La funzione Beta esprime il rapporto , dove
è la funzione Gamma di Eulero. La funzione Beta è notevolmente utile nel calcolo esplicito di integrali impropri o di alcune somme di serie numeriche.
In questo articolo, pensato per esperti nel campo dell’Analisi Matematica, esaminiamo la definizione della funzione Beta e analizziamo molti di questi esempi, offrendo un tour affascinante al confine tra l’Analisi Matematica e la Teoria dei Numeri, completo di esercizi di livello avanzato per i lettori più esigenti.
Oltre alla lista reperibile alla fine dell’articolo, segnaliamo al lettore le seguenti pagine:
- Teoria ed esercizi sulla funzione Gamma di Eulero;
- Serie di Fourier – Teoria e applicazioni;
- Esercizi avanzati analisi.
Buona lettura!
Autori e revisori
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Prerequisiti
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- Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e sua forma integrale (DISUGUAGLIANZE FONDAMENTALI)
- Convessità per punti medi e continuità comportano convessità sulla parte interna del dominio,
disuguaglianza di Hermite-Hadamard (CONVESSITÀ)
- Tutto il precedente capitolo sulla funzione
(FUNZIONE GAMMA)
- teorema di Fubini, teorema di convergenza dominata, derivazione sotto il segno di integrale (ANALISI FUNZIONALE)
- Trasformata di Laplace (TRASFORMATA DI LAPLACE)
- Residui e decomposizioni in fratti semplici (ANALISI COMPLESSA)
Definizione
Per parametri la funzione Beta di Eulero è definita attraverso
Un primo momento importante è costituito dalla dimostrazione dell’identità fondamentale
Dimostrazione.
L’integrale che figura nel membro destro è positivo e continuo rispetto al parametro . Esso è inoltre log-convesso per punti medi come conseguenza della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in forma integrale:
Log-convessità per punti medi e continuità comportano log-convessità; inoltre anche il termine è log-convesso rispetto alla variabile
. Ciò comporta che
è continua e log-convessa. Per integrazione per parti
(2)
il che comporta . Vale inoltre
dunque soddisfa le ipotesi del teorema di Bohr-Mollerup e si ha
.
Vediamo anche una dimostrazione alternativa basata sul teorema di Fubini, che probabilmente vi ricorderà quanto fatto nel capitolo sulla FUNZIONE GAMMA per determinare superfici e volumi delle palle euclidee -dimensionali. Presi
abbiamo
(3)
Per i cambiamenti di variabile e
il membro sinistro coincide con
Calcolando il membro destro di (3) in coordinate polari si ottiene
Operando nell’ultimo integrale la sostituzione abbiamo che ambo i membri di (3) coincidono con
Questo prova
che è equivalente a (1). Presentiamo anche un terzo approccio basato sulla trasformata di Laplace e su una argomentazione di densità: in particolare andiamo a determinare la trasformata di Laplace di dove
. Per il binomio di Newton abbiamo
pertanto si ha
Attraverso il teorema dei residui non è difficile realizzare che il termine destro coincide con
dunque per ogni si ha
che prova (1) a patto che almeno un valore tra e
sia intero. D’altra parte il medesimo discorso applicato alla trasformata di Laplace di
, con
, prova la validità di (1) alla semplice condizione che almeno uno tra i valori di
e
sia razionale. La continuità sia di
che di
rimuove infine qualunque restrizione.
Prodotto di Weierstrass
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il quoziente prolunga analiticamente l’integrale
a tutto
. Inoltre la simmetria dell’espressione cancella il termine
nel prodotto di Weierstrass della
:
Applicazioni
Svolgimento.
in quanto il membro destro è precisamente quattro volte l’area di un settore circolare di raggio determinato da un angolo retto, sottografico di
su
per via del teorema di Pitagora. D’altro canto
Svolgimento.
ed operando la sostituzione abbiamo
Vedremo nel capitolo sugli INTEGRALI ELLITTICI che, per le relazioni che sussistono tra e certi integrali ellittici completi del primo tipo,
è numericamente determinabile con un algoritmo a convergenza quadratica derivante dalla media aritmo-geometrica (
):
Nel nostro caso abbiamo pertanto
Svolgimento.
La sostituzione trasmuta il membro sinistro in
per via della formula di riflessione della . Per derivazione sotto il segno di integrale segue allora
Svolgimento.
risulta convergente.
Svolgimento.
e in virtù di ciò vale
per ogni . Sommando su
abbiamo che il comportamento dell’integrale è analogo al comportamento della serie
che converge se e solo se . Collateralmente abbiamo che
è un semplice esempio di funzione integrabile su
che non è infinitesima per
Svolgimento.
e la somma da determinare è volte il coefficiente di
nel quadrato della precedente espressione.
Svolgimento.
Svolgimento.
Moltiplicando ambo i membri per e integrando termine a termine si ha
da cui segue, ad esempio,
Svolgimento.
e il membro destro coincide con
è convergente.
Svolgimento.
pertanto
dove la sostituzione , la funzione Beta e la formula di riflessione della
comportano
per ogni . Analogamente abbiamo le generalizzazioni
per ogni .
facendo ricorso alla funzione Beta.
Svolgimento.
Svolgimento.
che tramite la funzione Beta è convertito in
da cui segue immediatamente:
Riferimenti bibliografici
[1] Andrews, G. E., Askey, R., Roy, R., “Special Functions”, Cambridge University Press, 1999.
[2] Artin, E., “The Gamma Function”, Courier Dover Publications, 2015.
[3] D’Aurizio, J., “Superior Mathematics from an Elementary point of view”, pp.82-87,
sito web 2017.
[4] Viola, C., “An Introduction to Special Functions”, Springer International Publishing, 2016.
[5] Whittaker, E.T., Watson, G.N., “A Course Of Modern Analysis”, Cambridge University Press, 1996.
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- Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
- Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
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