funzione monotona possiede al più una quantità numerabile di punti di discontinuità. Inoltre, ognuna di tali discontinuità è di tipo salto, in cui cioè esistono finiti il limite sinistro e destro della funzione, ma tali limiti non coincidono.

La dimostrazione di questo risultato è un affascinante applicazione di idee proveniente dalla teoria dei numeri reali e dei limiti; risulta quindi una lettura stimolante per chi è alla ricerca di spiegazioni chiare e illustrate di questi fondamentali argomenti.

Oltre agli

segnaliamo il materiale di teoria su argomenti affini, estratto dall’esaustiva lista reperibile alla fine dell’articolo:

 

Autori e revisori

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Autori: Daniele Fakhoury, Luigi De Masi, Silvia Lombardi, Giuseppe Palaia.  

Revisori: Valerio Brunetti, Sara Sottile, Sergio Fiorucci, Matteo Talluri, Chiara Bellotti.    

 

Introduzione

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Il concetto di monotonia per una funzione reale di variabile reale [1, Funzioni elementari — Volume 1, sezione 2.9] è di notevole importanza nelle applicazioni: esso consente di ordinare i valori f(x),f(y) assunti dalla funzione in base all’ordine dei punti x,y in cui essa è calcolata. Grazie a questa condizione, le funzioni monotone possiedono proprietà molto particolari. Il risultato principale di questo articolo, il teorema 1, fornisce la classificazione delle discontinuità di tali funzioni e fornisce una stima sulla quantità dei loro punti di discontinuità.

Teorema 1 (discontinuità di funzioni monotone) Sia f \colon [a, b] \to \mathbb{R} una funzione monotona. Allora essa possiede esclusivamente discontinuità di salto, con salti di ampiezza positiva se f è crescente e di ampiezza negativa se f è decrescente.

Inoltre, l’insieme dei punti di discontinuità di f possiede cardinalità finita o numerabile.

 

Dove aver richiamato le definizioni fondamentali nella sezione 1, nella sezione 2 procediamo alla dimostrazione del teorema 1.

 

Definizioni preliminari

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Ricordiamo la definizione di monotonia per una funzione [1, Funzioni elementari — Volume 1, sezione 2.9]

 

Definizione 2 (monotonia). Sia A \subseteq \mathbb{R}; una funzione f \colon A \to \mathbb{R} si dice:

 

  • Monotòna crescente se per ogni x,y\in A tali che x<y si ha f(x)\le f(y).
  • Monotòna decrescente se per ogni x,y\in A tali che x<y si ha f(x)\ge f(y).
  • Monotòna strettamente crescente se per ogni x,y\in A tali che x<y si ha f(x)< f(y).
  • Monotòna strettamente decrescente se per ogni x,y\in A tali che x<y si ha f(x)> f(y).

 

Osservazione 3. Segnaliamo che alcuni autori utilizzano una terminologia differente, utilizzando il termine non-decrescente per le funzioni che noi abbiamo definito crescenti, e riservano il termine crescente per quelle che noi abbiamo definito strettamente crescenti. Analogamente per funzioni descrescenti.

 

Riportiamo anche ora la definizione di punto di discontinuità di prima specie; per una discussione completa, si veda [2, Funzioni continue, sezione 4].

 

Definizione 4 (discontinuità di I specie o di salto, figura 1). Una funzione f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} ha una discontinuità di prima specie o di salto in x_0\in A se se esistono finiti i limiti destro e sinistro per x\to x_0 ma essi sono diversi, cioè

(1) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0^-} f(x) \eqqcolon f(x_0^-) \in \mathbb{R}, \qquad \lim_{x \to x_0^+} f(x) \eqqcolon f(x_0^+) \in \mathbb{R} \qquad \text{e} \qquad f(x_0^-) \neq f(x_0^+). \end{equation*}

Si definisce ampiezza del salto la differenza

(2) \begin{equation*} f(x_0^+) - f(x_0^-). \end{equation*}

   

 

Figura 1: la funzione f presenta una discontinuità di I specie in x=-1, avente ampiezza del salto pari a 1 in quanto f(-1^-) = \lim_{x \to -1^-}f(x)=-1 e f(-1^+)=\lim_{x \to -1^+}f(x)=0.

   

Ricordiamo infine la definzione di insieme numerabile. Invitiamo il lettore a consultare [3, Il metodo della diagonale di Cantor, sezioni 2 e 3] per un’interessante approfondimento.

 

Definizione 5 (insiemi numerabili). Sia A un insieme. A si dice numerabile se esiste una funzione g \colon A \to \mathbb{N} biunivoca. A si dice al più numerabile se esiste una funzione g \colon A \to \mathbb{N} iniettiva.

 

 

Dimostrazione del teorema 1

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