Introduzione ai numeri complessi volume 1 (per matematica)

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Introduzione ai numeri complessi volume 1 (per matematica o fisica)

I numeri complessi sono onnipresenti nella Matematica moderna: anche alcune questioni che non sembrano uscire fuori dal campo dei numeri reali possiedono profondi e inaspettati legami con essi. Un esempio è costituito dalla famosa funzione zeta di Riemann: una funzione definita sui numeri complessi che si è rivelata intimamente legata alla distribuzione dei numeri primi all’interno dei numeri naturali.

Questo volume si propone di introdurre la teoria dei numeri complessi in maniera completa, senza rinunciare all’accessibilità e alla chiarezza. Esso è quindi fruibile da coloro che desiderano approfondire l’argomento, come studenti dei corsi di Laurea in Matematica o Fisica, rimandando alla versione semplificata Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di ingegneria — versione semplificata) per una trattazione più snella ed essenziale.

Gli argomenti presenti riguardano:

Definizione e proprietà dei numeri complessi.
Rappresentazioni algebrica, trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi e loro relazioni;
Esponenziale complesso e sue proprietà;
Applicazioni al teorema fondamentale dell’algebra e la formula di Cardano per le radici di equazioni cubiche;
Argomento e logaritmo complesso.

Con esempi pratici e dimostrazioni dettagliate, il testo è una guida completa sull’argomento, attraverso le sue meraviglie e applicazioni nei vari campi della Matematica.

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Ottieni il documento contenente la teoria sui numeri complessi per il corso di analisi matematica.

Autori e revisori

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Autore: Francesco Paolo Maiale

Revisori: Valerio Brunetti, Nicola Fusco, Matteo Talluri, Davide La Manna.

Sommario

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Questo documento è articolato in tre parti principali. Nella prima sezione, viene introdotto il concetto di numeri complessi, analizzandone alcune delle proprietà più significative. Si pone particolare enfasi sulla forma trigonometrica e sulle radici $n$ -esime dei numeri complessi.

Nella seconda sezione, si esplora la nozione di “funzione a più valori”. Qui, vengono definiti concetti chiave quali l’esponenziale complesso, il logaritmo complesso e la potenza generalizzata, stabilendo un confronto dettagliato con le loro controparti nel campo dei numeri reali.

L’ultima parte del documento è dedicata all’esame di diverse applicazioni pratiche di questi concetti. Si dedica un’attenzione particolare al Teorema Fondamentale dell’Algebra e alla formula di Cardano, illustrando la loro importanza e impatto nel campo della matematica complessa.

Introduzione ai numeri complessi

Introduzione.

Nel campo dei numeri reali $\mathbb{R}$ , alcune equazioni algebriche, come $x^2 + 1 = 0$ , non hanno soluzione. Pertanto, è naturale chiedersi se sia possibile trovare una estensione di campi¹ $\mathbb R \subset \mathbb F$ in modo che ogni polinomio a coefficienti reali

$p(x) = x^n + \sum_{j= 0}^{n-1} a_j x^j, \quad a_0,\ldots,a_{n-1} \in \mathbb R$

abbia almeno una radice in $\mathbb{F}$ ; in altre parole, esiste un $x_0 \in \mathbb{F}$ tale che

$p(x_0) = x_0^n + \sum_{j = 0}^{n-1} a_j x_0^j = 0.$

Per rispondere a questa domanda, si introduce il concetto di unità immaginaria $\imath$ , non appartenente a $\mathbb{R}$ , e si definisce tale che

(1) $\begin{equation*} \imath^2 = -1. \end{equation*}$

Osservazione 1. Dalla relazione (1), segue che

$x^2+1=(x-\imath)(x+\imath).$

La denominazione di $\imath$ come unità immaginaria, piuttosto che $-\imath$ , è arbitraria. Entrambe $\imath$ e $-\imath$ sono radici del polinomio $p(x) = x^2 + 1$ .

$\[\]$

Definizione 2. L’insieme dei numeri complessi è definito come

$\mathbb C := \left\{ z=x + \imath y \: : \: x,y \in \mathbb{R} \right\}.$

Diciamo inoltre che $\mathfrak{Re}(z) := x$ ed $\mathfrak{Im}(z) := y$ sono, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso $z$ .

Osservazione 3. Fino a questo punto, non abbiamo definito alcuna operazione specifica tra gli elementi di $\mathbb{C}$ . Pertanto, $\mathbb{C}$ è attualmente solo un insieme di elementi della forma

$z = x + \imath y, \quad \text{con } x, y \in \mathbb{R}.$

È cruciale notare che il simbolo $+$ in questa espressione non rappresenta l’addizione nel campo dei numeri reali $\mathbb{R}$ , poiché $\imath y$ non è un elemento di $\mathbb{R}$ .

$\[\]$

Procediamo ora a definire una struttura algebrica su $\mathbb{C}$ , introducendo operazioni di somma e prodotto per componenti, ovvero

(2) $\begin{equation*} \begin{aligned} & z_1 + z_2 = (x_1 + \imath y_1) + (x_2 + \imath y_2) := (x_1 + x_2) + \imath (y_1 + y_2), \\ & z_1 \cdot z_2 = (x_1 + \imath y_1) \cdot (x_2 + \imath y_2) := (x_1x_2 - y_1 y_2) + \imath(x_1y_2 + x_2 y_1), \end{aligned} \end{equation*}$

dove le somme e i prodotti tra gli $x_i$ e gli $y_i$ sono operazioni nel campo dei numeri reali e, quindi, ben definite.

A questo punto, avendo definito una somma e un prodotto, siamo finalmente pronti a dimostrare il risultato principale di questa sezione:

Proposizione 4. L’insieme $\mathbb C$ equipaggiato con le operazioni di somma e prodotto (2) è una estensione di campi dei numeri reali $\mathbb R$ .

Dimostrazione. Iniziamo notando che $\mathbb{R}$ è un sottoinsieme proprio di $\mathbb{C}$ , dato che

$x \in \mathbb{R} \implies x = x + 0 \imath \in \mathbb{C}.$

Per dimostrare che $\mathbb{C}$ è un campo rispetto alle operazioni definite in (2), si devono verificare le seguenti proprietà:

Associatività di somma e prodotto:
$z_1 + (z_2 + z_3) = (z_1 + z_2) + z_3 \quad \text{e} \quad z_1(z_2z_3) = (z_1z_2)z_3$

per ogni $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ .

Commutatività di somma e prodotto:
$z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \quad \text{e} \quad z_1z_2 = z_2z_1$

per ogni $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ .

Esistenza di elementi neutri per somma e prodotto:
$z + 0 = 0 + z = z \quad \text{e} \quad z \cdot 1 = 1 \cdot z = z$

dove $0 = 0 + 0 \imath$ , $1 = 1 + 0 \imath$ , per ogni $z \in \mathbb{C}$ .

Esistenza di inversi additivi e moltiplicativi:
$z + (-z) = (-z) + z = 0 \quad \text{e} \quad z z^{-1} = z^{-1} z = 1$

per ogni $z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ .

Distributività del prodotto rispetto all’addizione:
$z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3$

per ogni $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ .

La parte più delicata è dimostrare l’esistenza di un inverso moltiplicativo per $z = x + \imath y \neq 0$ . Il claim è il seguente: l’inverso moltiplicativo di $z$ è

$z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - \frac{y}{x^2+y^2}\imath.$

Per dimostrarlo, è sufficiente verificare che il prodotto fa uno:

$\begin{aligned} z z^{-1} & = (x+\imath y) \left( \frac{x}{x^2+y^2} - \imath \frac{y}{x^2+y^2} \right)= \\ & = \frac{x^2}{x^2+y^2} -\imath \frac{xy}{x^2+y^2} + \imath \frac{yx}{x^2+y^2} - \imath^2 \frac{y^2}{x^2+y^2}= \\ & = \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} + \imath \frac{xy - xy}{x^2+y^2}= 1 + \imath 0 = 1. \end{aligned}$

Infine, per mostrare che $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ è un’estensione di campi, basta osservare che la somma e il prodotto in $\mathbb{R}$ sono casi particolari di (2):

$x_1 + x_2 = (x_1 + 0 \imath) + (x_2 + 0 \imath) = x_1 + x_2,$

e analogamente per il prodotto

$x_1x_2 = (x_1 + 0 \imath)(x_2 + 0 \imath) = x_1x_2,$

per ogni $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ , completando così la dimostrazione.

In particolare, sebbene $\mathbb{C}$ condivida molte delle proprietà algebriche di $\mathbb{R}$ , esiste una differenza significativa che merita una particolare attenzione.

Definizione 5. Una relazione d’ordine $\mathcal R$ su un insieme $A$ è una relazione binaria² che gode delle seguenti proprietà:

riflessiva: si ha $x \mathcal R x$ per ogni $x \in A$ ;

antisimmetrica: se $x,y \in A$ sono tali che $x \mathcal R y$ e $y \mathcal R x$ , allora $x = y$ ;

transitiva: se $x,y,z\in A$ sono tali che $x \mathcal R R y$ e $y \mathcal R z$ , allora $x \mathcal R z$ .

Inoltre, una relazione d’ordine si dice totale se ogni coppia di elementi $x, y \in A$ è confrontabile, ovvero si ha

$x \mathcal R y \text{ oppure } y \mathcal R x.$

L’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ è totalmente ordinato rispetto alla relazione $\leq$ , ovvero per qualsiasi coppia di elementi $x, y \in \mathbb{R}$ , si ha:

$x \leq y \quad \text{oppure} \quad y \leq x.$

Considerando che $\mathbb{C}$ è un’estensione di campo di $\mathbb{R}$ , sorge spontanea la domanda: è possibile definire un ordine totale $\mathcal{R}$ su $\mathbb{C}$ tale che

$x \mathcal{R} y \iff x \leq y \quad \text{per ogni } x, y \in \mathbb{R}$

e che sia compatibile con le regole di calcolo dei numeri reali, ovvero

$x, y \geq 0 \text{ oppure } x, y \leq 0 \implies 0 \leq xy?$

La risposta è negativa, come si può dimostrare facilmente. Se, per assurdo, esistesse una tale relazione d’ordine totale, allora avremmo:

$\imath \mathcal{R} 0 \quad \text{oppure} \quad 0 \mathcal{R} \imath.$

In entrambi i casi, la compatibilità menzionata sopra rispetto al prodotto porterebbe alla relazione

$0 \mathcal{R} \imath^2 \qquad \text{dove } \imath^2 = -1,$

ma ciò è assurdo poiché $\mathcal{R}$ dovrebbe coincidere con $\leq$ sui numeri reali.

Osservazione 6. Sebbene non sia possibile definire un ordinamento totale su $\mathbb{C}$ che sia coerente con le operazioni di somma e prodotto, è possibile introdurre una relazione di ordine su $\mathbb{C}$ nel modo seguente:

$z < w \iff \mathfrak{Re}(z) < \mathfrak{Re}(w) \text{ oppure } \begin{cases} \mathfrak{Re}(z) = \mathfrak{Re}(w), \\ \mathfrak{Im}(z) < \mathfrak{Im}(w). \end{cases}$

Questa definizione è nota come ordine lessicografico ed è un ordine totale. Analogamente, si può mostrare che

$z < w \iff \mathfrak{Im}(z) < \mathfrak{Im}(w) \text{ oppure } \begin{cases} \mathfrak{Im}(z) = \mathfrak{Im}(w), \\ \mathfrak{Re}(z) < \mathfrak{Re}(w). \end{cases}$

è anch’esso un ordine totale su $\mathbb{C}$ .

$\[\]$

Questi ordinamenti sono utilizzati in contesti specifici, ad esempio quando è ragionevole dare priorità alla parte reale o immaginaria.

Per concludere questa sezione, esaminiamo la motivazione principale che ci ha portato all’introduzione dei numeri complessi: le radici dei polinomi a coefficienti reali.

Osservazione 7. Consideriamo il polinomio $p(x) = x^2 + bx + c$ . Utilizzando la formula risolutiva per le equazioni quadratiche, otteniamo:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4c}}{2}.$

Queste radici sono sempre definite in $\mathbb{C}$ , in quanto, in caso di discriminante negativo, si può ricorrere all’unità immaginaria, scrivendo:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \imath \sqrt{4c - b^2}}{2}.$

$\[\]$

In $\mathbb{C}$ , dunque, tutte le equazioni quadratiche sono risolvibili. Tuttavia, per i polinomi di grado superiore, la questione è meno immediata. Ci sono (almeno) due approcci per dimostrare che in $\mathbb{C}$ ogni polinomio a coefficienti reali ammette almeno una radice:

Si può mostrare che i polinomi irriducibili a coefficienti reali sono solo quelli di grado $\le$ 2. Questa affermazione può essere formalizzata così:
Proposizione 8. Per un polinomio $p(x) = x^n + \sum_{i = 0}^{n-1} a_i x^i$ con coefficienti reali di grado $n \ge 3$ , esiste la decomposizione:

$p(x) = \left( \prod_{j=1}^{k_1} (x-a_j) \right) \left( \prod_{h = 1}^{k_2} (x^2 - b_h x - c_h) \right) \quad \text{con } k_1+2k_2 = n,$

dove $a_j, b_j, c_j \in \mathbb{R}$ per ogni $j = 1,\ldots,k_1$ e $h = 1,\ldots,k_2$ .

Questo risultato implica che tutti i polinomi con coefficienti reali hanno almeno una radice in $\mathbb{C}$ , ma non fornisce indicazioni su quelli a coefficienti complessi.

Si può invece ricorrere al Teorema Fondamentale dell’Algebra, che afferma che ogni polinomio con coefficienti complessi ha almeno una radice in $\mathbb{C}$ .

Questo documento si focalizza sulla seconda strategia (vedi Teorema 41.). Chi fosse interessato alla prima può consultare [2 pp. 44–45].

$\[\]$

Ricordiamo che, se $\mathbb E$ ed $\mathbb F$ sono due campi con $\mathbb{F} \subset\mathbb{E}$ e le operazioni $+$ e $\cdot$ di $\mathbb F$ sono le restrizioni di quelle di $\mathbb E$ , allora diciamo che $\mathbb E$ è una estensione di $\mathbb F$ . ↩

Questo significa che si tratta di un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A \times A$ ; in particolare, la notazione $x \mathcal R y$ è equivalente a dire che $(x,y) \in \mathcal R$ . ↩

Rappresentazione cartesiana.

Dato che l’attribuzione di un numero complesso $z$ equivale all’assegnazione di una coppia di numeri reali $(x, y)$ , emerge una chiara corrispondenza biunivoca tra $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R}^2$ , espressa come:

$\mathbb{R}^2 \ni (x,y) \longmapsto z := x + \imath y \in \mathbb{C}.$

Di conseguenza, è possibile rappresentare i numeri complessi in un piano cartesiano, comunemente definito il piano complesso o piano di Argand-Gauss. In tale piano, l’asse delle ascisse è noto come l’asse reale, mentre l’asse delle ordinate è l’asse immaginario.

Questa rappresentazione facilita la visualizzazione grafica dell’addizione di due numeri complessi, che può essere interpretata come la somma di due vettori mediante la costruzione di un parallelogramma associato:

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In contrasto, la rappresentazione grafica del prodotto di numeri complessi non trova un analogo diretto nel piano $\mathbb{R}^2$ quando si considerano le coordinate cartesiane $(x, y)$ . Tuttavia, adottando la forma trigonometrica dei numeri complessi, che verrà introdotta in seguito, è possibile visualizzare il prodotto in un diverso sistema di coordinate, ovvero quello polare.

Definizione 9. Il coniugato di un numero complesso $z = x + \imath y \in \mathbb{C}$ , denotato con il simbolo $\bar{z}$ , è definito come segue:

$\bar{z} := x - \imath y.$

Nella rappresentazione cartesiana, si osserva che il coniugato $\bar{z}$ di un numero complesso $z$ corrisponde al suo simmetrico rispetto all’asse reale. Inoltre, emergono le seguenti relazioni fondamentali:

(3) $\begin{equation*} \mathfrak{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2} \quad \text{e} \quad \mathfrak{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2 \imath}, \end{equation*}$

da cui si deduce che $z$ appartiene all’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ se, e solo se, $z$ è uguale al suo coniugato $\bar{z}$ . Esploriamo ora alcune proprietà dell’operazione di coniugazione:

Lemma 10. Siano $z, w \in \mathbb{C}$ . Allora valgono le seguenti proprietà:

$(a)$ il coniugio è involutivo, ovvero $\overline{(\bar z)} = z$ ;

$(b)$ $\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}$ ;

$(c)$ $\overline{z\cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$ ;

$(d)$ $\overline{z/w}=\bar{z}/\bar{w}$ .

Dimostrazione. Consideriamo $z = x + \imath y$ . È immediato osservare che:

$\bar{z} = x - \imath y \implies \overline{(\bar{z})} = x + \imath y = z,$

dimostrando così la proprietà $(a)$ .

Prendiamo ora $w = u + \imath v$ . Per la somma di $z$ e $w$ , abbiamo:

$z + w = (x + u) + \imath (y + v) \implies \overline{z + w} = (x + u) - \imath (y + v) = \bar{z} + \bar{w},$

e per il prodotto:

$z \cdot w = (xu - yv) + \imath (xv + yu) \implies \overline{z \cdot w} = (xu - yv) - \imath (xv + yu) = \bar{z} \cdot \bar{w},$

da cui seguono le proprietà $(b)$ e $(c)$ .

Infine, per il rapporto, applichiamo la proprietà $(c)$ e la tecnica di razionalizzazione:

$\frac{z}{w} = \frac{z}{w} \cdot \frac{\bar{w}}{\bar{w}} = \frac{1}{u^2 + v^2} \cdot (z \cdot \bar{w}).$

Analogamente, il rapporto tra i coniugati soddisfa:

$\frac{\bar{z}}{\bar{w}} = \frac{\bar{z}}{\bar{w}} \cdot \frac{w}{w} = \frac{1}{u^2 + v^2} \cdot (\bar{z} \cdot w),$

e, utilizzando la proprietà $(c)$ , concludiamo che:

$\overline{\left(z \cdot \bar{w}\right)} = \bar{z} \cdot w.$

Questo completa la dimostrazione delle proprietà del coniugio dei numeri complessi.

Nonostante, come precedentemente accennato, non esista un ordinamento in $\mathbb{C}$ che sia coerente con le usuali regole algebriche, possiamo comunque quantificare la ‘grandezza’ di un numero complesso. Questo si realizza misurando la sua distanza dall’origine nel piano $\mathbb{R}^2$ :

Definizione 11. (Modulo) Sia $z =x+\imath y \in \mathbb{C}$ . Il modulo di $z$ è la quantità reale data da

(4) $\begin{equation*} |z| := \sqrt{ x^2 + y^2 }. \end{equation*}$

Dalla sua definizione, è evidente che il modulo di un numero complesso $z$ , indicato con $|z|$ , impone dei limiti sia sulla parte reale che su quella immaginaria di $z$ . In particolare, si ha che:

$-|z| \le \mathfrak{Re}(z) \le |z|$

e una relazione analoga vale per $\mathfrak{Im}(z)$ . Inoltre, il modulo di un numero complesso soddisfa le seguenti proprietà:

Lemma 12. Siano $z, w \in \mathbb{C}$ due numeri complessi. Allora valgono le seguenti proprietà:

$({\romannumeral 1})$ $z \bar{z}= |z|^2$ ;

$({\romannumeral 2})$ $|z| \ge 0$ e $|z| = 0$ se e solo se $z = 0$ ;

$({\romannumeral 3})$ $|z|=|\bar{z}|=|-z|$ ;

$({\romannumeral 4})$ $|zw| = |z| |w|$ ;

$({\romannumeral 5})$ vale la disuguaglianza triangolare, ovvero

(5) $\begin{equation*} |z+w| \le |z|+|w|; \end{equation*}$

$({\romannumeral 6})$ $| |z|-|w| | \le |z- w|$ ;

$({\romannumeral 7})$ se $z \neq 0$ , allora $|w/z|=|w|/|z|$ .

Dimostrazione. Le proprietà $({\romannumeral 1})$ – $({\romannumeral 4})$ derivano direttamente dalla definizione di modulo (4), quindi consideriamo la disuguaglianza triangolare. Sapendo che

$\bar{z} w + z\bar{w} = 2\mathfrak{Re}(z\bar{w}) \leq 2 |z \bar{w}| = 2 |z||w|,$

possiamo stimare il quadrato del modulo della somma come segue

$|z + w|^2 = |z|^2 + |w|^2 + z \bar{w} + \bar{z}w \leq |z|^2 + |w|^2 + 2 |z||w| = (|z| + |w|)^2,$

ottenendo così la disuguaglianza triangolare.

Per dimostrare la proprietà $({\romannumeral 6})$ , esprimiamo $z$ e $w$ come:

$z = w + (z - w) \quad \text{e} \quad w = z + (w - z),$

e applicando la disuguaglianza triangolare si ottiene:

$|z| = |w + (z - w)| \leq |w| + |z - w| \quad \text{e} \quad |w| = |z + (w - z)| \leq |z| + |z - w|.$

Spostando $|w|$ e $|z|$ a sinistra, si conclude che:

$|z| - |w| \leq |z - w| \quad \text{e} \quad |w| - |z| \leq |z - w| \implies ||z| - |w|| \leq |z - w|.$

Infine, per $z \neq 0$ , possiamo dimostrare che:

$\left| \frac{1}{z} \right|^2 = \frac{1}{z} \frac{1}{\bar{z}} = \frac{1}{z\bar{z}} = \frac{1}{|z|^2} \implies \left| \frac{1}{z} \right| = \frac{1}{|z|},$

da cui segue che:

$\frac{w}{z} = w \cdot \frac{1}{z},$

e applicando la proprietà $({\romannumeral 4})$ , si completa la dimostrazione della proprietà $({\romannumeral 7})$ .

Rappresentazione trigonometrica.

Ogni punto $(x, y)$ in $\mathbb{R}^2$ , escluso l’origine $(0, 0)$ , può essere univocamente descritto attraverso la sua distanza dall’origine, ossia il modulo, e l’angolo $\vartheta$ che esso forma con l’asse delle ascisse. Applicando il teorema di Pitagora, possiamo esprimere le coordinate cartesiane in termini di funzioni trigonometriche:

$\cos \vartheta = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \quad \text{e} \quad \sin \vartheta = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$

Data la corrispondenza biunivoca tra $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R}^2$ precedentemente illustrata, questa stessa caratterizzazione è applicabile ai numeri complessi. Ciò ci porta ad introdurre il concetto di argomento (principale) di un numero complesso:

Definizione 13. Sia $z \neq 0$ un numero complesso. L’argomento principale di $z$ , denotato $\text{Arg }z$ , è l’unica soluzione dell’equazione reale

$\cos \left(\text{Arg }z\right) = \frac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|}, \quad \text{con } \text{Arg }z \in [-\pi,\pi).$

L’argomento di $z$ è, invece, una funzione a più valori¹ (vedi la sezione “Una breve introduzione alle funzioni a più valori” per più dettagli) che è così definita:

$\arg z = \text{Arg }z + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Di conseguenza, applicando il teorema di Pitagora, possiamo esprimere un qualsiasi numero complesso $z \neq 0$ in forma trigonometrica:

(6) $\begin{equation*} z = \rho (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta), \end{equation*}$

dove $\rho = |z|$ è il modulo di $z$ e $\vartheta = \text{Arg }z$ è l’argomento di $z$ . La transizione tra la rappresentazione cartesiana e quella trigonometrica (6) può essere realizzata mediante le seguenti trasformazioni:

$\begin{cases} x= \rho \cos \vartheta \\ y = \rho \sin \vartheta \end{cases} \quad \text{e} \qquad \begin{cases} \rho = \sqrt{x^2+y^2} \\ \cos \vartheta = x / \rho \\ \sin \vartheta = y / \rho \end{cases}$

con la convenzione che $\vartheta \in [-\pi, \pi)$ .

Inoltre, dati due numeri complessi $z, w \in \mathbb{C}$ , il loro prodotto si determina come segue:

(7) $\begin{equation*}\begin{aligned} zw & = |z| (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta) |w| (\cos \alpha + \imath \sin \alpha) \\ & = |z||w| \left[ \left( \cos \vartheta \cos \alpha - \sin \vartheta \sin \alpha \right) + \imath \left( \cos \vartheta \sin \alpha + \sin \vartheta \cos \alpha \right) \right] \\ & = |z||w| \left[ \cos(\vartheta + \alpha)+ \imath \sin(\vartheta + \alpha) \right] \end{aligned} \end{equation*}$

quindi, dal punto di vista grafico, il prodotto di due numeri complessi risulta avere un modulo pari al prodotto dei moduli di $z$ e $w$ , e un argomento uguale alla somma degli argomenti di $z$ e $w$ :

$\arg (zw) = \arg z + \arg w + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Queste e altre proprietà dell’argomento, inclusa la discussione sul suo valore principale, sono approfondite nella sezione “Alcune proprietà dell’argomento”.

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$\text{Figura 1: La rappresentazione polare dei complessi}$

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Proposizione 14. (Formula di De Moivre) Sia $z \in \mathbb{C}$ ed $n \in \mathbb{Z}$ . Allora

(8) $\begin{equation*} z^n = \rho^n ( \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta), \end{equation*}$

dove $\rho = |z|$ e $\vartheta = \text{Arg }z$ .

Dimostrazione. Consideriamo inizialmente il caso $n \ge 2$ e applichiamo il principio di induzione matematica:

Passo Base: Applichiamo la formula (7) con $z=w$ :
$z^2 = |z|^2 (\cos 2\vartheta + \imath \sin 2\vartheta).$

Passo Induttivo: Supponiamo che (8) valga per $z^{n-1}$ e dimostriamola per $z^n$ . Usando nuovamente (7) con $w = z^{n-1}$ , otteniamo:
$\begin{aligned*} z^n &= z^{n-1} z = |z|^{n-1} (\cos(n-1)\vartheta + \imath \sin(n-1)\vartheta) |z| (\cos\vartheta + \imath \sin\vartheta) \\ &= |z|^n (\cos n\vartheta + \imath \sin n\vartheta), \end{aligned*}$

completando così il passo induttivo e la dimostrazione per il principio di induzione.

Per $n < 0$ , la dimostrazione segue dalla catena di uguaglianze:

$\begin{aligned} (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta)^n &= \frac{1}{(\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta)^{-n}}= \\ &= \frac{1}{\cos(-n \vartheta) + \imath \sin(-n \vartheta)} \cdot \frac{\cos(-n \vartheta) - \imath \sin(-n \vartheta)}{\cos(-n \vartheta) - \imath \sin(-n \vartheta)}= \\ &= \frac{\cos(-n \vartheta) - \imath \sin(-n \vartheta)}{\cos^2(-n \vartheta) + \sin^2(-n \vartheta)}= \\ &= \cos(-n \vartheta) - \imath \sin(-n \vartheta). \end{aligned}$

Sfruttando la parità del coseno e la disparità del seno, otteniamo:

$\cos(-n \vartheta) - \imath \sin(-n \vartheta) = \cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta,$

concludendo la dimostrazione.

Osservazione 15. In generale, se $z = \rho( \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta)$ e $w \in \mathbb C$ è un numero complesso arbitrario, allora l’insieme di possibili valori è:

$\begin{aligned} z^{w} & =\rho^{w}\left(\cos \vartheta+ \imath \sin \vartheta \right)^{w}= \\ & = \left\{ \rho^{w}\cos(\vartheta w +2\pi k w)+\imath \rho^{w}\sin(\vartheta w+2\pi k w) \: : \: k\in \mathbb {Z} \right\}. \end{aligned}$

D’altra parte, la formula di de Moivre ci da

$\rho^{w}(\cos \vartheta w+ \imath \sin \vartheta w),$

che corrisponde ad un solo valore di questo insieme, ovvero quello ottenuto per $k=0$ . Notiamo che nel caso in cui l’esponente $w$ non sia un intero, $z^w$ è una funzione a più valori. Questo accade, ad esempio, con esponente razionale. Se $w = 1/2$ , la formula generalizzata ci da il valore

$|z|^{1/2} ( \cos \vartheta/2 + \imath \sin \vartheta/2).$

Tuttavia, un numero complesso diverso da zero ha due radici, perciò il termine a destra va inteso come un elemento dell’insieme:

$\cos \vartheta/2 + \imath \sin \vartheta/2 \in \{ \cos \vartheta/2 + \imath \sin \vartheta/2, \cos (\vartheta/2 - \pi) + \imath \sin (\vartheta/2 - \pi) \}.$

La dimostrazione, almeno nel caso razionale, si può ottenere come diretta conseguenza di De Moivre. Infatti, supponiamo $w = p/q$ ed osserviamo che

$z^{p/q} = |z|^{p/q} \left( \cos p \vartheta + \imath \sin p \vartheta \right)^{1/q}$

segue immediatamente applicando (8) a $z^{1/q}$ elevato alla $p$ . A questo punto, se introduciamo il numero complesso

$\tilde z := \cos p \vartheta + \imath \sin p \vartheta,$

la dimostrazione sarà completa una volta trovate le radici $q$ -esime di $\tilde z$ .

Quest’ultimo passo, e la spiegazione della natura multivalore della funzione con esponente non intero (ad esempio, $q$ valori distinti se $w=p/q$ ), è approfondito nella sezione seguente.

$\[\]$

In letteratura si usa spesso anche il termine funzione multivalore. ↩

Radici n-esime dei numeri complessi.

Consideriamo $w \in \mathbb{C}$ e vogliamo determinare tutte le soluzioni dell’equazione:

$z^n = w, \qquad n \ge 1.$

Nel caso $w = 0$ , l’unica soluzione è $z=0$ con molteplicità $n$ . Focalizziamoci sul caso più interessante, $w \neq 0$ , e passiamo alla rappresentazione trigonometrica:

$z = \rho (\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta) \quad \text{e} \quad w = r (\cos \alpha + \imath \sin \alpha),$

dove $\alpha \in [-\pi, \pi)$ e $\vartheta$ è l’angolo da determinare. Applicando la formula di De Moivre (8), l’equazione $z^n = w$ si trasforma in:

$\rho^n (\cos n \vartheta + \imath \sin n \vartheta) = r (\cos \alpha + \imath \sin \alpha),$

equivalente al sistema di equazioni reali:

$\begin{cases} \rho^n = r, \\ n \vartheta = \alpha + 2\pi k, & \vartheta \in [-\pi, \pi). \end{cases}$

La prima equazione ha come unica soluzione $\rho = r^{1/n}$ , mentre la seconda ammette $n$ soluzioni distinte in $[-\pi, \pi)$ , date da:

(9) $\begin{equation*} \vartheta_k = \frac{\alpha + 2\pi k}{n}, \quad k = -\ell_1, \ldots, \ell_2, \end{equation*}$

dove $\ell_1, \ell_2 \in \mathbb{N}$ sono tali che $\ell_1 + \ell_2 + 1 = n$ e soddisfano:

$\frac{\alpha - 2\ell_1\pi}{n} \ge -\pi \quad \text{e} \quad \frac{\alpha + 2\ell_2\pi}{n} < \pi.$

I valori di $\ell_1$ ed $\ell_2$ dipendono da $\alpha$ e assicurano che tutti i valori di $\vartheta$ restino nell’intervallo dell’argomento principale $[-\pi, \pi)$ .

Osservazione 16. L’intervallo $[-\pi, \pi)$ per l’argomento principale è una scelta arbitraria. Alternativamente, nella risoluzione di un’equazione può essere utile considerare:

$\vartheta_k = \frac{\alpha + 2\pi k}{n}, \quad k = 0, \ldots, n-1,$

per identificare tutte le soluzioni, che potrebbero non rientrare in $[-\pi, \pi)$ , ma si trovano comunque in un intervallo di ampiezza $2\pi$ .

$\[\]$

Tornando alla nostra discussione, abbiamo dimostrato che esistono esattamente $n$ radici $n$ -esime distinte di $w$ , espresse come:

$z_k = r^{1/n} \left(\cos \frac{\alpha + 2\pi k}{n} + \imath \sin \frac{\alpha + 2\pi k}{n}\right), \quad k = -\ell_1, \ldots, \ell_2.$

Questi numeri, $z_{-\ell_1}, \ldots, z_{\ell_2}$ , si posizionano sulla circonferenza di raggio $r^{1/n}$ , formando gli angoli di $2\pi/n$ l’uno dall’altro, e costituiscono i vertici di un $n$ -poligono inscritto nella suddetta circonferenza. Ad esempio, graficamente, le soluzioni di $z^6 = 1$ sono rappresentate come segue:

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Una breve introduzione alle funzioni a più valori.

Prima di approfondire l’argomento di un numero complesso, introduciamo brevemente la nozione di funzione a più valori.

Definizione 17. Definiamo $f: X \to Y$ come una funzione a più valori se per ogni $x \in X$ abbiamo

$f(x) \in \mathcal{P}(Y),$

dove $\mathcal{P}(Y)$ rappresenta l’insieme delle parti di $Y$ . In altre parole, ogni funzione a più valori $f$ corrisponde a una funzione in senso classico

$f : X \to \mathcal{P}(Y).$

Osservazione 18. Il termine “funzione a più valori” è leggermente ambiguo poiché “funzione” indica generalmente una relazione che associa ogni elemento del dominio a un solo elemento del codominio.

$\[\]$

Osservazione 19. Se $f, g : X \to Y$ sono funzioni a più valori, scrivere

$f(x) = g(x)$

significa che i sottoinsiemi $f(x)$ e $g(x)$ del codominio coincidono.

$\[\]$

Esempio 1. La radice quadrata definita sui reali non negativi, $\sqrt{\cdot} : \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}$ , è una funzione a più valori. Infatti, per ogni $x \in \mathbb{R}$ positivo, esistono $y, -y \in \mathbb{R}$ tali che

$y^2 = (-y)^2 = x.$

La radice quadrata associa a ciascun numero positivo due valori e allo zero un solo valore. Le due restrizioni

$\sqrt{\cdot} : \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}_{\ge 0} \quad \text{e} \quad \sqrt{\cdot} : \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}_{\le 0}$

sono funzioni classiche e possono essere scelte come valore principale della radice.

$\[\]$

Esempio 2. La radice $n$ -esima in $\mathbb{C}$ è un altro esempio di funzione a più valori. Abbiamo visto che

$z^n = w$

ha $n$ soluzioni distinte per $z$ , quindi

$\sqrt[n]{\cdot} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$

associa a ogni $w \in \mathbb{C}$ non nullo $n$ numeri complessi distinti, mentre

$\sqrt[n]{0} = 0,$

associa a $0$ un unico valore.

Si può verificare che $z = 0$ è un punto di ramificazione per la radice $n$ -esima, ma l’approfondimento di questo argomento va oltre lo scopo di questo documento (si veda [3] per maggiori dettagli).

$\[\]$

Esempio 3. L’argomento di un numero complesso non nullo è una funzione a più valori perché l’equazione

$\cos(\arg z) = \frac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|}$

ha infinite soluzioni. Ad ogni $z \neq 0$ vengono quindi associati infiniti valori, ovvero

(10) $\begin{equation*} \arg z = \{ \text{Arg }z + 2k\pi : k \in \mathbb{Z} \}. \end{equation*}$

$\[\]$

Per concludere la sezione, notiamo che da una funzione complessa a più valori si può definire una funzione classica scegliendo un valore principale:

$f(z) = \{ z_1, z_2, \ldots \} \implies F(z) := z_1.$

Tuttavia, come vedremo, questa scelta può portare a ambiguità inerenti e difficili da evitare.

Esempio 4. La radice $n$ -esima presenta problemi nel definire un valore principale. Per maggiori dettagli si rimanda a questa discussione.

$\[\]$

Esempio 5. Il valore principale dell’argomento, introdotto in precedenza, è una funzione classica definita come:

$\cos \text{Arg }z = \frac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|}, \quad \text{Arg }z \in [-\pi, \pi).$

Questa scelta è arbitraria, poiché si potrebbe altrettanto scegliere un intervallo diverso di lunghezza $2\pi$ , come ad esempio

$\cos \widetilde{\text{Arg }} z = \frac{\mathfrak{Re}(z)}{|z|}, \quad \widetilde{\text{Arg }} z \in [0, 2\pi),$

ottenendo una funzione con proprietà simili a $\text{Arg }z$ .

$\[\]$

Nella prossima sezione, esploreremo i vantaggi e gli svantaggi nell’utilizzare il valore principale. Ad esempio, una proprietà semplice come

$\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2$

non vale se sostituiamo $\arg(\cdot)$ con $\text{Arg }(\cdot)$ , a meno di inserire un fattore correttivo che tiene conto dell’intervallo (arbitrario) scelto per il valore principale.

Osservazione 20. Il problema si ripresenta anche con la parte principale del logaritmo complesso dal momento che questa viene scelta per essere compatibile con l’argomento principale. Per maggiori dettagli si veda la sezione “Logaritmo complesso”.

Alcune proprietà dell'argomento.

In precedenza, abbiamo introdotto l’argomento di un numero complesso, denotato con $\arg z$ , che è una funzione a più valori definita in (10). Notiamo che questa può anche essere caratterizzata come segue:

$\vartheta \in \arg z \iff z = |z| [\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta].$

Inoltre, il valore principale dell’argomento, indicato con $\text{Arg } z$ , è definito (in maniera del tutto arbitraria) come l’unico che appartiene all’intervallo:

$\text{Arg } z \in [-\pi, \pi).$

Di conseguenza, $\arg z$ si può esprimere in termini del suo valore principale:

(11) $\begin{equation*} \arg z = \{ \text{Arg } z + 2k\pi : k \in \mathbb{Z} \}, \end{equation*}$

da cui possiamo “invertire” la formula per ottenere il valore principale a partire da qualsiasi elemento di $\arg z$ :

$\text{Arg } z = \vartheta + \left\lfloor \frac{1}{2} - \frac{\vartheta}{2\pi} \right\rfloor \cdot 2\pi, \quad \text{per ogni } \vartheta \in \arg z.$

La funzione $\lfloor \cdot \rfloor : \mathbb{R} \to \mathbb{Z}$ associa ad ogni numero reale l’intero più grande minore o uguale a esso, ovvero $\lfloor x \rfloor$ è tale che:

$x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x.$

Si potrebbe pensare che il valore principale dell’argomento di un prodotto o rapporto di numeri complessi rispetti l’uguaglianza:

(12) $\begin{equation*} {\color{red} \text{Arg }(z_1 z_2) = \text{Arg }z_1 + \text{Arg }z_2}, \end{equation*}$

tuttavia, ciò non è sempre vero perché la somma degli angoli può non appartenere all’intervallo $[-\pi, \pi)$ .

Esempio 6. Consideriamo due numeri complessi

$z_1 = 3\left( \cos \frac{3}{2}\pi + \imath \sin \frac{3}{2}\pi \right) \quad \text{e} \quad z_2 = \frac{1}{3}\left( \cos \pi + \imath \sin \pi \right).$

Il loro prodotto è

$z_1 z_2 = \cos\left( \frac{3}{2}\pi + \pi \right) + \imath \sin\left( \frac{3}{2}\pi + \pi \right),$

ma l’angolo $(3/2 + 1)\pi$ non appartiene a $[-\pi, \pi)$ . Di conseguenza,

$\text{Arg }(z_1 z_2) \neq \text{Arg }z_1 + \text{Arg }z_2.$

Tuttavia, possiamo aggiungere un fattore correttivo per rendere l’uguaglianza valida:

(13) $\begin{equation*} N_\pm(z_1, z_2) := \begin{cases} -1 & \text{se } \text{Arg }z_1 \pm \text{Arg }z_2 > \pi, \\ 0 & \text{se } -\pi < \text{Arg }z_1 \pm \text{Arg }z_2 \le \pi, \\ 1 & \text{se } \text{Arg }z_1 \pm \text{Arg }z_2 \le -\pi, \end{cases} \end{equation*}$

portando alle seguenti relazioni corrette:

(14) $\begin{equation*} \begin{aligned} & \text{Arg }(z_1 z_2) = \text{Arg }z_1 + \text{Arg }z_2 + 2\pi N_+, \\ & \text{Arg }(z_1 / z_2) = \text{Arg }z_1 - \text{Arg }z_2 + 2\pi N_-. \end{aligned} \end{equation*}$

Esempio 7. Per $z_1 = 1$ e $z_2 = z$ , il valore principale dell’argomento di $1/z$ è dato da

$\text{Arg }(1/z) = \text{Arg } \bar{z} = \begin{cases} \text{Arg } z & \text{se } \mathfrak{Im}(z) = 0, \\ -\text{Arg } z & \text{se } \mathfrak{Im}(z) \neq 0. \end{cases}$

La funzione a più valori $\arg z$ mostra un comportamento più “naturale” rispetto a prodotto, rapporto e potenze, rispetto al valore principale. Ad esempio, per $z_1, z_2 \neq 0$ , abbiamo:

$\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2,$

$\arg(z_1 / z_2) = \arg z_1 - \arg z_2,$

$\arg(1/z) = \arg \bar z = -\arg z.$

Queste sono da intendersi come uguaglianze tra insiemi. Dimostriamo un caso pratico:

$\[\]$

Esempio 8. Dati $z_1, z_2 \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ , mostriamo che

$\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2.$

Il termine di destra è

$\arg z_1 + \arg z_2 = \{ \arg z_1 + \arg z_2 + 2(k + h)\pi : k, h \in \mathbb{Z} \}.$

Per il termine di sinistra, applichiamo (11) e (14) ottenendo:

$\arg(z_1 z_2) = \{ \text{Arg } z_1 + \text{Arg }z_2 + 2(k + N_+)\pi : k \in \mathbb{Z} \}.$

La differenza $2N_+\pi$ è una semplice traslazione e, poiché $k$ varia in $\mathbb{Z}$ , possiamo riscrivere:

$\arg(z_1 z_2) = \{ \text{Arg }z_1 + \text{Arg }z_2 + 2\ell\pi : \ell \in \mathbb{Z} \},$

con $\ell = k + N_+$ . L’equivalenza delle espressioni è data dal fatto che per ogni scelta di $k, h \in \mathbb{Z}$ , esiste

$\ell = k + h.$

$\[\]$

Bisogna prestare attenzione quando si tratta di funzioni a più valori: identità apparentemente naturali possono non essere valide. Ad esempio, le seguenti uguaglianze sono false:

(15) $\begin{equation*} \arg z + \arg z \neq 2 \arg z, \quad \arg z - \arg z \neq 0.\end{equation*}$

In generale, per ogni $n \in \mathbb{N}$ , si ha:

(16) $\begin{equation*}\arg z + \cdots + \arg z = \arg z^n \neq n \arg z.\end{equation*}$

Per concludere, dimostriamo che le uguaglianze (15) sono effettivamente false e deduciamo (16).

Dimostrazione. Per mostrare che

$\arg z - \arg z \neq \{0\},$

consideriamo l’insieme

$\arg z - \arg z = \{ \text{Arg }z + 2k\pi - (\text{Arg }z + 2h\pi) : h, k \in \mathbb{Z} \},$

che semplificato diventa

$\arg z - \arg z = \{ 2(k - h)\pi : h, k \in \mathbb{Z} \}.$

Ogni scelta di $h \neq k$ produce un elemento non nullo, quindi

$\{0\} \subset \arg z - \arg z$

è un’inclusione stretta per ogni $z \neq 0$ .

Per dimostrare (16), iniziamo con $n = 2$ . Per ogni $z \in \mathbb{C}$ diverso da zero, vogliamo mostrare che

$\arg z + \arg z \neq 2 \arg z.$

L’insieme a sinistra è dato da

$\arg z + \arg z = \left\{ 2 \text{Arg }z + 2(k+h)\pi \: :\: k,h \in \mathbb{Z}\right\},$

mentre quello a destra

$2 \arg z = \left\{ 2 \text{Arg } z + 4 \ell \pi \: : \: \ell \in \mathbb{Z}\right\}.$

Per verificare che questi due insiemi sono diversi, ci basta trovare un elemento che appartiene ad uno ma non all’altro. Ad esempio, si ha

$2\text{Arg }z + 2 \pi \in \arg z + \arg z$

scegliendo $k = 1$ ed $h = 0$ , ma non appartiene a $2 \arg z$ . Questo mostra, in particolare, che vale l’inclusione stretta

$2 \arg z \subset \arg z + \arg z \qquad \text{per ogni } z \in \mathbb C \setminus \{0\}.$

Il caso $n \ge 2$ si dimostra esattamente allo stesso modo. Infatti, si ha

$\arg z + \cdots + \arg z = \left\{ n \text{Arg }z + 2(k_1+ \cdots + k_n)\pi \: :\: k_1,\ldots,k_n \in \mathbb{Z}\right\}$

e, analogamente, il termine a destra può essere scritto come segue:

$n \arg z = \left\{ n \text{Arg }z + (2n) \ell \pi \: : \: \ell \in \mathbb Z \right\}.$

La scelta $k_1=1$ e $k_2 = \cdots = k_n = 0$ ci dice che

$n \text{Arg }z + 2 \pi \in \arg z + \cdots + \arg z,$

mentre non appartiene $n \arg z$ dato che $2\pi$ non è un multiplo di $2n \pi$ per $n \neq 1$ . In particolare, abbiamo mostrato l’inclusione stretta

$n \arg z \subset \arg z + \cdots + \arg z = \arg z^n \qquad \text{per ogni } z \in \mathbb C \setminus \{0\}.$

Il logaritmo, l’esponenziale e la potenza generalizzata

Introduzione.

In questa sezione, esaminiamo come estendere le funzioni esponenziale, logaritmica e potenziale, originariamente definite nel contesto dei numeri reali, al dominio dei numeri complessi. Analizzeremo anche in che misura le loro proprietà, valide per i reali, si applicano nel campo dei complessi.

Esempio 9. La funzione potenza, con esponente arbitrario, è distributiva rispetto al prodotto nei reali positivi¹, cioè:

$(xy)^a = x^a y^a \quad \text{per ogni } x, y > 0 \text{ e per ogni } a \in \mathbb{R}.$

Nonostante questa proprietà appaia naturale in $\mathbb{R}$ , non si verifica nel campo dei numeri complessi. Ad esempio, se prendiamo:

$x = y = -1 \qquad \text{e} \qquad a = \frac{1}{2},$

abbiamo che $xy=1$ e quindi:

$1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} \stackrel{?}{=} \sqrt{-1} \sqrt{-1} = \imath^2 = -1.$

Questo dimostra che il passaggio $\stackrel{?}{=}$ non è generalmente valido in $\mathbb{C}$ . Vedremo che l’introduzione di un fattore correttivo permette di recuperare la distributività.

$\[\]$

Esempio 10. Consideriamo un numero reale $x > 0$ . Il logaritmo in questo contesto soddisfa la proprietà:

$\log x = \frac{1}{2} \log (x^2).$

Supponendo di estendere il concetto di logaritmo a $\log z$ per $z \in \mathbb{C}$ diverso da zero, dovremmo avere:

$\log z \stackrel{?}{=} \frac{1}{2} \log (z^2) = \frac{1}{2} \log \left[(-z)^2\right] \stackrel{?}{=} \log(-z).$

Tuttavia, questa uguaglianza non è valida perché l’affermazione:

$\log z = \log(-z)$

è falsa. Il problema sottostante è più sottile di quello nell’esempio precedente e verrà discusso in dettaglio nella sezione “Logaritmo complesso”.

$\[\]$

Si limita ai reali non negativi perché, ad esempio, la radice quadrata di un numero negativo non è definita in $\mathbb{R}$ . ↩

Esponenziale complesso e identità di Eulero.

Nel contesto dei numeri complessi, la funzione esponenziale è comunemente definita tramite la sua serie di potenze corrispondente. Per procedere, è essenziale stabilire prima il concetto di convergenza in questo ambito.

Successivamente, esamineremo alcune proprietà fondamentali delle serie a valori complessi, gettando le basi per comprendere in modo più approfondito la funzione esponenziale complessa.

Definizione 21. Una serie complessa è una serie della forma

(17) $\begin{equation*} \sum_{n \in \mathbb N} c_n, \end{equation*}$

dove $c_n \in \mathbb C$ per ogni $n$ . Inoltre, se $c_n = a_n + \imath b_n$ , diciamo che le due serie a valori reali

$\sum_{n \in \mathbb N} a_n \qquad \text{e} \qquad \sum_{n \in \mathbb N} b_n$

sono, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria della serie (17).

Definizione 22. La serie complessa (17) converge se e soltanto se convergono parte reale e parte immaginaria. In tal caso, se

$\sum_{n \in \mathbb N} a_n = A \qquad \text{e} \qquad \sum_{n \in \mathbb N} b_n = B,$

allora la somma soddisfa la relazione:

$\sum_{n \in \mathbb N} c_n =A + \imath B.$

Diciamo inoltre che (17) converge assolutamente se converge la serie (a valori reali) data dai moduli dei $c_n$ , ovvero se

$\sum_{n \in \mathbb N} |c_n| < + \infty.$

Proposizione 23. Se (17) converge assoltuamente, allora converge.

Dimostrazione. Basta osservare che per definizione $|c_n|^2 = |a_n|^2 + |b_n|^2$ , quindi si può applicare il criterio del confronto e concludere che

$\sum_{n \in \mathbb N} |a_n| \le \sum_{n \in \mathbb N} |c_n| < + \infty \quad \text{e} \quad \sum_{n \in \mathbb N} |b_n| < \sum_{n \in \mathbb N} |c_n| < + \infty.$

Tuttavia per le serie a valori reali sappiamo già che convergenza assoluta implica convergenza, concludendo così la dimostrazione.

$\[\]$

Definizione 24. Una serie di potenze complessa centrata in $a \in \mathbb C$ è una espressione della forma

(18) $\begin{equation*} \sum_{n \in \mathbb N} c_n (z - a)^n, \end{equation*}$

dove $c_n \in \mathbb C$ per ogni $n \in \mathbb N$ . Inoltre, questa converge in un dato punto $z_0 \in \mathbb C$ se la serie complessa

$\sum_{n \in \mathbb N} c_n (z_0 - a)^n$

converge nel senso della Definizione 22.

Teorema 25. Data una serie di potenze complessa centrata in zero, ovvero

$\sum_{n \in \mathbb N} c_n z^n,$

una ed una sola delle seguenti affermazioni è verificata:

$(a)$ la serie converge per $z=0$ e diverge per ogni altro elemento di $\mathbb C$ ;

$(b)$ la serie converge per ogni $z \in \mathbb C$ ;

$(c)$ esiste $R > 0$ tale che la serie

converge assolutamente per $|z|<R$ ;

diverge per $|z|>R$ .

Nel caso (c) diciamo che $R$ è il raggio di convergenza della serie di potenze complesse.

Dimostrazione. Il lettore può consultare un qualsiasi libro di analisi complessa, ad esempio [1] o [4].

$\[\]$

La funzione esponenziale nel contesto complesso è definita attraverso la sua serie di potenze corrispondente. Per ogni $z \in \mathbb{C}$ , la definiamo come:

(19) $\begin{equation*} \mathrm{e}^z := \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{z^k}{k!}. \end{equation*}$

Questa serie, centrata in zero, converge assolutamente per ogni $z \in \mathbb{C}$ . Utilizzando il fatto che $|z^k| = |z|^k$ , possiamo osservare che:

$\sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{|z^k|}{k!} = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{|z|^k}{k!} = \mathrm{e}^{|z|},$

dove l’ultima uguaglianza è giustificata dalla convergenza assoluta della serie di potenze dell’esponenziale in $\mathbb{R}$ .

Dato il nostro interesse nel prodotto tra funzioni esponenziali, è utile a questo punto richiamare la definizione del prodotto di Cauchy per le serie di potenze:

Definizione 26. Siano $\sum_{n \in \mathbb N} c_n$ e $\sum_{n \in \mathbb N} \tilde{c}_n$ due serie complesse. Il prodotto di Cauchy, generalmente denotato come

$\left(\sum_{n \in \mathbb N} c_n \right) \left( \sum_{n \in \mathbb N} \tilde{c}_n \right),$

è la serie $\sum_{n \in \mathbb N} d_n$ , dove

$d_n = \sum_{k = 0}^n c_k \tilde{c}_{n-k} \qquad \text{per ogni } n \in \mathbb N.$

Osservazione 27. Se entrambe le serie convergono assolutamente, si verifica che lo stesso è vero anche per il corrispondente prodotto di Cauchy.

$\[\]$

Proposizione 28. Per ogni $z_1,z_2 \in \mathbb C$ si ha

$\mathrm{e}^{z_1+ z_2} = {e}^{z_1} \mathrm{e}^{z_2}.$

Dimostrazione. Per definizione, il termine a sinistra è dato da

$\mathrm{e}^{z_1+z_2} = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{ (z_1+z_2)^n }{n!},$

perciò possiamo sfruttare lo sviluppo binomiale

$(z_1+z_2)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} z_1^k z_2^{n-k}$

per ottenere la seguente uguaglianza:

$\mathrm{e}^{z_1+z_2} = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \left[ \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} z_1^k z_2^{n-k} \right].$

Il termine a destra è, invece, un prodotto di Cauchy; dalla definizione segue che

$\mathrm{e}^{z_1} \mathrm{e}^{z_2} = \sum_{n =0}^{+ \infty} \sum_{k = 0}^n \frac{z_1^k}{k!} \frac{z_2^{n-k}}{(n-k)!}.$

Si noti che l’uguaglianza è ben definita dato che $\mathrm{e}^z$ è assolutamente convergente (come mostrato sopra) per ogni $z \in \mathbb C$ e il prodotto di Cauchy lo è in virtù della Osservazione 27. Perciò, per concludere la dimostrazione, ci basta far vedere che vale l’uguaglianza:

$\frac{1}{k!} \frac{1}{(n-k)!} = \frac{1}{n!} \binom{n}{k} \qquad \text{per ogni } n \in \mathbb N \text{ e per ogni } k \le n.$

Tuttavia quest’ultima è una banale conseguenza della definizione di binomiale:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}.$

$\[\]$

Ora possiamo dimostrare che ogni numero complesso, a eccezione dello zero, può essere rappresentato in forma esponenziale.

Teorema 29. (Formula di Eulero) Sia $\vartheta \in \mathbb{R}$ . Allora si ha

(20) $\begin{equation*} \mathrm{e}^{\imath \vartheta} = \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta. \end{equation*}$

Questa dimostrazione richiede la comprensione di alcuni concetti fondamentali legati alle serie di Taylor, in particolare la consapevolezza che le funzioni

$\mathrm{e}^x, \quad \cos x, \quad \sin x$

sono analitiche sull’intero dominio dei numeri reali $\mathbb{R}$ . La dimostrazione dettagliata, insieme ad alcuni approfondimenti, si può trovare su questa dispensa. (vedi Sezione 2.4). In particolare, si dimostra che

$\cos x = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} \quad \text{e} \quad \sin x = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}.$

Per i fini di questo documento, è anche possibile accettare la formula di Eulero (20) come definizione dell’esponenziale di un numero puramente immaginario, saltando la dimostrazione tecnica che segue.

Dimostrazione di (20) Consideriamo la serie di Taylor della funzione esponenziale centrata in zero:

$\mathrm{e}^x = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!}.$

Analogamente, le funzioni trigonometriche $\cos x$ e $\sin x$ si sviluppano in serie di Taylor in zero come

$\cos x = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} \quad \text{e} \quad \sin x = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}.$

E’ immediato verificare che le tre serie di potenze finora introdotte convergono per ogni $x \in \mathbb{R}$ . A questo punto (vedi Definizione 22) è sufficiente mostrare che

$\sum_{k=0}^{+\infty} {(-1)^k\frac{\vartheta^{2k}}{(2k)!}} \qquad \text{e} \qquad \sum_{k=0}^{+\infty} {(-1)^k\frac{\vartheta^{2k+1}}{(2k+1)!}}$

sono, rispettivamente, parte reale e immaginaria della serie complessa $\mathrm{e}^{\imath \vartheta}$ per concludere che vale l’identità di Eulero

$\mathrm{e}^{\imath \vartheta} = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k {\frac{\vartheta^{2k}}{(2k)!}} + \imath \sum_{k=0}^{+\infty} {(-1)^k \frac{\vartheta^{2k+1}}{(2k+1)!}} = \cos \vartheta + \imath \sin \vartheta.$

Per definizione, l’esponenziale di un numero puramente immaginario è dato dalla corrispondente serie

$\mathrm{e}^{\imath \vartheta} = \sum_{k=0}^{+\infty} {\frac{(\imath \vartheta)^{k}}{k!}},$

perciò, ricordando che le potenze pari dell’unità immaginaria sono reali, è immediato verificare che

$\mathfrak{Re} \left[ \mathrm{e}^{\imath \vartheta} \right] = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k \frac{\vartheta^{2k}}{(2k)!} = \cos \vartheta.$

Analogamente, le potenze dispari sono immaginarie ( $\imath^3=-\imath$ ) e dunque

$\mathfrak{Im} \left[ \mathrm{e}^{\imath \vartheta} \right] = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k \frac{\vartheta^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sin \vartheta,$

concludendo così la dimostrazione di (20).

$\[\]$

Osservazione 30. Non è necessario estendere le definizioni di seno e coseno ai complessi per utilizzare la formula di Eulero. Tuttavia, è interessante notare che le serie complesse

$\cos z = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)!} \qquad \text{e} \qquad \sin z = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!}$

sono ben definite e convergono assolutamente per ogni $z \in \mathbb C$ .

$\[\]$

Corollario 31. Sia $\vartheta \in \mathbb{R}$ . Allora

$\cos \vartheta = \frac{\mathrm{e}^{\imath \vartheta} + \mathrm{e}^{-\imath \vartheta}}{2} \quad \text{e} \quad \sin \vartheta = \frac{\mathrm{e}^{\imath \vartheta} - \mathrm{e}^{-\imath \vartheta}}{2\imath}.$

Inoltre, ogni $z \in \mathbb C \setminus \{0\}$ si può scrivere come segue:

$z = |z| \mathrm{e}^{\imath \text{Arg }z} = |z| \mathrm{e}^{\imath \arg z}.$

Quest’ultima è nota come forma esponenziale di un numero complesso ed è, ovviamente, equivalente a quella trigonometrica.

Osservazione 32. Si noti che, pur essendo $\arg z$ una funzione multivalore, per ogni $\vartheta \in \arg z$ si ha

$z = |z| \mathrm{e}^{\imath \vartheta} = |z| \mathrm{e}^{\imath \text{Arg } z},$

e di conseguenza

$|z| \mathrm{e}^{\imath \arg z}$

è un insieme che contiene un unico elemento. Perciò l’identità del corollario si può intendere tra valori (identificando il singoletto con l’elemento stesso).

A seguito della formula di Eulero (20), se consideriamo un numero complesso $z = x + \imath y$ con $x, y \in \mathbb{R}$ , possiamo riscrivere l’esponenziale complesso come:

$\mathrm{e}^z = \mathrm{e}^{x + \imath y} = \mathrm{e}^x \mathrm{e}^{\imath y} = \mathrm{e}^x \left( \cos y + \imath \sin y \right).$

Questa espressione ci permette di verificare che $\mathrm{e}^z$ conserva alcune proprietà familiari dal contesto reale. Ad esempio:

$\mathrm{e}^{z_1-z_2} = \frac{\mathrm{e}^{z_1}}{\mathrm{e}^{z_2}}.$

Inoltre, per ogni $k \in \mathbb{Z}$ , vale la relazione:

(21) $\begin{equation*} (\mathrm{e}^z)^k = \mathrm{e}^{kz}. \end{equation*}$

Tuttavia, è importante procedere con attenzione, poiché quando $k$ non è un intero, l’espressione diventa una funzione a più valori. Questo aspetto sarà oggetto di ulteriori approfondimenti nelle sezioni successive del documento.

Esempio 11. Per fare pratica con le nozioni appena introdotte, dimostriamo la proprietà (21) per $k \in \mathbb N$ . Si procede per induzione:

Passo Base: Se $k = 2$ , il termine a destra si esprime facilmente tramite la serie di potenze (19), ovvero
$\mathrm{e}^{2z} = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(2z)^n}{n!} = \sum_{n = 0}^{+\infty} 2^n \ \frac{z^n}{n!},$

mentre per il termine a sinistra è dato da un prodotto di Cauchy:

$(\mathrm{e}^z)^2 = \mathrm{e}^z \mathrm{e}^z= \left( \sum_{h = 0}^{+\infty} \frac{z^h}{h!} \right) \left( \sum_{\ell = 0}^{+\infty} \frac{z^\ell}{\ell!} \right) = \sum_{n = 0}^{+\infty} c_n z^n .$

I coefficienti $c_n$ sono dati da

$c_n = \sum_{h=0}^n \frac{1}{h!} \frac{1}{(n-h)!} = \frac{2^n}{n!},$

come si può verificare facilmente per induzione. Allora

$(\mathrm{e}^z)^2 = \sum_{n = 0}^{+\infty} 2^n \ \frac{z^n}{n!} = \mathrm{e}^{2z},$

e questo conclude il caso base.

Passo Induttivo: Supponiamo che l’identità sia verificata con esponente $k-1$ , ovvero per ogni $z$ si ha

(22) $\begin{equation*} \mathrm{e}^{(k-1)z} = (\mathrm{e}^z)^{k-1}. \end{equation*}$

Iniziamo osservando che

$(\mathrm{e}^z)^k = (\mathrm{e}^z)^{k-1} \mathrm{e}^z = \mathrm{e}^{(k-1)z} \mathrm{e}^z$

come conseguenza di (22), quindi è del tutto equivalente mostrare che

$\mathrm{e}^{(k-1)z} \mathrm{e}^z = \mathrm{e}^{kz}.$

Usando la definizione tramite serie di potenze (19), il termine a destra si può scrivere come

$\mathrm{e}^{kz} = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(kz)^n}{n!} = \sum_{n = 0}^{+\infty} k^n \cdot \frac{z^n}{n!},$

mentre, come nel passo base, quello a sinistra è un prodotto di Cauchy:

$\mathrm{e}^{(k-1)z} \mathrm{e}^z = \sum_{n = 0}^{+\infty} c_n z^n \quad \text{con } c_n = \sum_{h=0}^n \frac{(k-1)^h}{h!} \frac{1}{(n-h)!}.$

Di nuovo si può verificare per induzione che

$c_n = \frac{k^n}{n!},$

concludendo così la dimostrazione.

Logaritmo complesso.

Il logaritmo nel contesto dei numeri reali è definito come la funzione inversa dell’esponenziale. Per esempio, per un qualsiasi $x_0 > 0$ , il logaritmo $\log x_0$ indica l’unica soluzione dell’equazione

(23) $\begin{equation*} \mathrm{e}^x = x_0. \end{equation*}$

Questo concetto può essere esteso al dominio complesso. Dato che abbiamo già introdotto la funzione esponenziale complessa, il logaritmo di un numero complesso $w \in \mathbb{C} \setminus {0}$ può essere definito come una delle soluzioni (poiché non esiste unicità in questo caso) dell’equazione:

$\mathrm{e}^z = w.$

Assumendo $z = u + \imath v$ e rappresentando $w$ in forma esponenziale come $w = |w| \mathrm{e}^{\imath \arg w}$ , possiamo riformulare l’equazione in termini di $u$ e $v$ :

$\mathrm{e}^u \mathrm{e}^{\imath v} = |w| \mathrm{e}^{\imath \arg w},$

che ci porta a un sistema di equazioni reali confrontando modulo e argomento dei due membri:

$\begin{cases} \mathrm{e}^u = |w|, \\ v = \arg w. \end{cases}$

La prima equazione corrisponde alla forma dell’equazione (23), e la sua unica soluzione reale è:

$u = \log|w|.$

La seconda equazione, tuttavia, ammette infinite soluzioni poiché l’argomento di un numero complesso, $\arg w$ , è una funzione a più valori, data da:

$v = \arg w = \left\{ \text{Arg }w + 2k \pi \: : \: k \in \mathbb{Z} \right\}.$

Definizione 33. Il logaritmo complesso di $w \in \mathbb{C}\setminus \{0\}$ è dato da

(24) $\begin{equation*} \log w := \log |w| + \imath \arg w. \end{equation*}$

Questa funzione è multivalore, possedendo infiniti valori, a causa della natura multipla di $\arg w$ . Definiamo il valore principale del logaritmo in termini di questa caratteristica multivalore come

(25) $\begin{equation*} \text{Log }w := \log|w| + \imath \text{Arg }w, \quad \text{dove } \text{Arg }w \in [-\pi, \pi), \end{equation*}$

estendendo così la definizione del logaritmo al piano complesso, con l’eccezione del punto $z = 0$ , dove la funzione diventa singolare. Ad esempio, per $w = -1$ otteniamo:

$\text{Log }(-1) = \log|-1| + \imath \pi = \imath \pi.$

Nel caso in cui $w$ sia un numero reale positivo, si ha che $\text{Arg }w = 0$ , e la formula si riduce al logaritmo convenzionale sui numeri reali.

Osservazione 34. La scelta del valore principale del logaritmo è in realtà arbitraria. Tuttavia, a causa dell’influenza dell’argomento sul logaritmo, è logico mantenere coerenza con la definizione di argomento principale, come discusso nella sezione “Alcune proprietà dell’argomento”.

$\[\]$

Osservazione 35. La relazione tra $\log z$ e il suo valore principale è data da

$\log z = \left\{ \Log z + 2 k \pi \imath \: : \: k \in \mathbb Z \right\}.$

In particolare, in termini dell’argomento principale il logaritmo è dato da

$\log z = \left\{ \log |z| + \imath \left[ \text{Arg }z + 2 k \pi \right] \: : \: k \in \mathbb Z \right\}.$

Analizziamo ora alcune proprietà del logaritmo complesso. Consideriamo un $z \in \mathbb{C}$ non nullo. Si può mostrare che

$\mathrm{e}^{\log z} = \mathrm{e}^{\log|z|} \mathrm{e}^{\imath \text{Arg }z} \mathrm{e}^{2\pi \imath k} = |z| \mathrm{e}^{\imath \text{Arg }z} = z,$

tuttavia, l’equivalenza inversa non vale in generale. Per $z = x + \imath y$ , abbiamo:

$\log \mathrm{e}^z = \left\{ \log \mathrm{e}^x + \imath(y + 2\pi k) \: : \: k \in \mathbb{Z} \right\} = \left\{ z + 2k \pi \imath \: : \: k \in \mathbb{Z} \right\} \neq \{z\}.$

Questa differenza deriva dalla natura multivalore del logaritmo complesso rispetto a una funzione definita in senso classico.

Per quanto riguarda il logaritmo di prodotti e rapporti, utilizzando la definizione (24), deriviamo le seguenti identità:

$\begin{aligned} & \log(z_1 z_2) = \log(z_1)+\log(z_2), \\ & \log(1/z)=- \log(z), \end{aligned}$

da interpretare come uguaglianze tra insiemi. Allo stesso modo dell’argomento, occorre prestare attenzione a identità apparentemente intuitive. Ad esempio, le seguenti affermazioni sono errate:

${\color{red}\log z + \log z = 2 \log z} \quad \text{o} \quad {\color{red}\log z - \log z = 0}.$

In effetti, per le differenze dei logaritmi, otteniamo:

$\log z - \log z = \{ 2\pi \imath (k-n) \: : \: k,n \in \mathbb{Z} \} \neq \{ 0 \},$

e per le somme:

$\begin{aligned} \log z + \log z &= \{ 2 \text{Log }z + 2 \pi \imath(k+n) \: : \: k,n \in \mathbb{Z}\} \\ & \supset \{ 2 \text{Log }z + 2 k\pi \imath k \: : \: k \in \mathbb{Z}\} = 2 \log z. \end{aligned}$

Proposizione 36. Per ogni $n \in \mathbb N$ si ha

$n \log z \subset \log (z^n) = \log z + \cdots + \log z.$

Inoltre, l’inclusione è stretta per ogni $z \in \mathbb C$ non nullo.

È interessante esaminare cosa accade quando sostituiamo un esponente intero e positivo con uno non intero $p$ . La relazione

$\log(z^p) \stackrel{?}{=} p \log z$

necessita di un’analisi accurata. Nella sezione “Potenza generalizzata”. , discuteremo come $z^p$ diventi una funzione complessa a più valori. Tuttavia, possiamo mostrare che:

$\log \left(z^{1/n} \right) = \frac{1}{n} \log z.$

Esaminiamo ora quali proprietà del logaritmo complesso rimangono valide quando consideriamo il suo valore principale. È noto che

$\mathrm{e}^{\log z}=z \implies \mathrm{e}^{\text{Log }z} = z,$

poiché $\text{Log }z$ è un rappresentante dell’insieme $\log z$ . Tuttavia, quando si confrontano due funzioni classiche, sorge il dubbio se

(26) $\begin{equation*} \text{Log }\mathrm{e}^z = z \end{equation*}$

sia valida per un $z$ non nullo. Applicando le proprietà dell’argomento e esprimendo $z$ in forma algebrica come $x + \imath y$ , deriviamo che

(27) $\begin{equation*} \text{Log }\mathrm{e}^z = z + 2\pi \imath \left\lfloor \frac{1}{2} - \frac{y}{2\pi} \right\rfloor, \end{equation*}$

pertanto l’uguaglianza (26) è verificata se e solo se $y \in [-\pi, \pi)$ .

Per il valore principale del logaritmo applicato a prodotti, rapporti e potenze, dobbiamo introdurre un fattore correttivo. In particolare, si ottengono le seguenti espressioni:

$\begin{aligned} & \text{Log }(z_1 z_2) = \text{Log }z_1 + \text{Log }z_2 + 2 \pi \imath N_+, \\ & \text{Log }(z_1/ z_2) = \text{Log }z_1 - \text{Log }z_2 + 2 \pi \imath N_-, \\ & \text{Log }(z^n) = n \text{Log }z + 2 \pi \imath \left\lfloor \frac{1}{2}- \frac{n}{2\pi}\text{Arg }z \right\rfloor, \quad \text{per } n \in \mathbb{N}, \end{aligned}$

dove $N_+$ e $N_-$ sono calcolati secondo (13) e servono come fattori correttivi, riflettendo il legame stretto tra logaritmo e argomento.

Esempio 12. Considerando $z_1 = 1$ e $z_2 = z$ nella seconda espressione, otteniamo il logaritmo dell’inverso:

$\text{Log } \frac{1}{z} = \begin{cases} - \text{Log }z + 2 \pi \imath & \text{se } z \text{ reale e negativo}, \\ - \text{Log }z & \text{altrimenti.}\end{cases}$

Questa osservazione non si estende a $\text{Log }(z^p)$ per $p$ non intero, poiché $z^p$ è una funzione a più valori, come verrà approfondito nella sezione successiva.

Potenza generalizzata.

Procediamo definendo il concetto di potenza generalizzata nel contesto dei numeri complessi e successivamente forniremo una giustificazione dettagliata e intuitiva di questo concetto:

Definizione 37. Sia $z \in \mathbb C \setminus \{0\}$ . La potenza generalizzata di $z$ con esponente $c$ è definita tramite logaritmo complesso:

(28) $\begin{equation*} z^c = \mathrm{e}^{c \log z}. \end{equation*}$

Per comprendere perché questa definizione di potenza sia appropriata nel contesto complesso, consideriamo inizialmente il caso in cui $c = k$ è un numero intero. In questa situazione, abbiamo:

$z^k = \mathrm{e}^{k \log|z|} \mathrm{e}^{k\imath \arg z} = \mathrm{e}^{k(\log|z|+\imath \arg z)} = \mathrm{e}^{k \log z},$

questo risulta in linea con la (24), e si accorda con la definizione (28).

Osservazione 38. Quando $c = k$ è un numero intero, l’espressione

$z^k = \mathrm{e}^{k \log z}$

diventa una funzione classica. Infatti, possiamo scrivere:

$z^k = \mathrm{e}^{k \log z}= \mathrm{e}^{k (\text{Log }z + 2 \pi \imath n)} = \mathrm{e}^{k \text{Log }z},$

in coerenza con quanto discusso nella prima parte del documento riguardo alle radici $k$ -esime di un numero complesso.

$\[\]$

Passando a un esponente razionale $c = 1/k$ , un calcolo diretto mostra che:

$z^{1/k} = \mathrm{e}^{\text{Log }|z| / k} \mathrm{e}^{(\imath \arg z) / k} = \mathrm{e}^{\log z / k},$

quindi la definizione (28) si dimostra coerente per ogni $c \in \mathbb{Q}$ e, per estensione¹, anche per $c \in \mathbb{R}$ . Ciò giustifica l’adozione della (28) come definizione di potenza generalizzata, estendendola agli esponenti complessi $c \in \mathbb{C}$ .

Osservazione 39. Il logaritmo complesso è una funzione a più valori, e quindi, secondo (28), lo è anche la potenza generalizzata con esponenti non interi. In particolare, abbiamo:

$z^c = \mathrm{e}^{c \log z} = \left\{\mathrm{e}^{c \text{Log }z} \mathrm{e}^{c (2\pi \imath k)} \: : \: k \in \mathbb{Z} \right\}$

per ogni $z \neq 0$ . È interessante osservare che, nel caso di esponenti razionali in forma ridotta ai minimi termini, ad esempio $c = p/q$ , si ottiene

$z^{p/q} =\left\{ \mathrm{e}^{ \frac{p}{q} \text{Log }z} \mathrm{e}^{2\pi \imath \frac{p}{q} n } \: : \: n = 0, \ldots, q-1 \right\},$

poiché per valori di $n$ al di fuori di questo intervallo si ritornerebbe a uno dei casi già considerati, rendendo la potenza $z^{p/q}$ una funzione con $q$ valori distinti (che diventano infiniti nel caso di $c$ irrazionale).

$\[\]$

Con la definizione di potenza generalizzata a nostra disposizione, possiamo ora esplorare il calcolo del logaritmo di $z^c$ . Applicando la formula (28), otteniamo

$\log z^c = \log \mathrm{e}^{c \log z} = c \log z + \left\{ 2 \pi \imath k \: : \: k \in \mathbb{Z} \right\},$

tenendo presente che la somma di due insiemi è definita come

$A + B := \left\{ a + b \: : \: a \in A, b \in B \right\}.$

Portando il fattore $c$ all’esterno, riformuliamo l’espressione come

$\log z^c = c \left( \log z + \left\{ 2 \pi \imath \frac{k}{c} \: : \: k \in \mathbb{Z} \right\}\right),$

da cui deduciamo che $\log z^c$ e $c \log z$ coincidono come insiemi se e solo se $k/c$ è un intero per ogni $k$ in $\mathbb{Z}$ . Questo si verifica quando

$c = 1/n$

per qualche $n$ intero.

Come fatto per il logaritmo, possiamo definire il valore principale della potenza generalizzata nel modo seguente:

(29) $\begin{equation*} Z^c := \mathrm{e}^{c \text{Log }z} \qquad \text{per ogni } z \in \mathbb C \setminus \{0\}. \end{equation*}$

Esempio 13. Calcoliamo il valore principale di $z = -1$ con $c=1/3$ . Si ha

$\text{Pv }\left[ (-1)^{1/3} \right] = \mathrm{e}^{\text{Log }(-1)/3} = \mathrm{e}^{\imath \pi/3} = \frac{1}{2} + \imath \frac{\sqrt{3}}{2},$

dove $\text{Pv }$ si usa per indicare il valore principale se c’è ambiguità. Ovviamente il risultato ottenuto dipende dalla scelta (arbitraria) del logaritmo principale, quindi è del tutto possibile trovare come risultati

$\text{Pv }\left[(-1)^{1/3}\right] = -1 \quad \text{oppure} \quad \text{Pv }\left[(-1)^{1/3}\right]= \frac{1}{2} - \imath \frac{\sqrt{3}}{2},$

ovvero le altre due radici terze di $-1$ , facendo una scelta diversa dell’intervallo di lunghezza $2\pi$ nel definire l’argomento principale.

$\[\]$

Possiamo a questo punto verificare la relazione tra valore principale del logaritmo e della potenza generalizzata.

Proposizione 40. Siano $z, c \in \mathbb C$ e $z \neq 0$ . Allora

(30) $\begin{equation*} \text{Log } Z^c = c \text{Log }z + 2 \pi \imath \left\lfloor \frac{1}{2} - \frac{ \mathfrak{Im}(c \text{Log }z)}{2\pi} \right\rfloor,\end{equation*}$

dove

$\mathfrak{Im}(c \text{Log }z) = \mathfrak{Re}(c) \text{Arg }z + \mathfrak{Im}(c) \log|z|.$

Dimostrazione. Per definizione $Z^c = \mathrm{e}^{c \text{Log }z}$ , quindi abbiamo

$\text{Log }Z^c = \text{Log }\mathrm{e}^{c \text{Log }z}.$

A questo punto possiamo utilizzare la formula (27) che ci permette di calcolare il logaritmo di un esponenziale, ottenendo

$\text{Log }Z^c = c \text{Log }z +2 \pi \imath \left\lfloor \frac{1}{2} - \frac{\mathfrak{Im}(c \text{Log }z)}{2\pi}\right\rfloor.$

Questo conclude la dimostrazione di (30), perciò rimane soltanto da verificare l’identità per la parte immaginaria. Tuttavia, dato che

$\mathfrak{Im}(z_1z_2) = \mathfrak{Re}(z_1) \mathfrak{Im}(z_2) + \mathfrak{Re}(z_2) \mathfrak{Im}(z_1),$

nel nostro caso prendiamo $z_1 = z$ e $z_2 = \text{Log }z$ , che ricordiamo essere definito come

$\text{Log }z = \log|z| + \imath \text{Arg }z,$

e la conclusione segue immediatamente osservando che

$\mathfrak{Re} \left( \text{Log }z \right)= \log|z| \quad \text{e} \quad \mathfrak{Im} \left( \text{Log }z \right)= \text{Arg }z.$

$\[\]$

Per $c=n$ intero, la formula (30) si riduce a quella incontrata nelle sezioni precedenti. Tuttavia, per $z \in \mathbb{C} \setminus {0}$ e $p \in \mathbb{C}$ arbitrario, le proprietà:

$\log z^p = p \log z \qquad \text{e} \qquad \text{Log }z^p = p \text{Log }z$

sono, in generale, false. Questo rappresenta una distinzione cruciale rispetto al logaritmo reale.

Esaminiamo alcune proprietà della potenza generalizzata, come ad esempio:

(31) $\begin{equation*} z^a z^b = z^{a+b}, \end{equation*}$

la cui validità non è immediata, specialmente quando $a+b$ è un numero intero, confrontando una funzione a più valori con una classica.

Per stabilire l’eventuale validità per valori specifici di $a$ e $b$ , partiamo dalla definizione (28) per esprimere entrambi i membri. Otteniamo così:

$z^a z^b = \mathrm{e}^{a \log z + b \log z} \quad \text{e} \quad z^{a+b} = \mathrm{e}^{(a+b)\log z}.$

Come discusso nella sezione “Logaritmo complesso”, l’uguaglianza tra insiemi

$a \log z + b \log z = (a+b) \log z$

è generalmente falsa. Tuttavia, con il logaritmo principale, possiamo esprimere

$\begin{aligned} & z^az^b =\left\{ \mathrm{e}^{(a+b)\text{Log }z} \mathrm{e}^{2\pi\imath(na+kb)} \: : \: n,k \in \mathbb{Z} \right\}, \\ & z^{a+b} = \left\{ \mathrm{e}^{(a+b)\text{Log }z} \mathrm{e}^{2\pi\imath n(a+b)}\: : \: n \in \mathbb{Z} \right\}. \end{aligned}$

Pertanto, $z^{a+b}$ è un sottoinsieme di $z^a z^b$ e i due insiemi coincidono solo in casi speciali per $a$ e $b$ . Similmente:

$z^{a-b} \text{ è un sottoinsieme di } z^a / z^b,$

coincidendo per alcuni valori di $a$ e $b$ . È interessante notare che per $a = b$ , otteniamo

$z^0 = 1 \quad \text{per ogni } z \in \mathbb{C} \text{ diverso da zero},$

mentre per $a = 0$ , vale

$z^{-b} = \frac{1}{z^b} \qquad\text{per ogni } z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}.$

Alcune proprietà note delle potenze reali non sono tuttavia soddisfatte dalla potenza generalizzata nei complessi. Ad esempio, sebbene $x^a x^{-a} = 1$ nel caso reale, nei complessi abbiamo

$z^a z^{-a} = \left\{ \mathrm{e}^{2 \pi \imath k a} \: : \: k \in \mathbb{Z} \right\} \supseteq \{1\},$

quindi questa uguaglianza vale solo se $a$ è un numero intero. Questo ragionamento si applica anche alla potenza di una potenza; utilizzando (28), si osserva che

$z^{ab} \text{ è un sottoinsieme di } (z^a)^b$

e i due insiemi coincidono in situazioni specifiche, come quando $a = \pm 1$ e/o $b$ è intero. Ad esempio, con $z=a=b=\imath$ , troviamo un caso di inclusione stretta:

$z^{ab} = \{ - \imath \} \subset \left\{- \imath \mathrm{e}^{-2 \pi k} \: : \: k \in \mathbb{Z} \right\} = (z^a)^b.$

Alcune proprietà familiari delle potenze reali sono però conservate anche nella potenza generalizzata complessa, derivando dal logaritmo:

$\begin{aligned} & (z_1 z_2)^a = \mathrm{e}^{a\log(z_1z_2)} = \mathrm{e}^{a \log z_1} \mathrm{e}^{a \log z_2} = z_1^a z_2^a, \\ & (z_1 / z_2)^a = \mathrm{e}^{a\log(z_1/z_2)} = \mathrm{e}^{a \log z_1} \mathrm{e}^{-a \log z_2} = z_1^a z_2^{-a}. \end{aligned}$

Per il valore principale della potenza generalizzata, la situazione è leggermente diversa. Utilizzando la definizione (29), notiamo che

$\begin{aligned} & Z^aZ^b = \mathrm{e}^{a \text{Log }z + b \text{Log }z} = \mathrm{e}^{(a+b) \text{Log }z} = Z^{a+b}, \\ & Z^a/Z^b = \mathrm{e}^{a \text{Log }z - b \text{Log }z} = \mathrm{e}^{(a-b) \text{Log }z} = Z^{a-b}, \\ & Z^aZ^{-a} = \mathrm{e}^{a \text{Log }z - a \text{Log }z} = \mathrm{e}^0 = 1. \end{aligned}$

Tuttavia, la potenza di una potenza non sempre verifica l’uguaglianza $(Z^a)^b = Z^{ab}$ . Infatti, un calcolo diretto rivela che:

$(Z^a)^b = Z^{ab} \mathrm{e}^{2\pi \imath b N_a},$

dove $N_a$ è il fattore correttivo introdotto precedentemente, definito come

$N_a := \left\lfloor \frac{1}{2} - \frac{ \mathfrak{Im}(a \text{Log }z)}{2\pi} \right\rfloor.$

In particolare, se $N_a \cdot b$ è un intero, allora $(Z^a)^b = Z^{ab}$ ; altrimenti, emerge un fattore correttivo di modulo unitario. Analogamente, si osserva che

$\begin{aligned} & (Z_1 Z_2)^a = \mathrm{e}^{a \text{Log }(z_1z_2)} = \mathrm{e}^{a \text{Log }z_1} \mathrm{e}^{a \text{Log }z_2} \mathrm{e}^{2 \pi \imath a N_+} = Z_1^a Z_2^a\mathrm{e}^{2 \pi \imath a N_+}, \\ & (Z_1 / Z_2)^a = \mathrm{e}^{a \text{Log }(z_1/z_2)} = \mathrm{e}^{a \text{Log }z_1} \mathrm{e}^{-a \text{Log }z_2} \mathrm{e}^{2 \pi \imath a N_-} = Z_1^a Z_2^{-a}\mathrm{e}^{2 \pi \imath a N_-}, \end{aligned}$

quindi la validità delle proprietà delle potenze $(Z_1Z_2)^a = Z_1^aZ_2^a$ e $(Z_1/Z_2)^a = Z_1^aZ_2^{-a}$ dipende dal valore dei fattori $N_\pm$ definiti in (13).

$\[\]$

Questo passaggio al limite, sebbene non formalmente dimostrato qui, è giustificato dalla densità dei numeri razionali in $\mathbb{R}$ . ↩

Applicazioni

Introduzione.

In questa sezione esploreremo alcune applicazioni fondamentali della teoria dei numeri complessi, focalizzandoci in particolare sul teorema fondamentale dell’algebra e sulla formula di Cardano.

Teorema fondamentale dell'algebra.

Un’importante implicazione della teoria sviluppata fino a questo punto è il teorema fondamentale dell’algebra. Esso afferma che ogni polinomio di grado $n \ge 1$ (cioè non costante) con coefficienti nel campo dei numeri complessi, cioè

$p_n(z) := z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0,$

possiede almeno una radice nel campo complesso $\mathbb C$ . Questo enunciato è equivalente all’affermazione che $\mathbb C$ è un campo algebricamente chiuso.

Osservazione 41. Se il polinomio $p_n$ ha una radice $z_0$ in $\mathbb{C}$ , è possibile raccogliere il termine $(z-z_0)$ e riscrivere il polinomio come

$p_n(z) = (z-z_0) p_{n-1}(z),$

dove $p_{n-1}$ è un polinomio di grado $n-1$ con coefficienti complessi. Applicando ripetutamente il teorema, otteniamo che

$p_n(z) = \prod_{j = 0}^{k} (z- z_j)^{m_j},$

dove $z_0,\ldots,z_k$ sono le radici di $p_n$ e $m_0,\ldots,m_k$ sono le rispettive molteplicità algebriche, tale che

$\sum_{j = 0}^k m_j = n.$

In particolare, ogni polinomio con coefficienti complessi ha esattamente $n$ radici (non necessariamente distinte) in $\mathbb{C}$ e, di conseguenza, ogni polinomio con coefficienti reali ha al massimo $n$ radici (non necessariamente distinte) in $\mathbb{R}$ .

Teorema 42. Se $n \ge 1$ , il polinomio $p_n$ ammette almeno una radice in $\mathbb{C}$ .

Osservazione 43. Per dimostrare questo risultato, dotiamo il campo dei numeri complessi $\mathbb C$ di una topologia, quella indotta dalla distanza

$d : \mathbb C \times \mathbb C \to [0,+\infty), \quad d(z,w) := |z-w|.$

È facile constatare che, identificando $\mathbb C$ con $\mathbb R^2$ , questa corrisponde alla consueta topologia euclidea. In particolare, definiamo un insieme $A \subset \mathbb C$ come aperto se e solo se, per ogni $z_0 \in A$ , esiste $\epsilon > 0$ tale che il disco aperto

$\mathbb D(z_0,\epsilon) := \left\{ z \in \mathbb C \: : \: |z-z_0|<\epsilon\right\}$

sia contenuto in $A$ . Inoltre, se $f : \mathbb C \to \mathbb C$ è una funzione a valori complessi e $z_0 \in \mathbb C$ , diciamo che

$\lim_{z \to z_0} f(z) = L \in \mathbb C$

se per ogni $\epsilon > 0$ esiste $\delta > 0$ tale che

$z \in \mathbb D(z_0,\delta) \setminus \{z_0\} \implies f (z) \in \mathbb D(L,\epsilon).$

Analogamente, definiamo

$\lim_{z \to z_0} f(z) = \infty$

se per ogni $M > 0$ esiste $\delta >0$ tale che

$z \in \mathbb D(z_0,\delta) \setminus \{z_0\} \implies |f(z)|>M.$

Se $f$ è definita su un insieme illimitato (o tutto $\mathbb C$ ), possiamo considerare anche il limite per $z \to \infty$ , scrivendo

$\lim_{z \to \infty} f(z) = L \in \mathbb C \quad \text{oppure} \quad \lim_{|z|\to+\infty} f(z) = L \in \mathbb C$

se per ogni $\epsilon > 0$ esiste $N > 0$ tale che, se $|z|>N$ , allora $f (z) \in \mathbb D(L,\epsilon)$ . La definizione di limite infinito si estende analogamente:

$\lim_{z \to \infty} f(z) = \infty$

se per ogni $M > 0$ esiste $N > 0$ tale che $|z|>N$ implica $|f(z)|>M$ .

$\[\]$

Dimostrazione. Consideriamo un generico polinomio di grado $n$ a valori complessi:

$p_n(z) = z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0.$

Il primo passo è studiare il limite di $|p_n|$ per $|z| \to + \infty$ . Raccogliendo il termine di grado massimo, abbiamo

$\lim_{|z|\to+\infty} |p_n(z)| = \lim_{|z|\to + \infty} \left|z^n \left(1 + \sum_{j=0}^{n-1} a_j z^{j-n} \right) \right| = + \infty.$

Per definizione di limite, esiste $r > 0$ tale che

(32) $\begin{equation*} |p_n(z)|>|p_n(0)| \qquad \text{per ogni } z \in \mathbb{C} \text{ con } |z| > r. \end{equation*}$

Sia $\mathbb D_r := \{ z \in \mathbb{C} \: : \: |z| \le r\}$ il disco chiuso di raggio $r$ . Questo è compatto nella topologia definita precedentemente e la funzione

$|p_n| \, \Big|_{\mathbb D_r} : \mathbb D_r \longrightarrow [0,+\infty)$

è continua. Per il teorema di Weierstrass, esiste $z_0 \in \mathbb{C}$ punto di minimo per $|p_n|$ . Quindi,

$|p_n(z_0)| \le |p_n(z)| \qquad \text{per ogni } z \in \mathbb D_r.$

Poiché $0 \in \mathbb D_r$ , abbiamo $|p_n(z_0)|\le |p_n(0)|$ . Grazie a (32), $z_0$ è un minimo globale. Se $p_n(z_0) = 0$ , la dimostrazione termina. Altrimenti, supponiamo $p_n(z_0) \neq 0$ e procediamo per assurdo. Lo sviluppo in Taylor di $p_n$ in $z_0$ è

$p_n(z) = p_n(z_0) + b_k(z-z_0)^k + \cdots + b_n(z-z_0)^n,$

con $b_k,\ldots,b_n \in \mathbb{C}$ e $b_k \neq 0$ , $1 \le k \le n$ . Inoltre,

$p_n(z) = p_n(z_0) + b_k(z-z_0)^k + R(z),$

dove $R$ è un resto tale che

$\lim_{z \to z_0} \frac{R(z)}{(z-z_0)^k} = 0.$

Possiamo quindi trovare $\delta > 0$ per cui

(33) $\begin{equation*} \frac{ |R(z)|}{|z-z_0|^k} < \frac{|b_k|}{2} \qquad \text{per ogni } z \neq z_0 \text{ con } |z-z_0| < \delta. \end{equation*}$

Scegliendo $\epsilon$ piccolo, per ogni $\epsilon > 0$ prendiamo $z_\epsilon \in \mathbb{C}$ che soddisfa

$b_k(z_\epsilon - z_0)^k = - \epsilon p_n(z_0),$

e quindi

$|R(z_\epsilon)| < |z_\epsilon-z_0|^k \frac{|b_k|}{2}= \frac{\epsilon}{2} |p_n(z_0)|,$

da cui

$\begin{aligned} |p_n(z_\epsilon)| & = |p_ n(z_0) - \epsilon p_n(z_0) + R(z_\epsilon)| \\ & = |(1-\epsilon)p_n(z_0) + R(z_\epsilon)| \\ & \le |1-\epsilon||p_n(z_0)| + |R(z_\epsilon)| \\ & < |1-\epsilon||p_n(z_0)| + \frac{\epsilon}{2} |p_n(z_0)| < |p_n(z_0)|. \end{aligned}$

Questo contraddice il fatto che $z_0$ sia un punto di minimo globale per $|p_n|$ , concludendo la dimostrazione.

$\[\]$

Un’ulteriore conseguenza di questo teorema è che ogni polinomio a coefficienti reali di grado dispari ha almeno una radice reale.

Corollario 44. Sia $n \ge 1$ . Il polinomio a coefficienti reali

$p(x) = x^{2n+1} + a_{2n}x^{2n} + \cdots + a_1 x + a_0$

ammette almeno una radice $x_0 \in \mathbb{R}$ .

Dimostrazione. Il polinomio $p$ ha coefficienti reali, quindi se valutato in un punto $z \in \mathbb{C}$ e ne prendiamo il coniugato, otteniamo l’identità

$\begin{aligned} \overline{p(z)}& = \overline{z^{2n+1}} + \overline{a_{2n}z^{2n}} + \cdots + \overline{a_1 z} + \overline{a_0} \\ & = \left( \overline{z} \right)^{2n+1} + \overline{a_{2n}}\left( \overline{z} \right)^{2n} + \cdots + \overline{a_1}\left( \overline{ z} \right) + \overline{a_0} \\ & = \left( \overline{z} \right)^{2n+1} +a_{2n} \left( \overline{z} \right)^{2n} + \cdots + a_1 \left( \overline{ z} \right) + a_0 = p(\bar{z}). \end{aligned}$

Pertanto, se $z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ è una radice di $p$ , allora $\bar{z} \neq z$ è una radice distinta con la stessa molteplicità. Questo implica che le radici non reali di $p$ sono in numero pari e, dato che $p$ ha $2n+1$ radici (per il teorema fondamentale dell’algebra), deve necessariamente esistere almeno una radice in $\mathbb{R}$ .

La formula di Cardano.

La formula di Cardano permette di trovare tutte le soluzioni sul campo dei numeri complessi $\mathbb C$ di equazioni cubiche della forma

(34) $\begin{equation*} x^3 + px + q, \quad \text{con } p,q \in \mathbb R. \end{equation*}$

Questa permette di dedurre una formula risolutiva per cubiche qualsiasi dal momento che a partire dall’equazione

(35) $\begin{equation*} ay^3 + by^2 + cy + d = 0, \quad a \neq 0, \end{equation*}$

possiamo sempre ridurci ad una della forma (34). In effetti, applicando la trasformazione $y \mapsto x := y + \frac{b}{3a}$ , otteniamo

$x^3 + \left( \frac{3ac - b^2}{3a^2} \right) x + \left( \frac{27a^2d + 2b^3 - 9abc}{27a^3} \right) = 0,$

perciò non è riduttivo limitarsi a equazioni della forma (34). Poniamo ora

$x = u+v \quad \text{con } uv = - \frac{p}{3} \text{ e } u \neq 0,$

ed andiamo a sostituire in (34), ottenendo

$\begin{aligned} (u+v)^3 + p(u+v) + q & = u^3 + v^3 + 3 u^2v + 3uv^2 + pu + pv + q \\ & = u^3 + v^3 - pu - pv + pu + pv + q \\ & = u^3 + v^3 +q \\ & = u^3 - \frac{p^3}{27 u^3} + q = 0, \end{aligned}$

dove abbiamo usato più volte la relazione $uv = -p/3$ . Moltiplicando per $u^3$ si arriva da un’equazione di sesto grado:

$u^6 + q u^3 - \frac{p^3}{27} = 0.$

Dato che l’equazione è quadratica nella variabile $u^3$ , possiamo introdurre $t := u^3$ ed utilizzare la formula risolutiva per equazioni di secondo grado:

$t_{\pm} = - \frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}.$

Se $u^3 = t_+$ , allora è facile verificare che

$v^3 = - \frac{p^3}{27u^3} = t_-,$

ed analogamente da $u^3 = t_-$ si trova $v^3 = t_+$ ; in particolare, si ottengono le stesse radici e, dunque, senza perdere di generalità consideriamo il caso

$u^3 = t_+ \quad \text{e} \quad v^3 = t_-.$

Siano ora $S$ e $T$ le rispettive radici cubiche, ovvero

$S = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} \quad \text{e} \quad T = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}.$

Dalla teoria dei numeri complessi sviluppata nei paragrafi precedenti, le soluzioni di $u^3=t_+$ e $v^3 = t_-$ sono date da

$u = S \omega_3^j \quad \text{e} \quad v = T \omega_3^k \quad \text{per } j,k \in \{0,1,2\},$

dove $\omega_3$ è una radice terza primitiva¹ dell’unità, ad esempio

$\omega_3 = - \frac{1}{2} + \imath \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Tuttavia il vincolo che abbiamo scelto all’inizio sul prodotto $uv = -p/3$ ci dice che solo tre sono ammissibili, ovvero

$x = \begin{cases} S + T, \\ \omega_3 S + \omega_3^2 T, \\ \omega_3^2 S + \omega_3 T. \end{cases}$

Queste si possono facilmente riportare al caso dell’equazione generale (35) sfruttando la trasformazione al contrario, ottenendo

$y = \begin{cases} S + T-\frac{b}{3a}, \\ \omega_3 S + \omega_3^2 T -\frac{b}{3a} , \\ \omega_3^2 S + \omega_3 T-\frac{b}{3a}. \end{cases}$

$\[\]$

Ai fini di questo documento non è importante sapere cosa si intende con “radice primitiva”, ma per più dettagli si può iniziare da qui. ↩

Una buffa dimostrazione del teorema di Pitagora.

La teoria sviluppata sin qui si può utilizzare per dare una dimostrazione alternativa del teorema di Pitagora:

Teorema 45. (Pitagora) In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente all’unione dei quadrati costruiti sui cateti.

Dimostrazione. Possiamo supporre, senza perdita di generalità, che l’ipotenusa del triangolo abbia lunghezza unitaria. In tal caso, l’enunciato diventa equivalente all’identità trigonometrica

$\cos^2 \vartheta + \sin^2 \vartheta = 1 \quad \text{per ogni } \vartheta \in [0,2\pi).$

Utilizzando la formula degli esponenziali complessi, otteniamo

$\mathrm{e}^{\pm \imath \vartheta} = \cos \vartheta \pm \imath \sin \vartheta,$

permettendoci di moltiplicare queste espressioni insieme per ottenere

$\begin{aligned} 1 = \mathrm{e}^0 = \mathrm{e}^{\imath \vartheta}\mathrm{e}^{-\imath \vartheta} & = \left(\cos \vartheta + \imath \sin \vartheta\right)\left(\cos \vartheta - \imath \sin \vartheta\right) \\ & = \cos^2 \vartheta + \sin^2 \vartheta, \end{aligned}$

completando così la dimostrazione.

Riferimenti bibliografici

[1] C. Mantegazza, Problemi di Analisi I dal Corso del I Anno alla Scuola Normale Superiore di Pisa, MCM, 2016.

[2] P. Samuel, Algebraic Theory of Numbers, Hermann, 1970.

[3] M.J. Ablowitz, F.S. Athanassios S, Complex Variables: Introduction and Applications, Cambridge University Press, 2003.

[4] W. Rudin, Real and Complex Analysis (3rd edition), McGraw-Hill, 1987.

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