Nelle applicazioni, una funzione di più variabili spesso rappresenta una grandezza fisica o una quantità che varia in relazione a dei parametri: ad esempio un’energia, una distanza, un costo, un profitto relativi a un particolare contesto. Un obiettivo fondamentale è quello di massimizzare o minimizzare queste quantità, e ciò corrisponde matematicamente a studiare le funzioni che le descrivono, in particolare determinandone massimi e minimi.
Questa dispensa è una guida che spiega i principali strumenti disponibili per effettuare questo studio:
- Definizione di estremi per funzioni in più variabili;
- Teorema di Fermat per funzioni in più variabili e classificazione dei punti stazionari in punti di massimo e minimo locale o di sella.
- Determinazione della natura dei punti stazionari attraverso lo studio della matrice hessiana; condizioni necessarie e sufficienti nei casi in cui la matrice hessiana sia definita positiva o negativa, indefinita o semidefinita, attraverso lo studio del determinante hessiano e il criterio di Sylvester.
- Strategie utili quando lo studio della matrice hessiana non consente di determinare la natura del punto stazionario in esame.
Il testo è completato dalla raccolta di esercizi su punti di massimo e minimi liberi e dalla raccolta di esercizi su punti a determinante hessiano nullo
con ulteriori e interessanti problemi svolti. Attraverso esempi dettagliati ed esercizi mirati, questa guida si rivela un’indispensabile risorsa didattica per chiunque desideri padroneggiare quest’area affascinante della matematica.