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Jacobiano associato al cambiamento di coordinate sferiche

Integrali tripli

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Jacobiano associato al cambiamento di coordinate sferiche

 

 

Se in un integrale triplo il dominio di integrazione o la funzione integranda presentano simmetrie di tipo sferico, è naturale tentare di adattarne la forma assecondando tali simmetrie, nel tentativo di semplificare il calcolo. Matematicamente, ciò si traduce nel trasformare le coordinate cartesiane in quelle sferiche. Quando si esegue questa operazione, occorre tenere conto del fatto che le nuove coordinate determinano un nuovo elemento infinitesimo di volume ed è necessario esprimere il rapporto tra questo e l’elemento di volume precedente, attraverso il cosiddetto Jacobiano associato al cambiamento di coordinate.

In questo articolo ci occupiamo dello jacobiano associato al cambio di coordinate sferiche: dopo aver presentato la formula che lo descrive, la applichiamo in alcuni esempi pratici, che rendono evidenti le sue applicazioni agli integrali tripli della fisica e dell’ingegneria.

Oltre all’esaustiva lista reperibile alla fine dell’articolo, segnaliamo il seguente materiale su argomenti collegati:

Buona lettura!

 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.  

 

Richiamiamo il seguente teorema.
 

Teorema (formula del cambiamento di variabile negli integrali tripli). Sia \mathcal{D} \subset \mathbb{R}^3 un dominio regolare, f: \mathcal{D}\to \mathbb{R} una funzione continua e \bm{T}:\mathcal{D}^\prime \to \mathcal{D} un diffeomorfismo globale, con (x,y,z) = \bm{T}(u,v,w),

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x=x(u,v,w)\\ y=y(u,v,w)\\ z=z(u,v,w)\\ \end{cases} \end{equation*}

allora

    \[\iiint_{\mathcal{D}} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz = \iiint_{\mathcal{D}^\prime}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) \, \vert \text{det} \bm{DT} (u,v,w) \vert \, du \, dv \, dw\]

dove \bm{DT}(u,v,w) indica la matrice Jacobiana della trasformazione (1).

 
In pratica, il teorema precedente viene applicato osservando che l’elemento di volume si trasforma secondo la legge

    \[dx \, dy \, dz = \vert \mbox{det} \bm{DT} (u,v,w) \vert \, du \, dv \, dw.\]

Introduciamo un sistema di coordinate sferiche \left(\rho,\theta,\phi \right) come nella seguente figura.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

dove \rho è la distanza radiale, \theta è l’angolo azimutale e \phi è l’angolo polare.
Le coordinate cartesiane di un punto si ottengono dalle tre coordinate sferiche di quel punto con:

    \[\begin{cases} x= \rho \sin \phi \cos \theta\\ y= \rho \sin \phi \sin \theta\quad \text{con}\,\,\rho >0,\theta \in [0,2\pi],\phi \in [0,\pi]\\ z= \rho \cos \phi \end{cases}\]

Lo Jacobiano della trasformazione lo indicheremo come \vert J \vert e nel caso delle coordinate sferiche vale:

    \[\begin{aligned} \vert J\vert & = \left\vert \text{det} \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi}\\\\ \frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi}\\\\ \frac{\partial z}{\partial \rho} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{pmatrix}\right\vert = \left\vert \text{det} \begin{pmatrix} \sin \phi \cos \theta & -\rho \sin \phi \sin \theta & \rho \cos \phi \cos \theta \\\\ \sin \phi \sin \theta & \rho \sin \phi \cos \theta & \rho \cos \phi \sin \theta \\\\ \cos \phi & 0 & - \rho \sin \phi \end{pmatrix}\right\vert\\\\ & = \left\vert \cos \phi \; \left(-\rho^2 \sin \phi \cos \phi \right) \left(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \right) - \rho^2 \sin \phi \left(\rho \sin^2 \phi \right) \left(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right) \right\vert = \\ & = \left\vert - \rho^2 \sin \phi \cos^2 \phi - \rho \sin^3 \phi \right\vert =\\ & = \left\vert - \rho^2 \sin \phi \left( \cos^2 \phi + \sin^2 \phi \right) \right\vert =\\ & = \rho^2 \sin \phi, \qquad \mbox{con } \phi \in [0,\pi]. \end{aligned}\]

Dunque concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{\vert J \vert = \rho^2 \sin \phi.}\]

ed in particolare

    \[dx \, dy \, dz = \vert J \vert \, d\rho \, d\theta \, d\phi= \rho^2 \sin \phi\, d\rho \, d\theta \, d\phi.\]

 

Di seguito qualche esempio. 

 

 

Esempio 1  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia \mathcal{D} = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \vert x^2+y^2+z^2 \le R^2\}, calcolare

    \[\iiint_{\mathcal{D}} dx \, dy \, dz\]

Svolgimento.

\mathcal{D} è una sfera di raggio R centrata nell’origine degli assi. Facciamo riferimento alla seguente figura

Rendered by QuickLaTeX.com

 

ed utilizziamo le coordinate sferiche

    \[\begin{cases} x= \rho \sin \phi \cos \theta\\ y= \rho \sin \phi \sin \theta \quad \qquad \text{con } \rho >0,\theta \in [0,2\pi],\phi \in [0,\pi]\\ z= \rho \cos \phi \end{cases}\]

e

    \[dx \, dy \, dz = \rho^2 \sin \phi\, d\rho \, d\theta \, d\phi.\]

Dunque

    \[\begin{aligned} \iiint_{\mathcal{D}} dx \, dy \, dz & = \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^{\pi} \sin \phi \, d\phi \int_0^R \rho^2 \, d\rho = \\ & = 2\pi \cdot \dfrac{R^3}{3} \cdot 2 = \dfrac{4}{3}\pi R^3 \end{aligned}\]

 

Esempio 2  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia

    \[\mathcal{D} = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \vert 1 < x^2+y^2+z^2 <2, x^2-y^2+z^2<0, y>0\},\]

calcolare

    \[\iiint_{\mathcal{D}} \dfrac{x^2}{x^2+z^2} \, dx \, dy \, dz.\]

Svolgimento.

L’insieme \mathcal{D} è la parte dello spazio compresa fra le sfere di equazione x^2+y^2+z^2=2 e x^2+y^2+z^2=1 e il semicono y=\sqrt{x^2+z^2}.

Vediamo la sezione dell’insieme \Omega con il piano yz (in rosso):

Rendered by QuickLaTeX.com

Passiamo in coordinate sferiche in cui la colatitudine è misurata rispetto all’asse y. Poniamo quindi

    \[\begin{cases} x= \rho \sin \theta \cos \phi \\ y= \rho \cos \theta \quad \qquad \text{con } \rho \ge 0,\theta \in [0,2\pi],\phi \in [0,\pi]\\ z= \rho \sin \theta \sin \phi \end{cases}\]

e

    \[dx \, dy \, dz = \rho^2 \sin \theta \, d\rho \, d\theta \, d\phi.\]

Abbiamo che

    \[(x,y,z) \in \mathcal{D} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 1 < \rho^2 < 2\\ \sin^2 \theta - \cos^2 \theta < 0\\ \cos \theta > 0. \end{cases}\]

Allora

    \[\iiint_{\mathcal{D}} \dfrac{x^2}{x^2+z^2} \, dx \, dy \, dz = \iiint_{\mathcal{D}^\prime} \rho^2 \, \sin \theta \, \cos^2\phi \, d\rho \, d\theta \, d\phi\]

dove

    \[\mathcal{D}^\prime =\{(\rho,\theta,\phi) \in \mathbb{R}^3 \vert 1<\rho < \sqrt{2}, \sin^2 \theta < \cos^2 \theta, 0 \leq \theta < \dfrac{\pi}{2}, 0 \le \phi \le 2 \pi \}\]

da cui otteniamo

    \[\iint_{\mathcal{D}^\prime} \rho^2 \, \sin \theta \, \cos^2\phi \, d\rho \, d\theta \, d\phi = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin \theta \, d\theta \int_0^{2\pi} \cos^2 \phi \, d\phi \int_1^{\sqrt{2}} \rho^2 \, d\rho\]

ovvero

    \[\iiint_{\mathcal{D}} \dfrac{x^2}{x^2+z^2} \, dx \, dy \, dz = \dfrac{\pi}{6} \left(5 \sqrt{2}- 6 \right).\]


Fonte.

Esercizio 2 è tratto dalle dispense del Politecnico di Torino

 

Ulteriori risorse didattiche sugli integrali doppi e tripli

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Per ulteriori approfondimenti sugli integrali doppi, si raccomanda la visione dei seguenti video didattici a cura del Professor Valerio Pattaro, disponibili sul canale YouTube ufficiale Valerio Pattaro:

  1. Dominio rettangolare, esercizio 1
  2. Dominio rettangolare, esercizio 2
  3. Dominio normale all’asse x (detto anche dominio y-semplice), esercizio 1
  4. Dominio normale all’asse x (detto anche dominio y-semplice), esercizio 2
  5. Dominio normale all’asse y (detto anche dominio x-semplice), esercizio 1
  6. Integrazione tramite cambio di variabili da cartesiani a polari, esercizio 1
  7. Integrazione tramite cambio di variabili da cartesiani a ellittiche, esercizio 1
  8. Applicazioni degli integrali tripli

 
 

Tutta la teoria di analisi matematica

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  47. Polinomi di Taylor nei limiti: istruzioni per l’uso
  48. Integrali definiti e indefiniti
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  51. Formule del trapezio, rettangolo e Cavalieri-Simpson
  52. Teoria sugli integrali impropri
  53. Funzioni integrali – Teoria
  54. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di ingegneria — versione semplificata)
  55. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica)
  56. Serie numeriche: la guida completa
  57. Successioni di funzioni – Teoria
  58. Teoremi sulle successioni di funzioni
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    2. 58b. Limite uniforme di funzioni continue
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  59. Serie di funzioni – Teoria
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Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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  20. Equazioni differenziali lineari
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    5. Teorema di inversione di Lagrange
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    9. Continuazione analitica e topologia
    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
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  23. Equazioni alle derivate parziali
    1. Equazioni del primo ordine
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    3. Equazioni non-lineari
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    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
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    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
  27. Funzioni Convesse

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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