Massimi e minimi per funzioni in più variabili: una guida essenziale

Massimi e minimi liberi e vincolati, Teoria Funzioni di più variabili

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Benvenuti nella nostra guida ai massimi e minimi per funzioni in più variabili.

Nelle applicazioni, una funzione di più variabili spesso rappresenta una grandezza fisica o una quantità che varia in relazione a dei parametri: ad esempio un’energia, una distanza, un costo, un profitto relativi a un particolare contesto. Un obiettivo fondamentale è quello di massimizzare o minimizzare queste quantità, e ciò corrisponde matematicamente a studiare le funzioni che le descrivono, in particolare determinandone massimi e minimi.

Questa dispensa è una guida che spiega i principali strumenti disponibili per effettuare questo studio:

Definizione di estremi per funzioni in più variabili;
Teorema di Fermat per funzioni in più variabili e classificazione dei punti stazionari in punti di massimo e minimo locale o di sella.
Determinazione della natura dei punti stazionari attraverso lo studio della matrice hessiana; condizioni necessarie e sufficienti nei casi in cui la matrice hessiana sia definita positiva o negativa, indefinita o semidefinita, attraverso lo studio del determinante hessiano e il criterio di Sylvester.
Strategie utili quando lo studio della matrice hessiana non consente di determinare la natura del punto stazionario in esame.

Il testo è completato dalle raccolte

con ulteriori e interessanti problemi svolti. Attraverso esempi dettagliati ed esercizi mirati, questa guida si rivela un’indispensabile risorsa didattica per chiunque desideri padroneggiare quest’area affascinante della matematica.
Buona lettura!

Sommario

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In questa dispensa vengono definiti e studiati i massimi e minimi di funzioni in più variabili. Si riassume la teoria necessaria per affrontare gli esercizi, ponendo l’attenzione al caso di due e tre variabili. Vengono esplorate anche situazioni in cui le funzioni da studiare non rispettano le ipotesi dei teoremi proposti, in cui i metodi tradizionali falliscono.

Autori e revisori

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Autori: Giulio Binosi.

Revisori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi, Sara Sottile, Matteo Talluri.

Notazioni

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$\mathbb{N}$	Insieme dei numeri naturali;
$\mathbb{Z}$	Insieme dei numeri interi;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$\mathbb{R}^+$	Insieme dei numeri reali positivi;
$\mathbb{R}^-$	Insieme dei numeri reali negativi;
$\mathbb{R}^n$	Spazio euclideo $n$ -dimensionale;
$\partial A$	Frontiera dell’insieme $A$ ;
$A^\circ$	Parte interna dell’insieme $A$ ;
$\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$	Insieme delle matrici quadrate di ordine $n$ con coefficienti reali;
$\operatorname{Id}$	Matrice identità;
$\det(M)$	Determinante della matrice $M$ ;
$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$	Derivata parziale $i$ -esima di $f$ ;
$f_{x_ix_j},\dfrac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}$	Derivata parziale seconda rispetto alle variabili $x_i$ , $x_j$ ;
$\nabla^2f$	Matrice hessiana di $f$ ;
$\mathcal{C}^k(A)$	Spazio delle funzioni continue su $A$ , con derivate parziali di ordine $k$ continue su $A$ .

Introduzione

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Questa dispensa ha per soggetto lo studio della natura dei punti critici di funzioni di più variabili reali, capitolo fondamentale dei corsi di Analisi II per matematica, fisica ed ingegneria. La teoria sottostante agli esercizi si basa sullo studio della matrice hessiana (analogo multimensionale della derivata seconda) attraverso criteri riguardanti forme quadratiche (associate alla matrice hessiana per via della sua simmetria, [1, §6.3]). Vi è tuttavia un’evidente distinzione da sottolineare da cui dipende la difficoltà dell’esercizio e riguarda la definitezza della matrice hessiana stessa:

$\quad$

se la matrice hessiana della funzione valutata in uno dei suoi punti critici è definita o indefinita, l’esercizio può essere considerato “standard” e affrontabile con la teoria che sviluppiamo in queste note (vedi esercizio guida);

se, invece, la matrice hessiana risulta semidefinita, ma non definita, questa teoria non è efficace per concludere la natura di tale punto critico e altre tecniche devono essere utilizzate per conseguire questo obiettivo.

Purtroppo, nella seconda situazione, non vi è un approccio uniforme e devono essere utilizzati metodi da adattare caso per caso. Mostreremo con diversi esempi come affrontare queste situazioni. Esse possono consistere nel provare che il punto è di massimo, minimo o sella utilizzando esplicitamente la definizione (esempi 1.20, 1.19), oppure mediante altri metodi ad-hoc (esempio 1.34). Viene inoltre considerato il caso in cui la funzione non sia sufficientemente differenziabile (esempio 1.9).

L’ultima sezione è infine una raccolta di esercizi in cui si applica quanto espresso precedentemente.

Teoria in pillole

Introduzione.

In questa sezione fissiamo le definizioni e i concetti principali, rimandando a [1, §4] per approfondimenti.

Definizione 1.1 (punto critico). Sia $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione, con $A\subseteq\mathbb{R}^n$ sottoinsieme aperto. Un punto $\overline{x}_0\in A$ si dice punto critico di $f$ se $f$ possiede derivate parziali in $\overline{x}_0$ e vale

$\begin{equation*} \nabla f(\overline{x}_0)\coloneqq \left(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(\overline{x}_0),\dfrac{\partial f}{\partial x_2}(\overline{x}_0),...,\dfrac{\partial f}{\partial x_n}(\overline{x}_0)\right)=(0,...,0). \end{equation*}$

$\quad$

Esplicitamente, un punto $\overline{x}_0$ è punto critico di $f$ se è soluzione del seguente sistema ad $n$ equazioni

$\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\partial f}{\partial x_1}(\overline{x}_0)=0 \\ \quad \vdots \\ \dfrac{\partial f}{\partial x_n}(\overline{x}_0)=0. \end{cases} \end{equation*}$

Esempio 1.2. Sia $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ , definita da $f(x,y,z)\coloneqq 2xy+xz^2$ , per ogni $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ . I punti critici di $f$ soddisfano il seguente sistema di equazioni:

$\quad$

Definizione 1.3. Sia $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione, con $A\subseteq\mathbb{R}^n$ . Un punto $\overline{x}_0\in A$ si dice:

punto di massimo relativo se esiste un intorno aperto $\mathcal{U}_{\overline{x}_0}$ di $\overline{x}_0$ tale che $\begin{equation} f(\overline{x})\leq f(\overline{x}_0),\qquad\forall\bar{x}\in\mathcal{U}_{\overline{x}_0}\cap A; \end{equation}$
punto di minimo relativo se esiste un intorno aperto $\mathcal{U}_{\overline{x}_0}$ di $\overline{x}_0$ tale che $\begin{equation} f(\overline{x})\geq f(\overline{x}_0),\qquad\forall\bar{x}\in\mathcal{U}_{\overline{x}_0}\cap A; \end{equation}$
punto di sella se $\overline{x}_0$ è un punto critico di $f$ e per ogni intorno aperto $\mathcal{U}_{\overline{x}_0}$ di $\overline{x}_0$ , esistono $\overline{y},\overline{z}\in\mathcal{U}_{\overline{x}_0}\cap A$ tali che $\begin{equation} f(\overline{y})\leq f(\overline{x}_0)\leq f(\overline{z}), \end{equation}$ ossia se $\overline{x}_0$ non è né punto di massimo, né punto di minimo;

punto di massimo assoluto se

$\begin{equation*} f(\overline{x})\leq f(\overline{x}_0),\qquad\forall\bar{x}\in A; \end{equation*}$

punto di minimo assoluto se

$\begin{equation*} f(\overline{x})\geq f(\overline{x}_0),\qquad\forall\bar{x}\in A. \end{equation*}$

Infine, $f(\overline{x}_0)\in\mathbb{R}$ si dice massimo relativo (risp. assoluto) se $\overline{x}_0$ è un punto di massimo relativo (risp. assoluto); $f(\overline{x}_0)\in\mathbb{R}$ si dice minimo relativo (risp. assoluto) se $\overline{x}_0$ è un punto di minimo relativo (risp. assoluto);

$\quad$

Osservazione 1.4. È chiaro che se $\overline{x}_0$ è un punto di massimo (o minimo) assoluto è, in particolare, un punto di massimo (o minimo) relativo.

Esempio 1.5. Consideriamo la seguente funzione $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ , definita da

$\begin{equation*} f(x,y):=x^3-y^3-3x+12y,\qquad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Verifichiamo se $f$ ammette massimo o minimo assoluti.

Svolgimento. Condizione necessaria affinché $f$ ammetta massimo o minimo assoluti è che $f(\mathbb{R}^2)$ sia un sottoinsieme superiormente o inferiormente limitato di $\mathbb{R}$ . Tuttavia, presenteremo due direzioni lungo le quali la funzione assume valori in modulo sempre maggiori, tendenti ad infinito, contraddicendo la limitatezza di $f(\mathbb{R}^2)$ .

Consideriamo, ad esempio, la semiretta $\Gamma_+$ parametrizzata da

$\begin{equation*} \Gamma_+:=\{(t,0)\mid t\in\mathbb{R}^+\} \end{equation*}$

e rappresentata in verde in figura 2. La restrizione $f\big|_{\Gamma_+}$ di $f$ a $\Gamma_+$ risulta essere definita da

$\begin{equation*} f(t,0)=t^3-3t,\qquad \forall t \geq 0 \end{equation*}$

e allora

$\begin{equation*} \lim_{t\to+\infty}f(t,0)=+\infty. \end{equation*}$

Questo permette di concludere che $f$ non ammette massimo assoluto, poiché $f(\mathbb{R}^2)$ è superiormente illimitato.

Proviamo infine che $f$ non ammette nemmeno minimo. Consideriamo la semiretta

$\begin{equation*} \Gamma_-:=\{(t,0)\mid t\in\mathbb{R}^-\}=\{(-t,0)\mid (t,0)\in\Gamma_+\}, \end{equation*}$

rappresentata in rosso in figura 2. Dato che la restrizione di $f$ all’asse $x$ è una funzione dispari, risulta

$\begin{equation*} \lim_{t\to-\infty}f(t,0)=-\lim_{t\to-\infty}f(-t,0)=-\lim_{t\to+\infty}f(t,0)=-\infty. \end{equation*}$

Ciò prova che $f(\mathbb{R}^2)$ è inferiormente illimitato e dunque $f$ non ammette nemmeno minimo assoluto. In questo esempio viene enfatizzato separatamente che la funzione presenta cammini lungo cui è inferiormente e superiormente illimitata. Più sinteticamente, bastava osservare che la restrizione di $f$ all’asse $x$ è illimitata sia superiormente, sia inferiormente, in particolare $\sup f = + \infty$ e $\inf f=-\infty$ , cioè $f$ non ammette massimi e minimi assoluti.

$\quad$

Massimi e minimi per funzioni in più variabili

Figura 2: le semirette $\Gamma_+$ e $\Gamma_-$ dell’esempio 1.6. La restrizione di $f$ a queste semirette è illimitata.

$\quad$

Esempio 1.6. Consideriamo la seguente funzione $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ , definita da

$\begin{equation*} f(x,y):=x^2+y^2,\qquad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Verifichiamo se $f$ ammette massimo o minimo assoluti.

Svolgimento. Osserviamo immediatamente che $f$ non è superiormente limitata, infatti, procedendo come nell’esempio precedente, consideriamo la retta $\Gamma\coloneqq\{(t,0)\mid t\in\mathbb{R}\}$ ; la restrizione di $f$ a $\Gamma$ è

$\begin{equation*} f(t,0)=t^2\qquad\forall t\in\mathbb{R}, \end{equation*}$

da cui

$\begin{equation*} \lim_{t\to\pm\infty}f(t,0)=+\infty. \end{equation*}$

Mostriamo tuttavia che $0=f(0,0)$ è minimo assoluto di $f$ . Ciò segue immediatamente dal fatto che

$\begin{equation*} f(x,y)=x^2+y^2\geq 0\qquad\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Dunque $f$ ammette minimo assoluto pari a $0$ , ma non ammette massimo assoluto.

Teoremi del calcolo differenziale.

Presentiamo in questa sezione alcuni dei teoremi centrali riguardo lo studio di massimi e minimi attraverso l’analisi dei punti critici.

Il seguente teorema è fondamentale nello studio di problemi di massimo e minimo. Esso fornisce una condizione necessaria affinché una funzione differenziabile assuma massimo o minimo relativo in un punto, nonché una relazione tra punti di massimo (e minimo) e punti critici.

Teorema 1.7 (Fermat). Sia $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ , con $A\subseteq\mathbb{R}^n$ . Supponiamo che

$\quad$

$\overline{x}_0$ sia un punto di massimo (o minimo) relativo di $f$ ;

$\overline{x}_0\in A^\circ$ ;

esistono le derivate parziali di $f$ in $\overline{x}_0$ .

Allora $\overline{x}_0$ è un punto critico di $f$ , ovvero vale

$\begin{equation*} \nabla f(\overline{x}_0)=(0,...,0). \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Vedi [1, teorema 3.17].

Questo teorema stabilisce che nella ricerca dei punti di massimo e di minimo relativi di $f$ sia sufficiente considerare solamente i suoi punti critici o i punti in cui le derivate parziali di $f$ non esistono o, infine, i punti di frontiera del dominio. Ciò significa che è possibile scartare tutti i punti $\overline{x}$ interni al dominio, in cui le derivate parziali di $f$ esistono e $\nabla f(\overline{x})\neq(0,...,0)$ .

Osservazione 1.8. Sia la condizione $\overline{x}_0\in A^\circ$ , sia l’esistenza delle derivate parziali di $f$ in $\overline{x}_0$ sono necessarie per la validità del teorema di Fermat 1.7. Possiamo infatti considerare i seguenti controesempi in una dimensione, in cui le derivate parziali sono sostituite dall’unica derivata in senso ordinario:

Punto non interno: consideriamo $A = [0,1]$ e la funzione $f \colon [0,1] \to \mathbb{R}$ , definita da

$f(x)=x,\qquad \forall x\in[0,1].$

$\overline{x}_0=1$ è un punto di massimo relativo per $f$ e $f$ è differenziabile in $\overline{x}_0$ , tuttavia $\nabla f(\overline{x}_0)=f'(1)=1\neq 0$ . Tuttavia, il teorema di Fermat 1.7 non si applica poiché $1\in\partial A=A\setminus A^\circ$ . Lo stesso vale per il punto di minimo per $f$ , $\overline{x}_1=0$ , in cui il gradiente non si annulla, ma non sono rispettate le ipotesi del teorema, essendo $\overline{x}_1$ un punto di frontiera di $A$ .

Massimi e minimi per funzioni in più variabili

Punto di non differenziabilità: consideriamo $A = [-1,1]$ e la funzione $f \colon [-1,1] \to \mathbb{R}$ , definita da

$f(x)=|x|,\qquad \forall x\in[-1,1].$

$\overline{x}_0=0$ è un punto di minimo relativo per $f$ e $0\in A^\circ$ , tuttavia non esiste $\nabla f(\overline{x}_0)$ , in particolare, non possiamo concludere che $\nabla f(\overline{x}_0)=0$ . In questo caso il teorema di Fermat 1.7 non si applica poiché non esiste la derivata di $f$ in $\overline{x}_0$ .

In generale, non è detto che le derivate parziali di una funzione esistano in ciascun punto del suo dominio. Occorre quindi studiare la natura di tali punti utilizzando altri metodi, che richiedono informazioni particolari sulla funzione in esame. Il prossimo esempio mostra come si possa procedere in uno di questi casi.

Esempio 1.9. Studiamo i punti stazionari e i punti di massimo o minimo locale di $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ , definita da

$\begin{equation*} f(x,y):=\sqrt{4x^2+y^2}, \qquad\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Svolgimento. Mostriamo che $f$ non è derivabile in $(0,0)$ . Ricordiamo che $f$ è derivabile in $(0,0)$ se e solo se esistono finite le derivate parziali in $(0,0)$ . Proviamo a calcolare la derivata di $f$ rispetto ad $x$ applicando la definizione:

$\begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0):=\lim_{h\to 0^\pm}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0^\pm}\dfrac{\sqrt{4h^2}}{h}=\lim_{h\to0^\pm}\dfrac{2|h|}{h}=\pm1. \end{equation*}$

Poiché limite destro e limite sinistro non coincidono, non esiste la derivata parziale di $f$ rispetto ad $x$ e quindi $f$ non è derivabile in $(0,0)$ . Concludiamo anche che $(0,0)$ non è un punto critico di $f$ , poiché per definizione un punto critico è un punto di derivabilità in cui si annulla il gradiente.

Ricerchiamo esplicitamente i punti critici di $f$ , calcolando il gradiente di $f$ attraverso le derivate parziali laddove esse esistono, ovvero su $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ . Assumiamo dunque $(x,y)\neq(0,0)$ e otteniamo

$\begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{8x}{2\sqrt{4x^2+y^2}}=\dfrac{4x}{\sqrt{4x^2+y^2}} \end{equation*}$

$\begin{equation*} \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{2y}{2\sqrt{4x^2+y^2}}=\dfrac{y}{\sqrt{4x^2+y^2}}, \end{equation*}$

da cui

(1) $\begin{equation*} \nabla f(x,y)=\left(\dfrac{4x}{\sqrt{4x^2+y^2}},\dfrac{y}{\sqrt{4x^2+y^2}}\right)\qquad \forall(x,y)\neq(0,0). \end{equation*}$

I punti critici di $f$ sono allora le coppie $(x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0\}$ che annullano il gradiente, ovvero soddisfano

$\begin{equation*} \nabla f(x,y)=\left(\dfrac{4x}{\sqrt{4x^2+y^2}},\dfrac{y}{\sqrt{4x^2+y^2}}\right)=(0,0). \end{equation*}$

Risolviamo pertanto il sistema

$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} \dfrac{4x}{\sqrt{4x^2+y^2}}=0\\\\ \dfrac{y}{\sqrt{4x^2+y^2}}=0. \end{array}\right. \end{equation*}$

Ricordiamo che abbiamo supposto $(x,y)\neq(0,0)$ , quindi $\sqrt{4x^2+y^2}\neq0$ e possiamo moltiplicare entrambi i membri di entrambe le equazioni per la quantità non nulla $\sqrt{4x^2+y^2}$ , ottenendo in questo modo

$\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} 4x=0\\\\ y=0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=0\\\\ y=0. \end{array}\right. \end{equation*}$

L’unica soluzione del sistema è il punto $(x,y)=(0,0)$ che tuttavia non è accettabile, poiché l’equazione (1) vale solo per $(x,y)\neq(0,0)$ . Concludiamo allora che $f$ non ha punti critici.

Il fatto che $f$ non abbia punti critici non significa necessariamente che non presenti punti di massimo o minimo locale. Infatti, possiamo applicare il teorema di Fermat 1.7 solo sull’insieme aperto $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ , su cui $f$ è differenziabile: poiché nessun punto soddisfa la condizione necessaria imposta dal teorema di Fermat, concludiamo che $(x,y)$ non è punto di massimo o di minimo locale per $f$ , qualsiasi sia $(x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ .

Rimane, tuttavia, da indagare il punto di non derivabilità $(0,0)$ , su cui il criterio di Fermat non può essere applicato. Siamo costretti ad utilizzare la definizione di punto di massimo o di minimo relativo. Osserviamo infatti che $f$ è una funzione non negativa, ovvero $f(\mathbb{R}^2)\subseteq[0,+\infty)$ . Ciò significa che

$\begin{equation*} 0=f(0,0)\leq f(x,y)\qquad\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2. \end{equation*}$

Dunque, per definizione, $(0,0)$ è un punto di minimo assoluto per $f$ e, in particolare, è anche un punto di minimo relativo per $f$ . Il grafico di $f$ in un intorno dell’origine è rappresentato in figura 3.

$\quad$

Massimi e minimi per funzioni in più variabili

Figura 3: grafico della funzione $f$ dell’esempio 1.9. Si vede che $f$ non è differenziabile nell’origine, ma tale punto è di minimo assoluto.

$\quad$

Nei punti di regolarità, il prossimo strumento si rivelerà fondamentale.

Definizione 1.10 (matrice hessiana). Sia $A\subseteq\mathbb{R}^n$ un insieme aperto, $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione e sia $\overline{x}\in A$ . Supponiamo che in $\overline{x}$ esistano tutte le derivate seconde parziali di $f$ , $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(\overline{x})$ , per $i,j=1,...,n$ . Si definisce matrice hessiana di $f$ in $\overline{x}$ la matrice contenente tutte le derivate parziali seconde di $f$ in $\overline{x}$ :

$\begin{equation*} \nabla^2f(\overline{x})\coloneqq \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2f}{\partial x_1^2}(\overline{x})&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_2}(\overline{x})&\cdot\cdot\cdot&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_n}(\overline{x})\\[5pt] \dfrac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_1}(\overline{x})&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_2^2}(\overline{x})&\cdots&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_n}(\overline{x})\\[5pt] \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[5pt] \dfrac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_1}(\overline{x})&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_2}(\overline{x})&\cdot\cdot\cdot&\dfrac{\partial^2f}{\partial x_n^2}(\overline{x}) \end{pmatrix}. \end{equation*}$

$\quad$

Il seguente teorema afferma che, sotto opportune ipotesi di regolarità, la matrice hessiana è sempre simmetrica.

Teorema 1.11 (Schwarz). Sia $A \subseteq \mathbb{R}^n$ un insieme aperto e sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ una funzione di classe $\mathcal{C}^2(A)$ ¹. Allora per ogni $i,j=1,...,n$ e per ogni $\overline{x}\in A$ ,

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(\overline{x})=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}(\overline{x}).$

In altre parole, la matrice hessiana $\nabla^2f$ è simmetrica.

Una funzione $f$ si dice di classe $\mathcal{C}^2(A)$ su un insieme aperto $A$ se la funzione stessa e le sue derivate di primo e secondo ordine sono funzioni continue su $A$ . ↩

$\quad$

Dimostrazione. Vedi [1, teorema 3.14].

Esempio 1.12. Sia $f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$ , definita da $f(x,y,z)\coloneqq x^3+xy^2z$ , per ogni $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ . Calcoliamo la matrice hessiana di $f$ .

Svolgimento. Calcoliamo le derivate prime parziali di $f$ :

$\begin{equation*} \begin{split} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)&=3x^2+y^2z,\qquad\forall(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)&=2xyz,\qquad\forall(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\\ \dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)&=xy^2,\qquad\forall(x,y,z)\in\mathbb{R}^3. \end{split} \end{equation*}$

Ora le derivate seconde: essendo $f$ un polinomio, è in particolare di classe $\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2)$ , pertanto, dal teorema di Schwarz 1.11, basterà calcolare sei derivate, anziché nove. In ogni punto $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ , si ha

$\begin{equation*} \begin{split} &\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y,z)=6x,\qquad \dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y,z)=2yz=\dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x,y,z),\\\\ &\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial z}(x,y,z)=y^2=\dfrac{\partial^2f}{\partial z\partial x}(x,y,z),\qquad\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y,z)=2xz,\\\\ &\dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial z}(x,y,z)=2xy=\dfrac{\partial^2f}{\partial z\partial y}(x,y,z),\qquad\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2}(x,y,z)=0. \end{split} \end{equation*}$

Dunque, la matrice hessiana di $f$ risulta essere

$\begin{equation*} \nabla^2f(x,y,z)=\begin{pmatrix} 6x&2yz&y^2\\\\ 2yz&2xz&2xy\\\\ y^2&2xy&0 \end{pmatrix},\qquad\forall (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \end{equation*}$

che è, appunto, simmetrica.

Dato un punto critico, esso potrebbe essere un punto di massimo relativo, un punto di minimo relativo, oppure un punto di sella. Per indagare la sua natura, richiamiamo il seguente teorema.

Teorema 1.13 (Taylor). Sia $A \subseteq \mathbb{R}^n$ un insieme aperto e sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ una funzione di classe $\mathcal{C}^2(A)$ . Allora per ogni $\overline{x}_0\in A$ esiste un intorno aperto $\mathcal{U}_{\overline{x}_0}$ di $\overline{x}_0$ in cui vale

$\begin{equation*} f(\overline{x})=f(\overline{x}_0)+\nabla f(\overline{x}_0)\cdot (\overline{x}-\overline{x}_0)+\dfrac{1}{2}(\overline{x}-\overline{x}_0)^t\cdot\nabla^2f(\overline{x}_0)\cdot(\overline{x}-\overline{x}_0)+R(\overline{x}),\qquad\forall \overline{x}\in\mathcal{U}_{\overline{x}_0}, \end{equation*}$

dove $R(\overline{x})=o(||\overline{x}-\overline{x}_0||^2)$ , ovvero soddisfa

$\begin{equation*} \lim_{\overline{x}\to\overline{x}_0}\dfrac{R(\overline{x})}{||\overline{x}-\overline{x}_0||^2}=0. \end{equation*}$

Il polinomio

$\begin{equation*} T^2_{f,\overline{x}_0}(\overline{x}):=f(\overline{x}_0)+\nabla f(\overline{x}_0)\cdot (\overline{x}-\overline{x}_0)+\dfrac{1}{2}(\overline{x}-\overline{x}_0)^t\cdot\nabla^2f(\overline{x}_0)\cdot(\overline{x}-\overline{x}_0) \end{equation*}$

è l’unico polinomio di secondo grado che verifica le condizioni precedenti e viene detto polinomio di Taylor di grado 2 di $f$ con centro $\overline{x}_0$ .

$\quad$

Dimostrazione. Vedi [1, teorema 3.15].

Osservazione 1.14. Il teorema di Taylor afferma che il polinomio di Taylor di secondo grado di una funzione $f$ con centro $\overline{x}_0$ rappresenta la parabola che meglio approssima $f$ in un intorno di $\overline{x}_0$ . Infatti esso è l’unico polinomio di secondo grado che, in un intorno di $x_0$ , soddisfa

$\begin{equation*} f(\overline{x})-T^2_{f,\overline{x}_0}=o(||\overline{x}-\overline{x}_0||^2), \end{equation*}$

cioè approssima $f$ con un resto che è un infinitesimo di ordine superiore al secondo.

Il prossimo corollario applica il precedente teorema al caso in cui $\overline{x}_0$ sia un punto critico.

Corollario 1.15. Sia $A \subseteq \mathbb{R}^n$ un insieme aperto, $f \colon A \to \mathbb{R}$ una funzione di classe $\mathcal{C}^2(A)$ e $\overline{x}_0\in A$ un punto critico di $f$ . Allora, esiste un intorno di $\mathcal{U}_{\overline{x}_0}$ di $\overline{x}_0$ in cui vale

$\begin{equation*} f(\overline{x})-f(\overline{x}_0)=\dfrac{1}{2}(\overline{x}-\overline{x}_0)^t\cdot\nabla^2f(\overline{x}_0)\cdot(\overline{x}-\overline{x}_0)+o(||\overline{x}-\overline{x}_0||^2),\qquad\forall \overline{x}\in\mathcal{U}_{\overline{x}_0}. \end{equation*}$

$\quad$

A questo punto, mettiamo insieme i risultati e torniamo al problema iniziale dello studio dei massimi e minimi relativi di una funzione. Per definizione, sappiamo che $\overline{x}_0$ è un punto di massimo (minimo, rispettivamente) relativo per $f$ se esiste un intorno $\mathcal{U}_{\overline{x}_0}$ di $\overline{x}_0$ in cui vale

$\begin{equation*} f(\overline{x})-f(\overline{x}_0)\leq 0 \qquad (f(\overline{x})-f(\overline{x}_0)\geq 0 , \ \text{risp.}),\qquad\forall \overline{x}\in\mathcal{U}_{\overline{x}_0}. \end{equation*}$

Per il teorema di Fermat 1.7, i punti di massimo o minimo relativi di una funzione differenziabile vanno ricercati tra i suoi punti critici e per il corollario 1.15 il segno di $f(\overline{x})-f(\overline{x}_0)$ in un intorno di $\overline{x}_0$ dipende prevalentemente dal segno di

$(\overline{x}-\overline{x}_0)^t\cdot\nabla^2f(\overline{x}_0)\cdot(\overline{x}-\overline{x}_0),$

poiché il resto è un infinitesimo di ordine superiore. Questa osservazione sarà alla base del criterio che formuleremo per studiare la natura dei punti critici.

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