Regola della Catena — Teoria ed esempi

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La regola della catena è uno strumento nell’Analisi Matematica che studia la differenziabilità di una composizione di funzioni. Questa dispensa approfondisce la teoria sia per funzioni di una singola variabile sia per quelle di più variabili, offrendo un’ampia panoramica di esempi di applicazione. Il testo è concluso da una serie di stimolanti esercizi per il lettore, che completano lo studio sviluppato precedentemente.

La dispensa guida dunque il lettore verso una comprensione naturale e approfondita di un aspetto fondamentale per lo studio delle funzioni.

Segnaliamo i seguenti articoli su argomenti di teoria collegati:

Consigliamo inoltre le seguenti raccolte di esercizi:

Sommario

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Questa dispensa tratta della regola della catena, ossia dei teoremi che stabiliscono la derivabilità della composizione di funzioni derivabili e forniscono formule esplicite per le derivate. Dopo aver esposto la teoria per funzioni di una variabile e di più variabili, vengono presentati alcuni esercizi sull’argomento.

Autori e revisori

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Autore: Giacomo Vianello.

Revisori: Luigi De Masi, Matteo Talluri, Davide La Manna, Jacopo Garofali, Daniele Bjørn Malesani, Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Notazioni

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$\mathbb{N}$	Insieme dei numeri naturali;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$x_i$	Componente $i$ -esima di $x \in \mathbb{R}^d$ rispetto alla base canonica: $x=(x_1,\dots,x_d)$ ;
$f_j$	data $f=(f_1,\dots,f_m)$ una funzione a valori in $\mathbb{R}^m$ , la componente $j$ di $f$ ;
$\\|x\\|$	norma di un vettore $x \in \mathbb{R}^{d}$ ;
$\mathbb{R}^{m \times d}$	insieme delle matrici aventi $m$ righe e $d$ colonne a coefficienti reali;
$\partial_i f(x)$	derivata parziale nella direzione $x_i$ della funzione $f$ nel punto $x$ ;
$Df(x)$	matrice jacobiana della funzione $f$ in $x$ ;
$\nabla f (x)$	gradiente della funzione $f$ in $x$ ;
$\overset{\cdot}{\gamma}$	derivata (o velocità) di una curva $\gamma \colon [a,b] \to \mathbb{R}^n$ .

Introduzione

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In Matematica, quando si introduce un nuovo concetto, è importante studiarne le relazioni con le nozioni già note. Questa dispensa tratta della relazione tra il concetto di derivata e quello di composizione di funzioni. Infatti, una volta definita la nozione di derivata, si vede abbastanza facilmente che, sotto opportune ipotesi, la somma, il prodotto e il quoziente di funzioni derivabili sono derivabili e si ricavano anche delle formule per il calcolo esplicito di tali derivate, che risultano molto utili nelle applicazioni.

Una gran varietà di funzioni può essere ottenuta da funzioni elementari utilizzando le suddette operazioni algebriche e loro composizioni.¹ Ne è un esempio la funzione $h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(1) $\begin{equation*} h(x)=e^{x +\sin x} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Essa infatti è costituita dalla composizione $\exp \circ (\operatorname{Id} + \sin)$ , e ciascuno di tali “fattori” è derivabile in $\mathbb{R}$ . Risulta pertanto naturale chiedersi se anche la loro composizione $h$ lo sia e se la derivata $h'$ possa esprimersi mediante le derivate delle funzioni $\exp$ e $\sin$ , che sono note.

La risposta a tale questione è affermativa, ed è costituita dalla cosiddetta regola della catena. Essa afferma che la composizione $h = g \circ f$ di funzioni derivabili è a sua volta derivabile è la sua derivata $h'(x)$ è pari a $g'(f(x))\cdot f'(x)$ . Per derivare $h$ occorre cioè derivare “in maniera concatenata” le funzioni $g$ e $f$ , rispettando l’ordine dato dalla composizione.

Questa regola si estende facilmente al caso della composizione di 3 o più funzioni, mantenendo questa caratteristica di derivazione concatenata. È inoltre possibile estendere questa proprietà anche a funzioni di più variabili, mantenendo l’espressione formale della derivata di $h$ come “prodotto” delle “derivate” di $g$ e $f$ , dove però queste ultime sono rappresentate in genere da matrici e il prodotto è da intendersi come prodotto di matrici.

La dispensa è organizzata come segue:

nella sezione 1 studiamo la derivazione della composizione di funzioni reali di una sola variabile reale, mostrando nel teorema 1 quanto annunciato sopra e ottenendo anche una formula per la derivata seconda della composizione di funzioni, nel teorema 6;
nella sezione 2 otteniamo nel teorema 10 la regola della catena per funzioni di più variabili;
nella sezione 3 proponiamo alcuni esercizi sull’argomento.

$\[\]$

Si veda [Teoria delle funzioni, sezione 2.2.3] per la definizione e le proprietà basilari della composizione di funzioni. ↩

Funzioni di una variabile

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Siano $f \colon I \to \mathbb{R}$ e $g \colon J \to \mathbb{R}$ due funzioni, con $I,J \subseteq \mathbb{R}$ intervalli e tali che $f(I) \subseteq J$ , in modo che sia ben definita la composizione $g \circ f$ . Assumiamo inoltre che $f$ sia derivabile in $x_{0}$ e che $g$ sia derivabile in $f(x_{0})$ : viene spontaneo domandarsi se da ciò segua che $g \circ f$ sia derivabile in $x_{0}$ . Nel seguente teorema vedremo che la risposta a tale domanda è affermativa, e, inoltre, individueremo una formula esplicita per la derivata di $g \circ f$ in $x_{0}$ .

Teorema 1 (regola della catena). Siano $I,J \subseteq \mathbb{R}$ due intervalli, siano $f \colon I \to \mathbb{R}$ e $g \colon J \to \mathbb{R}$ due funzioni tali che $f(I) \subseteq J$ . Se $f$ è derivabile in $x_0 \in I$ e $g$ è derivabile in $f(x_0)$ , allora la funzione composta $g \circ f\colon I\to \mathbb{R}$ è derivabile nel punto $x_{0}$ e vale la formula

(2) $\begin{equation*} (g \circ f)'(x_{0}) = g'\big(f(x_{0})\big) \cdot f'(x_{0}). \end{equation*}$

Prima di dimostrare il teorema, ricordiamo innanzitutto la caratterizzazione delle funzioni derivabili fornita ad esempio in [4, sezione 4.2]: $f \colon I \to \mathbb{R}$ è derivabile in $x_0 \in I$ se e solo se esiste un numero reale $f'(x_0) \in \mathbb{R}$ tale che

(3) $\begin{equation*} f(x)-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0) \qquad \text{per } x \to x_0. \end{equation*}$

Il simbolo $o(x-x_0)$ è detto $o$ -piccolo: una funzione $\varphi \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ si dice $o$ -piccolo della funzione $\psi \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ per $x \to x_0$ , e si scrive $\varphi=o(\psi)$ , se per ogni $\varepsilon>0$ esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che

(4) $\begin{equation*} \varphi(x) \leq \varepsilon \psi(x) \qquad \forall x \in U \setminus \{x_0\}. \end{equation*}$

In altre parole, $\varphi=o(\psi)$ se $\varphi$ è infinitesima di ordine superiore a $\psi$ per $x \to x_0$ . Infatti, se $\psi$ non si annulla in un intorno di $x_0$ eccetto al più $x_0$ , $\varphi=o(\psi)$ per $x \to x_0$ se e solo se

(5) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=0. \end{equation*}$

Il lettore può trovare una discussione approfondita, con tutte le proprietà degli $o$ -piccoli, in [1, sezione 6.6].

Proponiamo due dimostrazioni del teorema 1: la prima utilizza tale caratterizzazione della derivata data in (3) e le proprietà degli $o$ -piccoli, mentre la seconda prescinde da tali notazioni e fa uso della sola definizione di derivata, risultando però un po’ più lunga.

Dimostrazione 1. Poiché $f$ è derivabile in $x_0$ e $g$ è derivabile in $f(x_0)$ , per la caratterizzazione delle derivate ricordata in (3) si ha

(6) $\begin{equation*} f(x)- f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0) \qquad \text{per } x \to x_0, \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*} g(y) - g(f(x_0)) = g'(f(x_0))(y-f(x_0)) + o(y-f(x_0)) \qquad \text{per } y \to f(x_0). \end{equation*}$

Dunque per $x \to x_0$ vale

(8) $\begin{equation*} \begin{split} g(f(x)) - g(f(x_0)) = & g'(f(x_0))\big(f(x)-f(x_0)\big) + o\big( f(x)-f(x_0) \big) \\ = & g'(f(x_0)) \big( f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0)\big) + o\big( f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0) \big) \\ = & g'(f(x_0))f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0), \end{split} \end{equation*}$

dove nella prima uguaglianza si è usato (7) con $y=f(x)$ , nella seconda uguaglianza si è usato (6) per sostituire $f(x)-f(x_0)$ e nella terza si sono usate le proprietà degli $o$ -piccoli

(9) $\begin{equation*} c \cdot o(x-x_0)= o(x-x_0), \qquad o\big( c(x-x_0)\big)= o(x-x_0), \qquad o\big( o(x-x_0)\big) = o(x-x_0). \end{equation*}$

L’ultimo membro di (8) è la caratterizzazione della derivabilità di $g\circ f$ in $x_0$ mediante gli $o$ -piccoli, pertanto se ne deduce che tale funzione è derivabile in $x_0$ e il coefficiente di $(x-x_0)$ è la sua derivata, cioè si ha

(10) $\begin{equation*} (g \circ f)'(x_0) = g'\big(f(x_0)\big)f'(x_0)(x-x_0), \end{equation*}$

ossia la tesi.

Presentiamo ora una seconda dimostrazione che non utilizza la caratterizzazione delle derivate tramite gli $o$ -piccoli.

Dimostrazione 2. Per dimostrare la tesi è sufficiente far vedere che il limite

(11) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{x - x_{0}} \end{equation*}$

esiste finito e coincide con $g'(f(x_{0})) \cdot f'(x_{0})$ . Distinguiamo due casi.

Caso 1. Esiste un intorno $I' \subseteq I$ di $x_{0}$ tale che

(12) $\begin{equation*} f(x) \neq f(x_{0}) \qquad \forall x \in I' \setminus \{ x_{0} \}. \end{equation*}$

In tal caso, per $x \in I'$ , possiamo moltiplicare e dividere per $f(x) - f(x_{0})$ l’argomento del limite (11):

(13) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{f(x) - f(x_{0})} \cdot \dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}. \end{equation*}$

Osserviamo che il limite del secondo fattore esiste ed è pari a $f'(x_0)$ per la derivabilità di $f$ in tale punto. Riguardo il primo fattore, osserviamo che l’ipotesi (12) permette di utilizzare il teorema di cambio di variabili [1, teorema 6.11] con $y=f(x)$ nell’intorno $I'$ , ottenendo

(14) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{f(x) - f(x_{0})} = \lim_{y \to f(x_0)} \frac{g(y)-g(f(x_0))}{y-f(x_0)} = g'(f(x_0)). \end{equation*}$

Inserendo tali informazioni in (13), grazie al teorema sul limite del prodotto di due funzioni, si ottiene

(15) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{x - x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{f(x) - f(x_{0})} \cdot \dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} = g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0). \end{equation*}$
Caso 2. Esiste una successione $\{ x_{n} \}_{n}$ convergente a $x_{0}$ tale che
$f(x_{n}) = f(x_{0}) \qquad \forall n \in \mathbb{N}.$

In virtù della derivabilità di $f$ in $x_{0}$ , deve valere necessariamente $f'(x_{0}) = 0$ . Per concludere, occorre far vedere che anche il limite (11) vale $0$ . A tal fine, definiamo

$H = \{ x \in I \, | \, f(x) \neq f(x_{0}) \}.$

Poiché $f(x)=f(x_0)$ in $I \setminus H$ , vale

(16) $\begin{equation*} \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{x - x_{0}} = 0 \qquad \forall x \in I \setminus H. \end{equation*}$

D’altra parte, fissiamo $\varepsilon>0$ e proviamo che anche in $H$ il limite vale $0$ . Poiché $f'(x_{0}) = 0$ , esiste un intorno $I_1 \subset I$ di $x_{0}$ con la proprietà che

$\left| \dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} \right| < \epsilon \qquad \forall x \in I_1 \setminus \{ x_{0} \}.$

Osserviamo inoltre che $g$ è derivabile in $f(x_{0})$ , $f$ è continua in $x_{0}$ e tale che $f(x) \neq f(x_{0})$ in $H$ ; dunque esiste un intorno $I_2 \subseteq I_1$ di $x_{0}$ tale che

$\left| \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{f(x) - f(x_{0})} \right| < |g'(f(x_{0}))|+1 \qquad \forall x \in I_2 \cap H.$

Quindi si può stimare

(17) $\begin{equation*} \begin{split} \left | \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0} \right | = \left | \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)} \right | \left | \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} \right | < \big(|g'(f(x_{0}))|+1 \big) \varepsilon \qquad \forall x \in I_2 \cap H. \end{split} \end{equation*}$

Unendo (17) e (16) otteniamo

$\left| \dfrac{g(f(x)) - g(f(x_{0}))}{x - x_{0}} \right| < \big(|g'(f(x_{0}))|+1 \big) \varepsilon \qquad \forall x \in I_2 \setminus \{x_{0}\}$

L’arbitrarietà di $\varepsilon$ implica che la derivata di $g \circ f$ in $x_0$ è nulla.