a

Menu

M

Chiudi

Funzione Beta – Teoria ed esercizi

Funzioni Beta, Digamma, Trigamma

Home » Funzione Beta – Teoria ed esercizi

La funzione Beta esprime il rapporto \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}, dove \Gamma è la funzione Gamma di Eulero. La funzione Beta è notevolmente utile nel calcolo esplicito di integrali impropri o di alcune somme di serie numeriche.
In questo articolo, pensato per esperti nel campo dell’Analisi Matematica, esaminiamo la definizione della funzione Beta e analizziamo molti di questi esempi, offrendo un tour affascinante al confine tra l’Analisi Matematica e la Teoria dei Numeri, completo di esercizi di livello avanzato per i lettori più esigenti.

Oltre alla lista reperibile alla fine dell’articolo, segnaliamo al lettore le seguenti pagine:

Buona lettura!
 

Autori e revisori

Leggi...


 

Prerequisiti

Leggi...

Per la piena fruizione di questa dispensa suggeriamo una revisione preliminare di alcuni risultati che saranno utilizzati nel seguito. Li riportiamo in ordine di menzione, assieme al relativo capitolo dove sono trattati in dettaglio:

    \[\quad\]

  1. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e sua forma integrale (DISUGUAGLIANZE FONDAMENTALI)
  2.  

  3. Convessità per punti medi e continuità comportano convessità sulla parte interna del dominio,

    disuguaglianza di Hermite-Hadamard (CONVESSITÀ)

  4.  

  5. Tutto il precedente capitolo sulla funzione \Gamma (FUNZIONE GAMMA)
  6.  

  7. teorema di Fubini, teorema di convergenza dominata, derivazione sotto il segno di integrale (ANALISI FUNZIONALE)
  8.  

  9. Trasformata di Laplace (TRASFORMATA DI LAPLACE)
  10.  

  11. Residui e decomposizioni in fratti semplici (ANALISI COMPLESSA)

 
 

Definizione

Per parametri a,b\in\mathbb{R}^+ la funzione Beta di Eulero è definita attraverso

    \[B(a,b) = \int_{0}^{1} x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx.\]

Un primo momento importante è costituito dalla dimostrazione dell’identità fondamentale

(1)   \begin{equation*} B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.\end{equation*}

    \[\quad\]

Dimostrazione.

Per un qualunque fissato valore di b\in\mathbb{R}^+ andiamo a considerare la funzione

    \[f(a) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(b)}\int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx.\]

L’integrale che figura nel membro destro è positivo e continuo rispetto al parametro a. Esso è inoltre log-convesso per punti medi come conseguenza della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in forma integrale:

    \[\int_{0}^{1} x^{a_1-1}(1-x)^{b-1}\,dx \int_{0}^{1} x^{a_2-1}(1-x)^{b-1}\,dx \geq \left(\int_{0}^{1}x^{\frac{a_1+a_2}{2}-1}(1-x)^{b-1}\,dx\right)^2.\]

Log-convessità per punti medi e continuità comportano log-convessità; inoltre anche il termine \dfrac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(b)} è log-convesso rispetto alla variabile a. Ciò comporta che f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+ è continua e log-convessa. Per integrazione per parti

(2)   \begin{equation*} \begin{split}  f(a+1)&=\frac{\Gamma(a+b+1)}{\Gamma(b)}\int_{0}^{1}x^a (1-x)^{b-1}\,dx = \\ &=a\frac{\Gamma(a+b+1)}{\Gamma(b+1)}\int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^b\,dx=\\ &=a\frac{\Gamma(a+b+1)}{\Gamma(b+1)}\int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx-a\frac{\Gamma(a+b+1)}{\Gamma(b+1)}\int_{0}^{1}x^{a}(1-x)^{b-1}\,dx= \\ &=\frac{a(a+b)}{b}f(a)-\frac{a}{b} f(a+1),  \end{split} \end{equation*}

il che comporta f(a+1)=a f(a). Vale inoltre

    \[f(1) = b \int_{0}^{1}(1-x)^{b-1}\,dx = 1,\]

dunque f soddisfa le ipotesi del teorema di Bohr-Mollerup e si ha f(a)=\Gamma(a).

Vediamo anche una dimostrazione alternativa basata sul teorema di Fubini, che probabilmente vi ricorderà quanto fatto nel capitolo sulla FUNZIONE GAMMA per determinare superfici e volumi delle palle euclidee n-dimensionali. Presi r,s > -1 abbiamo

(3)   \begin{equation*} \int_{0}^{+\infty}x^r e^{-x^2}\,dx \int_{0}^{+\infty} y^s e^{-y^2}\,dy = \iint_{\mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+} x^r y^s e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy. \end{equation*}

Per i cambiamenti di variabile x\mapsto\sqrt{u} e y\mapsto\sqrt{v} il membro sinistro coincide con

    \[\frac{1}{4}\int_{0}^{+\infty} u^{\frac{r-1}{2}} e^{-u}\,du \int_{0}^{+\infty} v^{\frac{s-1}{2}}e^{-v}\,dv = \frac{1}{4}\Gamma\left(\frac{r+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{s+1}{2}\right).\]

Calcolando il membro destro di (3) in coordinate polari si ottiene

    \[\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{+\infty} (\cos\theta)^r (\sin\theta)^s \rho^{r+s+1} e^{-\rho^2}\,d\rho\,d\theta = \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{r+s+2}{2}\right) \int_{0}^{\pi/2}(\cos\theta)^r(\sin\theta)^s\,d\theta.\]

Operando nell’ultimo integrale la sostituzione \theta=\arcsin t abbiamo che ambo i membri di (3) coincidono con

    \[\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{r+s}{2}\right) \int_{0}^{1}(1-t^2)^{\frac{r-1}{2}} t^s\,dt \stackrel{t\mapsto\sqrt{z}}{=} \frac{1}{4}\Gamma\left(\frac{r+s}{2}\right)\int_{0}^{1} z^{\frac{s-1}{2}}(1-z)^{\frac{r-1}{2}}\,dz.\]

Questo prova

    \[B\left(\frac{s+1}{2},\frac{r+1}{2}\right) = \frac{\Gamma\left(\frac{r+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{s+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{r+s+2}{2}\right)}\]

che è equivalente a (1). Presentiamo anche un terzo approccio basato sulla trasformata di Laplace e su una argomentazione di densità: in particolare andiamo a determinare la trasformata di Laplace di (1-e^{-x})^n dove n\in \mathbb{N}. Per il binomio di Newton abbiamo

    \[(1-e^{-x})^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k e^{-kx},\]

pertanto si ha

    \[\mathcal{L}\left((1-e^{-x})^n\right)(s) = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k \binom{n}{k}}{k+s}.\]

Attraverso il teorema dei residui non è difficile realizzare che il termine destro coincide con

    \[\frac{n!}{s(s+1)\cdot\ldots\cdot(s+n)}=\frac{\Gamma(s)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+s+1)},\]

dunque per ogni s>0 si ha

    \[\frac{\Gamma(s)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+s+1)}=\int_{0}^{+\infty}(1-e^{-x})^n e^{-sx}\,dx \stackrel{x\mapsto -\log u}{=} \int_{0}^{1}(1-u)^n u^{s-1}\,du = B(n+1,s)\]

che prova (1) a patto che almeno un valore tra a e b sia intero. D’altra parte il medesimo discorso applicato alla trasformata di Laplace di (1-e^{-x/q})^n, con q\in\mathbb{N}^+, prova la validità di (1) alla semplice condizione che almeno uno tra i valori di a e b sia razionale. La continuità sia di B(a,b) che di \dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} rimuove infine qualunque restrizione.


 

Esercizio 1  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Attraverso opportune sostituzioni si provi che, nelle ipotesi a>0 e ab>1, vale

    \[\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^a)^b} = \frac{\Gamma\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\Gamma\left(b-\dfrac{1}{a}\right)}{\Gamma(b)}.\]

 
 

Prodotto di Weierstrass

Leggi...

Notiamo che, così come il prodotto di Eulero per la funzione \Gamma prolunga analiticamente l’integrale di Legendre,

il quoziente \dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} prolunga analiticamente l’integrale \int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,dx a tutto (\mathbb{C}\setminus -\mathbb{N})^2. Inoltre la simmetria dell’espressione cancella il termine e^{-\gamma x} nel prodotto di Weierstrass della \Gamma:

    \[\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}=\frac{a+b}{ab}\prod_{n\geq 1}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{b}{n}\right)^{-1} e^{\frac{a+b}{n}}.\]


 
 

Applicazioni

Esercizio 2  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (Definizioni equivalenti di \pi). Si provi che \Gamma^2\left(\dfrac{1}{2}\right) è una definizione equivalente di \pi.

Svolgimento.

La definizione di \pi come area del cerchio unitario nel piano può essere facilmente codificata come segue:

    \[\pi = 4\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx,\]

in quanto il membro destro è precisamente quattro volte l’area di un settore circolare di raggio 1 determinato da un angolo retto, sottografico di \sqrt{1-x^2} su (0,1) per via del teorema di Pitagora. D’altro canto

    \[4\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx \stackrel{x\mapsto\sqrt{u}}{=} 2 \int_{0}^{1}(1-u)^{1/2} u^{-1/2}\,du = 2\cdot B\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\right) = \Gamma^2\left(\tfrac{1}{2}\right).\]


 
 

Esercizio 3  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (MSE#2062415). Si determini esplicitamente il valore dell’integrale doppio

    \[I=\iint_{\mathbb{R}^2}\frac{dx\,dy}{1+x^2+y^4}.\]

Svolgimento.

In virtù del teorema di Fubini e della simmetria dell’integranda si ha

    \[I = 2\pi\int_{0}^{+\infty}\frac{dy}{\sqrt{1+y^4}} \stackrel{y\mapsto z^{1/2}}{=}\pi\int_{0}^{+\infty}\frac{dz}{\sqrt{z(1+z^2)}}\stackrel{z\mapsto\tan\theta}{=}\pi \int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\sin\theta\cos\theta}}\]

ed operando la sostituzione \theta\mapsto\arcsin(u) abbiamo

    \[I = \pi \int_{0}^{1} u^{-1/2}(1-u^2)^{-3/4}\,du \stackrel{u\mapsto\sqrt{v}}{=} \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} v^{-3/4}(1-v)^{-3/4}\,dv = \frac{\pi}{2}\,B\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\Gamma^2\left(\frac{1}{4}\right).\]

Vedremo nel capitolo sugli INTEGRALI ELLITTICI che, per le relazioni che sussistono tra \Gamma^2\left(\dfrac{1}{4}\right) e certi integrali ellittici completi del primo tipo, \Gamma\left(\dfrac{1}{4}\right)^2 è numericamente determinabile con un algoritmo a convergenza quadratica derivante dalla media aritmo-geometrica (\text{AGM}):

    \[\Gamma^2\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{(2\pi)^{3/2}}{\AGM{(1,\sqrt{2})}}.\]

Nel nostro caso abbiamo pertanto

    \[I = \frac{\pi^2}{\AGM{\left(1,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)}}\in\left(\pi^2(4-2\sqrt{2}), \pi^2 2^{1/4}\right).\]


 
 

Esercizio 4  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (MSE#3020909). Per ogni \alpha\in(0,1) si determini esplicitamente il valore dell’integrale

    \[I(\alpha) = \int_{0}^{+\infty}\frac{\log(x)}{x^\alpha(x+1)}\,dx.\]

Svolgimento.

Proviamo preliminarmente che per ogni \beta\in(-1,0) si ha

    \[\int_{0}^{+\infty}\frac{x^\beta}{1+x}\,dx = -\frac{\pi}{\sin(\pi\beta)}.\]

La sostituzione \dfrac{1}{1+x}\mapsto u trasmuta il membro sinistro in

    \[\int_{0}^{1}(1-u)^{\beta} u^{-\beta-1}\,du = B(\beta+1,-\beta) = \Gamma(\beta+1)\Gamma(-\beta) = -\frac{\pi}{\sin(\pi\beta)}\]

per via della formula di riflessione della \Gamma. Per derivazione sotto il segno di integrale segue allora

    \[\int_{0}^{+\infty}\frac{x^\beta \log(x)}{1+x}\,dx = \pi^2 \frac{\cos(\pi\beta)}{\sin^2(\pi \beta)}\stackrel{\beta\mapsto -\alpha}{\longrightarrow}\int_{0}^{+\infty}\frac{\log(x)}{x^\alpha(x+1)}\,dx = \pi^2 \frac{\cos(\pi\alpha)}{\sin^2(\pi\alpha)}.\]


 
 

Esercizio 5  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (MSE#1024643). Applicando derivazione sotto il segno di integrale ad I(\alpha,\beta)=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\log(1+\beta x^2)}{x^\alpha}\,dx si provi che per ogni \alpha\in(1,3) si ha

    \[\int_{0}^{+\infty}\frac{\log(1+x^2)}{x^\alpha}\,dx = \frac{\pi}{1-\alpha}\sec\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right).\]

 
 

Esercizio 6  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (MSE#2056217). Si determini l’area racchiusa dall’asteroide di equazione |x|^{2/3}+|y|^{2/3}=1.

Svolgimento.

Per simmetria tale area è data da

    \[A = 4\int_{0}^{1}(1-x^{2/3})^{3/2}\,dx \stackrel{x\mapsto z^{3/2}}{=}6\int_{0}^{1}(1-z)^{3/2} z^{1/2}\,dz = 6\,B(5/2,3/2) = \frac{3\pi}{8}.\]


 
 

Esercizio 7  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (MSE#3056098). Si provi che

    \[\int_{0}^{+\infty}\frac{x^2\log(x)}{(1+x^2)^3}\,dx = 0.\]

 
 

Esercizio 8  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si stabilisca per quali \alpha \in \mathbb{R} l’integrale

    \[\int_{0}^{+\infty}\left|\sin x\right|^{x^\alpha}\,dx\]

risulta convergente.

Svolgimento.

Se \alpha\leq 0 la funzione integranda risulta \geq \dfrac{1}{2} su sottoinsieme di \mathbb{R}^+ di misura infinita, dunque l’integrale è banalmente divergente. Possiamo pertanto supporre \alpha > 0. Ricordiamo che per ogni M>0 abbiamo

    \[\int_{\pi}^{2\pi}|\sin x|^M\,dx = 2\int_{0}^{\pi/2}(\sin x)^M\,dx = \sqrt{\pi}\,\frac{\Gamma\left(\dfrac{M+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\dfrac{M+2}{2}\right)}\sim \sqrt{2\pi}\,\frac{1}{\sqrt{M}}\]

e in virtù di ciò vale

    \[\begin{aligned}     \frac{\sqrt{2\pi}}{(k\pi)^{\alpha/2}}      &\sim \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin x|^{(k\pi)^\alpha}\,dx \\     &\geq \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin x|^{x^\alpha}\,dx \\     &\geq \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin x|^{((k+1)\pi)^\alpha}\,dx \\     &\sim \frac{\sqrt{2\pi}}{(\pi(k+1))^{\alpha/2}} \end{aligned}\]

per ogni k\in\mathbb{N}^+. Sommando su k abbiamo che il comportamento dell’integrale è analogo al comportamento della serie

    \[\sum_{k\geq 1}\frac{1}{(k\pi)^{\alpha /2}}\]

che converge se e solo se \alpha > 2. Collateralmente abbiamo che f(x)=\left|\sin x\right|^{x^3} è un semplice esempio di funzione integrabile su \mathbb{R}^+ che non è infinitesima per x\to +\infty


 
 

Esercizio 9  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (MSE#2530865). Si provi che per ogni numero naturale m\geq 2

    \[\sum_{n=0}^{m}\binom{m}{n}\Gamma\left(n-\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(m-n-\frac{1}{2}\right)=0.\]

Svolgimento.

Per le serie di Maclaurin già viste si ha

    \[\sum_{h\geq 0}\frac{\Gamma\left(h-\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(h+1)}z^h = -2\sqrt{\pi}\sqrt{1-z}\]

e la somma da determinare è m! volte il coefficiente di z^m nel quadrato della precedente espressione.


 
 

Esercizio 10  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (MSE#928968). Si determini esplicitamente il valore della serie

    \[\sum_{k\geq 0}\frac{2^k}{\binom{2k+1}{k}}.\]

Svolgimento.

    \begin{eqnarray*}{\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{2^k}{\binom{2k+1}{k}}}&=&\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{2^k \Gamma(k+1)\Gamma(k+2)}{\Gamma(2k+2)}=\sum_{k=0}^{+\infty}2^k(k+1)\,B(k+1,k+1)\\&=&\sum_{k=0}^{+\infty}2^k(k+1)\int_{0}^{1}x^k(1-x)^k\,dx\\&=&\int_{0}^{1}\frac{dx}{(1-2x(1-x))^2}={\frac{\pi}{2}+1}.\end{eqnarray*}


 
 

Esercizio 11  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (Serie di Maclaurin di \arcsin^2). Si provi che per ogni x\in(-1,1) vale

    \[\sum_{n\geq 0}\frac{4^n x^{2n}}{(2n+1)\binom{2n}{n}} = \frac{\arcsin(x)}{x\sqrt{1-x^2}}.\]

Svolgimento.

    \begin{eqnarray*} \sum_{n\geq 0}\frac{4^n x^{2n}}{(2n+1)\binom{2n}{n}} &=& \sum_{n\geq 0}\frac{4^n x^{2n} n!^2}{(2n+1)!}=\sum_{n\geq 0}\frac{4^n x^n \Gamma(n+1)^2}{\Gamma(2n+2)}\\ &=& \sum_{n\geq 0}4^n x^{2n} B(n+1,n+1) = \sum_{n\geq 0}x^{2n} \int_{0}^{1}(4z(1-z))^n\,dz\\ &=& \sum_{n\geq 0} x^{2n}\int_{-1/2}^{1/2}(1-4z^2)^n\,dz = \sum_{n\geq 0} x^{2n}\int_{0}^{1}(1-u^2)^n\,du\\ &=& \int_{0}^{1}\frac{du}{1-x^2(1-u^2)}=\int_{0}^{1}\frac{du}{(1-x^2)+x^2 u^2}\\ &=& \frac{1}{x}\int_{0}^{x}\frac{dv}{(1-x^2)+v^2} = \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right). \end{eqnarray*}

Moltiplicando ambo i membri per x e integrando termine a termine si ha

    \[\arcsin(x)^2 = \sum_{n\geq 0}\frac{4^n x^{2n+2}}{(n+1)(2n+1)\binom{2n}{n}}\]

da cui segue, ad esempio,

    \[\pi^2 = \sum_{n\geq 0}\frac{9}{(n+1)(2n+1)\binom{2n}{n}}=\sum_{n\geq 1}\frac{18}{n^2\binom{2n}{n}}.\]


 
 

Esercizio 12  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (MSE#3029425). Si provi che per ogni x>0 si ha

    \[\sum_{k\geq 1} k \prod_{n=1}^{k}\frac{x}{x+n} = x.\]

Svolgimento.

Notiamo preliminarmente che (x+1)(x+2)\cdot\ldots\cdot(x+k)=\dfrac{\Gamma(x+k+1)}{\Gamma(x+1)}, pertanto

    \[\sum_{k\geq 1} k \prod_{n=1}^{k}\frac{x}{x+n} = \sum_{k\geq 1} k x^k \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x+k+1)} = \sum_{k\geq 1}\frac{x^k}{k!}B(x+1,k)=\sum_{k\geq 1}\frac{kx^k}{(k-1)!}\int_{0}^{1}z^{k-1}(1-z)^x\,dz\]

e il membro destro coincide con

    \[x\int_{0}^{1}(1-z)^x (1+zx) e^{zx}\,dz = x \left[-(1-z)^{x+1}e^{zx}\right]_{0}^{1} = x.\]


 
 

Esercizio 13  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) (MSE#2097522). Si provi che la serie

    \[\sum_{n\geq 1}\int_{0}^{1}\left(1-(1-t^n)^{1/n}\right)\,dt\]

è convergente.

 
 

Esercizio 14  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (Integrale di Fresnel). Si provi che in senso di Riemann improprio si ha

    \[I = \int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}.\]

Svolgimento.

Attraverso la sostituzione x\mapsto\sqrt{z} e l’autoaggiunzione della trasformata di Laplace abbiamo

    \[I = \frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin z}{\sqrt{z}}\,dz = \frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}\mathcal{L}(\sin z)(s)\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)(s)\,ds = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}\int_{0}^{+\infty}\frac{ds}{(1+s^2)\sqrt{s}},\]

pertanto

    \[I = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^4},\]

dove la sostituzione \dfrac{1}{1+t^a}\mapsto v, la funzione Beta e la formula di riflessione della \Gamma comportano

    \[\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^a} = \frac{\pi}{a\sin\left(\dfrac{\pi}{a}\right)}\]

per ogni a>1. Analogamente abbiamo le generalizzazioni

    \[\int_{0}^{+\infty}\sin(x^n)\,dx = \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right), \qquad \int_{0}^{+\infty}\cos(x^n)\,dx = \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)\]

per ogni n>1.


 
 

Esercizio 15  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (MSE#1829934). Si determini esplicitamente il valore della serie

    \[\sum_{k\geq 1}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)(2k+3)}\]

facendo ricorso alla funzione Beta.

Svolgimento.

    \begin{eqnarray*} \sum_{k\geq 0}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)(2k+3)}&=&\frac{1}{8}\sum_{k\geq 0}\frac{1}{\left(k-\dfrac{1}{2}\right)\left(k+\dfrac{1}{2}\right)\left(k+\dfrac{3}{2}\right)}\\&=&\frac{1}{8}\sum_{k\geq 0}\frac{\Gamma\left(k-\dfrac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(k+\dfrac{5}{2}\right)}\\&=&\frac{1}{8\,\Gamma(3)}\sum_{k\geq 0}B\left(3,k-\frac{1}{2}\right)\\&=&\frac{1}{16}\int_{0}^{1}\sum_{k\geq 0}(1-x)^2 x^{k-3/2}\,dx\\&=&\frac{1}{16}\int_{0}^{1}(1-x) x^{-3/2}\,dx\\&=&\frac{B(2,-1/2)}{16}={-\frac{1}{4}.}\end{eqnarray*}


 
 

Esercizio 16  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (MSE#1789823). Si determini esplicitamente il valore dell’integrale

    \[\int_{0}^{1}\frac{\arctan(x)}{x\sqrt{1-x^2}}\,dx.\]

Svolgimento.

Prendendo in considerazione la serie di Maclaurin di \arctan(x) abbiamo

    \[\int_{0}^{1}\frac{\arctan(x)}{x\sqrt{1-x^2}}\,dx = \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{2n+1}\int_{0}^{1}\frac{x^{2n}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{4n+2}\int_{0}^{1}z^{n-\frac{1}{2}}(1-z)^{-1/2}\,dx,\]

che tramite la funzione Beta è convertito in

    \[\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n \Gamma\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)}{(4n+2)\Gamma(n+1)}=\dfrac{\pi}{2}\sum_{n\geq 0}\binom{-\frac{1}{2}}{n}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}\]

da cui segue immediatamente:

    \[\int_{0}^{1}\frac{\arctan(x)}{x\sqrt{1-x^2}}\,dx = \frac{\pi}{2}\text{arcsinh}(1) = {\frac{\pi}{2}\log(1+\sqrt{2})}.\]


 
 

Esercizio 17  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) (MSE#2156355). Si determini esplicitamente il valore dell’integrale

    \[\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-x^4}}{1+x^2}\,dx\]

 
 

Esercizio 18  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) (MSE#1964430). Si provi l’identità

    \[\sum_{k\geq 1}\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n(n+1)\cdot\ldots\cdot(n+k)} =\int_{0}^{1}\frac{e^x-1}{x}\,dx.\]

 
 

Esercizio 19  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). (MSE#2604775). Si provi la disuguaglianza

    \[\sqrt[4]{2} < \int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\sin x}\,dx < \frac{1+\sqrt{2}}{2}.\]

 
 

Riferimenti bibliografici

[1] Andrews, G. E., Askey, R., Roy, R., “Special Functions”, Cambridge University Press, 1999.

[2] Artin, E., “The Gamma Function”, Courier Dover Publications, 2015.

[3] D’Aurizio, J., “Superior Mathematics from an Elementary point of view”, pp.82-87,

sito web 2017.

[4] Viola, C., “An Introduction to Special Functions”, Springer International Publishing, 2016.

[5] Whittaker, E.T., Watson, G.N., “A Course Of Modern Analysis”, Cambridge University Press, 1996.

 
 

Tutta la teoria di analisi matematica

Leggi...

  1. Teoria Insiemi
  2. Il metodo della diagonale di Cantor
  3. Logica elementare
  4. Densità dei numeri razionali nei numeri reali
  5. Insiemi Numerici \left(\mathbb{N},\, \mathbb{Z},\, \mathbb{Q}\right)
  6. Il principio di induzione
  7. Gli assiomi di Peano
  8. L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni
  9. Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica
  10. Costruzioni alternative di \mathbb{R}
  11. Binomio di Newton
  12. Spazi metrici, un’introduzione
  13. Disuguaglianza di Bernoulli
  14. Disuguaglianza triangolare
  15. Teoria sulle funzioni
  16. Funzioni elementari: algebriche, esponenziali e logaritmiche
  17. Funzioni elementari: trigonometriche e iperboliche
  18. Funzioni goniometriche: la guida essenziale
  19. Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni
  20. Criterio del rapporto per le successioni
  21. Definizione e proprietà del numero di Nepero
  22. Limite di una successione monotona
  23. Successioni di Cauchy
  24. Il teorema ponte
  25. Teoria sui limiti
  26. Simboli di Landau
  27. Funzioni continue – Teoria
  28. Il teorema di Weierstrass
  29. Il teorema dei valori intermedi
  30. Il teorema della permanenza del segno
  31. Il teorema di Heine-Cantor
  32. Il teorema di esistenza degli zeri
  33. Il metodo di bisezione
  34. Teorema ponte versione per le funzioni continue
  35. Discontinuità di funzioni monotone
  36. Continuità della funzione inversa
  37. Teorema delle contrazioni o Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli
  38. Teoria sulle derivate
  39. Calcolo delle derivate: la guida pratica
  40. Teoria sulle funzioni convesse
  41. Il teorema di Darboux
  42. I teoremi di de l’Hôpital
  43. Teorema di Fermat
  44. Teoremi di Rolle e Lagrange
  45. Il teorema di Cauchy
  46. Espansione di Taylor: teoria, esempi e applicazioni pratiche
  47. Polinomi di Taylor nei limiti: istruzioni per l’uso
  48. Integrali definiti e indefiniti
  49. Teorema fondamentale del calcolo integrale (approfondimento)
  50. Integrali ricorsivi
  51. Formule del trapezio, rettangolo e Cavalieri-Simpson
  52. Teoria sugli integrali impropri
  53. Funzioni integrali – Teoria
  54. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di ingegneria — versione semplificata)
  55. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica)
  56. Serie numeriche: la guida completa
  57. Successioni di funzioni – Teoria
  58. Teoremi sulle successioni di funzioni
    1. 58a. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme
    2. 58b. Limite uniforme di funzioni continue
    3. 58c. Passaggio al limite sotto il segno di integrale
    4. 58d. Limite uniforme di funzioni derivabili
    5. 58e. Piccolo teorema del Dini
    6. 58f. Procedura diagonale e teorema di Ascoli-Arzela
  59. Serie di funzioni – Teoria
  60. Serie di potenze – Teoria
  61. Serie di Fourier – Teoria e applicazioni
  62. Integrali multipli — Parte 1 (teoria)
  63. Integrali multipli — Parte 2 (teoria e esercizi misti)
  64. Regola della Catena — Teoria ed esempi.
  65. Jacobiano associato al cambiamento di coordinate sferiche
  66. Guida ai Massimi e Minimi: Tecniche e Teoria nelle Funzioni Multivariabili
  67. Operatore di Laplace o Laplaciano
  68. Teoria equazioni differenziali
  69. Equazione di Eulero
  70. Teoria ed esercizi sulla funzione Gamma di Eulero
  71. Teoria ed esercizi sulla funzione Beta
  72. Approfondimento numeri complessi
  73. Diverse formulazioni dell’assioma di completezza
  74. Numeri di Delannoy centrali
  75. Esercizi avanzati analisi

 
 

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

Leggi...

  1. Prerequisiti di Analisi
    1. Ripasso algebra biennio liceo
    2. Ripasso geometria analitica
    3. Ripasso goniometria e trigonometria
    4. Errori tipici da evitare
    5. Insiemi numerici N,Z,Q,R
    6. Funzioni elementari
    7. Logica elementare
    8. Insiemi
  2. Successioni
    1. Teoria sulle Successioni
    2. Estremo superiore e inferiore
    3. Limiti base
    4. Forme indeterminate
    5. Limiti notevoli
    6. Esercizi misti Successioni
    7. Successioni per ricorrenza
  3. Funzioni
    1. Teoria sulle funzioni
    2. Verifica del limite in funzioni
    3. Limite base in funzioni
    4. Forme indeterminate in funzioni
    5. Limiti notevoli in funzioni
    6. Calcolo asintoti
    7. Studio di funzione senza derivate
    8. Dominio di una funzione
    9. Esercizi misti Funzioni
    10. Esercizi misti sui Limiti
  4. Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
    1. Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
    2. Continuità delle funzioni
    3. Continuità uniforme
    4. Teorema degli zeri
    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate
  5. Calcolo differenziale
    1. Derivate
    2. Calcolo delle derivate
    3. Retta tangente nel calcolo differenziale
    4. Punti di non derivabilità nel calcolo differenziale
    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate
    6. Studio di funzione completo nel calcolo differenziale
    7. Esercizi teorici nel calcolo differenziale
    8. Metodo di bisezione
    9. Metodo di Newton
  6. Teoremi del calcolo differenziale
    1. Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale
    2. Teorema di Rolle
    3. Teorema di Lagrange
    4. Teorema di Cauchy
    5. Teorema di De L’Hôpital
  7. Calcolo integrale
    1. Integrale di Riemann
    2. Integrali immediati
    3. Integrale di funzione composta
    4. Integrali per sostituzione
    5. Integrali per parti
    6. Integrali di funzione razionale
    7. Calcolo delle aree
    8. Metodo dei rettangoli e dei trapezi
    9. Esercizi Misti Integrali Indefiniti
    10. Esercizi Misti Integrali Definiti
  8. Integrali impropri
    1. Teoria Integrali impropri
    2. Carattere di un integrale improprio
    3. Calcolo di un integrale improprio
  9. Espansione di Taylor
    1. Teoria Espansione di Taylor
    2. Limiti di funzione con Taylor
    3. Limiti di successione con Taylor
    4. Stime del resto
  10. Funzioni integrali (Approfondimento)
    1. Teoria Funzioni integrali (Approfondimento)
    2. Studio di funzione integrale
    3. Limiti con Taylor e De L’Hôpital
    4. Derivazione di integrali parametrici (Tecnica di Feynmann)
  11. Numeri Complessi
    1. Teoria Numeri complessi
    2. Espressioni con i numeri complessi
    3. Radice di un numero complesso
    4. Equazioni con i numeri complessi
    5. Disequazioni con i numeri complessi
    6. Esercizi misti Numeri complessi
  12. Serie numeriche
    1. Teoria Serie numeriche
    2. Esercizi Serie a termini positivi
    3. Esercizi Serie a termini di segno variabile
    4. Esercizi Serie geometriche e telescopiche
  13. Successioni di funzioni
    1. Teoria Successioni di funzioni
    2. Esercizi Successioni di funzioni
  14. Serie di funzioni
    1. Teoria Serie di funzioni
    2. Esercizi Serie di funzioni
  15. Serie di potenze
    1. Teoria Serie di potenze
    2. Esercizi Serie di potenze
  16. Serie di Fourier
    1. Teoria Serie di Fourier
    2. Esercizi Serie di Fourier
  17. Trasformata di Fourier
    1. Teoria Trasformata di Fourier
    2. Esercizi Trasformata di Fourier
  18. Funzioni di più variabili
    1. Teoria Funzioni di più variabili
    2. Massimi e minimi liberi e vincolati
    3. Limiti in due variabili
    4. Integrali doppi
    5. Integrali tripli
    6. Integrali di linea di prima specie
    7. Integrali di linea di seconda specie
    8. Forme differenziali e campi vettoriali
    9. Teorema di Gauss-Green
    10. Integrali di superficie
    11. Flusso di un campo vettoriale
    12. Teorema di Stokes
    13. Teorema della divergenza
    14. Campi solenoidali
    15. Teorema del Dini
  19. Equazioni differenziali lineari e non lineari
    1. Teoria equazioni differenziali lineari e non lineari
    2. Equazioni differenziali lineari e non lineari del primo ordine omogenee
  20. Equazioni differenziali lineari
    1. Del primo ordine non omogenee
    2. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,omogenee
    3. Di ordine superiore al primo,a coefficienti costanti,non omogenee
    4. Di Eulero,di Bernoulli,di Clairaut,di Lagrange e di Abel
    5. Non omogenee avente per omogenea associata un’equazione di Eulero
    6. Sistemi di EDO
  21. Equazioni differenziali non lineari
    1. A variabili separabiliO
    2. A secondo membro omogeneo
    3. Del tipo y’=y(ax+by+c)
    4. Del tipo y’=y(ax+by+c)/(a’x+b’y+c’)
    5. Equazioni differenziali esatte
    6. Mancanti delle variabili x e y
    7. Cenni sullo studio di un’assegnata equazione differenziale non lineare
    8. Di Riccati
    9. Cambi di variabile: simmetrie di Lie
  22. Analisi complessa
    1. Fondamenti
    2. Funzioni olomorfe
    3. Integrale di Cauchy e applicazioni
    4. Teorema della curva di Jordan e teorema fondamentale dell’Algebra
    5. Teorema di inversione di Lagrange
    6. Teorema dei Residui
    7. Funzioni meromorfe
    8. Prodotti infiniti e prodotti di Weierstrass
    9. Continuazione analitica e topologia
    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
    11. Trasformata di Mellin
  23. Equazioni alle derivate parziali
    1. Equazioni del primo ordine
    2. Equazioni del secondo ordine lineari
    3. Equazioni non-lineari
    4. Sistemi di PDE
  24. Funzioni speciali
    1. Funzione Gamma di Eulero
    2. Funzioni Beta,Digamma,Trigamma
    3. Integrali ellittici
    4. Funzioni di Bessel
    5. Funzione zeta di Riemann e funzioni L di Dirichlet
    6. Funzione polilogaritmo
    7. Funzioni ipergeometriche
  25. Analisi funzionale
    1. Misura e integrale di Lebesgue
    2. Spazi Lp,teoremi di completezza e compattezza
    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
    4. Teoria e pratica dei polinomi ortogonali
    5. Spazi di Sobolev
  26. Complementi
    1. Curiosità e approfondimenti
    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
  27. Funzioni Convesse

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.





 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






Document









Document