Jacobiano associato al cambiamento di coordinate sferiche

Integrali tripli

Home » Jacobiano associato al cambiamento di coordinate sferiche


 

Jacobiano associato al cambiamento di coordinate sferiche

 

Se in un integrale triplo il dominio di integrazione o la funzione integranda presentano simmetrie di tipo sferico, è naturale tentare di adattarne la forma assecondando tali simmetrie, nel tentativo di semplificare il calcolo. Matematicamente, ciò si traduce nel trasformare le coordinate cartesiane in quelle sferiche. Quando si esegue questa operazione, occorre tenere conto del fatto che le nuove coordinate determinano un nuovo elemento infinitesimo di volume ed è necessario esprimere il rapporto tra questo e l’elemento di volume precedente, attraverso il cosiddetto Jacobiano associato al cambiamento di coordinate.

In questo articolo ci occupiamo dello jacobiano associato al cambio di coordinate sferiche: dopo aver presentato la formula che lo descrive, la applichiamo in alcuni esempi pratici, che rendono evidenti le sue applicazioni agli integrali tripli della fisica e dell’ingegneria.

Richiamiamo il seguente teorema.

Teorema(formula del cambiamento di variabile negli integrali tripli).  Sia \mathcal{D} \subset \mathbb{R}^3 un dominio regolare, f: \mathcal{D}\to \mathbb{R} una funzione continua e \bm{T}:\mathcal{D}^\prime \to \mathcal{D} un diffeomorfismo globale, con (x,y,z) = \bm{T}(u,v,w),

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x=x(u,v,w)\\ y=y(u,v,w)\\ z=z(u,v,w)\\ \end{cases} \end{equation*}

allora

    \[\iiint_{\mathcal{D}} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz = \iiint_{\mathcal{D}^\prime}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) \, \vert \text{det} \bm{DT} (u,v,w) \vert \, du \, dv \, dw\]

dove \bm{DT}(u,v,w) indica la matrice Jacobiana della trasformazione (1).
In pratica, il teorema precedente viene applicato osservando che l’elemento di volume si trasforma secondo la legge

    \[dx \, dy \, dz = \vert \mbox{det} \bm{DT} (u,v,w) \vert \, du \, dv \, dw.\]

Introduciamo un sistema di coordinate sferiche \left(\rho,\theta,\phi \right) come nella seguente figura.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

dove \rho è la distanza radiale, \theta è l’angolo azimutale e \phi è l’angolo polare.
Le coordinate cartesiane di un punto si ottengono dalle tre coordinate sferiche di quel punto con:

    \[\begin{cases} x= \rho \sin \phi \cos \theta\\ y= \rho \sin \phi \sin \theta\quad \text{con}\,\,\rho >0,\theta \in [0,2\pi],\phi \in [0,\pi]\\ z= \rho \cos \phi \end{cases}\]

Lo Jacobiano della trasformazione lo indicheremo come \vert J \vert e nel caso delle coordinate sferiche vale:

    \[\begin{aligned} \vert J\vert & = \left\vert \text{det} \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi}\\\\ \frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi}\\\\ \frac{\partial z}{\partial \rho} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{pmatrix}\right\vert = \left\vert \text{det} \begin{pmatrix} \sin \phi \cos \theta & -\rho \sin \phi \sin \theta & \rho \cos \phi \cos \theta \\\\ \sin \phi \sin \theta & \rho \sin \phi \cos \theta & \rho \cos \phi \sin \theta \\\\ \cos \phi & 0 & - \rho \sin \phi \end{pmatrix}\right\vert\\\\ & = \left\vert \cos \phi \; \left(-\rho^2 \sin \phi \cos \phi \right) \left(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \right) - \rho^2 \sin \phi \left(\rho \sin^2 \phi \right) \left(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right) \right\vert = \\ & = \left\vert - \rho^2 \sin \phi \cos^2 \phi - \rho \sin^3 \phi \right\vert =\\ & = \left\vert - \rho^2 \sin \phi \left( \cos^2 \phi + \sin^2 \phi \right) \right\vert =\\ & = \rho^2 \sin \phi, \qquad \mbox{con } \phi \in [0,\pi]. \end{aligned}\]

Dunque concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{\vert J \vert = \rho^2 \sin \phi.}\]

ed in particolare

    \[dx \, dy \, dz = \vert J \vert \, d\rho \, d\theta \, d\phi= \rho^2 \sin \phi\, d\rho \, d\theta \, d\phi.\]

 

Fonti: Analisi Matematica 2- Bramanti, Salsa \& Pagani.

 

Di seguito qualche esempio. 

 

 

Esempio 1.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia \mathcal{D} = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \vert x^2+y^2+z^2 \le R^2\}, calcolare

    \[\iiint_{\mathcal{D}} dx \, dy \, dz\]

Svolgimento esempio 1.

\mathcal{D} è una sfera di raggio R centrata nell’origine degli assi. Facciamo riferimento alla seguente figura

Rendered by QuickLaTeX.com

 

ed utilizziamo le coordinate sferiche

    \[\begin{cases} x= \rho \sin \phi \cos \theta\\ y= \rho \sin \phi \sin \theta \quad \qquad \text{con } \rho >0,\theta \in [0,2\pi],\phi \in [0,\pi]\\ z= \rho \cos \phi \end{cases}\]

e

    \[dx \, dy \, dz = \rho^2 \sin \phi\, d\rho \, d\theta \, d\phi.\]

Dunque

    \[\begin{aligned} \iiint_{\mathcal{D}} dx \, dy \, dz & = \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^{\pi} \sin \phi \, d\phi \int_0^R \rho^2 \, d\rho = \\ & = 2\pi \cdot \dfrac{R^3}{3} \cdot 2 = \dfrac{4}{3}\pi R^3 \end{aligned}\]


 

 

Esempio 2.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia

    \[\mathcal{D} = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \vert 1 < x^2+y^2+z^2 <2, x^2-y^2+z^2<0, y>0\},\]

calcolare

    \[\iiint_{\mathcal{D}} \dfrac{x^2}{x^2+z^2} \, dx \, dy \, dz.\]

Svolgimento esempio 2.

L’insieme \mathcal{D} è la parte dello spazio compresa fra le sfere di equazione x^2+y^2+z^2=2 e x^2+y^2+z^2=1 e il semicono y=\sqrt{x^2+z^2}.

Vediamo la sezione dell’insieme \Omega con il piano yz (in rosso):

Rendered by QuickLaTeX.com

Passiamo in coordinate sferiche in cui la colatitudine è misurata rispetto all’asse y. Poniamo quindi

    \[\begin{cases} x= \rho \sin \theta \cos \phi \\ y= \rho \cos \theta \quad \qquad \text{con } \rho \ge 0,\theta \in [0,2\pi],\phi \in [0,\pi]\\ z= \rho \sin \theta \sin \phi \end{cases}\]

e

    \[dx \, dy \, dz = \rho^2 \sin \theta \, d\rho \, d\theta \, d\phi.\]

Abbiamo che

    \[(x,y,z) \in \mathcal{D} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 1 < \rho^2 < 2\\ \sin^2 \theta - \cos^2 \theta < 0\\ \cos \theta > 0. \end{cases}\]

Allora

    \[\iiint_{\mathcal{D}} \dfrac{x^2}{x^2+z^2} \, dx \, dy \, dz = \iiint_{\mathcal{D}^\prime} \rho^2 \, \sin \theta \, \cos^2\phi \, d\rho \, d\theta \, d\phi\]

dove

    \[\mathcal{D}^\prime =\{(\rho,\theta,\phi) \in \mathbb{R}^3 \vert 1<\rho < \sqrt{2}, \sin^2 \theta < \cos^2 \theta, 0 \leq \theta < \dfrac{\pi}{2}, 0 \le \phi \le 2 \pi \}\]

da cui otteniamo

    \[\iint_{\mathcal{D}^\prime} \rho^2 \, \sin \theta \, \cos^2\phi \, d\rho \, d\theta \, d\phi = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin \theta \, d\theta \int_0^{2\pi} \cos^2 \phi \, d\phi \int_1^{\sqrt{2}} \rho^2 \, d\rho\]

ovvero

    \[\iiint_{\mathcal{D}} \dfrac{x^2}{x^2+z^2} \, dx \, dy \, dz = \dfrac{\pi}{6} \left(5 \sqrt{2}- 6 \right).\]


Fonte.

Esercizio 2 è tratto dalle dispense del Politecnico di Torino

error: Il contenuto è protetto!!