Introduzione.
In queste note enunceremo e dimostreremo il teorema di esistenza del limite di successioni monotone: un teorema che afferma che ogni successione monotona (non crescente o non decrescente) di numeri reali ammette limite o, più precisamente, il limite di una successione non decrescente è il suo estremo superiore, mentre il limite di una successione non crescente è il suo estremo inferiore.
Partiamo richiamando cosa si intende per successione monotona crescente o decrescente.
Definzione 1. Sia una successione di numeri reali, diremo che
è monotona non decrescente (oppure crescente in senso lato) se
In altri termini, una successione è non decrescente se, all’aumentare dell’indice della successione, aumenta (o rimane invariato) anche il valore della successione.
Diamo ora una definizione più restrittiva in cui la successione deve necessariamente crescere al crescere dell’indice.
Definzione 2. Sia una successione di numeri reali, diremo che
è strettamente monotona crescente se
Osserviamo dunque esplicitamente che ogni successione strettamente monotona crescente è, per definizione, monotona non decrescente. Non è vero però il contrario: ad esempio, si consideri la successione , è chiaro che
è monotona non decrescente ma non strettamente monotona crescente. Pertanto una successione strettamente monotona crescente è non decrescente, ma non vale il viceversa.
Definzione 3. Sia una successione di numeri reali, diremo che
è non crescente (oppure decrescente in senso lato) se
In altri termini, una successione è non crescente se, all’aumentare dell’indice della successione, diminuisce (o rimane invariato) il valore della successione.
Diamo ora una definizione più restrittiva.
Definzione 4. Sia una successione di numeri reali, diremo che
è strettamente monotona decrescente se
Come prima, osserviamo esplicitamente che ogni successione strettamente monotona decrescente è, per definizione, monotona non crescente.
Definizione 5. Sia una successione di numeri reali, diremo che
è (strettamente) monotona se è (strettamente) monotona crescente o (strettamente) monotona decrescente.
Prima di enunciare e passare alla dimostrazione principale di queste note, diamo la definizione, ancora più generale, di successione definitivamente monotona.
Definizione 6. Una successione è definitivamente monotona se la sua monotonia è valida a partire da un certo indice in poi, ovvero
(e non necessariamente per tutti i suoi termini in generale, ovvero
).
Più precisamente, diremo, per esempio, che una successione è definitivamente monotona non decrescente se
tale che
Osserviamo esplicitamente che ogni successione monotona è quindi per definizione definitivamente monotona, prendendo .
Osservazione. In letteratura si possono trovare definizioni leggermente diverse rispetto a quelle che abbiamo proposto, e a volte non viene osservata una distinzione rigorosa tra monotonia in senso stretto e lato. Alcuni autori utilizzano i termini “crescente/decrescente” intendendo “crescente/decrescente in senso stretto”, altri intendendo invece l’opposto, cioè “crescente/decrescente in senso lato”. Abbiamo proposto qui le definizioni che riteniamo meno ambigue e più consistenti, ma invitiamo a prestare attenzione alle definizioni e al contesto quando si consultano fonti esterne.
Limite di una successione monotona.
Eccoci al cuore di queste note: passiamo ad enunciare e a dare una dimostrazione del teorema di esistenza del limite di successioni monotone.
Teorema sull’esistenza del limite di una successione monotona. Sia una successione monotona. Allora esiste
tale che
Se
è monotona crescente allora
;
è monotona decrescente allora
.
Supponiamo per iniziare che sia monotona non decrescente, ovvero
Procediamo ora a seconda che sia limitata oppure illimitata.
1: limitata superiormente. Fissiamo
arbitrario e sia
. Se
è limitata superiormente, per definizione di estremo superiore deve valere che
è più grande di tutti i termini della successione
, ovvero
ma appena si toglie da
esiste sempre un termine della successione più grande di
(per definizione di estremo superiore), ovvero:
Ma, per monotonia, per ogni abbiamo
ovvero che , che è un modo esplicito per dire che, dall’
-esimo in poi, tutti i termini della successione si trovano in un intorno centrato in
e di raggio
:
Per arbitrarietà di concludiamo che
2: illimitata superiormente. Sia
e fissiamo
. Se
non è una successione limitata superiormente, per definizione,
e inoltre
tale che
.
Ma, per monotonia, abbiamo che , quindi
Si conclude che
cioè
Per quanto riguarda il caso in cui è monotona non crescente, si può procedere in modo analogo, cambiando opportunamente le definizioni e le disuguaglianze usate nel procedimento sopra. Alternativamente, si può procedere in modo più diretto. Se infatti
è una successione monotona non crescente, allora
è monotona non decrescente, per cui, per quanto appena dimostrato, si ha:
che è proprio quello che volevamo dimostrare.
Si osservi che sia il caso di monotona crescente o
monotona decrescente si poteva procedere ragionando per assurdo.