Jacobiano associato al cambiamento di coordinate sferiche

Integrali tripli

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Richiamiamo il seguente teorema.

Teorema(formula del cambiamento di variabile negli integrali tripli).  Sia \mathcal{D} \subset \mathbb{R}^3 un dominio regolare, f: \mathcal{D}\to \mathbb{R} una funzione continua e \bm{T}:\mathcal{D}^\prime \to \mathcal{D} un diffeomorfismo globale, con (x,y,z) = \bm{T}(u,v,w),

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x=x(u,v,w)\\ y=y(u,v,w)\\ z=z(u,v,w)\\ \end{cases} \end{equation*}

allora

    \[\iiint_{\mathcal{D}} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz = \iiint_{\mathcal{D}^\prime}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) \, \vert \text{det} \bm{DT} (u,v,w) \vert \, du \, dv \, dw\]

dove \bm{DT}(u,v,w) indica la matrice Jacobiana della trasformazione (1).
In pratica, il teorema precedente viene applicato osservando che l’elemento di volume si trasforma secondo la legge

    \[dx \, dy \, dz = \vert \mbox{det} \bm{DT} (u,v,w) \vert \, du \, dv \, dw.\]

Introduciamo un sistema di coordinate sferiche \left(\rho,\theta,\phi \right) come nella seguente figura.

 

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dove \rho è la distanza radiale, \theta è l’angolo azimutale e \phi è l’angolo polare.
Le coordinate cartesiane di un punto si ottengono dalle tre coordinate sferiche di quel punto con:

    \[\begin{cases} x= \rho \sin \phi \cos \theta\\ y= \rho \sin \phi \sin \theta\quad \text{con}\,\,\rho >0,\theta \in [0,2\pi],\phi \in [0,\pi]\\ z= \rho \cos \phi \end{cases}\]

Lo Jacobiano della trasformazione lo indicheremo come \vert J \vert e nel caso delle coordinate sferiche vale:

    \[\begin{aligned} \vert J\vert & = \left\vert \text{det} \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi}\\\\ \frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi}\\\\ \frac{\partial z}{\partial \rho} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{pmatrix}\right\vert = \left\vert \text{det} \begin{pmatrix} \sin \phi \cos \theta & -\rho \sin \phi \sin \theta & \rho \cos \phi \cos \theta \\\\ \sin \phi \sin \theta & \rho \sin \phi \cos \theta & \rho \cos \phi \sin \theta \\\\ \cos \phi & 0 & - \rho \sin \phi \end{pmatrix}\right\vert\\\\ & = \left\vert \cos \phi \; \left(-\rho^2 \sin \phi \cos \phi \right) \left(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \right) - \rho^2 \sin \phi \left(\rho \sin^2 \phi \right) \left(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta \right) \right\vert = \\ & = \left\vert - \rho^2 \sin \phi \cos^2 \phi - \rho \sin^3 \phi \right\vert =\\ & = \left\vert - \rho^2 \sin \phi \left( \cos^2 \phi + \sin^2 \phi \right) \right\vert =\\ & = \rho^2 \sin \phi, \qquad \mbox{con } \phi \in [0,\pi]. \end{aligned}\]

Dunque concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{\vert J \vert = \rho^2 \sin \phi.}\]

ed in particolare

    \[dx \, dy \, dz = \vert J \vert \, d\rho \, d\theta \, d\phi= \rho^2 \sin \phi\, d\rho \, d\theta \, d\phi.\]

 

Fonti: Analisi Matematica 2- Bramanti, Salsa \& Pagani.

 

Di seguito qualche esempio. 

 

 

Esempio 1.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia \mathcal{D} = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \vert x^2+y^2+z^2 \le R^2\}, calcolare

    \[\iiint_{\mathcal{D}} dx \, dy \, dz\]

 

Svolgimento. \mathcal{D} è una sfera di raggio R centrata nell’origine degli assi. Facciamo riferimento alla seguente figura

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ed utilizziamo le coordinate sferiche

    \[\begin{cases} x= \rho \sin \phi \cos \theta\\ y= \rho \sin \phi \sin \theta \quad \qquad \text{con } \rho >0,\theta \in [0,2\pi],\phi \in [0,\pi]\\ z= \rho \cos \phi \end{cases}\]

e

    \[dx \, dy \, dz = \rho^2 \sin \phi\, d\rho \, d\theta \, d\phi.\]

Dunque

    \[\begin{aligned} \iiint_{\mathcal{D}} dx \, dy \, dz & = \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^{\pi} \sin \phi \, d\phi \int_0^R \rho^2 \, d\rho = \\ & = 2\pi \cdot \dfrac{R^3}{3} \cdot 2 = \dfrac{4}{3}\pi R^3 \end{aligned}\]

 

 

Esempio 2.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia

    \[\mathcal{D} = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \vert 1 < x^2+y^2+z^2 <2, x^2-y^2+z^2<0, y>0\},\]

calcolare

    \[\iiint_{\mathcal{D}} \dfrac{x^2}{x^2+z^2} \, dx \, dy \, dz.\]

 

Svolgimento. L’insieme \mathcal{D} è la parte dello spazio compresa fra le sfere di equazione x^2+y^2+z^2=2 e x^2+y^2+z^2=1 e il semicono y=\sqrt{x^2+z^2}.

Vediamo la sezione dell’insieme \Omega con il piano yz (in rosso):

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Passiamo in coordinate sferiche in cui la colatitudine è misurata rispetto all’asse y. Poniamo quindi

    \[\begin{cases} x= \rho \sin \theta \cos \phi \\ y= \rho \cos \theta \quad \qquad \text{con } \rho \ge 0,\theta \in [0,2\pi],\phi \in [0,\pi]\\ z= \rho \sin \theta \sin \phi \end{cases}\]

e

    \[dx \, dy \, dz = \rho^2 \sin \theta \, d\rho \, d\theta \, d\phi.\]

Abbiamo che

    \[(x,y,z) \in \mathcal{D} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 1 < \rho^2 < 2\\ \sin^2 \theta - \cos^2 \theta < 0\\ \cos \theta > 0. \end{cases}\]

Allora

    \[\iiint_{\mathcal{D}} \dfrac{x^2}{x^2+z^2} \, dx \, dy \, dz = \iiint_{\mathcal{D}^\prime} \rho^2 \, \sin \theta \, \cos^2\phi \, d\rho \, d\theta \, d\phi\]

dove

    \[\mathcal{D}^\prime =\{(\rho,\theta,\phi) \in \mathbb{R}^3 \vert 1<\rho < \sqrt{2}, \sin^2 \theta < \cos^2 \theta, 0 \leq \theta < \dfrac{\pi}{2}, 0 \le \phi \le 2 \pi \}\]

da cui otteniamo

    \[\iint_{\mathcal{D}^\prime} \rho^2 \, \sin \theta \, \cos^2\phi \, d\rho \, d\theta \, d\phi = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin \theta \, d\theta \int_0^{2\pi} \cos^2 \phi \, d\phi \int_1^{\sqrt{2}} \rho^2 \, d\rho\]

ovvero

    \[\iiint_{\mathcal{D}} \dfrac{x^2}{x^2+z^2} \, dx \, dy \, dz = \dfrac{\pi}{6} \left(5 \sqrt{2}- 6 \right).\]

 

Fonti: Esercizio 2 è tratto dalle dispense del Politecnico di Torino