Regola della Catena — Teoria ed esempi.

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Regola della catena

La regola della catena è uno strumento nell’Analisi Matematica che studia la differenziabilità di una composizione di funzioni. Questa dispensa approfondisce la teoria sia per funzioni di una singola variabile sia per quelle di più variabili, offrendo un’ampia panoramica di esempi di applicazione. Il testo è concluso da una serie di stimolanti esercizi per il lettore, che completano lo studio sviluppato precedentemente.

La dispensa guida dunque il lettore verso una comprensione naturale e approfondita di un aspetto fondamentale per lo studio delle funzioni.

Segnaliamo i seguenti articoli su argomenti di teoria collegati:

Consigliamo inoltre le seguenti raccolte di esercizi:

Sommario

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Questa dispensa tratta della regola della catena, ossia dei teoremi che stabiliscono la derivabilità della composizione di funzioni derivabili e forniscono formule esplicite per le derivate. Dopo aver esposto la teoria per funzioni di una variabile e di più variabili, vengono presentati alcuni esercizi sull’argomento.

Autori e revisori

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Autore: Giacomo Vianello.

Revisori: Luigi De Masi, Matteo Talluri, Davide La Manna, Jacopo Garofali, Daniele Bjørn Malesani, Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Notazioni

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$\mathbb{N}$

$\mathbb{R}$

$x_i$

$f_j$

$\|x\|$

$\mathbb{R}^{m \times d}$

$\partial_i f(x)$

$Df(x)$

$\nabla f (x)$

$\overset{\cdot}{\gamma}$

Insieme dei numeri naturali

Insieme dei numeri reali

Componente $i$ -esima di $x \in \mathbb{R}^d$ rispetto alla base canonica: $x=(x_1,\dots,x_d)$

data $f=(f_1,\dots,f_m)$ una funzione a valori in $\mathbb{R}^m$ , la componente $j$ di $f$

norma di un vettore $x \in \mathbb{R}^{d}$

insieme delle matrici aventi $m$ righe e $d$ colonne a coefficienti reali

derivata parziale nella direzione $x_i$ della funzione $f$ nel punto $x$

matrice jacobiana della funzione $f$ in $x$ ;

gradiente della funzione $f$ in $x$ ;

derivata (o velocità) di una curva $\gamma \colon [a,b] \to \mathbb{R}^n$

$\quad$

Introduzione

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In Matematica, quando si introduce un nuovo concetto, è importante studiarne le relazioni con le nozioni già note. Questa dispensa tratta della relazione tra il concetto di derivata e quello di composizione di funzioni. Infatti, una volta definita la nozione di derivata, si vede abbastanza facilmente che, sotto opportune ipotesi, la somma, il prodotto e il quoziente di funzioni derivabili sono derivabili e si ricavano anche delle formule per il calcolo esplicito di tali derivate, che risultano molto utili nelle applicazioni.

Una gran varietà di funzioni può essere ottenuta da funzioni elementari utilizzando le suddette operazioni algebriche e loro composizioni.¹ Ne è un esempio la funzione $h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(1) $\begin{equation*} h(x)=e^{x +\sin x} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Essa infatti è costituita dalla composizione $\exp \circ (\operatorname{Id} + \sin)$ , e ciascuno di tali “fattori” è derivabile in $\mathbb{R}$ . Risulta pertanto naturale chiedersi se anche la loro composizione $h$ lo sia e se la derivata $h'$ possa esprimersi mediante le derivate delle funzioni $\exp$ e $\sin$ , che sono note.

La risposta a tale questione è affermativa, ed è costituita dalla cosiddetta regola della catena. Essa afferma che la composizione $h = g \circ f$ di funzioni derivabili è a sua volta derivabile è la sua derivata $h'(x)$ è pari a $g'(f(x))\cdot f'(x)$ . Per derivare $h$ occorre cioè derivare “in maniera concatenata” le funzioni $g$ e $f$ , rispettando l’ordine dato dalla composizione.

Questa regola si estende facilmente al caso della composizione di 3 o più funzioni, mantenendo questa caratteristica di derivazione concatenata. È inoltre possibile estendere questa proprietà anche a funzioni di più variabili, mantenendo l’espressione formale della derivata di $h$ come “prodotto” delle “derivate” di $g$ e $f$ , dove però queste ultime sono rappresentate in genere da matrici e il prodotto è da intendersi come prodotto di matrici.

La dispensa è organizzata come segue:

nella sezione 1 studiamo la derivazione della composizione di funzioni reali di una sola variabile reale, mostrando nel teorema 1 quanto annunciato sopra e ottenendo anche una formula per la derivata seconda della composizione di funzioni, nel teorema 6;
nella sezione 2 otteniamo nel teorema 10 la regola della catena per funzioni di più variabili;
nella sezione 3 proponiamo alcuni esercizi sull’argomento.

$\[\]$

Si veda [Teoria delle funzioni, sezione 2.2.3] per la definizione e le proprietà basilari della composizione di funzioni. ↩

Funzioni di una variabile

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Siano $f \colon I \to \mathbb{R}$ e $g \colon J \to \mathbb{R}$ due funzioni, con $I,J \subseteq \mathbb{R}$ intervalli e tali che $f(I) \subseteq J$ , in modo che sia ben definita la composizione $g \circ f$ . Assumiamo inoltre che $f$ sia derivabile in $x_{0}$ e che $g$ sia derivabile in $f(x_{0})$ : viene spontaneo domandarsi se da ciò segua che $g \circ f$ sia derivabile in $x_{0}$ . Nel seguente teorema vedremo che la risposta a tale domanda è affermativa, e, inoltre, individueremo una formula esplicita per la derivata di $g \circ f$ in $x_{0}$ .

Teorema 1 (regola della catena). Siano $I,J \subseteq \mathbb{R}$ due intervalli, siano $f \colon I \to \mathbb{R}$ e $g \colon J \to \mathbb{R}$ due funzioni tali che $f(I) \subseteq J$ . Se $f$ è derivabile in $x_0 \in I$ e $g$ è derivabile in $f(x_0)$ , allora la funzione composta $g \circ f\colon I\to \mathbb{R}$ è derivabile nel punto $x_{0}$ e vale la formula

(2) $\begin{equation*} (g \circ f)'(x_{0}) = g'\big(f(x_{0})\big) \cdot f'(x_{0}). \end{equation*}$

Prima di dimostrare il teorema, ricordiamo innanzitutto la caratterizzazione delle funzioni derivabili fornita ad esempio in [4, sezione 4.2]: $f \colon I \to \mathbb{R}$ è derivabile in $x_0 \in I$ se e solo se esiste un numero reale $f'(x_0) \in \mathbb{R}$ tale che

(3) $\begin{equation*} f(x)-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0) \qquad \text{per } x \to x_0. \end{equation*}$

Il simbolo $o(x-x_0)$ è detto $o$ -piccolo: una funzione $\varphi \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ si dice $o$ -piccolo della funzione $\psi \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ per $x \to x_0$ , e si scrive $\varphi=o(\psi)$ , se per ogni $\varepsilon>0$ esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che

(4) $\begin{equation*} \varphi(x) \leq \varepsilon \psi(x) \qquad \forall x \in U \setminus \{x_0\}. \end{equation*}$

In altre parole, $\varphi=o(\psi)$ se $\varphi$ è infinitesima di ordine superiore a $\psi$ per $x \to x_0$ . Infatti, se $\psi$ non si annulla in un intorno di $x_0$ eccetto al più $x_0$ , $\varphi=o(\psi)$ per $x \to x_0$ se e solo se

(5) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=0. \end{equation*}$

Il lettore può trovare una discussione approfondita, con tutte le proprietà degli $o$ -piccoli, in [1, sezione 6.6].

Proponiamo due dimostrazioni del teorema 1: la prima utilizza tale caratterizzazione della derivata data in (3) e le proprietà degli $o$ -piccoli, mentre la seconda prescinde da tali notazioni e fa uso della sola definizione di derivata, risultando però un po’ più lunga.

Dimostrazione 1. Poiché $f$ è derivabile in $x_0$ e $g$ è derivabile in $f(x_0)$ , per la caratterizzazione delle derivate ricordata in (3) si ha

(6) $\begin{equation*} f(x)- f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0) \qquad \text{per } x \to x_0, \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*} g(y) - g(f(x_0)) = g'(f(x_0))(y-f(x_0)) + o(y-f(x_0)) \qquad \text{per } y \to f(x_0). \end{equation*}$

Dunque per $x \to x_0$ vale

(8) $\begin{equation*} \begin{split} g(f(x)) - g(f(x_0)) = & g'(f(x_0))\big(f(x)-f(x_0)\big) + o\big( f(x)-f(x_0) \big) \\ = & g'(f(x_0)) \big( f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0)\big) + o\big( f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0) \big) \\ = & g'(f(x_0))f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0), \end{split} \end{equation*}$

dove nella prima uguaglianza si è usato (7) con $y=f(x)$ , nella seconda uguaglianza si è usato (6) per sostituire $f(x)-f(x_0)$ e nella terza si sono usate le proprietà degli $o$ -piccoli

(9) $\begin{equation*} c \cdot o(x-x_0)= o(x-x_0), \qquad o\big( c(x-x_0)\big)= o(x-x_0), \qquad o\big( o(x-x_0)\big) = o(x-x_0). \end{equation*}$

L’ultimo membro di (8) è la caratterizzazione della derivabilità di $g\circ f$ in $x_0$ mediante gli $o$ -piccoli, pertanto se ne deduce che tale funzione è derivabile in $x_0$ e il coefficiente di $(x-x_0)$ è la sua derivata, cioè si ha

(10) $\begin{equation*} (g \circ f)'(x_0) = g'\big(f(x_0)\big)f'(x_0)(x-x_0), \end{equation*}$

ossia la tesi.

Presentiamo ora una seconda dimostrazione che non utilizza la caratterizzazione delle derivate tramite gli $o$ -piccoli.

Dimostrazione 2. Per dimostrare la tesi è sufficiente far vedere che il limite

(11) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{x - x_{0}} \end{equation*}$

esiste finito e coincide con $g'(f(x_{0})) \cdot f'(x_{0})$ . Distinguiamo due casi.

Caso 1. Esiste un intorno $I' \subseteq I$ di $x_{0}$ tale che

(12) $\begin{equation*} f(x) \neq f(x_{0}) \qquad \forall x \in I' \setminus \{ x_{0} \}. \end{equation*}$

In tal caso, per $x \in I'$ , possiamo moltiplicare e dividere per $f(x) - f(x_{0})$ l’argomento del limite (11):

(13) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{f(x) - f(x_{0})} \cdot \dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}. \end{equation*}$

Osserviamo che il limite del secondo fattore esiste ed è pari a $f'(x_0)$ per la derivabilità di $f$ in tale punto. Riguardo il primo fattore, osserviamo che l’ipotesi (12) permette di utilizzare il teorema di cambio di variabili [1, teorema 6.11] con $y=f(x)$ nell’intorno $I'$ , ottenendo

(14) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{f(x) - f(x_{0})} = \lim_{y \to f(x_0)} \frac{g(y)-g(f(x_0))}{y-f(x_0)} = g'(f(x_0)). \end{equation*}$

Inserendo tali informazioni in (13), grazie al teorema sul limite del prodotto di due funzioni, si ottiene

(15) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{f(x) - f(x_{0})} \cdot \dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} = g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0). \end{equation*}$
Caso 2. Esiste una successione $\{ x_{n} \}_{n}$ convergente a $x_{0}$ tale che
$f(x_{n}) = f(x_{0}) \qquad \forall n \in \mathbb{N}.$

In virtù della derivabilità di $f$ in $x_{0}$ , deve valere necessariamente $f'(x_{0}) = 0$ . Per concludere, occorre far vedere che anche il limite (11) vale $0$ . A tal fine, definiamo

$H = \{ x \in I \, | \, f(x) \neq f(x_{0}) \}.$

Poiché $f(x)=f(x_0)$ in $I \setminus H$ , vale

(16) $\begin{equation*} \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{x - x_{0}} = 0 \qquad \forall x \in I \setminus H. \end{equation*}$

D’altra parte, fissiamo $\varepsilon>0$ e proviamo che anche in $H$ il limite vale $0$ . Poiché $f'(x_{0}) = 0$ , esiste un intorno $I_1 \subset I$ di $x_{0}$ con la proprietà che

$\left| \dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} \right| < \epsilon \qquad \forall x \in I_1 \setminus \{ x_{0} \}.$

Osserviamo inoltre che $g$ è derivabile in $f(x_{0})$ , $f$ è continua in $x_{0}$ e tale che $f(x) \neq f(x_{0})$ in $H$ ; dunque esiste un intorno $I_2 \subseteq I_1$ di $x_{0}$ tale che

$\left| \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{f(x) - f(x_{0})} \right| < |g'(f(x_{0}))|+1 \qquad \forall x \in I_2 \cap H.$

Quindi si può stimare

(17) $\begin{equation*} \begin{split} \left | \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0} \right | = \left | \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)} \right | \left | \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} \right | < \big(|g'(f(x_{0}))|+1 \big) \varepsilon \qquad \forall x \in I_2 \cap H. \end{split} \end{equation*}$

Unendo (17) e (16) otteniamo

$\left| \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{x - x_{0}} \right| < \big(|g'(f(x_{0}))|+1 \big) \varepsilon \qquad \forall x \in I_2 \setminus \{x_{0}\}$

L’arbitrarietà di $\varepsilon$ implica che la derivata di $g \circ f$ in $x_0$ è nulla.

Esempi ed osservazioni.

Esempio 2. Siano $f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $g\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ le funzioni definite da

(18) $\begin{equation*} f(x) = e^{x} + 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}, \qquad g(y) = (y - 2)^{2} \quad \forall y \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Calcoliamo la derivata della funzione composta $g \circ f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tramite la regola della catena (nei punti dove può essere applicata). Osserviamo anzitutto che sia $f$ che $g$ sono derivabili su tutto $\mathbb{R}$ , quindi il teorema 1 implica che $g \circ f$ è derivabile in ogni punto di $\mathbb{R}$ e può essere applicata la formula (2): dunque, dato $x \in \mathbb{R}$ , abbiamo

$(g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

Si ha $g'(y) = 2(y - 2)$ e $f'(x) = e^{x}$ , per cui

$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 2(f(x) - 2) \cdot e^{x} = 2e^{x}(e^{x} - 1) \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

Osservazione 3. Il teorema 1 non si può invertire: dato un punto $x_{0}$ , se $f$ non è derivabile in $x_{0}$ oppure se $g$ non è derivabile in $f(x_{0})$ , non si può in generale concludere che la composizione $g \circ f$ non sia derivabile in $x_{0}$ (si vedano il seguente esempio ed esercizio 20).

Esempio 4. Siano $f,g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ le funzioni definite da

(19) $\begin{equation*} f(x) = |x| \quad \forall x \in \mathbb{R}, \qquad g(y) = y^{2} \quad \forall y \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

La funzione composta è $g \circ f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definita da

$(g \circ f)(x) = |x|^{2} = x^{2} \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

ed è chiaramente derivabile in $0$ , malgrado $f$ non sia derivabile in $0$ (punto angoloso).

Osservazione 5. Si noti che la regola della catena può essere applicata anche alla composizione di più di due funzioni: ad esempio, siano $f$ , $g$ e $h$ tre funzioni tali che $f$ sia derivabile in $x_{0}$ , $g$ sia derivabile in $f(x_{0})$ e $h$ sia derivabile in $g(f(x_{0}))$ . Per la regola della catena come da enunciato del teorema 1, sappiamo che $g \circ f$ è derivabile in $x_{0}$ ; applicando ora lo stesso risultato alla coppia di funzioni $g \circ f$ e $h$ , otteniamo che $h \circ (g \circ f) = h \circ g \circ f$ è derivabile in $x_{0}$ e vale

$(h \circ g \circ f)'(x_{0}) = h'\Big{(}(g \circ f) (x_{0})\Big{)}(g \circ f)'(x_{0}) = h'\Big{(}g(f(x_{0})) \Big{)} g'(f({x_{0}}))f'(x_{0}).$

Derivate seconde.

Una conseguenza della regola della catena è la formula di Faà di Bruno che fornisce una formula per il calcolo della derivata seconda di una funzione composta.

Proposizione 6 (formula di Faà di Bruno). Siano $I,J \subseteq \mathbb{R}$ intervalli, siano $f \colon I \to \mathbb{R}$ e $g \colon J \to \mathbb{R}$ due funzioni derivabili nei rispettivi domini e tali che $f(I) \subseteq J$ . Se $f$ è derivabile due volte in $x_0$ e $g$ è derivabile due volte in $f(x_0)$ , allora la funzione composta di $g \circ f\colon I \to \mathbb{R}$ è derivabile due volte in $x_{0}$ e vale la formula

$(g \circ f)''(x_{0}) = g''(f(x_{0})) \cdot (f'(x_{0}))^{2} + g'(f(x_{0})) \cdot f''(x_{0}).$

Dimostrazione. Grazie al teorema 1, sappiamo che $g \circ f$ è derivabile una volta in $I$ con derivata pari a

$(g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) \qquad \forall x \in I.$

Essendo $g$ derivabile due volte in $f(x_{0})$ e $f$ derivabile due volte in $x_{0}$ , di nuovo grazie al teorema 1 otteniamo in particolare che $g' \circ f$ e $f'$ sono derivabili una volta in $x_{0}$ . Di conseguenza il loro prodotto $(g' \circ f) \cdot f'$ è derivabile una volta in $x_{0}$ e, in virtù della regola di Leibniz e del teorema 1, si ricava

$\begin{align*} (g \circ f)''(x_{0}) = [(g' \circ f) \cdot f']'(x_{0}) &= (g' \circ f)'(x_{0}) \cdot f'(x_{0}) + (g' \circ f)(x_{0}) \cdot f''(x_{0}) \\ &= g''(f(x_{0})) \cdot (f'(x_{0}))^{2} + g'(f(x_{0})) \cdot f''(x_{0}), \end{align*}$

come volevasi dimostrare.

Esempio 7. Siano $f$ e $g$ come nell’esempio 2: nei punti dove è possibile farlo, vogliamo applicare la proposizione 6 per calcolare la derivata seconda di $g \circ f$ . Notiamo che sia $f$ che $g$ sono derivabili infinite volte in ogni punto di $\mathbb{R}$ , pertanto la formula di Faà di Bruno è applicabile in ogni punto. Abbiamo

(20) $\begin{gather*} f'(x) = e^{x},\quad f''(x) = e^{x} \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \\ g'(y) = 2(y - 2),\quad g''(y) = 2 \qquad \forall y \in \mathbb{R} \end{gather*}$

Applicando la proposizione 6, ricaviamo che $g \circ f$ è derivabile due volte in ogni punto e che vale

$(g \circ f)''(x) = 2 \cdot (e^{x})^{2} + 2(e^{x} - 2) \cdot e^{x} = 2 e^{2x} + 2e^{x}(e^{x} - 1) \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

Osservazione 8. L’ipotesi sull’esistenza della derivata prima di $f$ in tutto un intorno aperto $I$ di $x_{0}$ e della derivata prima di $g$ in tutto un intorno aperto $J$ di $f(x_{0})$ serve a poter parlare di derivata seconda in $x_{0}$ e $f(x_{0})$ per $f$ e $g$ rispettivamente: infatti, formalmente, la derivata seconda in un punto è definita come limite dei rapporti incrementali per la derivata prima in quel punto, e perciò occorre che la derivata esista in un intorno del punto stesso.

Osservazione 9. Così come la regola della catena, anche la formula di Faa di Bruno può essere estesa a più di due funzioni composte (vedi esercizio 21).

Funzioni di più variabili

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La regola della catena di cui al teorema 1 può essere generalizzata al caso di funzioni in più variabili. Nel seguito, useremo la seguente notazione standard: dato $x \in \mathbb{R}^{d}$ , indicheremo con $x_{i}$ la $i$ -esima coordinata di $x$ : pertanto $x = (x_{1},...,x_{d})$ . Ricordiamo inoltre che, date due funzioni $f,g \colon \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^m$ e dato $\bar{x} \in \mathbb{R}^d$ , si dice che $f$ è un $o$ -piccolo di $g$ per $x \to \bar{x}$ , e si scrive $f=o(g)$ , se per ogni $\varepsilon>0$ esiste un intorno $U$ di $\bar{x}$ tale che

(21) $\begin{equation*} \|f(x)\| \leq \varepsilon \|g(x)\| \qquad \forall x \in U \setminus \{\bar{x}\}. \end{equation*}$

In altre parole, la definizione di $o$ -piccolo ricalca la ben nota definizione per funzioni reali di variabile reale, esprimendo in maniera formale l’idea che la funzione $f$ sia infinitesima di ordine superiore a $g$ per $x \to \bar{x}$ . Valgono per tali $o$ -piccoli le stesse proprietà a cui ci si è riferito prima, riportate in [1, sezione 6.6].

Si osservi che, se $g$ non si annulla in un intorno di $\bar{x}$ , eccetto al più in $\bar{x}$ , allora $f = o(g)$ per $x \to \bar{x}$ se e solo se

(22) $\begin{equation*} \lim_{x \to \bar{x}} \dfrac{\|f(x)\|}{\|g(x)\|} = 0. \end{equation*}$

Ricordiamo inoltre la definizione di differenziabilità per funzioni in più variabili. Data $f \colon \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^m$ e dato $\bar{x} \in \mathbb{R}^d$ , essa si dice differenziabile in $\bar{x}$ se e solo se esiste una matrice $Df(\bar{x}) \in \mathbb{R}^{m \times d}$ tale che

(23) $\begin{equation*} f(x) - f(\bar{x}) = Df(\bar{x}) \cdot (x-\bar{x}) + o(x-\bar{x}) \qquad \text{per } x \to \bar{x}, \end{equation*}$

dove il vettore $x-\bar{x}$ è da intendersi come vettore colonna e il prodotto $Df(\bar{x}) \cdot (x-\bar{x})$ è un prodotto righe per colonne tra matrici. La matrice $Df(\bar{x})$ è detta matrice jacobiana di $f$ in $\bar{x}$ . La forte analogia con la caratterizzazione della derivabilità per funzioni in una variabile data da (3) suggerisce quindi l’idea che la differenziabilità sia l’appropriata estensione della derivabilità a funzioni in più variabili e che, per esse, la matrice jacobiana abbia il ruolo della derivata.

Siamo pronti ad enunciare il seguente risultato che generalizza la regola della catena al caso di funzioni di più variabili.

Teorema 10 (regola della catena per funzioni di più variabili). Siano $U \subseteq \mathbb{R}^d$ e $V \subseteq \mathbb{R}^m$ due insiemi aperti e siano $f \colon U \to \mathbb{R}^m$ , $g \colon V \to \mathbb{R}^n$ due funzioni tali che $f(U) \subseteq V$ . Se $f$ è differenziabile in $\bar{x} \in U$ e $g$ è differenziabile in $f(\bar{x})$ , allora la funzione composta $g \circ f$ è differenziabile in $\bar{x}$ e risulta

(24) $\begin{equation*} D(g \circ f)(\bar{x}) = Dg\big(f(\bar{x})\big) \cdot Df(\bar{x}), \end{equation*}$

dove $Dg \in \mathbb{R}^{n \times m}$ e $Df \in \mathbb{R}^{m \times d}$ sono le matrici jacobiane di $g$ e $f$ e il prodotto è da intendersi come prodotto righe per colonne di matrici.

Dimostrazione. La dimostrazione è un adattamento dell’argomento utilizzato nella prima dimostrazione del teorema 1.

Poiché $f$ è differenziabile in $\bar{x}$ , per (23) esiste una matrice $Df(\bar{x}) \in \mathbb{R}^{m \times d}$ tale che

(25) $\begin{equation*} f(x) - f(\bar{x}) = Df(\bar{x}) \cdot (x-\bar{x}) + o(x-\bar{x}) \qquad \text{per } x \to \bar{x}. \end{equation*}$

Inoltre, poiché $g$ è differenziabile in $f(\bar{x})$ , esiste una matrice $Dg\big(f(\bar{x}) \big) \in \mathbb{R}^{n \times m}$ tale che

(26) $\begin{equation*} g(y)-g\big( f(\bar{x})\big) = Dg\big(f(\bar{x}) \big) \cdot \big(y-f(\bar x) \big) + o\big(y-f(\bar x) \big) \qquad \text{per } y \to f(\bar{x}). \end{equation*}$

Sostituendo $y=f(x)$ in tale relazione, per $x \to \bar{x}$ si ottiene

(27) $\begin{equation*} \begin{split} g\big(f(x)\big)-g\big( f(\bar{x})\big) & = Dg\big(f(\bar{x}) \big) \cdot \big(f(x)-f(\bar x) \big) + o\big(f(x)-f(\bar x) \big) \\ & = Dg\big(f(\bar{x}) \big) \cdot \Big(Df(\bar{x}) \cdot (x-\bar{x}) + o(x-\bar{x}) \Big) + \\ & \quad + o\Big(Df(\bar{x}) \cdot (x-\bar{x}) + o(x-\bar{x}) \Big) \\ & = Dg\big(f(\bar{x}) \big) \cdot Df(\bar{x}) \cdot (x-\bar{x}) + o(x-\bar{x}), \end{split} \end{equation*}$

dove la seconda uguaglianza segue dall’aver usato (25) per sostituire $f(x)-f(\bar{x})$ , mentre l’ultima segue dalle proprietà degli $o$ -piccoli che spieghiamo di seguito. Prima però notiamo che (27) ci dice che $g \circ f$ è differenziabile in $\bar{x}$ e che la sua matrice jacobiana $D(g \circ f)(\bar{x})$ coincide col prodotto $Dg\big(f(\bar{x}) \big) \cdot Df(\bar{x})$ , provando (24). Rimangono solo da motivare le semplificazioni con gli $o$ -piccoli effettuate all’ultimo membro di (27).

$Dg\big(f(\bar{x}) \big) \cdot o(x-\bar{x}) = o(x-\bar{x})$ . Infatti l’ $o$ -piccolo nel membro di sinistra è una funzione $\varphi \colon U \to \mathbb{R}^m$ tale tale che, per ogni $\varepsilon>0$ , esiste un intorno $U' \subseteq U$ di $\bar{x}$ tale che
(28) $\begin{equation*} \|\varphi(x)\| \leq \varepsilon\|x-\bar{x}\| \qquad \forall x \in U' \setminus \{\bar{x}\}. \end{equation*}$

Dunque, chiamando $c$ il massimo tra i moduli delle componenti della matrice $Dg\big(f(\bar{x}) \big)$ , si ha

(29) $\begin{equation*} \|Dg\big(f(\bar{x}) \big) \cdot \varphi(x)\| \leq c \|\varphi(x)\| \leq c \varepsilon \|x-\bar{x}\| \qquad \forall x \in U' \setminus \{\bar{x}\}. \end{equation*}$

Dall’arbitrarietà di $\varepsilon$ segue quindi che $Dg\big(f(\bar{x}) \big) \cdot o(x-\bar{x}) = o(x-\bar{x})$ .

$o\Big(Df(\bar{x}) \cdot (x-\bar{x}) + o(x-\bar{x}) \Big) = o(x-\bar{x})$ . Usando la proprietà $o\big(\varphi+\psi)= o(\varphi) + o(\psi)$ , ragionando come sopra si prova che
(30) $\begin{equation*} o\Big(Df(\bar{x}) \cdot (x-\bar{x})\Big) = o(x-\bar{x}), \qquad o\big(o(x-\bar{x})\big) = o(x-\bar{x}), \end{equation*}$

ottenendo la tesi.

Supponiamo di voler calcolare la derivata parizale $i$ -esima della composizione $g \circ f$ in $\bar{x}$ . Sfruttando il teorema 10 e sviluppando i calcoli del prodotto $D(g \circ f)(\bar{x}) = Dg(f(\bar{x})) \cdot Df(\bar{x})$ , si può ottenere una formula esplicita per per tale derivata parziale.

Corollario 11. Siano $f,g$ soddisfacenti le ipotesi del teorema 10 e sia $x \in U$ . Per ogni $k \in \{1,\dots,n\}$ e ogni $i \in \{1,\dots,d\}$ vale

(31) $\begin{equation*} \partial_i(g \circ f)_k(x) = \partial_i(g_k \circ f)(x) = \sum_{j=1}^m \partial_j g_k\big(f(x)\big) \cdot \partial_i f_j(x), \end{equation*}$

dove $g_k$ e $f_j$ sono rispettivamente le componenti $k$ e $j$ di $g$ e $f$ .

Dimostrazione. Si fissino $k$ e $i$ come nell’enunciato. Per le proprietà delle matrici jacobiane, la derivata $\partial_i (g \circ f)_{k}({x})$ nella direzione $x_i$ della componente $k$ -esima di $g \circ f$ è l’elemento della riga $k$ e colonna $i$ della matrice jacobiana $D(g \circ f)(x)$ . Per (24) e per la definizione di prodotto di matrici, tale elemento è pari al prodotto scalare della riga $k$ della matrice $Dg\big( f(x)\big)$ e della colonna $i$ della matrice $Df(x)$ , ossia

(32) $\begin{equation*} \partial_i (g \circ f)_{k}({x}) = \big( D(g \circ f)(x) \big)_{ki} = \sum_{j=1}^m \big(Dg\big( f(x)\big)\big)_{kj} \big(Df(x)\big)_{ji} = \sum_{j=1}^m \partial_j g_k\big(f(x)\big) \cdot \partial_i f_j(x), \end{equation*}$

ossia la tesi.

Esempi ed osservazioni.

Osservazione 12. Come visto nel teorema 10, la matrice jacobiana di $g \circ f$ in $x$ è data dal prodotto righe per colonne la tra la matrice jacobiana di $g$ in $f(x)$ e la jacobiana di $f$ in $x$ . Ciò costituisce una generalizzazione del 1: infatti, nel caso di funzioni di una variabile a valori in $\mathbb{R}$ , la matrice jacobiana è un numero reale che coincide con la derivata della funzione e il prodotto righe per colonne delle matrici jacobiane si riduce ad un prodotto tra numeri reali.

Esempio 13. Siano $f\colon D \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ e $g\colon \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ le funzioni definite nel modo seguente:

$\begin{align*} & f(x_{1},x_{2}) = (f_{1}(x_{1},x_{2}),f_{2}(x_{1},x_{2})) = (x_{1}^{2} + \ln x_{2}, x_{1} x_{2}), \\ & g(y_{1},y_{2}) = y_{1}^{2} + y_{2}^{3} - \cos y_{2}, \end{align*}$

dove $D$ è il semipiano aperto

$D = \{ x = (x_{1},x_{2}) \in \mathbb{R}^{2} \, | \, x_{2} > 0 \}.$

Vogliamo calcolare la derivata parziale di $g \circ f$ rispetto a $x_{1}$ nei punti in cui è possibile applicare la regola della catena per funzioni in più variabili. In $D$ la funzione $f$ è differenziabile in ogni punto; similmente, in $\mathbb{R}^{2}$ , $g$ è differenziabile ovunque. Per ogni $x \in D$ , è quindi possibile applicare la regola della catena ottenendo

$\partial_1 (g \circ f)(x) = \partial_1 g\big( f(x)\big)\partial_1 f_1(x) + \partial_2 g\big( f(x)\big)\partial_1 f_2(x).$

Si ha

(33) $\begin{gather*} \partial_1 g(y)=2y_1, \quad \partial_2 g(y)=3 y_{2}^{2} + \sin y_{2}, \qquad \forall y \in \mathbb{R}^2, \\ \partial_1 f_1(x) = 2x_1, \quad \partial_1 f_2(x)=x_2 \qquad \forall x \in D. \end{gather*}$

Pertanto

$\begin{align*} \partial_1(g \circ f)(x) % \dfrac{\partial g \circ f}{\partial x_{1}}(x) & = 2 (x_{1}^{2} + \ln x_{2}) \cdot 2 x_{1} + [3(x_{1} x_{2})^{2} + \sin x_{1} x_{2}]x_{2} \\ & = 4 (x_{1})_{3} + 4 x_{1} \ln x_{2} + 3 x_{1}^{2} x_{2}^{3} + x_{2} \sin x_{1} x_{2}. \end{align*}$

Osservazione 14. Spesso le variabili in cui sono scritte le funzioni sono diverse da quelle usate sinora: per esempio, alle volte, anziché numerare ogni componente, si sceglie di assegnare ad ogni entrata una lettera diversa (invece di $x = (x_{1},x_{2})$ si può trovare $x = (u,v)$ ) oppure i pedici delle entrate possono situarsi in alto piuttosto che in basso ( $x = (x^{1},x^{2})$ anziché $x = (x_{1},x_{2})$ ). Va da sé che, a meno di effettuare una conversione di notazioni adatta al singolo caso, tutte le formule scritte fino ad ora continuano a valere: assume quindi grande importanza saper riconoscere le formule e i risultati fin qui esposti nelle diverse notazioni presenti in letteratura.

Esempio 15. Siano $f\colon \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ e $g\colon \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ le funzioni definite da

$f(x,y,z) = (xy, z^{2}) \quad \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^3, \qquad g(u,v) = (v, - u v) \quad \forall (u,v) \in \mathbb{R}^2.$

Ci proponiamo di calcolare la matrice jacobiana di $g \circ f$ in un generico punto $(x,y,z)$ . Anzitutto notiamo che $f$ e $g$ sono differenziabili in $\mathbb{R}^{3}$ e in $\mathbb{R}^{2}$ rispettivamente, e così $g \circ f$ è differenziabile in tutto $\mathbb{R}^{3}$ grazie al teorema 10. Inoltre esso ci dice che

$D(g \circ f)(x,y,z) = Dg\big((f(x,y,z)\big) \cdot Df(x,y,z) \qquad \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^3.$

Abbiamo

(34) $\begin{gather*} Dg(u, v) = \begin{pmatrix} \partial_u g_1(u, v) & \partial_v g_1(u,v) \\[4pt] \partial_u g_2(u,v) & \partial_v g_2(u,v) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - v & -u \end{pmatrix} \qquad \forall (u,v) \in \mathbb{R}^2 \\[4pt] D(x,y,z) = \begin{pmatrix} \partial_x f_1(x,y,z) & \partial_y f_1(x,y,z) & \partial_z f_1(x,y,z) \\[4pt] \partial_x f_2(x,y,z) & \partial_y f_2(x,y,z) & \partial_z f_2(x,y,z) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y & x & 0 \\ 0 & 0 & 2 z \end{pmatrix} \qquad \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^3. \end{gather*}$

Quindi per ogni $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ si ha

$\begin{aligned} D(g \circ f)(x,y,z) &= Dg\big((f(x,y,z)\big) \cdot Df(x,y,z) =\\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - z^{2} & - xy \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y & x & 0 \\ 0 & 0 & 2 z \end{pmatrix} =\\ &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2z \\ - y z^{2} & - x z^{2} & - 2 xyz \end{pmatrix} . \end{aligned}$

Esempio 16. Dato un aperto $U \subset \mathbb{R}^{d}$ , sia $f\colon U \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione differenziabile in un punto $x \in U$ . Dato $a > 0$ , sia inoltre $\gamma\colon (-a, a) \rightarrow \mathbb{R}^{d}$ una curva derivabile in $0$ tale che $\gamma(0) = x$ . Vogliamo dimostrare che $f \circ \gamma$ è una funzione definita in un intorno sufficientemente piccolo di $0$ e che è derivabile in $0$ ; successivamente, vogliamo calcolare esplicitamente $(f \circ \gamma)'(0)$ . Per prima cosa osserviamo che, essendo $\gamma$ derivabile in $0$ , $\gamma$ è in particolare continua in $0$ ; per ipotesi $\gamma(0) = x \in U$ e $U$ è un aperto, quindi esiste $\delta \in (0,a)$ tale che

$\gamma(-\delta,\delta) \subset U.$

Pertanto la funzione $f \circ \gamma$ è sicuramente definita su un intorno di $0$ contenente $(-\delta, \delta)$ . Possiamo quindi applicare il teorema 10, il quale assicura la derivabilità di $f \circ \gamma$ in $0$ e la validità della formula

(35) $\begin{equation*} (f \circ \gamma)'(0) = D(f \circ \gamma)(0) = Df(x) \cdot D\gamma(0) = \nabla f(x) \cdot \dot{\gamma}(0) \end{equation*}$

ossia la derivata prima di $g \circ f$ in $0$ coincide col prodotto scalare tra il gradiente di $f$ in $x$ e la derivata della curva $\gamma$ in $0$ (detta anche velocità di $\gamma$ in $0$ ).

Esempio 17. Dato un aperto $U \subset \mathbb{R}^{d}$ , sia $f\colon U\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ una funzione differenziabile in un punto $x \in U$ . Vogliamo far vedere che, se $f(x) \neq 0$ , allora la funzione $h\colon U \rightarrow \mathbb{R}$ definita da

$h(x) = \|f(x)\| \qquad \forall x \in U$

è differenziabile in $x$ e successivamente, vogliamo calcolare il gradiente di $h$ in $x$ . Definiamo la funzione norma $g \colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ come

(36) $\begin{equation*} g(y)= \|y\| = \left( \sum_{j=1}^m y_j^2 \right )^{\frac{1}{2}} \qquad \forall y \in \mathbb{R}^m \end{equation*}$

e osserviamo che la funzione $h$ di cui vogliamo studiare la differenziabilità è data da $h=g \circ f$ . Osserviamo poi che $g$ è differenziabile in $\mathbb{R}^{m} \setminus \{ 0 \}$ : infatti, la derivata parziale $j$ -esima di $g$ è data da

(37) $\begin{equation*} \partial_j g(y) = \dfrac{2y_j}{2\left( \sum_{j=1}^m y_j^2 \right )^{\frac{1}{2}}} = \frac{y_j}{\|y_j\|} \qquad \forall y \in \mathbb{R}^m \setminus \{0\}, \end{equation*}$

che è una funzione continua in $\mathbb{R}^{m} \setminus \{ 0 \}$ . Il teorema del differenziale totale [2, teorema 3.7] oppure [2, capitolo 3, sezione 29] garantisce quindi che $g$ sia differenziabile in $\mathbb{R}^{m} \setminus \{ 0 \}$ . Perciò, se $f(x) \neq 0$ , in virtù del teorema 10, $g$ è certamente differenziabile in $x$ . Inoltre, da (24), il gradiente di $h$ in $x$ è dato dalla relazione

$\begin{equation*} Dh(x) = Dg\big(f(x)\big) \cdot Df(x) = \dfrac{f(x)}{\|f(x)\|} \cdot Df(x), % = \nabla N (f(x^{0})) \cdot J[f](x^{0}) = \dfrac{f(x^{0})}{||f(x^{0})||} \cdot J[f](x^{0}). \end{equation*}$

dove abbiamo usato il fatto che il gradiente di $g$ soddisfa

(38) $\begin{equation*} D g(y) = (\partial_1 g,\dots,\partial_m g) {=} \frac{1}{\|y\|}(y_1,\dots,y_m) = \frac{y}{\|y\|} \qquad \forall y \in \mathbb{R}^m \setminus \{0\} \end{equation*}$

dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo usato (37).

Esercizi

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Esercizio 18 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $f$ e $g$ come nell’esempio 2:

Usando la regola della catena, si calcoli la derivata prima della funzione $f \circ g$ , specificando eventuali punti in cui non è possibile applicarla.
Usando la formula di Faa di Bruno, si calcoli la derivata seconda della funzione $f \circ g$ , specificando eventuali punti in cui non è possibile applicarla.

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $g(y) = |\ln(y)|$ e $f(x) = x^{4} - 5x^{2} + 4$ :

Si determinino il dominio di $f$ e il dominio di $g$ .
Si trovino i punti in cui è possibile applicare la regola della catena a $g \circ f$ e a $f \circ g$ e per entrambe le funzioni si calcoli la derivata prima, quando essa esiste.
Si trovino i punti in cui è possibile applicare la formula di Faa di Bruno a $g \circ f$ e a $f \circ g$ e per entrambe le funzioni si calcoli la derivata seconda, quando essa esiste.
Esistono punti in cui non si può applicare la regola della catena ma nei quali $g \circ f$ oppure $f \circ g$ è comunque derivabile?

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si trovino due funzioni $f$ e $g$ tali che $f$ sia derivabile in $0$ , $g$ non sia derivabile in $f(0)$ , ma $g \circ f$ sia comunque derivabile in $0$ .

Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Come fatto per la regola della catena nell’osservazione 5, si scriva la formula di Faa di Bruno per la composizione di tre funzioni, inserendo tutte le ipotesi necessarie sulla derivabilità delle tre funzioni.

Esercizio 22 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione. Dato un aperto $A \subseteq \mathbb{R}$ tale che $f(\mathbb{R}) \subseteq A$ , sia $g\colon A \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione. Si supponga che $f$ sia periodica di periodo $P \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$ , ossia valga

$f(x) = f(x + P),$

per ogni $x \in \mathbb{R}$ . Inoltre, si assuma che, dato $x_{0} \in \mathbb{R}$ , $f$ sia derivabile in $x_{0}$ e che $g$ sia derivabile in $f(x_{0})$ . Si determinino tutti i punti di $\mathbb{R}$ in cui è possibile applicare la regola della catena alla funzione composta $g \circ f$ .

Esercizio 23 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dato un punto $x_{0} \in \mathbb{R}$ , siano $I$ un intorno aperto di $x_{0}$ e $f\colon I \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione definita su $I$ . Dato un intorno aperto $J$ di $f(x_{0})$ tale che $f(I) \subseteq J$ , sia $g\colon J \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione. Si supponga che $f$ sia derivabile due volte in $I$ e tre volte in $x_{0}$ e che $g$ sia derivabile due volte in $J$ e tre volte in $f(x_{0})$ : si trovi una formula esplicita per la derivata terza di $g \circ f$ in $x_{0}$ .

Esercizio 24 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $f$ e $g$ come nell’esempio 13: si calcoli la derivata parziale di $g \circ f$ rispetto a $x_{2}$ .

Esercizio 25 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si considerino le funzioni

$f(x,y) = (x^{2} + y^{2}, \arctan(x + y), 1) \quad g(u,v,w) = (\tan(u/2),vw).$

Si trovino il dominio di $f$ e il dominio di $g$ .
Nei punti dove è possibile, applicare la regola della catena per calcolare le derivate parziali di $g \circ f$ .
Dato $\alpha \in \mathbb{R}$ , sia $\gamma_{\alpha}\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la funzione definita da
$\gamma_{\alpha}(t) = (t^{2} + \alpha, t).$

Al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$ , si dica se $g \circ f \circ \gamma_{\alpha}$ è definita in qualche punto e, nel caso la risposta sia affermativa, se ne trovi il dominio. Successivamente, sempre al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$ , si individuino i punti in cui è possibile applicare la regola della catena alla funzione $g \circ f \circ \gamma_{\alpha}$ , e, nei suddetti punti, se ne calcoli la derivata.

Esercizio 26 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una funzione $f\colon \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ , $n \geq 2$ , viene detta radiale se, per ogni $x = (x_{1},...,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n}$ , vale

$f(x) = \phi(||x||) = \phi \left( \sqrt{x_{1}^{2} + \cdots + x_{n}^{2}} \right),$

per un’opportuna funzione $\phi\colon [0, + \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ .

Si assuma che $\phi$ sia derivabile in un certo punto $r > 0$ : si determini l’insieme dei punti di $\mathbb{R}^{n}$ in cui $f$ è differenziabile e lo si disegni in $\mathbb{R}^{n}$ , per $n = 2, 3$ .
Nei punti dell’insieme di cui al punto precedente, si calcolino le derivate parziali di $f$ .
Si supponga che $\phi$ ammetta derivata prima destra $\phi'_{+}(0)$ in $0$ : per quali valori di $\phi'_{+}(0)$ la funzione $f$ è differenziabile in $0$ ? Per tali valori di $\phi'_{+}(0)$ , è possibile applicare la regola della catena al calcolo di $Df(0)$ ?

Esercizio 27 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f\colon \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione differenziabile due volte in tutti i punti: per funzioni scalari come $f$ , la matrice jacobiana è un vettore riga (matrice $1 \times n$ ) che viene anche detto gradiente della funzione e si denota tramite $\nabla f$ .

Si calcolino le derivate parziali di
$g(x) = ||\nabla f (x)||^{3}.$
Con riferimento alla definizione di funzione radiale data all’esercizio precedente, $g$ è una funzione radiale, in generale? Si risponda dimostrando che lo è oppure presentando un opportuno controesempio.

Esercizio 28 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una funzione $f\colon \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ è detta armonica se essa è di classe $C^2(\mathbb{R}^n)$ e se si ha

(39) $\begin{equation*} \Delta f(x) \coloneqq \partial_{11} f(x) + \dots + \partial_{nn} f(x) = \sum_{i=1}^n \partial_{ii} f(x) = 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}^n, \end{equation*}$

ossia se la somma delle sue derivate seconde pure è nulla in ogni punto. L’operatore $\Delta$ è detto laplaciano e ha notevole importanza nelle applicazioni. Caratterizzare le funzioni armoniche radiali.

Riferimenti bibliografici

[1] Acerbi, E. & Buttazzo, G., Primo corso di Analisi Matematica , Pitagora Editrice (1997).

[2] Acerbi, E. & Buttazzo, G., Secondo corso di Analisi Matematica , Pitagora Editrice (2016).

[3] Marcellini, P. & Fusco, N. & Sbordone, C., Analisi Matematica due , Liguori (2001).

[4] Qui Si Risolve, Teoria sulle derivate.

[5] Qui Si Risolve, Teoria delle funzioni.

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