Costruzioni alternative dei numeri reali

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Costruzioni alternative dei numeri reali

Nella dispensa l’insieme dei numeri reali, abbiamo mostrato la costruzione di $\mathbb{R}$ attraverso le cosiddette sezioni di Dedekind, ossia definendo un numero reale come l’insieme dei numeri razionali che lo precedono. Esistono altri modi per effettuare questa costruzione?

In questo articolo rispondiamo affermativamente alla domanda, presentando tre costruzioni alternative di $\mathbb{R}$ , tutte basate su approssimazioni razionali:

Successioni di Cauchy di numeri razionali; un numero reale è definito come la classe delle successioni di numeri razionali che lo approssimano.
Allineamenti decimali; un numero reale coincide con la successione delle sue scritture decimali troncate.
Frazioni continue; ogni numero reale è esprimibile come una frazione continua.

Tutte le costruzioni vengono motivate e spiegate con esempi pratici. L’articolo, insieme alla dispensa complementare l’insieme dei numeri reali, offre una comprensione profonda e completa dell’essenza dei numeri reali, proponendosi come una risorsa preziosa per studenti e appassionati.

Autore

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Autore: Jack D’Aurizio

Introduzione

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In questa dispensa vedremo tre costruzionidei numeri reali a partire dall’insieme dei numeri razionali che si distaccano per approccio e metodo da quella assiomatica e da quella costruttiva delle sezioni di Dedekind.

Successioni di Cauchy su $\mathbb{Q}$

Un primo metodo equivalente di definire i numeri reali, più legato ai suoi aspetti computazionali, è quello legato al concetto di successione di Cauchy.

Definizione 1. Sia $A$ un insieme. Una successione a valori nell’insieme $A$ è una funzione

$\begin{equation*} f:\mathbb{N}\longrightarrow A. \end{equation*}$

I valori $f(0), f(1), \dots$ , vengono indicati rispettivamente con $a_0, a_1, \dots$ e scriveremo $a_n$ invece di $f$ .

Definizione 2. Una successione $a_n$ a valori in $\mathbb{Q}$ si dice di Cauchy se

$\forall \varepsilon > 0, \; \exists N :\; \;\; |a_n - a_m| < \varepsilon, \;\;\;\; \forall n,m \geq N.$

Denotiamo l’insieme delle successioni di Cauchy a valori in $\mathbb{Q}$ , $C(\mathbb{Q})$ .

Le successioni di Cauchy sono quelle che “si addensano sempre più”. Se immaginiamo di rappresentare su una retta gli elementi di una successione di Cauchy, abbiamo che, preso in maniera arbitraria un numero $\varepsilon > 0$ , da un certo valore dell’indice $n$ in avanti, tutti i punti si trovano in un intervallo $I_\varepsilon$ di ampiezza $\varepsilon$ .

Osserviamo inoltre che, dati due intervalli $I_\varepsilon$ e $I_{\varepsilon'}$ del tipo appena descritto, la loro intersezione contiene tutti gli $a_n$ per $n$ maggiore di un opportuno $N$ . L’intuizione geometrica vorrebbe che l’intersezione di tutti gli intervalli $I_\varepsilon$ al variare di tutti i possibili $\varepsilon$ fosse costituita da un solo punto, a cui dovrebbe corrispondere una elemento del sistema numerico che si sta considerando. Nell’insieme dei razionali una tale elemento non sempre esiste, mentre nei reali esiste. Questo è un altro modo per descrivere il tipo di chiusura che porta dai razionali ai reali. Partendo da questa intuizione cerchiamo di definire l’insieme dei numeri reali.

Partiamo dalla definizione di limite di successioni a valori in $\mathbb{Q}$ .

Definizione 3. Sia $a_n$ una successione a valori in $\mathbb{Q}$ ; diciamo che converge in $\mathbb{Q}$ ad $a$ e scriveremo

$\lim_{n\to \infty} a_n = a,$

se esiste $a \in \mathbb{Q}$ tale che

$\forall \varepsilon > 0, \; \exists N :\; \;\; |a_n - a| < \varepsilon, \;\;\;\; \forall n \geq N.$

In altre parole una successione $a_n$ converge ad $a$ se posso avvicinarmi arbitrariamente ad $a$ a patto di prendere termini della successione $a_n$ con $n$ sufficientemente grande.

Definizione 4. Quando una proprietà di una successione vale per tutti i termini $a_n$ con $n$ sufficientemente grande o alternativamente maggiore di un $N$ fissato, si dice che la proprietà vale definitivamente.

In questi termini diremo che una successione converge ad $a$ se definitivamente si avvicina arbitrariamente ad $a$ .

Definizione 5. Una successione si dice infinitesima se

$\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n=0. \end{equation*}$

È facile dimostrare che successioni convergenti sono sempre di Cauchy.

Teorema 1. Sia $a_n$ una successione convergente, allora $a_n$ è di Cauchy.

Dimostrazione.

Fissiamo $\varepsilon >0$ arbitrario. Per ipotesi

$\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n=a, \end{equation*}$

con $a\in\mathbb{Q}$ . Per definizione allora $\exists\, N$ tale che

$|a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2},$

per $n\geq N$ .

Siano $n,m \geq N$ allora

$|a_n - a_m| = |a_n - a - a_m + a| \leq |a_n - a| + |a_m - a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \leq \varepsilon,$

ovvero $a_n$ è una successione di Cauchy.

Sull’insieme delle successioni a valori $\mathbb{Q}$ possiamo definire operazioni di somma e prodotto.

$(a_n + b_n) = (a_n) + (b_n)$ ,
$(a_n \cdot b_n) = (a_n) \cdot (b_n)$ .

Teorema 2. Sia $a_n$ una successione di Cauchy; allora $a_n$ è limitata, ovvero esiste $M\geq 0$ tale che

$\begin{equation*} |a_n|\leq M. \end{equation*}$

Dimostrazione.

Sia $\varepsilon=1$ allora esiste $N$ tale che

$|a_n-a_m|<1.$

Per $n=N+1$

$\begin{equation*} |a_{N+1}-a_n|<1. \end{equation*}$

Allora

$\begin{equation*} |a_n|=|a_n-a_{N+1}+a_{N+1}|\leq |a_n-a_{N+1}|+|a_{N+1}|<1+|a_{N+1}|, \end{equation*}$

ovvero tutti i termini che hanno pedice maggiore di $N$ sono limitati dal valore $1+|a_{N+1}|$ .

Se consideriamo $M=\max\{|a_1|,|a_2|,...,|a_N|,1+|a_{N+1}|\}$ possiamo concludere

$\begin{equation*} |a_n|\leq M, \end{equation*}$

per ogni $n\in\mathbb{N}$ .

Teorema 3. Siano $a_n$ e $b_n$ due successioni di Cauchy; allora:

$a_n+b_n$ è di Cauchy;
$a_n\cdot b_n$ è di Cauchy.

Dimostrazione punto 1.

Per definizione di successioni di Cauchy, fissato un valore $\varepsilon>0$

$\begin{equation*} \begin{split} &\exists N_1 :\; \;\; |a_n - a_m| < \frac{\varepsilon}{2}, \;\;\;\; \forall n,m \geq N_1\\\\&\exists N_2 :\; \;\; |b_n - b_m| < \frac{\varepsilon}{2}, \;\;\;\; \forall n,m \geq N_2\\ \end{split} \end{equation*}$

Consideriamo $N=\max\{N_1,N_2\}$ allora per ogni $n,\,m\geq N$

$\begin{equation*} |(a_n+b_n)-(a_m+b_m)|=|(a_n-a_m)+(b_m-b_n)|\leq |a_n-a_m|+|b_n-b_m|< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{equation*}$

quindi $a_n+b_n$ è di Cauchy.

Dimostrazione punto 2.

In modo analogo al punto 1 consideriamo $N=\max\{N_1,N_2\}$ , quindi per ogni $n,\,m\geq N$

$\begin{equation*} \begin{split} |a_n\cdot b_n-a_m\cdot b_m|&=|a_n\cdot b_n-a_m\cdot b_n+a_m\cdot b_n-a_m\cdot b_m|=\\&=|b_n(a_n-a_m)+a_m(b_n-b_m)|\leq\\&\leq |b_n|||a_n-a_m|+|a_n||b_n-b_m|. \end{split} \end{equation*}$

Per il teorema 2 esistono $M_1$ e $M_2$ maggioranti rispettivamente della successione $a_n$ e $b_n$ , quindi

$\begin{equation*} |a_n\cdot b_n-a_m\cdot b_m|<M_2\varepsilon+M_1\varepsilon=(M_1+M_2)\varepsilon, \end{equation*}$

quindi $a_n\cdot b_n$ è di Cauchy per l’arbitrarietà di $\varepsilon$ .

Con questo teorema abbiamo dimostrato che se due successioni appartengono a $C(\mathbb{Q})$ allora anche la somma e il prodotto saranno elementi di $C(\mathbb{Q})$ ; in altri termini $C(\mathbb{Q})$ è chiuso rispetto alla somma e al prodotto.

Proposizione 1. Sia $a_n$ una successione di Cauchy di numeri razionali positivi allora

Se la successione $a_n^2$ è di Cauchy, allora anche $a_n$ è di Cauchy;
Se $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}a_n^2=2$ allora $a_n$ non è convergente in $\mathbb{Q}$ .

Dimostrazione punto 1.

Supponiamo per assurdo che $a_n$ non sia di Cauchy.

$\begin{equation*} \exists \varepsilon >0\,\,:\,\,\exists\,n,\,m\geq N\,\,:\,\,|a_n-a_m|\geq \varepsilon. \end{equation*}$

Allora

$\begin{equation*} \varepsilon^2 \leq (a_n-a_m)^2=a_n^2-2a_na_m+a_m^2. \end{equation*}$

Senza perdere di generalità possiamo supporre $a_n\geq a_m$ abbiamo

$\begin{equation*} |a_n^2-a_m^2|=a_n^2-a_m^2\geq \varepsilon^2+2a_na_m-2a_m^2=\varepsilon^2+2a_m(a_n-a_m)\geq \varepsilon^2+2a_m\varepsilon>\varepsilon^2 \end{equation*}$

e questo contraddice l’ipotesi che la successione $a_n^2$ è di Cauchy.

Dimostrazione punto 2.

Se per assurdo

$\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=a, \end{equation*}$

con $a\in\mathbb{Q}$ allora per definizione $\exists\,N\in\mathbb{N}$ tale che

$\begin{equation*} |a_n-a|<\varepsilon. \end{equation*}$

Quindi

$\begin{equation*} |a_n^2-a^2|=|a_n-a||a_n+a|<\varepsilon(|a_n|+a)<\varepsilon(M+a), \end{equation*}$

dove l’ultima disuguaglianza è motivata dal teorema 2. Allora la successione $a_n^2$ converge al valore $a=2$ . Allora $a^2=2$ , il che è assurdo in quanto $a$ è un numero razionale.

Dunque la successione $a_n$ non converge in $\mathbb{Q}$ .

Definizione 6. Uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy è convergente.

Osservazione 1.

Dalla proposizione (1) osserviamo che lo spazio $\mathbb{Q}$ dotato della metrica euclidea non è completo, infatti abbiamo determinato una successione di Cauchy in $\mathbb{Q}$ che non converge in $\mathbb{Q}$ .

L’idea della costruzione di $\mathbb{R}$ è proprio quello di completare l’insieme $\mathbb{Q}$ attraverso le successioni di Cauchy.

Definiamo la seguente relazione

$a_n \sim b_n \;\; \Leftrightarrow \;\; \lim_{n\rightarrow +\infty} (a_n - b_n) = 0.$

La relazione $\sim$ è di equivalenza per le proprietà dei limiti di successione.

In sostanza, mentre per i numeri razionali abbiamo identificato la coppia $(1,2)$ relativa alla frazione $\frac12$ con la coppia $(2,4)$ relativa alla frazione $\frac24$ , in questo caso identifichiamo le successioni di Cauchy che hanno differenza che converge a zero.
Chiamiamo questo nuovo insieme

$\mathbb{R}:=C(\mathbb{Q})/\sim.$

Su questo insieme possiamo definire le stesse identiche operazioni di somma e di prodotto e si può dimostrare che la definizione è buona, nel senso che non dipende dal rappresentante scelto per fare l’operazione (come nel caso delle frazioni in cui potevamo semplificare numeratore e denominatore) senza cambiare il risultato. Anche in questo caso identifichiamo le classi di equivalenza ovvero gli elementi di questo insieme in cui abbiamo identificato alcuni elementi, con le parentesi quadre. Formalmente

$[(a_n)] + [(b_n)] = [(a_n) + (b_n)], \qquad [(a_n)] \cdot [(b_n)] = [(a_n) \cdot (b_n)].$

Per finire possiamo definire una relazione d’ordine su ${C(\mathbb{Q})}/{\sim}.$

Definizione 7. Una successione si dice positiva se esistono $\eta>0$ e $N \in \mathbb{N}$ tali che

$a_n\geq \eta,$

per $n>N$ .

Osservando che essere una successione positiva non dipende dal particolare rappresentante scelto, nel senso che se $(a_n)$ è positiva e $(b_n) \sim (a_n)$ allora $(b_n)$ è positiva, si definisce la relazione d’ordine nel modo seguente:

$[(a_n)] \geq [(b_n)] \;\;\; \leftrightarrow \;\;\;[(a_n - b_n)] \;\;\mbox{è positiva o infinitesima}.$

La relazione d’ordine appena definita è compatibile con le operazioni di somma e prodotto e rendono ${C(\mathbb{Q})}/{\sim}$ un campo ordinato completo ovvero un altro modo per rappresentare $\mathbb{R}$ .

In qualche senso questa costruzione ci da un’altra rappresentazione degli elementi di $\mathbb{R}$ come l’insieme di tutti i limiti di successioni di Cauchy su $\mathbb{Q}$ . Prendiamo una successione di Cauchy su $\mathbb{Q}$ , se questa converge ad un elemento di $\mathbb{Q}$ , abbiamo trovato un numero razionale di $\mathbb{R}$ altrimenti aggiungiamo a mano tale limite in $\mathbb{R}$ e sarà quello che comunemente chiamiamo numero irrazionale.

Allineamenti decimali

Fin da quando siamo bambini siamo stati abituati a pensare ai numeri reali come espansioni della forma $\text{1,4142}\dots$ ; che ha a che fare questa notazione con le sezioni di Dedekind o le successioni di Cauchy? Questo è quello che scopriremo in questa sezione.

Definizione 8. Un allineamento decimale è una successione $f$ a valori in $\mathbb{Z}$

$f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z},$

tale che per ogni $n>0$ , $f(n)$ è un valore nell’insieme $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ .

Chiamiamo l’insieme degli allineamenti decimali $A_{10}(\mathbb{Z})$ .Quando parliamo di allineamento decimale in mente abbiamo l’insieme delle cifre dopo la virgola; per esempio dato il numero
$\text{132.4142}\dots$ allora

$f(0) = 132, f(1) = 4, f(2)=1, f(3) = 4, f(4)=2, \dots.$

Il numero $f(0)$ viene chiamato parte intera di $f$ , mentre la successione $f(1)\,f(2),...$ viene chiamata parte decimale.

Vogliamo identificare i numeri reali con allineamenti decimali, per fare questo, passiamo attraverso le successioni di Cauchy.

Data un allineamento decimale $f$ possiamo costruire una successione di Cauchy detta successione generatrice

$a_n = \sum_{i=0}^{n}\frac{f(i)}{10^{i}}.$

Teorema 4. La successione

$\begin{equation*} a_n = \sum_{i=0}^{n}\frac{f(i)}{10^{i}} \end{equation*}$

è di Cauchy.

Dimostrazione.

Sia $\varepsilon>0$ e supponiamo senza perdere di generalità $n>m$

$\begin{equation*} \begin{split} |a_n-a_m|&=\left|\sum_{i=0}^{n}\frac{f(i)}{10^{i}} -\sum_{i=0}^{m}\frac{f(i)}{10^{i}}\right|=\left|\sum_{i=m+1}^{n}\frac{f(i)}{10^{i}}\right|=\\&=\sum_{i=m+1}^{n}\frac{f(i)}{10^{i}}\leq 9\sum_{i=m+1}^n\left(\frac{1}{10}\right)^i=9\sum_{i=0}^{n-m-1}\left(\frac{1}{10}\right)^{i+m+1}=\\&=\frac{9}{10^{m+1}}\sum_{i=0}^{n-m-1}\left(\frac{1}{10}\right)^{i}=\frac{9}{10^{m+1}}\frac{1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n-m}}{1-\frac{1}{10}}<\frac{1}{10^m}. \end{split} \end{equation*}$

Scegliamo $N$ tale che

$\frac{1}{10^N}<\varepsilon,$

allora per ogni $n,\,m>N$

$|a_n-a_m|<\varepsilon,$

quindi le successioni generate da allineamenti decimali sono di Cauchy.

Per finire ricordiamo che sulle successioni di Cauchy abbiamo identificato le successioni che hanno differenza infinitesima. Ci chiediamo, quand’è che dati due allineamenti decimali diversi $f \neq g$ queste ci danno due successioni generatrici identificate?

Teorema 5. Due allineamenti decimali hanno successioni generatrici identificate se e solo se esiste $k \in \mathbb{N}$ tale che

$f(n) = g(n),\;\; \forall n<k$ ;
$f(k) = 1 + g(k)$ ;
$f(n) = 0,\;\; g(k)=9, \;\; \forall n>k$ ;

Dimostrazione.

Siano $a_n$ e $b_n$ la successioni generatrici degli allineamenti decimali $f$ e $g$ . Dalle ipotesi

$\begin{equation*} a_n-b_n=\begin{cases} 0&n<k\\\frac{1}{10^n}&n\geq k, \end{cases} \end{equation*}$

allora $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(a_n-b_n)=0$ .

( $\Leftarrow$ ) Siano $a_n$ e $b_n$ due successioni generatrici tale che $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}(a_n-b_n)=0$ ; supponiamo per assurdo che gli allineamenti decimali non verifichino le condizioni del teorema. Allora esiste un numero naturale $n$ tale che

$|a_n-b_n|\geq\frac{2}{10^n}$

e questo è assurdo perché la successione $a_n-b_n$ è infinitesima.

Il precedente teorema è un modo astruso per dire che $f = \text{1,350000}\dots$ e $g = \text{1,3499999}\dots$ hanno successioni generatrici identificate,
Infatti preso $k = 3$ abbiamo $f(0) = g(0) = 1,$ $f(1) = g(1) = 3$
$f(3) = 5 = g(3) + 1$ da questo punto in poi, $f$ presenta tutti zeri e $g$ ha tutti $9$ .
Identifichiamo allora gli allineamenti decimali che hanno successioni generatrici identificate.
Come ormai di consuetudine chiamiamo il nuovo insieme degli allineamenti decimali identificati ${A_{10}(\mathbb{Z})}/{\sim}$ .
In sostanza abbiamo costruito una funzione biunivoca tra

$C(\mathbb{Q})/\sim, \qquad A_{10}(\mathbb{Z})/\sim;$

questa identificazione tra successioni di Cauchy e allineamenti decimale ci permette di trasportare le operazioni già definite sulle successioni di Cauchy agli allineamenti decimali. Anche la relazione d’ordine può essere trasferita e non solo, si scopre che la relazione d’ordine così definita risulta la stessa che abbiamo imparato alle scuole medie, l’ordinamento lessicografico:

$[f] > [g] \;\;\; \mbox{se $f$ e $g$ non sono identificati e il primo $k$ tale che}$

$f(k)\neq g(k)\;\;\; \mbox{si ha} \;\;\; f(k) > g(k),$

La precedente espressione, ancora, è un modo complicato per dire che, per esempio, dati $f = \text{1,33816}\dots$ e $g =\text{1,33722}\dots$ allora $f>g$ perché fino alla posizione 2, $f(2)$ , gli allineamenti sono uguali e poi abbiamo $f(4) = 8 > f(3) = 7$ .

Con queste operazioni ${A_{10}(\mathbb{Z})}/{\sim}$ è un campo ordinato completo e quindi un altro modo per rappresentare $\mathbb{R}$ .

Abbiamo già visto che le successioni di Cauchy che hanno limite razionale sono sostanzialmente i numeri razionali. Viene spontaneo chiedersi da che tipo di allineamenti decimali vengono generate tali successioni di Cauchy. La risposta è già stata alle scuole medie: gli allineamenti decimali che sono periodici ( si ripetono da un certo punto in poi) hanno successione di Cauchy generatrice che converge a un numero razionale!

Definizione 9. Un allineamento decimale $f$ si dice periodico se esistono $n_0,\,k>0$ ¹ tale che

$\begin{equation*} f(n)=f(n+k)\qquad \forall\,n> n_0. \end{equation*}$

$\[\]$

Per un numero decimale periodico $k$ rappresenta il numero di cifre che formano il periodo e $n_0$ il numero di cifre dell’antiperiodo ↩

Teorema 6. L’allineamento decimale $f$ è periodico se e solo se la successione generata è convergente in $\mathbb{Q}$ .

Infine, adesso possiamo rispondere anche alla domanda del secolo:

$0,99999\dots = 1?$

La risposta è che dipende da dove interpretiamo l’uguaglianza: chiaramente non sono lo stesso allineamento decimale, ma sono allineamenti decimali identificati ovvero sono lo stesso oggetto in $A_{10}(\mathbb{Z}/\sim$ e dunque sono lo stesso numero reale.

Frazioni continue

Un altro possibile approccio per costruire $\mathbb{R}$ a partire da $\mathbb{Q}$ è quello di considerare particolari rappresentazioni per i numeri razionali positivi, dette frazioni continue . A partire da un qualunque numero razionale $\alpha=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}^+$ con $MCD(p,q)=1$ possiamo applicare la mappa di Gauss che consiste nel

sottrarre da $\alpha$ la sua parte intera inferiore,
$\alpha\to\{\alpha\}=\alpha-\lfloor\alpha\rfloor;$
posto che l’ultima parte frazionaria non sia nulla, rimpiazzare $\alpha$ con
$(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor)^{-1}$

e tornare al punto precedente.

Questa procedura ci dà modo di rappresentare qualunque numero razionale positivo in maniera peculiare. Ad esempio, considerando $\alpha=\frac{19}{7}$ :

$\frac{19}{7}=2+\frac{5}{7}=2+\frac{1}{1+\frac{2}{5}} = 2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}},$

dove per convenienza tipografica poniamo

$a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3}}} = [a_0,a_1,a_2,a_3],$

scrivendo pertanto $\frac{19}{7}=[2,1,2,2]$ . I termini $a_0,a_1,\ldots$ della frazione continua corrispondono esattamente ai quozienti parziali nell’algoritmo di Euclide esteso applicato alla coppia $(p,q)$ :

$\begin{equation*} \begin{split} &19=7\cdot2+5\\ &7=5\cdot1+2\\ &5=2\cdot2+1\\ &2=1\cdot2+0 \end{split} \end{equation*}$

$(\text{19,7})\stackrel{2}{\longrightarrow}(\text{7,5})\stackrel{1}{\longrightarrow}(\text{5,2})\stackrel{2}{\longrightarrow}(\text{2,1})\stackrel{2}{\longrightarrow}(\text{1,0}).$

Poiché $MCD(p,q)=1$ per ipotesi, l’iterazione della mappa di Gauss si arresta in un numero finito di passi ed abbiamo il seguente

Teorema 7. Qualunque numero razionale positivo può essere rappresentato da una frazione continua della forma $[a_0,\ldots,a_n]$ , dove $a_0\in\mathbb{N}$ e $a_k\in\mathbb{N}^+$ per ogni $k\geq 1$ .

Analogamente al caso degli allineamenti decimali abbiamo una mancanza di unicità della rappresentazione, dovuta al fatto che $[n,1]=[n+1]$ . Ad esempio:

$[3,2,1]=3+\frac{1}{2+\frac{1}{1}}=\frac{10}{3}=3+\frac{1}{3}=[3,3].$

In ogni caso è possibile utilizzare le frazioni continue per esplicitare una biezione tra $\mathbb{Q}^+$ e le sequenze di numeri naturali, o tra $\mathbb{Q}^+$ e le sequenze binarie ( albero di Stern-Brocot ), (ri-)dimostrando la numerabilità di $\mathbb{Q}$ .

Sia data una frazione continua qualsiasi

$\alpha=\left[a_0,a_1,...,a_n\right].$

Ogni frazione continua $\beta_k=\left[b_0,b_1,...,b_k\right]$ con $0\leq k\leq m$ si chiama ridotta k-esima o convergente m-esima di $\alpha$ . Tornando all’esempio iniziale, i convergenti di $\frac{19}{7}$ sono

$[2]=\frac{2}{1},\quad [2,1]=\frac{3}{1},\quad [2,1,2]=\frac{8}{3},\quad [2,1,2,2]=\frac{19}{7}.$

Osservazione.

Per il teorema 7. è lecito indicare le convergenti di una frazione continua come frazioni

$\begin{equation*} \beta_k=\frac{p_k}{q_k}, \end{equation*}$

dove $MCD(p_k,q_k)=1$ e $q_k\neq 0$ .

Utilizzando il principio di induzione non è difficile provare un’importante proprietà di struttura dei convergenti: per ogni $k\geq 2$ si ha

$p_k = a_k p_{k-1}+p_{k-2},\qquad q_k = a_k q_{k-1}+q_{k-2}$

e da questo discende (sempre grazie al principio di induzione)

$\frac{p_k}{q_k}-\frac{p_{k+1}}{q_{k+1}} = \frac{(-1)^{k+1}}{q_k q_{k+1}}.$

In particolare la successione dei convergenti di $\alpha$ converge ad $\alpha$ in maniera “alternata”, seguendo il pattern

$\beta_1<\beta_3<\beta_5<...<\beta_{2k+1}<...<\beta_2k<...<\beta_4<\beta_2$

con convergenza “almeno geometrica” in quanto

$\left|\alpha-\frac{p_k}{q_k}\right|\leq \frac{1}{q_k q_{k+1}} \leq \frac{1}{F_{k+1}F_{k+2}},$

dove $F_k$ è il $k$ -esimo elemento della successione di Fibonacci

$\{F_n\}_{n\geq 0}=\{0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\ldots\}.$

A causa di queste fortissime proprietà strutturali della successione dei convergenti, ogni frazione continua con infiniti termini è univocamente associata ad un taglio di Dedekind o ad una successione di Cauchy di razionali. In particolare è possibile definire $\mathbb{R}^+\setminus\mathbb{Q}^+$ come l’insieme delle frazioni continue di infiniti termini.

A causa della loro struttura le frazioni continue non sono semplicissime da manipolare attraverso le operazioni aritmetiche fondamentali, ma proprio in quanto contenitori delle “migliori approssimazioni razionali” esse permettono di attaccare efficacemente diverse questioni di irrazionalità.

Teorema 8 (Lagrange). Dato $\alpha\in\mathbb{R}^+$ e $\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}^+$ con $MCD(p,q)=1$ , se si ha

$\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{2q^2},$

allora $\frac{p}{q}$ è un convergente della frazione continua di $\alpha$ .

Ad esempio, detta $\alpha$ la soluzione positiva di $x^2=2$ e posto $\beta=1+\alpha$ , si ha $\beta\in(2,3)$ e $\beta=2+\frac{1}{\beta}$ . Questo comporta che la frazione continua di $\beta$ è

$\beta = [2,2,2,2,2,2,\ldots],$

dunque $\beta\not\in\mathbb{Q}$ . Analogamente, detta $\varphi$ la soluzione positiva di $x^2=x+1$ , si ha $\varphi\in(1,2)$ e $\varphi=1+\frac{1}{\varphi}$ , dunque

$\varphi = [1,1,1,1,1,1,\ldots]$

e $\varphi\not\in\mathbb{Q}$ . Abbiamo appena (ri-)dimostrato l’incommensurabilità di diagonale e lato sia nel quadrato che nel pentagono regolare.

Riepilogo

Le sezioni di Dedekind sono forse il primo esempio di uso di insiemi come singole entità numeriche: un insieme viene visto come un unico oggetto. Anche se nella matematica contemporanea operazioni di questo tipo ci sembrano abbastanza naturali, è evidente la forte astrazione su cui esse sono basate. Non è certo più semplice e intuitivo considerare singole entità numeriche le classi di equivalenza di successioni di Cauchy (per le quali, oltre ad operazioni insiemistiche, dobbiamo ricorrere anche alla nozione di funzione). E invece apparentemente più semplice vedere, come viene fatto alla scuola media, i numeri reali come numeri decimali, finiti, o periodici, o non periodici. In questo caso infatti si tratta di estendere una nozione che siamo già abituati ad usare: sappiamo trattare i numeri decimali periodici, per cui possiamo andare ‘leggermente’ oltre considerando numeri decimali anche non periodici. La semplicità di questa estensione è tuttavia solo apparente; per rendercene conto basta considerare operazioni elementari come la somma o il prodotto. Cosa significa sommare o moltiplicare due allineamenti decimali non periodici? Se $\sqrt{2} = \text{1,41421}\dots$ e $\sqrt{3}=\text{ 1,73205 }\dots$ quanto fa, in termini di numeri decimali, $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ ? È chiaro che non possiamo ricorrere all’usuale algoritmo per la somma di due numeri decimali, né trasformare i numeri in frazioni. Una possibile risposta passa attraverso le successioni di Cauchy.

Dette $(a_n)$ e $(b_n)$ le successioni di Cauchy generate dagli allineamenti decimali di $\sqrt{2}$ e $\sqrt{3}$ sappiamo che $(a_n + b_n)$ è ancora una successione di Cauchy equivalente ad un’unica successione generata da un allineamento decimale: l’allineamento decimale di $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ . L’operazione di somma su $A_{10}(\mathbb{Z})/\sim$ vista sopra è dunque indotta da quella su $C(\mathbb{Q})/\sim$ tramite la corrispondenza tra $A_{10}(\mathbb{Z}/\sim$ e $C(\mathbb{Q})/\sim$ vista nella sezione precedente. In modo analogo si possono definire il prodotto e la relazione d’ordine su $A_{10}(\mathbb{Z})$ e, per la corrispondenza tra $S(\mathbb{Q})$ e $C(\mathbb{Q})/\sim$ possiamo fare lo stesso con i tagli di Dedekind. Avvalendoci delle frazioni continue, possiamo analogamente affermare che la somma tra

$\sqrt{2}=[1,2,2,2,2,2,2,\ldots ]$

$\sqrt{3}=[1,1,2,1,2,1,2,\ldots ]$

$\sqrt{2}+\sqrt{3}=[3,6,1,5,7,1,1,4,1,38,43,\ldots ].$

Come vedremo in articoli successivi, il fatto che un numero reale sia una classe d’equivalenza di successioni convergenti di numeri razionali è quanto si sfrutta nel definire il significato di espressioni quali $2^x$ nel caso in cui $x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ .

Tutta la teoria di analisi matematica

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Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

Document

Alessio Fulvi

2024-07-17

Un sito molto utile, professionale e chiaro, che approfondisce vari argomenti. Ho utilizzato questo sito per prepararmi a diversi esami, lo stesso mi ha fornito di strumenti adatti e specifici, permettendomi di colmare lacune che mi portavo avanti dai tempi del liceo. Il sito web è adatto ad una ricerca e risoluzione rapida di ogni quesito inerente alle materie trattate, facile ed intuitivo da utilizzare. Grazie e ben fatto.

Diego Aracri

2024-07-09

ho trovato questo sito mentre preparavo analisi 1 ed ho deciso di consultarlo. mi sono trovato benissimo, ha molto materiale da consultare, sia teorico che pratico, e ogni esercizio è spiegato nei minimi dettagli. consigliatissimo, dubito che altrimenti avrei passato l'esame!

Alessandro Morra

2024-06-20

Grazie, molto rigoroso e chiaro

martina toro

2024-06-13

Sito meraviglioso! Ho scoperto per caso questo sito perché cercavo le soluzioni degli esercizi di Fisica del libro "Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde" del Mazzoldi. Riescono a spiegare in modo chiaro ed esaustivo come si svolgono i problemi. Sono un'ottima risorsa per chi sta affrontando per la prima volta gli esercizi, ma anche per chi ha già una preparazione e vuole chiarire alcuni dubbi. Inoltre sono molto gentili e disponibili. Veramente un'ottima scoperta, consiglio a tutti.

Ugo Cozzi

2024-06-02

Uno dei più bei siti online di matematica e fisica. Dispense ben fatte. Impaginazione perfetta con Latex

antonio elia

2024-05-29

Sito ben fatto e con tanto materiale consultabile, sono cinquantenne autodidatta, ed ho trovato un valido aiuto

Francesco Doria

Un sito bellissimo sia per chi è all'università che alle superiori. Un lavoro fatto con passione e lungo, decisamente da tenere sempre in mente come riferimento, e non solo per gli esercizi. Un grande grazie.

Stefano Parisi

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Costruzioni alternative dei numeri reali

Costruzioni alternative dei numeri reali

Autore

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Introduzione

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Successioni di Cauchy su $\mathbb{Q}$

Dimostrazione.

Dimostrazione.

Dimostrazione punto 1.

Dimostrazione punto 2.

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Dimostrazione punto 2.

Osservazione 1.

Allineamenti decimali

Dimostrazione.

Dimostrazione.

Frazioni continue

Osservazione.

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