Limite di una successione monotona

Teoria sulle Successioni

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Introduzione.

In queste note enunceremo e dimostreremo il teorema di esistenza del limite di successioni monotone: un teorema che afferma che ogni successione monotona (non crescente o non decrescente) di numeri reali ammette limite o, più precisamente, il limite di una successione non decrescente è il suo estremo superiore, mentre il limite di una successione non crescente è il suo estremo inferiore.

Partiamo richiamando cosa si intende per successione monotona crescente o decrescente.

 

Definzione 1.  Sia \{a_n\} una successione di numeri reali, diremo che \{a_n\} è monotona non decrescente (oppure crescente in senso lato) se

    \[a_n \leq a_{n+1}, \; \forall n \in \mathbb{N}.\]

 

In altri termini, una successione è non decrescente se, all’aumentare dell’indice della successione, aumenta (o rimane invariato) anche il valore della successione.

Diamo ora una definizione più restrittiva in cui la successione deve necessariamente crescere al crescere dell’indice.

Definzione 2.  Sia \{a_n\} una successione di numeri reali, diremo che \{a_n\} è strettamente monotona crescente se

    \[a_n < a_{n+1}, \; \forall n \in \mathbb{N}.\]

 

Osserviamo dunque esplicitamente che ogni successione strettamente monotona crescente è, per definizione, monotona non decrescente. Non è vero però il contrario: ad esempio, si consideri la successione a_n=1, 1, 2, 2, 3, 3,\dots, è chiaro che \{a_n\} è monotona non decrescente ma non strettamente monotona crescente. Pertanto una successione strettamente monotona crescente è non decrescente, ma non vale il viceversa.

Definzione 3.  Sia \{a_n\} una successione di numeri reali, diremo che \{a_n\} è non crescente (oppure decrescente in senso lato) se

    \[a_n \geq a_{n+1}, \; \forall n \in \mathbb{N}.\]

 

In altri termini, una successione è non crescente se, all’aumentare dell’indice della successione, diminuisce (o rimane invariato) il valore della successione.

 

Diamo ora una definizione più restrittiva.

Definzione 4 Sia \{a_n\} una successione di numeri reali, diremo che \{a_n\} è strettamente monotona decrescente se

    \[a_n > a_{n+1}, \; \forall n \in \mathbb{N}.\]

 

Come prima, osserviamo esplicitamente che ogni successione strettamente monotona decrescente è, per definizione, monotona non crescente.

Definizione 5.  Sia \{a_n\} una successione di numeri reali, diremo che \{a_n\} è (strettamente) monotona se è (strettamente) monotona crescente o (strettamente) monotona decrescente.

 

Prima di enunciare e passare alla dimostrazione principale di queste note, diamo la definizione, ancora più generale, di successione definitivamente monotona.

Definizione 6.  Una successione è definitivamente monotona se la sua monotonia è valida a partire da un certo indice \widetilde{N} \in \mathbb{N} in poi, ovvero \forall n \geq \widetilde{N} (e non necessariamente per tutti i suoi termini in generale, ovvero \forall n \in \mathbb{N}).

 

Più precisamente, diremo, per esempio, che una successione \{a_n\} è definitivamente monotona non decrescente se \exists \widetilde{N} \in \mathbb{N} tale che

    \[a_n \leq a_{n+1}, \; \forall n \geq \widetilde{N}.\]

Osserviamo esplicitamente che ogni successione monotona è quindi per definizione definitivamente monotona, prendendo \widetilde{N} = 0.

 

Osservazione. In letteratura si possono trovare definizioni leggermente diverse rispetto a quelle che abbiamo proposto, e a volte non viene osservata una distinzione rigorosa tra monotonia in senso stretto e lato. Alcuni autori utilizzano i termini “crescente/decrescente” intendendo “crescente/decrescente in senso stretto”, altri intendendo invece l’opposto, cioè “crescente/decrescente in senso lato”. Abbiamo proposto qui le definizioni che riteniamo meno ambigue e più consistenti, ma invitiamo a prestare attenzione alle definizioni e al contesto quando si consultano fonti esterne.

 

Limite di una successione monotona.

Eccoci al cuore di queste note: passiamo ad enunciare e a dare una dimostrazione del teorema di esistenza del limite di successioni monotone.

 

 

Teorema sull’esistenza del limite di una successione monotona.  Sia \{a_n\} una successione monotona. Allora esiste \ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty \} tale che

    \[\lim_{n \to +\infty} a_n = \ell.\]

Se

  • \{a_n\} è monotona crescente allora \ell = \sup \{a_n\};
  • \{a_n\} è monotona decrescente allora \ell = \inf \{a_n\}.

 

Supponiamo per iniziare che \{a_n\} sia monotona non decrescente, ovvero

    \[a_n \leq a_{n+1}, \; \forall n \in \mathbb{N}.\]

Procediamo ora a seconda che \{a_n\} sia limitata oppure illimitata.

 

1: \boldsymbol{\{a_n\}} limitata superiormente.  Fissiamo \varepsilon > 0 arbitrario e sia \ell = \sup \{a_n\}. Se \{a_n\} è limitata superiormente, per definizione di estremo superiore deve valere che \ell è più grande di tutti i termini della successione \{a_n\}, ovvero

    \[a_n \leq \ell, \; \forall n \in \mathbb{N};\]

ma appena si toglie \varepsilon da \ell esiste sempre un termine della successione più grande di \ell - \varepsilon (per definizione di estremo superiore), ovvero:

    \[\forall \varepsilon>0\,\, \exists N_\varepsilon>0:\, \ell- \varepsilon< a_{N_\varepsilon} .\]

Ma, per monotonia, per ogni n \geq N_\varepsilon abbiamo

    \[\ell - \varepsilon < a_{N_\varepsilon} \leq a_n \leq \ell < \ell +\varepsilon ,\]

ovvero che |a_n -\ell| < \varepsilon, \; \forall n \geq N_\varepsilon, che è un modo esplicito per dire che, dall’N_\varepsilon-esimo in poi, tutti i termini della successione si trovano in un intorno centrato in \ell e di raggio \varepsilon:

    \[a_n \in I_\varepsilon(\ell), \quad\forall n \geq N_\varepsilon.\]

Per arbitrarietà di \varepsilon concludiamo che

    \[\lim_{n \to + \infty} a_n = \ell.\]

\phantom{a}\qquad\qed

 

2: \boldsymbol{\{a_n\}} illimitata superiormente.  Sia \ell = \sup \{a_n\} e fissiamo M>0. Se \{a_n\} non è una successione limitata superiormente, per definizione, \ell= +\infty e inoltre \exists N_M \in \mathbb{N} tale che a_{N_M} \geq M.
Ma, per monotonia, abbiamo che a_n \geq a_{N_M}, \; \forall n \geq N_M, quindi

    \[a_n\geq a_{N_M}>M,\quad \forall n\geq N_M.\]

Si conclude che

    \[\forall M>0 \,\, \exists N_M>0:\,\, \forall n \geq N_M, \,\, a_n>M,\]

cioè

    \[\lim_{n \to +\infty} a_n =\ell= +\infty.\]

\phantom{a}\qquad\qed

 

Per quanto riguarda il caso in cui \{a_n\} è monotona non crescente, si può procedere in modo analogo, cambiando opportunamente le definizioni e le disuguaglianze usate nel procedimento sopra. Alternativamente, si può procedere in modo più diretto. Se infatti \{a_n\} è una successione monotona non crescente, allora \{-a_n\} è monotona non decrescente, per cui, per quanto appena dimostrato, si ha:

    \[\lim_{n \to + \infty} a_n = - \lim_{n \to + \infty} (- a_n) = -\sup \{-a_n\} = \inf \{a_n\},\]

che è proprio quello che volevamo dimostrare.

\phantom{a}\qquad\qed

 

 

Si osservi che sia il caso di \{a_n \} monotona crescente o \{a_n\} monotona decrescente si poteva procedere ragionando per assurdo.